Apostila organizada por: Vanderlane Andrade Florindo Silvia Cristina Freitas Batista Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo

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1 Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Apostila organizada por: Vanderlane Andrade Florindo Silvia Cristina Freitas Batista Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo Com esta apostila espera-se levar o aluno a: o Identificar a posição relativa de duas retas no plano cartesiano com base na observação de seus coeficientes; o Discutir situações envolvendo duas retas no plano cartesiano. Campos dos Goytacazes/RJ Maio 2015

2 Sumário P á g i n a 2 Introdução Retas Paralelas Retas Coincidentes Retas Concorrentes... 9 Exercícios Gabarito Referências... 13

3 Introdução P á g i n a 3 A geometria analítica estuda objetos geométricos (retas, planos, circunferências, parábolas, entre outros), por meio de representações algébricas (equações e inequações). Dada uma reta r, por exemplo, podemos determinar pelo menos uma equação do tipo Ax + By + C = 0 em que A, B e C são números reais, A 0 ou B 0, denominada equação geral da reta, a qual é satisfeita por todos os pontos P (x, y) pertencentes a r (IEZZI, 2000). Se B 0, essa mesma reta pode ser representada da seguinte forma (IEZZI, 2000, p. 52): Ax + By + C = 0 By = Ax C y = ( A ) x + ( C ) y = mx + q B B m q A equação y = mx + q é denominada equação reduzida da reta. Exemplificando o que foi dito acima, a equação geral da reta t é 3x 2y 1 = 0, enquanto sua equação reduzida é y = 3 2 x 1 2. Conforme visto na apostila Estudos dos Parâmetros da Função Afim e dos Coeficientes da Reta, m é denominado coeficiente angular e q coeficiente linear. Dadas duas retas r e s, estas podem ocupar apenas três posições relativas no plano cartesiano. Tais posições são definidas com base no número de pontos comuns às retas (LIMA, 1992, p. 56). r e s paralelas nenhum ponto comum r e s coincidentes infinitos pontos comuns r e s concorrentes um único ponto comum Analisaremos, a seguir, cada um desses casos.

4 Existe outra linha segundo a qual as posições relativas de duas retas no plano são: concorrentes, paralelas distintas e paralelas coincidentes. De acordo com essa visão, as retas coincidentes são um caso particular de retas paralelas. Nesta apostila, não adotaremos essa visão, e sim, a apresentada anteriormente, conforme Lima (1992). P á g i n a 4 1. Retas Paralelas Observemos as representações gráficas das retas r: y = 2x 1 e t: y = 2x + 3, na figura 1: Figura 1 Retas r e t Note que: não há pontos comuns entre as retas; os coeficientes angulares das retas r e t são iguais a 2; os coeficientes lineares das retas r e t são distintos. Pelas observações feitas, temos que essas retas são paralelas. Se duas retas do plano cartesiano, não verticais, possuírem coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares distintos, serão retas paralelas.

5 P á g i n a 5 Na definição anterior, consideramos apenas retas não verticais, ou seja, que podem ser escritas na forma y = mx + q. No entanto, é importante observar que retas do tipo x = k são sempre paralelas, embora não representem funções do tipo y = f(x). Como, por exemplo, x = 2 e x = 3, representadas na figura abaixo. Destacamos que nessa apostila consideraremos apenas as retas não verticais. Exemplo resolvido 1: Encontre a equação da reta r que passa pelo ponto (5, 3) e é paralela à reta y = 2x 5. Solução: Se duas retas são paralelas, elas possuem coeficientes angulares iguais, então a reta r terá coeficiente angular igual a 2. Substituindo o valor desse coeficiente e o ponto dado na equação y = mx + q, temos: 3 = q q = 3 10 = 7 Sendo assim, a equação da reta r é: y = 2x 7. Observe que os coeficientes angulares das duas retas são iguais e os coeficientes lineares são distintos. Sendo assim, as retas são paralelas.

6 P á g i n a 6 Exemplo resolvido 2: Determine o valor de k para que as retas r: kx + 2y + 3 = 0 e s: 3x y 1 = 0 sejam paralelas. Solução: Você deve ter notado que as equações não estão na forma reduzida. Reescrevendo as equações, temos: Para a reta r: kx + 2y + 3 = 0 2y = kx 3 y = kx 3 y = k x Para a reta s: 3x y 1 = 0 y = 3x + 1 y = 3x 1 Se quisermos que as retas sejam paralelas, os seus coeficientes angulares deverão ser iguais. A reta r tem por coeficiente angular k e a reta s, 3. Então: Logo, as retas r e s serão paralelas se k = 6. 2 k 2 = 3 k = 6 k = 6 Observe que substituindo k = 6 na reta r obtemos y = 3x 3. Assim, as retas r e s terão coeficientes 2 angulares iguais e coeficientes lineares distintos e, portanto, serão paralelas. 1. Retas Coincidentes Vamos construir, num mesmo plano cartesiano, as retas r: 2x y 3 = 0 e s: 2x + y + 3 = 0. Para traçarmos cada uma destas retas, precisamos determinar dois pontos que as satisfaçam.

7 Para a reta r: 2x y 3 = 0, temos: Escolhendo x = y 3 = = y y = 1 Marcaremos o ponto (2, 1). P á g i n a 7 Escolhendo x = y 3 = = y y = 1 Marcaremos o ponto (1, -1). Para a reta s: 2x + y + 3 = 0, temos: Escolhendo x = y + 3 = 0 y = 0 3 y = 3. Marcaremos o ponto (0,-3). Escolhendo x = 1 2. ( 1) + y + 3 = 0 y = 2 3 y = 5 Marcaremos o ponto (-1, -5). Marcando os pontos e traçando as retas, temos (Figura 2): Figura 2 Retas r e s Note que: todos os pontos são comuns às duas retas. E, se arrumarmos as equações para a forma reduzida, ambas ficarão na forma y = 2x 3, assim: os coeficientes angulares das retas r e s são iguais a 2; os coeficientes lineares das retas r e s são iguais a 3. Considerando as observações feitas, temos que as retas traçadas são coincidentes. Considerando duas retas, não verticais, no plano cartesiano, se estas possuírem coeficientes angulares iguais e, também, coeficientes lineares iguais, serão retas coincidentes.

8 P á g i n a 8 Poderíamos, então, ter resolvido essa questão de forma mais simples. Bastaria arrumar as equações para a forma reduzida e verificar que ambas têm coeficientes angulares e lineares iguais e, portanto, seria necessário, apenas, marcar dois pontos para traçar as retas. Da mesma forma, temos as retas y = 2x + 1 e 2y = 2 4x, representadas na figura 3: Figura 3 Retas y = 2x + 1 e 2y = 2 4x Observe que a equação 2y = 2 4x não está na forma reduzida. Arrumando, temos: y = 2 4x 2 y = 1 2x y = 2x + 1 Portanto, as duas retas têm coeficientes angulares e lineares iguais, ou seja, são coincidentes. Exemplo resolvido 1: Dada as equações das retas r: y = 2x 9 e s: y = (k + 3)x + (5p 2), determine o valor de k e p, k ε R, p ε R, para que r e s sejam coincidentes. Solução: Para que duas retas sejam coincidentes, é necessário que estas possuam coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares iguais. Assim: k + 3 = 2 e 5p 2 = 9 k = 2 3 5p = k = 1 Logo, as retas serão coincidentes se k = 1 e p = 7 5. p = 7 5

9 P á g i n a 9 Observe que substituindo k = 1 e p = 7 na reta s obtemos y = 2x 9. Assim, as retas r e s terão coeficientes angulares e lineares iguais e, portanto, serão coincidentes Retas Concorrentes Observe as representações gráficas abaixo (Figuras 4 e 5): Figura 4 Retas y = 2x + 2 e y = 5x 1 Figura 5 Retas y = x + 2 e y = 3x + 2 Note que, nas duas figuras: existe apenas um ponto comum entre as retas; os coeficientes angulares das retas são diferentes. Pelas observações feitas, temos que as retas acima são concorrentes. Dadas duas retas, não verticais, no plano cartesiano, se estas possuírem coeficientes angulares diferentes, serão retas concorrentes. Nesse caso, o valor do coeficiente linear não influencia na posição relativa das retas.

10 P á g i n a 10 Exemplo resolvido 1: Determine os valores reais de k para que as retas r: 2x y + 1 = 0 e s: kx 4y 1 = 0 sejam concorrentes. Solução: As equações das retas não estão em sua forma reduzida. Arrumando, temos: Para a reta r: 2x y + 1 = 0 y = 2x + 1 Para a reta s: kx 4y 1 = 0 4y = kx 1 y = kx 1 4 = k 4 x 1 4 Para que as retas sejam concorrentes, os coeficientes angulares devem ser diferentes. Na reta r o coeficiente angular é igual a 2, já na reta s é k 4, então: 2 k 4 k 8 Logo, k pode assumir qualquer valor real que seja diferente de Determine a posição relativa das retas abaixo: a) y = 8x + 1 e y = 1 8x b) 2y = 4x 1 e y = 2x 1 2 c) y = 5x e y = 1 x 2. Dada a reta u: y = x, determine a equação da reta v, que contém o ponto (4, 1) e é paralela a 2 u.

11 P á g i n a (Dante 2009, p. 62) Seja f a função afim definida por f(x) = 3x 2, cujo gráfico é a reta r. Determine a função afim g cuja reta correspondente passa por ( 1, 2) e é paralela à reta r. 4. Determine a equação da reta u que passa pelo ponto de interseção das retas r: y = 2x + 3 e t: y = 3x 1 e é paralela à reta s: y = x Dada a reta j: y = 3x + 1, determine os valores reais de k e m para que a reta s: 3y = ( k + 5)x + (m 2) seja: a) concorrente à reta j; b) coincidente à reta j; c) paralela à reta j. 6. Dois barcos navegam durante um nevoeiro seguindo as direções das retas r: 2x + 3y 5 = 0 e s: 6y 9x 2 = 0, num sistema de coordenadas cartesianas. Considerando apenas as retas dadas, pode-se afirmar que haverá um possível ponto de colisão? Justifique sua resposta. 7. Analise os gráficos a seguir e determine a equação das retas r e s para cada caso. a) A notação r//s significa que a reta r é paralela à reta s.

12 b) c) P á g i n a a) paralelas. b) coincidentes. c) concorrentes. 2. v: y = 1 x g(x) = 3x u: y = x a) k 14 b) k = 14 e m = 5 c) k = 14 e m 5 6. Sim. Pois as retas r e s possuem coeficientes angulares distintos logo, são concorrentes. 7. a) r: y = x 2 e s: x + 3 b) r: y = x + 2 e s: 2x + 2 c) r: y = 3x + 2 e s: y = 3x + 2

13 Referências P á g i n a 13 DANTE, L. R. Matemática. 2. ed., v.1. São Paulo: Ática, LIMA, E. L. Coordenadas no Plano. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar: geometria analítica. 4. ed., v.7. São Paulo: Atual, 2000.