EAD 350 Pesquisa Operacional Aula 03 Parte 1 Revisão Preço-Sombra e Análise de Sensibilidade
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- Natan Gomes Valente
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1 ED 30 Pesquisa Operacional ula 03 Parte Revisão Preço-Sombra e nálise de Sensibilidade Profa. driana ackx Noronha Viana (Participação Prof. Cesar lexandre de Souza) backx@usp.br FE/USP
2 ibliografia para Estudo Programação Linear Solução pelo método gráfico item 3. Livro Hillier e Lieberman nálise de Pós-Ótimo Preços-Sombra e nálise de Sensibilidade item 4.7 Livro Hillier e Lieberman
3 Revisão de Geometria nalítica Para esse processo, considere a utilização do geogebra Considere a seguinte inequação: X + X 4 que em geral são as restrições apresentadas nos problemas de PO Para construir no gráfico, consideramos a igualdade: X + X = 4 Ou ainda, podemos fazer como uma função, colocando X no eixo x e X no eixo Y; temos: X = 4 X, ou ainda f(x) = 4 x
4 f(x) Plotando o gráfico com GeoGebra x
5 Equação da Reta Observe que uma função linear tem duas partes: f(x) = 4 x onde 4 é a ordenada do ponto onde cruza o eixo y ou f(x) e o - (valor que está multiplicando a variável x) é o coeficiente angular da reta, ou ainda, o valor que fornece base para cálculo da inclinação da reta.
6 Equação da Reta Observe que uma função linear tem duas partes: f(x) = 4 x O que acontece quando variamos esses parâmetros?? onde 4 é a ordenada do ponto onde cruza o eixo y ou f(x) e o - (valor que está multiplicando a variável x) é o coeficiente angular da reta, ou ainda, o valor que fornece base para cálculo da inclinação da reta.
7 Equação da Reta Modificações no valor da ordenada (igual a 4) Cria retas paralelas g(x) = 6 x h(x) = x Valor da ordenada aumenta, a reta sobe Quando diminui, a reta desce
8 Equação da Reta Modificações no coeficiente angular da reta (igual a -) Muda a inclinação da reta g(x) = 4 0,*x h(x) = 4 *x Valor coef.ang aumenta, a reta inclina para esquerda Quando diminui, a reta inclina para direita Rotaciona no ponto 4
9 nálise de Pós-Ótimo Preço-Sombra nalisa até que ponto é interessante aumentar a restrição de um recurso (escasso) nálises são feitas na ordenada (retas paralelas às das restrições)
10 Preços-Sombra Os valores b i (quantidades máximas de recursos) podem ter sido definidos a partir de valores iniciais, mas com possível flexibilidade Parte dos valores b i então poderia ser alterada (aumentando o consumo de recursos) se houver justificativa econômica para isso O preço-sombra para o recurso b i mede o valor marginal desse recurso, isso é, a taxa em que Z poderia ser aumentada elevando-se ligeiramente o valor de b i y i Z b i Z b i
11 Relembrando. ula Exemplo Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 00) Tempo de Produção (horas) Produto Tempo de Produção Disponível Fábrica por Semana Lucro Por Lote (US$.000) 3 X número de lotes do produto produzido semanalmente (porta de vidro com esquadria de alumínio) X número de lotes do produto produzido semanalmente (janela com esquadria de madeira Modelo Matemático Função Objetivo Max Z (lucro)= 3X + X Sujeito à (restrições): X + 0X <= 4 0X + X <= 3X + X < =8 X, X >= 0
12 Preço Sombra: X O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e: y i Z b i X 4 (Fábrica ) Z 36 C (;6) X (Fábrica ) D 3X X 8 (Fábrica 3) E X
13 Preço Sombra: X O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e: y i Z b i Z? Z 36 C (/3;6,) C (?;?) C X 3 X (b '=3) (b =) Resolvendo para C : 0X + X = 3 3X + X =8 D X = 3 X = 3/ 3X + (6,) =8 X = (8-3)/3 = /3 Z = 3X + X = 3.(/3)+.(3/)=37, y Z 37, 36 b 3, E X
14 Preço Sombra: X O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e: y i Z b i Resolvendo para C : 0X + X = 3X + X =9 Z Z? 36 C C (?;?) X = X = 6 3X + (6) =9 X = (9-)/3 = 7/3 Z = 3X + X = 3.(7/3)+.(6)=37 D y Z b3 D 3X X 3X X 9 (b 3=9) 8 (b 3 =8) E X
15 Preço-Sombra: Resumo Descrição Solução ótima (, 6) Z = 36 umentando uma unidade de recurso na fábrica Nova solução ótima: (/3, 6,) Z = 37, umentando uma unidade de recurso na fábrica 3 Nova solução ótima: (7/3, 6) Z = 37 Restrições Fábrica Fábrica 3 Fábrica Fábrica 3 y Z Fábrica Fábrica 3 X X X 3 X 3 X X 3 37, 36 3 b y Z X X X, b crescentar uma hora de tempo de produção por semana na Fábrica para esses dois produtos novos incrementaria o lucro total em U$00 por semana.
16 nálise de Sensibilidade da P.O. Trata-se de verificar se variações nos valores dos parâmetros c i podem modificar a solução ótima Para essa análise utilizando o gráfico, considere que duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X, c o coeficiente angular é: c Z Z c X c X No nosso exemplo 3X X X X Z c X c c Z 3 X
17 Plotando no gráfico a função
18 Diminuindo o coeficiente angular Reta gira no sentido horário Rotaciona em Oy
19 Diminuindo o coeficiente angular Para deslocar para o ponto ótimo (,6)
20 Diminuindo o coeficiente angular
21 umentando o coeficiente angular Reta gira no sentido anti-horário Rotaciona em Oy
22 Retornando a reta para o ponto ótimo (,6) Para deslocar para o ponto ótimo (,6)
23 umentando o coeficiente angular
24 Relembrando. ula Exemplo Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 00) Tempo de Produção (horas) Produto Tempo de Produção Disponível Fábrica por Semana Lucro Por Lote (US$.000) 3 Vamor aplicar a nálise de sensibilidade Modelo Matemático Função Objetivo Max Z (lucro)= 3X + X Sujeito à (restrições): X + 0X <= 4 0X + X <= 3X + X < =8 X, X >= 0
25 nálise de Sensibilidade da PO: X Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parâmetros c i um de cada vez Z 36 C (;6) X (Fábrica ) D 3X X 8 (Fábrica 3) E X
26 nálise de Sensibilidade da PO: X Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parâmetros c i um de cada vez Z 36 Observar que os limites de rotação são as retas de recurso da Fábrica (rotação antihorário) e Fábrica 3 (rotação horário) X (Fábrica ) C (;6) D 3X X 8 (Fábrica 3) E X
27 nálise de Sensibilidade da PO: X Z 36 Z 3 X Ou seja, o coef. ngular é: -3/ ou c c X C (;6) Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros c i um de cada vez D a) Girando no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3 No limite, teremos as duas retas (Z e fábrica 3) praticamente paralelas e os coef. angulares muito próximos 3X X X 8 c c 3 X 8 3 Variando um c i de cada vez, ou seja, c = 3 e c = na desigualdade acima teremos os valores de c i (Fábrica 3) Ou seja, o coef. ngular é -3/ E X
28 Calculando.
29 nálise de Sensibilidade da PO: Z 36 Z 3 X X Ou seja, o coef. ngular é: -3/ ou c c X C (;6) Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros c i um de cada vez D a) Girando no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3 No limite, teremos as duas retas (Z e fábrica 3) praticamente paralelas e os coef. angulares muito próximos Segue-se que: 3X X X 8 c c 3 X 8 3 (Fábrica 3) Ou seja, o coef. ngular é -3/ c e c E X
30 nálise de Sensibilidade da PO: X Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros c i um de cada vez b) Girando agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica X Z 3 X Ou seja, o coef. ngular é: -3/ ou c c C (;6) D X (Fábrica ) E X
31 nálise de Sensibilidade da PO: X Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros c i um de cada vez b) Girando agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica X Z 3 X Ou seja, o coef. ngular é: -3/ ou c c C (;6) D X (Fábrica ) X 0X Ou seja, o coef. ngular é 0 No limite, teremos as duas retas (Z e fáb. ) paralelas e os coeficientes angulares muito próximos Segue-se que: c c c 0 c 0 e 0 E X
32 Calculando.
33 nálise de Sensibilidade da PO: X Z 3 X Ou seja, o coef. ngular é: -3/ ou c c X C (;6) D Sintetizando os limites da análise de sensibilidade: solução permanece inalterada enquanto 0 c e c 3X X X (Fábrica ) 8 (Fábrica 3) E X
34 nálise de Sensibilidade: Resumo Descrição Restrições Coeficientes Solução ótima (, 6) Z = 36 Rotacionando a reta no sentido horário Rotacionando a reta no sentido antihorário Fábrica Fábrica 3 X X X 3 8 reta limite será a restrição da Fábrica 3 reta limite será a restrição da Fábrica 0 c c Z = 3X + X Veja a planilha em Excel para visualizar as modificações c c solução ótima continuará no ponto (,6), desde que sejam considerados os limites acima. O valor de Z poderá modificar.
35 ula Enunciado Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de metal. tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima. Itens / tividades Liga Tipo LigaTipo Matéria-prima disponível Cobre 6 Zinco Chumbo 3 Proço unitário de venda R$30,00 R$0,00 ) Formule o modelo matemático de PL para esse problema ) Resolva o problema pelo método gráfico.
36 nálise pós-otimo ula En Função Objetivo Max R = 30x + 0x Restrições x + x < 6 Cobre x + x < Zinco x + 3x < Chumbo x, x > 0
37 x 0 Z = 30x + 0x Z = 30 Solução Gráfica ula En Cobre: x + x < 6 O ponto D (7; ) é o ponto de máximo. s coordenadas (x=7; x=) podem ser verificadas graficamente Ou, podem ser obtidas a partir da solução do par de equações das retas limites das restrições de Cobre e Zinco: x + x = (Zn) x + x = 6 (Cu) C F Chumbo: x + 3x < D E 0 G x Zinco: x + x <
38 x Preço Sombra ula En Cobre: x + x < 6 x x x x (Zn) 6 (Cu) 0 C F D E 0 G x Zinco: x + x <
39 x Preço Sombra ula En Cobre: x + x < 6 x x x x (Zn) 6 (Cu) Restrição Zinco 0 C F D E 0 G x Zinco: x + x <
40 x Preço Sombra ula En Cobre: x + x < 6 x x x x (Zn) 6 (Cu) Restrição Zinco 0 C F D E 0 G x Zinco: x + x <
41 x Preço Sombra ula En Cobre: x + x < 6 x x x x (Zn) 6 (Cu) Restrição Cobre 0 C F D E 0 G x Zinco: x + x <
42 x Preço Sombra ula En Cobre: x + x < 6 x x x x (Zn) 7 (Cu) Restrição Cobre 0 C F D E 0 G x Zinco: x + x <
43 x Cobre: x + x < 6 Preço Sombra Limites de Validade da nálise 0 C F D E 0 G x Zinco: x + x <
44 x Cobre: x + x < 6 Preço Sombra Limites de Validade da nálise 0 C F D E 0 G x Zinco: x + x <
45 x Cobre: x + x < 6 Preço Sombra Limites de Validade da nálise 0 C F D D E 0 G x Zinco: x + x <
46 x Cobre: x + x < 6 Preço Sombra Limites de Validade da nálise 0 C F D D E 0 G x Zinco: x + x <
47 x Cobre: x + x < 6 Preço Sombra Limites de Validade da nálise 0 C F D D E 0 G x Zinco: x + x <
48 x 0 Cobre: x + x < 6 Preço Sombra Limites de Validade da nálise No ponto G: x x x x 0 ; x 0 C F Substituindo os valores na restrição do Cobre: x b x 0 (Cobre) D D E 0 G x Zinco: x + x <
49 x 0 Cobre: x + x < 6 D C F Preço Sombra Limites de Validade da nálise No ponto C: x x x x 3x x 3; x 4 Substituindo os valores na restrição do Cobre: b x (Cobre) Chumbo: x D + 3x < E 0 G x Zinco: x + x <
50 x Cobre: x + x < 6 Preço Sombra Limites de Validade da nálise 0 Sintetizando, o intervalo para o parâmetro b para o qual o preço sombra do Cobre identificado pode ser considerado é: D 0 b C F Chumbo: x D + 3x < E 0 G x Zinco: x + x <
51 nálise de Sensibilidade da PO: X Z 36 Z = 3X + X C =3 ; C = C (;6) X (Fábrica ) X = Z/ -3/ X D (4,3) 3X X 8 (Fábrica 3) E X
52 nálise de Sensibilidade da PO: X Imaginando uma situação em que C tivesse outro valor: X (Fábrica ) Z = 9X + X C =9 ; C = X = Z/ -9/ X C (;6) D (4,3) pergunta da nálise de sensibilidade é então: quais os limites para o valor de C (e C ) que ainda manteriam a mesma solução (X =; X =6) Z 3X X 8 (Fábrica 3) E X
53 nálise de Sensibilidade da PO: X Z 3 X Ou seja, o coef. ngular é: -3/ ou c c X C (;6) Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros c i um de cada vez D a) Girando no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3 No limite, teremos as duas retas (Z e fábrica 3) praticamente paralelas e os coef. angulares muito próximos Segue-se que: 3X X c c 8 3 X (Fábrica ) (Fábrica 3) 8 3 X X Ou seja, o coef. ngular é -3/ c e c E X
54 nálise de Sensibilidade da PO: X Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros c i um de cada vez b) Girando agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica X Z 3 X Ou seja, o coef. ngular é: -3/ ou c c C (;6) D X (Fábrica ) 3 X X 8 (Fábrica 3) E X
55 nálise de Sensibilidade da PO: X Verificam-se os limites de rotação para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros c i um de cada vez b) Girando agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica X Z 3 X Ou seja, o coef. ngular é: -3/ ou c c C (;6) D X (Fábrica ) X 0X Ou seja, o coef. ngular é 0 No limite, teremos as duas retas (Z e fáb. ) paralelas e os coeficientes angulares muito próximos c c 3 X Segue-se que: 0 X 8 (Fábrica 3) c 0 e c 0 E X
56 nálise de Sensibilidade da PO: X Sintetizando os limites da análise de sensibilidade: solução permanece inalterada enquanto 0 c e c C (;6) X (Fábrica ) D 3X X 8 (Fábrica 3) E X
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