Apostila organizada por: Vanderlane Andrade Florindo Silvia Cristina Freitas Batista Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo

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1 Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Com esta apostila espera-se levar o aluno a: Apostila organizada por: Vanderlane Andrade Florindo Silvia Cristina Freitas Batista Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo o Identificar o modelo da função afim em situações cotidianas; o Identificar os casos particulares, observando suas peculiaridades; o Esboçar gráficos; o Modelar situações-problema, dentro e fora da Matemática. Campos dos Goytacazes/RJ Abril 2015

2 Sumário 1. Função Afim: definição Introdução Definindo Função Afim Casos particulares da Função Afim Função identidade Função linear A função linear e a proporcionalidade direta Função constante Função polinomial do primeiro grau A Representação Gráfica da Função Afim Exercícios Gabarito Referência... 23

3 1. Função Afim: definição P á g i n a Introdução O ato de medir está totalmente integrado ao nosso dia a dia. No entanto, essa integração depende diretamente do uso de unidade de medidas padronizadas e da possibilidade de conversão entre unidades equivalentes. Existe, por exemplo, uma fórmula que relaciona as escalas termométricas Fahrenheit (muito utilizada nos Estados Unidos) e Celsius (usada na maioria dos países, incluindo o Brasil). Tal fórmula depende do ponto de fusão do gelo (quando a água vira gelo), que na escala Celsius ocorre a 0 C e na escala Fahrenheit ocorre a 32 F, e do ponto de ebulição da água (quando a água vira vapor), que na escala Celsius ocorre a 100 C e na escala Fahrenheit ocorre a 212 F. A relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit é determinada pela equação: F = 9 C na qual F representa a medida da temperatura em graus Fahrenheit e C em graus Celsius. Então, se um termômetro na escala Celsius marcar 30 e quisermos saber qual a medida equivalente na escala Fahrenheit teremos que substituir, na fórmula, a variável C por 30, logo: F = 9 5 C + 32 F = = 86 Então, 30 C equivalem a 86 F. Vamos transformar outros valores de temperatura em graus Celsius para graus Fahrenheit (Tabela 1): Tabela 1 Conversão de temperaturas - graus Celsius para graus Fahrenheit Temperatura em graus Celsius Utilizando a fórmula: F = 9 5 C + 32 Temperatura em graus Fahrenheit -20 F = F = 9 5. ( 20) ( 5) F = Perceba que, em F = 9 5 C + 32, a temperatura em graus Fahrenheit depende do valor que atribuímos à temperatura em graus Celsius. Isso significa que a temperatura em graus Fahrenheit está em função da temperatura em graus Celsius. Esse é um exemplo aplicável de função afim.

4 1.2. Definindo Função Afim P á g i n a 4 Uma função f: R R é chamada função afim quando existem dois números reais a e b tais que f (x) = ax + b, para todo x ε R. Na representação f: R R temos que: Nome da função Representa o Domínio f: R R Representa o Contradomínio Lembrando que R representa o conjunto dos números reais. Exemplos: f(x) = 2x + 1 (a = 2; b = 1) g(x) = x (a = 1; b = 2 3 ) h(x) = 4 x (a = 4 ; b = 0) 7 7 i(x) = 3 (a = 0; b = 3) j(x) = x 2 (a = 1 2 ; b = ) Existe definição de função afim que exige que a seja diferente de zero. Nesta apostila, estamos adotando a definição acima, que é baseada em Lima et al. (2012). Os números reais a e b são os parâmetros da função afim e podem assumir quaisquer valores reais Casos particulares da Função Afim (f(x) = ax + b) Função identidade função definida por f(x) = x, em que a = 1 e b = 0 (Figura 1). No caso da função identidade, o valor de y sempre será igual ao de x. Observe, na figura 1, que a reta que representa essa função é a bissetriz do 1. e 3. quadrantes, ou seja, corta estes quadrantes exatamente ao meio. Figura 1 Função identidade Exemplo resolvido: Determine o valor de f (-3) na função identidade. Solução: A função identidade é dada por f(x) = x, logo, se x = -3 temos f (-3) = -3.

5 P á g i n a Função linear função definida por f(x) = ax, na qual b = 0. Exemplos: Figura 2 Exemplos de função linear f(x) = 2x (a = 2; b = 0) g(x) = 0,1x (a = 0,1; b = 0) A figura 2 mostra a representação gráfica desses exemplos. Para refletir: A função identidade é um caso particular de função linear, no qual o valor de a é sempre igual a 1. A Função Linear e a Proporcionalidade Direta Um corredor mantém-se em velocidade constante de 20 km/h durante uma maratona. Nesse ritmo, depois de meia hora de prova ele percorrerá 10 km; após 1 hora, 20 km; após 1 hora e meia, 30 km; após 2 horas, 40 km e, assim, sucessivamente. A distância percorrida (d) em função do tempo (t) é dada, neste caso, por d = 20t, cujos pontos pertencem a uma função linear. Observe que quando o tempo dobra a distância percorrida também dobra e quando o tempo triplica a distância percorrida também triplica. Portanto, podemos afirmar que essas grandezas são diretamente proporcionais. Genericamente, duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica o aumento da outra, na mesma razão. Ou seja, ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada; ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada; ao reduzirmos uma à metade, a outra também será reduzida à metade. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão. O modelo matemático que representa a proporcionalidade direta, ou simplesmente proporcionalidade, entre duas grandezas é dado por uma função linear f(x) = ax, em que a > 0, uma vez que nesse caso os valores de y são proporcionais aos valores correspondentes de x, de tal forma que quando o valor de x aumenta/diminui, o valor de y aumenta/diminui na mesma razão.

6 P á g i n a 6 Exemplo resolvido: Um botânico mediu o tamanho de uma planta, em centímetros, todos os dias desde sua germinação, até encontrar um padrão de crescimento. Ele observou que a planta crescia linearmente. Sabendo que no 10. dia, a planta estava com 5 centímetros e no 20. dia com 10 centímetros, responda: a) O comprimento da planta é diretamente proporcional ao número de dias decorridos? b) Qual a fórmula matemática que expressa o comprimento da planta em função dos dias decorridos? c) Quanto o comprimento da planta no 1. dia? d) Mantendo esse padrão de crescimento, em que dia a planta alcançará 3 metros? Solução: a) O enunciado afirma que a planta crescia linearmente, isso significa que seu comprimento era acrescido de um mesmo valor a cada dia. Diz também que no 10. dia a planta media 5 centímetros, no 20. dia media 10 centímetros. Assim, podemos deduzir o comprimento da planta no decorrer dos dias (Tabela 2): X 4 Tabela 2 Comprimento da planta no decorrer dos dias Dias decorridos d Comprimento da planta (cm) c 10 5 X X 2 X X X 4 Perceba que quando o número de dias dobra, o comprimento da planta também dobra, quando o número de dias triplica, o comprimento triplica, e assim sucessivamente; o que nos indica que há uma proporcionalidade direta entre as grandezas. b) No enunciado desse item pede-se para apresentar a fórmula matemática que expressa o comprimento da planta em função dos dias decorridos. Logo, a variável dependente será o comprimento da planta e a independente será o número de dias decorridos. Como visto no item anterior, esse é um caso de proporcionalidade direta. A fórmula matemática que expressa essa situação pode ser deduzida analisando os dados da tabela 2. Podemos notar que 5

7 P á g i n a 7 é a metade de 10, 10 é a metade de 20, 15 é a metade de 30 e, assim, sucessivamente, ou seja, o d comprimento (c) é a metade dos dias decorridos (d). Logo, a lei da função é: c, para d 0. 2 Já que as grandezas são diretamente proporcionais, você também poderia ter chegado a tal fórmula usando regra de três simples, veja: Dias decorridos Comprimento da planta 10 5 d c 10. c = 5. d c = 5 10 d Simplificando a fração, temos: c = 1 2 d = d 2 Lembre-se: c) Como vimos, o comprimento é sempre a metade do número de dias decorridos. Por proporcionalidade, podemos dizer que no primeiro dia o comprimento da planta era 0,5 cm, uma vez que essa é a metade de 1. Utilizando a lei que encontramos no item anterior, podemos confirmar esse valor, atribuindo o valor 1 à variável d, assim: c = d 2 d = 1 c = 1, logo, o comprimento da planta era 0,5 cm. 2 d) Pretende-se saber o dia que a planta atingirá 3 m (300 cm). Sabendo que o comprimento da planta é a metade dos números de dias, basta multiplicarmos o comprimento por dois para obtermos o número de dias, assim o número de dias será = 600. Logo, a planta chegará à altura de 3 metros no 600. dia (lê-se: sexcentésimo dia). Utilizando a lei c = d, podemos confirmar esse valor, atribuindo o valor 300 à variável c, assim: = d 2 d = = 600

8 P á g i n a Função constante função definida por f(x) = b, em que a = 0. Exemplos: Figura 3 Exemplos de função constante f(x) = 2 (a = 0; b = 2) g(x) = 5 3 (a = 0; b = 5 3 ) A figura 3 mostra a representação gráfica desses exemplos. Esse tipo de função é interessante! Por mais que se mude o valor de x, o valor de y sempre acaba sendo igual a b, b R. O gráfico dessa função é uma reta horizontal que corta o eixo y no ponto (0, b). Exemplo resolvido: Na pizzaria Qpizza, o rodízio custa R$ 29, 90 por pessoa, não importando se ela consome 1 fatia, 3 fatias, 9 fatias... Fernando foi a essa pizzaria. a) Determine quanto Fernando pagou se consumiu 8 fatias de pizza. b) Determine quanto Fernando pagou se consumiu 13 fatias de pizza. c) Determine a lei que representa o valor a pagar (y) em função do número de fatias de pizza (x). Solução: a) Na pizzaria Qpizza, o valor a pagar independe do número de fatias consumidas. Sendo assim, Fernando pagou R$ 29,90. b) Novamente, o valor a pagar independe do número de fatias consumidas. Sendo assim, Fernando pagou R$ 29,90. c) O preço a pagar (y) é independente do número de fatias consumidas (x), dessa forma, a lei é dada por y = 29,90, para x > 0.

9 P á g i n a Função polinomial do primeiro grau função definida por f(x) = ax + b, com a 0. Exemplos: f(x) = 2x + 1 (a = 2; b = 1) f(x) = 2 x (a = 1; b = 2 ) 3 3 f(x) = 4 x (a = 4 ; b = 0) 7 7 Note que as demais funções afins, com exceção da função constante, são casos particulares da função polinomial do 1. grau. Por esse motivo, alguns autores, diferentemente do que adotamos nesta apostila, usam a expressão função polinomial do 1. grau como sinônimo de função afim, considerando a função constante um caso à parte. Você deve ter estudado em Física a equação horária dos espaços S = S 0 + v. t, em que S 0 e v são constantes, sendo v 0. Essa equação adota o modelo da função polinomial do 1. grau. No entanto, sua representação gráfica não é uma reta, e sim uma semirreta formada por pontos da parte não negativa da função polinomial do 1. grau representada pela equação. Na fórmula S = S 0 + v. t temos que: S representa o espaço final, S 0 o espaço inicial, v a velocidade e t o tempo. Exemplo resolvido: Um carro está no quilômetro 5 de uma rodovia a uma velocidade constante de 90 km/h. Determine a posição em que ele estará após 4 horas mantendo a mesma velocidade durante todo trajeto.

10 P á g i n a 10 Solução: O enunciado afirma que: um carro está no quilômetro 5 de uma rodovia S0 = 5 km a uma velocidade constante de 90 km/h v = 90 km/ h determine a posição em que ele estará S =? após 4 horas t = 4 horas Nas condições dadas, é possível utilizarmos a equação S = S 0 + v. t. Substituindo os dados na equação: S = S 0 + v. t S = S = = 365 Portanto, após 4 horas, o carro estará no quilômetro 365 da rodovia. 2. A Representação Gráfica da Função Afim O gráfico de uma função é a união dos pontos que representam, no plano cartesiano, todos os pares ordenados (x, y) pertencentes à função, de forma que x é um elemento do domínio e y = f(x) é a imagem de x. Figura 4 Ponto P (x, y) Associando-se ao par (x, y) o ponto P, como representado no plano cartesiano da figura 4, dizemos que: P é o ponto de coordenadas x e y; o eixo x é chamado eixo das abscissas; o eixo y é chamado eixo das ordenadas; o número x é chamado abscissa de P; o número y é chamado ordenada de P; a origem do sistema é o ponto (0, 0). No caso da função afim, a representação gráfica será sempre uma reta não vertical.

11 P á g i n a 11 Por definição, dois pontos distintos determinam uma única reta, então, para construir o gráfico de uma função afim, basta considerar dois pares ordenados distintos pertencentes à função e traçar a reta determinada por eles. Para construir o gráfico da função f(x) = 2x 1, por exemplo, precisamos encontrar dois pares ordenados distintos que pertençam a essa função. Devemos, então, atribuir valores a x e substituílos na lei de formação da função f para encontrar os valores de y correspondentes. Escolhendo os números -1 e 2 para atribuirmos a x e substituindo-os na lei de formação da função, temos: Para x = 1: y = 2. ( 1) 1 = 3. Logo, um ponto a se marcar é ( 1, 3). Para x = 2: y = = 3. Logo, o outro ponto é (2, 3). Marcando os pontos (2, 3) e ( 1, 3), temos (Figura 5): Figura 5 Pontos (2, 3) e ( 1, 3) Para obtermos o gráfico que representa a função f(x) = 2x 1, basta traçarmos a reta que passa pelos dois pontos marcados anteriormente, como mostra a figura 6.

12 P á g i n a 12 Figura 6 Gráfico de f Mesmo que os pontos escolhidos fossem outros, a reta traçada seria a mesma. Vamos traçar agora o gráfico da função g(x) = 1 x + 1. Escolhendo os números 2 e 2 para 2 atribuirmos a x e substituindo esses números lei de formação da função g, temos: Para x = 2: y = 1 2. ( 2) + 1 = 2 Logo, um dos pontos a se marcar é ( 2, 2). Para x = 2: y = = 0 Então, o outro ponto que devemos marcar é (2, 0). Marcando os pontos ( 2, 2), (2, 0) e traçando a reta que representa a função g(x) = 1 x + 1, 2 temos (Figura 7): Figura 7 Gráfico de g

13 P á g i n a 13 Você deve ter percebido que os pontos que marcamos possuem um comportamento que é determinado por suas coordenadas. Se um ponto tem, por exemplo, abscissa negativa e ordenada positiva esse ponto pertence ao 2. quadrante. A figura 8 resume o comportamento dos pontos em cada quadrante, considerando x e y números positivos: Figura 8 Pontos e quadrantes ATENÇÃO! Os pontos também podem se localizar sobre os eixos e na origem do plano cartesiano. Pontos sobre o eixo x possuem ordenadas iguais a zero. Esses podem estar à direita ou à esquerda da origem caso, respectivamente, possuam abscissa positiva ou negativa. Pontos sobre o eixo y possuem abscissas iguais a zero. Esses podem estar acima ou abaixo da origem caso, respectivamente, possuam ordenadas positivas ou negativas. O ponto que representa a origem é o (0, 0). Exemplo resolvido 1: Sendo h uma função afim e (0, 0), (-1, -1) dois de seus pontos: a) esboce o gráfico de h; b) determine a lei dessa função.

14 P á g i n a 14 Solução: a) Como esta é uma função afim, seu gráfico é uma reta. Então, a partir dos dois pontos dados, podemos traçar o gráfico (Figura 9): Figura 9 Gráfico de h b) A lei de formação de uma função afim é y = ax + b. Assim, é preciso determinar os valores de a e b. Substituindo o ponto (0, 0), temos: y = ax + b 0 = a. 0 + b b = 0 Substituindo o ponto (-1, -1) e b = 0 na lei, temos: y = ax + b 1 = a. ( 1) = 1a a = 1 Logo, a lei da função é: y = 1. x + 0 y = x ou h(x) = x Podemos observar que a função h é uma função identidade.

15 P á g i n a 15 Exemplo resolvido 2: Dado o gráfico da função f, f: R R, definida por f(x) = ax + b (Figura 10), determine: Figura 10 Gráfico de f a) sua lei; b) o valor de x, para que f(x) = 3 2. Solução: a) Para determinar a lei da função é necessário encontrarmos os valores de a e b. Para tanto, substituiremos os pontos (-1, 3) e (3, 5), pertencentes ao gráfico, na lei f(x) = ax + b: f(x) = ax + b f(x) = ax + b 3 = a. ( 1) + b e 5 = a. 3 + b 3 = a + b 5 = 3a + b Com essas duas equações, formamos um sistema: a + b = 3 { 3a + b = 5 Utilizando o método da substituição e isolando b na 1ª. equação, temos: a + b = 3 b = 3 + a Substituindo b = 3 + a na 2ª. equação, temos: 3a + b = 5 4a + 3 = 5 4a = 2 simplificando 3a a = 5 4a = 5 3 a = 2 4 a = 1 2

16 Substituindo o valor de a na 1ª. equação: P á g i n a 16 a + b = 3 b = = b = 3 b = 6+1 Substituindo os valores encontrados, determinamos a lei da função: f(x) = ax + b f(x) = 1 2 x b) Para determinarmos o valor de x, para que f(x) = 3, basta substituirmos f(x) por 3 na função 2 2 f(x) = 1 2 x Assim: 3 2 = 1 2 x x = x = x = 2 2 x = = ( 2). 2 = 4 Exemplo resolvido 3: Sabendo que o ponto (0, -2) pertence à função afim g, cujo gráfico é representado na figura 11, determine a lei da função. Figura 11 Gráfico de g Solução: É importante notar que o gráfico da figura 11 representa uma função constante. Sendo assim, independentemente do valor atribuído a x o valor de y sempre será o mesmo. Se o ponto (0, -2) pertence a esse gráfico, podemos dizer que o valor de y sempre será -2. Escrevendo a lei da função: y = 2 ou g(x) = 2.

17 P á g i n a Nos itens abaixo, identifique as funções afins e, destas, determine os valores dos parâmetros a e b. a) f(x) = 7π d) j(x) = x + 1 b) g(x) = 1 4 x c) i(x) = 2 3x² e) l(x) = 2 + 3x f) h(x) = 3 x 1 2. Dada a função afim l, definida por l(x) = x 2 3, determine o valor de l(4) l(16) l(5). 3. Em cada item, determine a lei de formação da função afim, considerando as informações dadas: a) b) 4 c) f(9) = 9 e f(0) = 9 d) g(44) = 7 4 e g(-31) = 7 4. Dada a função v(x) = (p + 2)x + (q + p), em que p e q são números reais, determine as condições para que: a) a função seja uma função identidade. b) a função seja uma função linear. c) a função seja uma função constante. d) a função seja polinomial do 1. grau.

18 P á g i n a Durante um festival de hot dog, a barraquinha do seu João decidiu fazer a seguinte promoção: quantos hot dogs você puder consumir por R$ 12,00. Sendo assim, se alguém consumisse 3 hot dogs pagaria R$ 12,00; se consumisse 5 hot dogs pagaria R$ 12,00 e, mesmo que comesse apenas 1 hot dog, também pagaria R$ 12,00. Sabendo que todos os pontos da equação que determina essa situação pertencem a uma função afim, determine a lei de formação dessa função, e identifique a que caso particular ela pertence. 6. Represente graficamente as funções afins abaixo: a) f(x) = 4x + 2 c) j(t) = 2 5 t b) g(p) = 3 5 p 3 d) s(v) = Dado que o ponto (0, 5) pertence a uma função afim cujo parâmetro a vale -2: a) determine a lei dessa função; b) esboce o gráfico que representa essa função. 8. Qual das figuras abaixo mostra a representação gráfica das funções f(x) = x 2 e g(x) = 1 2, simultaneamente? a) b) f g g

19 c) d) P á g i n a 19 g g 9. O preço unitário y, em real, de um produto diminui de acordo com a quantidade x de unidades compradas. Os pontos (x, y), para 1 x 50, pertencem à reta representada ao lado. Comprando se 35 unidades, qual será o preço unitário desse produto? 10. Dado o gráfico ao lado, determine: a) a lei da função representada; b) o valor de x, tal que g(x) = 10; c) g(6). g

20 P á g i n a (UFF 2009; adaptada) Embora não compreendam plenamente as bases físicas da vida, os cientistas são capazes de fazer previsões surpreendentes. Freeman J. Dyson, por exemplo, concluiu que a vida eterna é de fato possível. Afirma que, no entanto, para que tal fato se concretize o organismo inteligente precisaria reduzir a sua temperatura interna e a sua velocidade de processamento de informações. Considerando-se v a velocidade cognitiva (em pensamentos por segundo) e T a temperatura do organismo (em graus Kelvin), Dyson explicitou a relação entre as variáveis x = log 10 T e y = log 10 V por meio do gráfico abaixo: Adaptado de O destino da Vida, Scientific American Brasil, n. 19, dez Sabendo-se que o gráfico da figura está contido em uma reta que passa pelos pontos 5 A, 0 e B = ( 15, 17), determine a equação que descreve a 2 relação entre x e y. 12. (PUC RS; adaptada.) Um determinado tipo de óleo foi aquecido a partir de 0º C até atingir 60º C e obteve-se o gráfico ao lado, da temperatura T em função do tempo t. Determine o valor de T(3).

21 P á g i n a item a a = 0 e b = 7π item b a = 1 4 e b = 0 item e a = 3 e b = l(4) l(16) l(5) = = a) y = 2x 4 b) y = x 2 c) y = 2x 9 4 d) y = 7 4. a) p = -1 e q = 1 b) p = - q c) p = -2 d) p A equação que representa essa situação é y = 12, para x > 0. A função afim que contém os 6. a) pontos dessa equação é a função constante y = 12.

22 b) P á g i n a 22 c) d)

23 7. a) y = -2x + 5 P á g i n a 23 b) 8. item a reais 10. a) g(x) = x 2 3 b) x = 14 c) g(6) = y = x T(3) = 9 Referência LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio. 10. ed., v.1. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática: Rio de Janeiro, 2012.