Função de Proporcionalidade Direta

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1 Função de Proporcionalidade Direta

2 Recorda Dadas duas grandezas x e y, diz-se que y é diretamente proporcional a x: y se x 0 e y 0 e o quociente entre dois quaisquer valores correspondentes for constante. x Esse número chama-se constante de proporcionalidade. se x = 0 também y = 0. Exemplo: x y =3 1 6 =3 2 9 = =3 4 x e y são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é 3.

3 Recorda Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, os pontos do gráfico encontram-se sobre uma reta que passa pela origem do referencial. É uma função? Sim, porque a cada valor de x corresponde um único valor de y.

4 Função de proporcionalidade direta x y y =3 x y =k x em que k é a constante de proporcionalidade y = k x y = k x expressão algébrica de uma função de proporcionalidade direta

5 Função de proporcionalidade direta Toda a função f que se pode representar por ou, com o mesmo significado y = k x, com k 0 f(x) = k x, com k 0 traduz uma situação de proporcionalidade direta em que: k é a constante de proporcionalidade; k é a imagem de 1 por meio de f: f (1) = k. O seu gráfico é um conjunto de pontos situados sobre uma reta que passa pela origem do referencial.

6 Função de proporcionalidade direta Exemplo: A função definida por y = 2x é uma função de proporcionalidade direta. A constante de proporcionalidade é 2.

7 Função afim

8 Função afim Chama-se função afim a toda a função definida por uma expressão algébrica do tipo f(x) = a x + b. A a chama-se coeficiente e a b termo independente. O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical que interseta o eixo dos y s no ponto (0,b). Exemplos: y = 2x + 1 y = - x + 5 y = - 0,5 x

9 Função afim Casos particulares da função afim: Função linear (b = 0) Expressão analítica f(x) = a x, com a 0. O gráfico é uma reta não vertical que passa pela origem. a = f(1) Função constante (a = 0) Expressão analítica f(x) = b. O gráfico é uma reta horizontal.

10 Função afim Função constante Expressão analítica y = b. Exemplo: y = 2 x y

11 Função afim Função constante Expressão analítica y = b. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abcissas, ou seja, uma reta horizontal. y 4 y 1 y 2

12 O gráfico de uma função f(x) = ax+b é constituido por pontos que estão sobre uma reta, de equação y = ax + b, que interseta o eixo das ordenadas no ponto (0,b). A a chama-se declive da reta e a b a ordenada na origem. Conforme o valor de a, a função pode ser crescente (a>0), decrescente (a<0) ou constante (a=0) a = 2 a = - 2 a = 0

13 Declive e inclinação da reta Conclusão: Quanto maior for o valor absoluto de a, mais inclinada está a reta (mais perto está da posição vertical).

14 Considera a reta de equação y = 2x + 3. O declive desta reta é 2. Isto significa que sempre que x aumenta uma unidade, o y aumenta duas unidades. +1

15 Considera a reta de equação y = - 3x + 6. O declive desta reta é - 3. isto significa que sempre que x aumenta uma unidade, o y diminui três unidades. - 3 Conclusão: Sempre que x aumenta uma unidade, o declive indica quantas unidades o y aumenta (quando a > 0) ou diminui (quando a < 0).

16 Como determinar o declive de uma reta não vertical? Se a reta passa pela origem do referencial e pelo ponto, então o declive é dado por:, com. Se a reta não passa pela origem mas contém os pontos, então o declive é dado por: e, com

17 Exemplo s 3 1 r Equação da reta r: Como passa na origem, é do tipo. Como contém o ponto (2,1) temos que. Logo, -1 2 r: Equação da reta s: Como não passa na origem, é do tipo. Como contém os pontos (2,1) 3 (-1,3) temos que. Assim, s:. Para determinar o valor de basta substituir e pelas coordenadas de um ponto da reta: Logo, s:

18 Relação entre declive e paralelismo das retas Considerem-se as três funções seguintes: y = 2x ; y = 2x + 3 ; y = 2x 2 Para representar as retas é necessário conhecer dois pontos. Para tal é útil trabalhar com tabelas para ajudar a determinar os pontos necessários.

19 Os gráficos destas três funções são retas paralelas (têm a mesma inclinação relativamente ao eixo horizontal) o declive das três retas é igual a 2 porque a = 2. O que varia nestes gráficos é o ponto de interseção de cada reta com o eixo vertical. Duas retas são paralelas se e só se tiverem o mesmo declive