Sumário. Matemática. Frente 1. Frente 2. Capítulo 3: Noção intuitiva de funções 4. Capítulo 3: Circunferências 18

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1 Sumário Matemática Frente Capítulo : Noção intuitiva de funções Frente Capítulo : Circunferências 8 Capítulo : Ângulos na circunferência 8

2 MTEMÁTIC frente DRRENW DREMSTIME.COM Noção intuitiva de funções

3 Capítulo Noção intuitiva de funções. Noção intuitiva de funções Relacionando grandezas por meio de expressões matemáticas Em nosso dia a dia nos deparamos constantemente com situações que representam relações entre duas grandezas, ou seja, dois conjuntos de elementos quaisquer, seja por meio de tabelas, gráficos, expressões matemáticas, diagramas de flechas etc. lgumas dessas relações tratam de situações muito importantes para a Álgebra. Elas serão chamadas de função. Os exemplos a seguir têm por objetivo dar uma ideia intuitiva acerca desse conceito, de modo que possamos compreendê-la enquanto uma relação entre duas grandezas dada por uma expressão matemática. Exemplo O salário de um vendedor é composto por um valor fixo mais uma comissão, em que a parte fixa é de R$ 5,, e a comissão é de % sobre o valor vendido. Sendo assim, conseguimos determinar qual é a expressão matemática que representa esta situação: y =.5 +, x em que y representa o salário do vendedor e x é o valor total das vendas feitas por ele. seguir temos uma representação que visa a mostrar a relação de cada salário com o respectivo valor vendido: Valor vendido (x) Salário (y) R$, R$., R$., R$ 6., R$.5, R$.56, R$.8, R$., Exemplo Em uma viagem de São Paulo (km ) até Ribeirão Preto (km ), iniciada às 8: h de um certo dia, foram anotadas as posições (km) de cada instante da viagem, de acordo com a tabela abaixo: Hora do dia Espaço (km) 8: h 9: h : h : h partir da tabela, podemos determinar a função que descreve a posição (y), em quilômetros, em função do instante de tempo (x), em horas, que, nesse caso, é dada por: y = x 8 ssim, pode-se saber, por exemplo, em que cidade se estará em determinado instante da viagem. 5

4 .. Considerações importantes importância dos termos para cada e um único Depois dos exemplos trabalhados, devemos analisar alguns aspectos que serão fundamentais para o estudo de funções. Vamos observar esses aspectos através dos exemplos que foram mostrados anteriormente. nálise do exemplo Neste exemplo temos uma infinidade de situações, ou seja, o vendedor pode fazer vendas de valores variados, o que faz com que esta situação apresente infinitos valores para a variável x e, consequentemente, infinitos valores para a variável y. Por esse motivo, a representação por meio de um diagrama de flechas, como fizemos no exemplo, não é satisfatória, pois não é possível listar todos os elementos. Sendo assim, uma boa maneira para representar a situação acima seria através de gráficos (que serão trabalhados posteriormente). nálise do exemplo Em cada instante de tempo, o carro está em uma determinada posição. Não existe a possibilidade de o carro ocupar duas posições distintas em um mesmo instante de tempo. s duas considerações mostradas nos exemplos acima podem ser resumidas na definição de função: Sejam dois conjuntos, e, não vazios, dizemos que uma relação de em é uma função se, e somente se, para cada elemento de houver correspondência com um único elemento de.. Observando a variação de uma função Como se comporta uma função? nalisando os gráficos de funções lgumas situações, cujo objetivo é a análise do comportamento ou da variação de uma grandeza com relação à outra, são representadas graficamente. Vamos analisar alguns exemplos de gráficos que representam funções entre duas grandezas: Exemplo Em Química e Física, são estudados os estados da matéria. O gráfico a seguir representa a temperatura, em ºC, em função do tempo, em minutos, de aquecimento da água a ºC até a temperatura de ºC: T( o C) o C o C Líquido + Gasoso D E F Patamar sólido + líquido Quando a temperatura chega a C, temos água no estado sólido e no estado líquido, pois, nessa temperatura, o gelo começa a derreter. Temos um determinado intervalo de tempo em que é possível encontrar a água em ambos os estados, que nesse exemplo é de 5 minutos. o final deste intervalo, a temperatura volta a subir e temos então apenas água no estado líquido. Patamar líquido + gasoso Quando a temperatura chega a C, temos água no estado líquido e no estado gasoso, pois, nessa temperatura, a água começa a evaporar. Temos um determinado intervalo de tempo em que é possível encontrar a água em ambos os estados, que nesse exemplo é de 5 minutos. o final deste intervalo, a temperatura volta a subir e temos então apenas água no estado gasoso. gora, veja a seguir o que cada ponto vermelho (ordenados de a F) representa no gráfico: Ponto Marca o início da medição de temperatura, por isso dizemos que o tempo nesse ponto é igual a minuto. temperatura nesse ponto é igual a ºC. Se considerarmos este par de valores, onde a temperatura depende do tempo que a substância está sendo aquecida, podemos representá-lo por um par de números organizados ordenadamente (; ). Ponto Neste ponto temos apenas água no estado sólido e ele representa um momento entre e 5 minutos com uma temperatura entre ºC e ºC. Ponto C Neste ponto temos água no estado líquido e ele representa um momento entre e 5 minutos com uma temperatura entre ºC e ºC. Ponto D Neste ponto temos o início do estágio em que encontramos água nos estados líquido e gasoso. Ele é representado pelo tempo de 5 minutos e pela temperatura de ºC, assim temos o ponto D (5; ). Ponto E Neste ponto temos água no estado gasoso e ele representa um momento entre e minutos com uma temperatura entre ºC e ºC. Sólido o C Sólido + Líquido C 5 5 t (min) Ponto F Neste ponto temos água no estado gasoso e ele representa o momento de minutos em que a temperatura da água é de ºC; assim, temos o ponto F (; ). 6

5 Exemplo Para desencorajar o consumo excessivo de água, o Departamento de Água de certo município aumentou o preço do consumo. O valor mensal pago em reais por uma residência, em relação à quantidade de metros cúbicos consumidos, é apresentado no gráfico a seguir: R$,7 6,7,7,7 (;,7) (;,7) C (;,7) D (5; 6,7) E (;,7) m Esse gráfico mostra vários segmentos de reta que representam a variação do valor cobrado na conta de água. O primeiro segmento é horizontal, pois todas as casas que consomem entre m³ e m³ de água por mês pagam a quantia de R$,7, sem variação. Já o segundo segmento é crescente e representa os consumos que ficam entre m³ e 5 m³, em que o valor cobrado varia de acordo com o consumo de água, de modo que, para cada volume consumido, existe um único valor cobrado, e este varia de R$,7 a R$,7. Por fim, temos um segmento com inclinação maior que o anterior, o que evidencia que o valor cobrado por metro cúbico de água é maior que o cobrado na faixa anterior e compreende os consumos que estão entre 5 m³ e m³ para essas quantidades, a pessoa paga um valor que fica entre R$ 6,7 e R$,7.. Reconhecimento de função.. Conceitos importantes Sejam dois conjuntos, não vazios, e. Uma relação entre e é dada por um conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x e y. Em geral, esta relação é dada por meio de uma sentença matemática que determina os valores de y a partir dos valores de x. Observe as relações abaixo, apresentadas por meio de representações distintas: Expressão algébrica Sejam os conjuntos ={; ; ; ; } e ={ 7; 5; ; ; -; ; ; } e as relações: 5 R : y = x + R : y = x + s relações são dadas pelos seguintes elementos: R x = y =. + = x = y =. + = x = y =. + = x = y =. + = 5 x = y =. + = 7 R x = y =. + = x = y =. + = x = y =. + = x = y =. + = x = y =. + = s relações também podem ser representadas pelos seguintes conjuntos: R = {(; ); (; ); (; ); (; 5); (; 7)} R = {(; ); (; ); (; ); (; ); (; )} Diagrama de flechas s relações podem ser representadas por diagramas de Euler-Venn, cujos pares são relacionados por flechas. ssim, para as relações R e R, temos: R R

6 Representação gráfica Podemos representar os pares ordenados (x, y) com pontos em um plano. ssim, para os pares correspondentes às relações R e R, temos: (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) R (; ) (; 5) (; 7) R (; ).. Discutindo algumas relações Quando elas são funções? pós termos discutido e representado uma relação de diversas formas, vamos discutir sobre a adequação de algumas relações ao conceito de função. Exemplo Expressão algébrica: Sejam os conjuntos ={; ; ; } e ={ ; ; ; ; ; ; } e a relação: R = {(x; y) sendo x e y / y = x + 5} s relações são dadas pelos seguintes elementos: x = x = x = x = R y =. + 5 = y =. + 5 = y =. + 5 = y =. + 5 = relação também é representada pelo seguinte conjunto: R = {(; ); (; ); (; ); (; )}. Diagrama de flechas Representando a relação R por meio de diagrama de flechas: 8

7 Enquadrando no conceito de função Como todos os elementos de possuem uma única correspondência em, ou seja, como cada elemento de possui um único elemento relacionado a ele em, então R é uma função de em. Exemplo Expressão algébrica: Sejam os conjuntos ={; ; ; } e ={ ; ; ; ; ; ; } e a relação: R = {(x; y) sendo x e y /y = x + 5} x = x = x = x = R y =. + 5 = y =. + 5 = y =. + 5 = y =. + 5 = relação é dada pelo seguinte conjunto: R = {(; ); (; ); (; )} Diagrama de flechas Representando a relação por meio de diagramas de flechas: Enquadrando no conceito de função Como o elemento não possui uma correspondência em, então essa relação não é uma função. Diagrama de flechas: Representando a relação R por meio de diagramas de flechas: 9 Enquadrando no conceito de função: relação R não é uma função, pois os elementos e não possuem correspondência única, pois cada um deles possui duas correspondências com o conjunto... Representações gráficas de relações Quando elas são funções? Podemos ainda verificar se uma relação é ou não uma função por meio de gráficos. nalise os exemplos abaixo. Exemplo Representação gráfica: Considere o gráfico a seguir que representa uma relação R de = (; ; ) em = (5; 6; 7; 8) Exemplo Expressão algébrica: Sejam os conjuntos ={; ; 9} e ={ ; ; ; ; ; ; } e a relação: R = {(x; y) sendo x e y Β / x = y }. s relações são dadas pelos seguintes elementos: x = x = x = 9 R y = y = ± y = y = ± y = 9 y = ou y = relação também é dada pelo seguinte conjunto: R = {(;); (; ); (; ); (; ); (9; )} nálise da relação: relação R acima não é uma função, pois o elemento possui duas correspondências em, 5 e 7. 9

8 Exemplo Representação gráfica Considere o gráfico da relação de R de em : Exemplo Representação gráfica Considere o gráfico da relação de R de em : x x nálise da relação: O gráfico acima não representa uma função de em, pois existem vários elementos de que possuem duas ou mais correspondências em. Tomando como exemplo o elemento x, podemos notar que ele possui três correspondências em. Exemplo Representação gráfica Considere o gráfico da relação de R de em : x x x nálise da relação: O gráfico acima representa uma função de em, pois todos os elementos de possuem uma correspondência única em. Tomando como exemplo x, x e x, podemos notar que cada um deles possui uma única correspondência em. nálise da relação: O gráfico acima não representa uma função de em, pois nem todos os elementos de possuem uma correspondência em. Tomando como exemplo o elemento x, podemos notar que não há correspondências deste em.. Os elementos de uma função Domínio, contradomínio, conjunto imagem e raízes Para uma função de em, precisamos definir os seguintes elementos, fundamentais para o estudo das funções. Domínio: O conjunto é chamado de domínio da função e será denotado por D (f), ou apenas D. Contradomínio: O conjunto é chamado de contradomínio da função e será denotado por CD (f), ou apenas CD. Imagem Seja x um elemento do domínio. O elemento do contradomínio correspondente a x é chamado de imagem de x. O conjunto formado por todas as imagens é chamado de conjunto imagem, e sua notação é dada por Im (f), ou apenas Im. Raízes: raiz ou zero de uma função é o elemento do domínio cuja imagem é zero, ou seja, é o valor de x tal que sua imagem é o número zero. Veja um exemplo: função R é dada pelo conjunto abaixo: R = {(; ); (; ); (; ); (; )}

9 representação dessa função no diagrama de Venn é mostrada abaixo: R Também podemos identificar que: O conjunto = {; ; ; } é o domínio da função R; O conjunto = { ; ; ; ; } é o contradomínio da função R; O conjunto imagem da função é Im (R) = { ; ; ; }; imagem de é, a imagem de é, a imagem de é e a imagem de é ; raiz da função é x =, pois sua imagem é igual a. Notação de função: função que relaciona os conjuntos e pode ser representada pela seguinte notação:. Se a função é dada por x y =, podemos representá-la por y = x, e com isso dizemos que y é uma grandeza que depende de x. Por esse motivo, introduziremos uma notação que evidencia tal característica de y, que está apresentada abaixo: y = f(x) ssim, passaremos a representar a equação y = x, chamada de lei de formação da função por f(x)=x. Sendo assim, diremos que para cada x existe um único y da seguinte forma: Se x = y = y = Na notação de função, dizemos que: f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = ssim, dizemos que f : (; ; ; ) ( ; ; ; ) onde f (x) = x. 5. Gráfico de funções Quando estudamos funções, trabalhamos com um elemento visual que nos ajuda a compreender seu comportamento. Esse é um dos propósitos de analisar o gráfico de uma função. Para tanto, devemos compreender o que implica estruturar esse gráfico. Definição Seja f(x) uma função de variáveis reais. Chamamos de gráfico da função f(x) o conjunto de todos os pontos (x; y) do plano cartesiano tal que y = f(x).

10 Exemplo Função y = x Veja abaixo o gráfico dessa função: (; 9) (5; ) ( ; ) ( ; ) (; ) Podemos notar que: Se x = y = f() = y =. ssim, (, ) f(x) Se x = y = f() = y = 9. ssim, (, 9) f(x) Se x = y = f( ) = f( ) y =. ssim, (, ) f(x) Se x = 5 y = f(5) = 5 y = 5. ssim, (5, ) f(x) Se x = y = f( ) = ( ) y =. ssim, (, ) f(x) Exercício resolvido Represente graficamente a função f : ( ; ; ; ; ) R tal que f(x) = x +. Resolução Como o enunciado fornece o domínio e o contradomínio, iniciemos a resolução do exemplo encontrando o conjunto imagem e os pontos que determinam o gráfico: Para x = : f( ) = ( ) + = temos o ponto (, ) Para x = : f() = () + = temos o ponto (, ) Para x = : f() = () + = temos o ponto (, ) Para x = : f() =. () + = 5 temos o ponto (, 5) Para x = : f() = () + = 7 temos o ponto (, 7) ssim, vemos que o conjunto imagem é dado por Im (f) = ( ; ; ; 5; 7). Com os pontos obtidos, podemos representar a função graficamente: (, ) 7 (, 7) 6 5 (, ) (, ) (, 5) 5 6 Note que, por conta do domínio, os pontos não podem ser interligados. Perceba também que a construção do gráfico de uma função é feita a partir do cálculo da imagem y = f(x) de todos os valores do domínio x, possibilitando assim a formação de pontos (x, y) que devem ser marcados no plano cartesiano.

11 6. nálise de gráficos de funções 6.. Domínio e imagem da função análise de gráficos de uma função tem por objetivo identificar várias de suas características e de seus elementos, como, por exemplo, seu domínio e sua imagem. Quando o domínio não for apresentado, ele será dado pelos possíveis valores da variável, por isso dizemos que ele é constituído pelas abscissas de todos os pontos do gráfico. Já o conjunto imagem da função é formado pelas ordenadas y dos pontos do gráfico. partir do gráfico abaixo, veja o seu domínio e a sua imagem: y d imagem c Domínio da função: Dom (f) = [a; b] = {x R / a x b} Imagem da função: Im (f) = [c; d] = {y R / c y d} 6.. Raízes da função a domínio b x Lembremos que as raízes de uma função são os valores de x tais que f(x)= ou y =, ou seja, os pontos em que as imagens são nulas. Podemos ver as raízes como pontos (em vermelho) no gráfico abaixo: y x 6.. Sinal da Função Raízes y = f(x) = Positiva: função é dita positiva para os valores de x tais que f(x) >, ou seja, quando suas imagens são positivas. No plano cartesiano, este intervalo é identificado pela parte do gráfico que se encontra acima do eixo x: y f(x) > x Negativa: função é dita negativa para os valores de x tais que f(x) <, ou seja, quando suas imagens são negativas. y No plano cartesiano, esse intervalo é identificado pela parte do gráfico que se encontra abaixo do eixo x: x f(x) <

12 Restrições Outras funções comumente trabalhadas não apresentam restrições acerca de seus domínios. São elas: Funções polinomiais, tais como: f(x) = x 5x + g (x) = x 6 h(x) = x x + x 7. Todos os valores de x pertencem ao domínio de uma função? Introdução ao estudo do domínio de uma função real Se estudarmos uma função real em que seu domínio não é fornecido, devemos determiná-lo, lembrando da seguinte definição de domínio: Domínio Em uma função real, o domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais f(x) é real, ou seja, todos os valores de x cujas imagens existam nos reais. Lembremo-nos ainda de que não pertencem ao domínio valores de x que não possuem imagens. Sendo assim, vamos trabalhar aqui com algumas estruturas matemáticas que não estão definidas para qualquer número real, analisando e definindo estratégias para encontrar os domínios de funções dadas por tais estruturas. São elas: Frações s frações são os elementos do conjunto dos números racionais que são definidos da seguinte forma: Q = {x é racional se x = a b / a, b Z e b } Funções definidas por raízes de índices ímpares: f(x) = 5 x g(x) = x 7 h(x) = x Nesses casos, dizemos que o domínio da função é dado pelo conjunto dos números reais, ou seja, Dom (f) = R. Desse modo, as frações estão definidas somente para os casos em que o valor do denominador é diferente de zero. ssim sendo, se f(x) =, então seu domínio é dado por: x Dom (f)= {x R / x } Raízes Quadradas s raízes quadradas são definidas a partir dos resultados de potências de expoente dois, ou seja, Se a = x x = a Como x² a, as raízes quadradas estão definidas somente para números reais não negativos. Logo, se f(x) = x, temos seu domínio dado por: Dom (f) = {x R / x } Outras raízes com índices pares Para as demais raízes de índices pares, temos restrições de mesma natureza que as apresentadas para as raízes quadradas. ssim sendo, se f(x) = Dom (f) = {x R / x } n x, então: 8. Exemplificando a determinação do domínio de algumas funções Seguem alguns exemplos que mostram como encontrar o domínio de certos tipos de funções. Outras funções definidas por estruturas ainda não estudadas terão seus domínios determinados no momento oportuno. Exemplo f(x) = x 5 O domínio da função é dado por Dom(f) = R, pois para todo valor de x podemos encontrar uma imagem a partir da função f(x) = x 5.

13 Exemplo f(x) = x 5 x O domínio da função é dado por Dom (f) = {x R / x }, pois para x = o denominador é igual a zero, o que impossibilita o cálculo de f(). Exemplo g(x) = x+ O domínio da função é dado por Dom(g) = {x R / x }, pois o valor de dentro da raiz quadrada, ou seja, o valor do radicando, dado por x +, deve ser maior ou igual a zero. ssim, temos: Exemplo x + x x 5 h(x) = x O domínio da função é dado por Dom (h) = {x R / x < }, pois o valor de dentro da raiz quadrada, ou seja, o valor do radicando, dado por x, deve ser positivo, contudo não pode ser igual a zero, pois a raiz quadrada se encontra no denominador. ssim, temos: x > x > x < Exemplo 5 r(x) = x O domínio da função é dado por Dom(f) = R, pois podemos calcular a raiz cúbica de qualquer número real. 9. plicações de Funções Quando estudamos funções, devemos ter um olhar que mostre as diferentes aplicações deste conceito matemático nas mais diversas situações, sejam elas do cotidiano, sejam aplicadas a outras áreas do conhecimento. qui trabalharemos algumas situações que são representadas, modeladas, por funções matemáticas, ou seja, situações cujo comportamento e variação podem ser descritos por uma equação matemática. 9.. plicações na Economia: o cálculo do custo de um produto Em muitas situações nos deparamos com problemas em que o custo da produção de certo produto é dado por custo fixo (C f ) e por um custo variável (C v ), ou seja, o custo por unidade do produto. Logo, se chamarmos de C(x) o custo da produção de x unidades de determinado produto, ele será representado pela função abaixo: Função do custo: C (x) = C f + C v. x Sendo assim, se uma fábrica possui um custo fixo de R$ 5, e um custo variável de R$, por unidade produzida, podemos representar o custo de produção de algumas quantidades de peças de acordo com a tabela abaixo: Quantidade (x) Custo (C) x = C = 5 +. = R$ 5, x = C = 5 +. = R$ 8, x = 5 C = = R$, x = C = 5 +. = R$ 5, 5

14 9... Representação Gráfica nalisando a situação descrita, podemos dizer que ela é representada pela seguinte função: C (x) = 5 + x, em que x é a quantidade de unidades produzidas. baixo seguem algumas quantidades produzidas associadas a cada um desses custos de produção: 8 5 C C(x) = 5 + x x O gráfico dessa função é dado apenas por pontos, pois as quantidades produzidas são representadas por números naturais, isto é, o domínio dessa função é dado por Dom(f) = N. Sendo assim, seu gráfico é dado por pontos isolados. lém disso, o gráfico tem início sobre o eixo y, sendo o ponto sobre esse eixo dado pelo ponto (; C f ). 9.. Uma aplicação na Química: a fissão nuclear história da humanidade presenciou momentos de tensão e de muito sofrimento causados por guerras que ficaram marcadas pelo uso de bomba atômica, cujo princípio de funcionamento está baseado no processo de fissão (ou cisão) nuclear, que também pode ser encontrado em reatores nucleares, liberando uma grande quantidade de energia. Veja abaixo algumas imagens relacionadas ao processo de fissão nuclear: CHRLES LEVY WIKICOMMONS Nuvem em forma de cogumelo da bomba atômica que atingiu Nagasaki, no Japão, em 9 de agosto de 95, durante a Segunda Guerra Mundial. Usina de energia nuclear MERYLL DREMSTIME.COM 6

15 Vamos entender o mecanismo da fissão nuclear utilizando como exemplo a fissão do urânio: outros três núcleos de urânio, que, ao se desintegrarem, emitem outros três nêutrons. Observe a imagem abaixo: 5 U ª etapa: Um nêutron se choca contra o núcleo de um átomo de urânio. o choque 6 U o choque Observe a tabela abaixo para analisar os números dessa reação em cadeia: ª etapa: O átomo se torna instável. 9 Kr a Choques (x) Número de nêutrons emitidos após cada choque (y) o choque = o choque = 9 o choque = o choque 5 = o choque = 8678 ª etapa: Ocorre assim a divisão deste átomo em dois novos átomos, um de kriptônio e outro de bário, liberando muita energia e três nêutrons. ssim, inicia-se uma reação em cadeia, em que cada um dos três nêutrons choca-se novamente com De acordo com a tabela, podemos determinar a função que representa o número de nêutrons emitidos após cada choque durante o processo de fissão nuclear: y = f(x) = x 7