Gráficos e Funções. Alex Oliveira Allysson Lacerda

Transcrição

1 Gráficos e Funções Alex Oliveira Allysson Lacerda

2 Noção de Função O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Vejamos alguns exemplos: o Número de litros de gasolina e preço a pagar. Números de litros Preço a pagar 1 2,30 2 4,60 3 6,90 x 2,30x Nesse caso, temos: P = 2,30x, lei da função ou fórmula matemática da função. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Noção de Função o A distância percorrida em função do tempo. Tempo(h) t Distância(km) t Teremos: D = 90t, lei da função ou equação da função. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Noção de Função o A máquina de dobrar Entrada ,5 5 x Dobrar Saída x o Nesse caso, temos: O número de saída n é igual a duas vezes o número de entrada x. A lei da função é n = 2x. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Noção de Função Observe que em ambos os casos, o preço a pagar e a distância percorrida são determinados em função do número de litros e do tempo, respectivamente. Onde: o P = 2,30x P é a variável dependente. x é a variável independente. o D = 90t D é a variável dependente. t é a variável independente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Vamos praticar... Um cabeleireiro cobra R$12,00 pelo corte para clientes com hora marcada e R$10,00 sem hora marcada. Ele sempre atende por dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e um certo número variável de clientes sem hora marcada. Qual a lei que fornece a quantia Q arrecadada por dia em função de x. RESPOSTA: Como o cabeleireiro trabalha com um número fixo de 6 clientes com hora marcada por dia e cada cliente desse tipo paga R$12,00 pelo serviço, há uma arrecadação fixa de R$72,00 (resultado da multiplicação de 6 por R$12,00). De maneira semelhante, para cada x clientes sem hora marcada atendidos, como cada um paga R$10,00, ele arrecada 10x (resultado da multiplicação de x por R$10,00). Perceba que essa última quantia arrecadada é variável, pois depende do número de clientes atendidos sem hora marcada. Portanto, se chamarmos de Q a quantia total arrecadada, a lei da função que representa a quantia arrecadada em relação a um certo número x de clientes sem hora marcada é obtida pela soma das quantias variável e fixa, ou seja: Q = 10x + 72 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Vamos praticar... Qual a quantia arrecadada num dia em que foram atendidos 16 clientes? Q = Q = Q = 172 A quantia arrecadada neste dia foi R$172,00. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Vamos praticar... Qual foi o número de clientes atendidos num dia em que foram arrecadados R$212,00? O x representa a quantidade de clientes sem hora marcada, logo o número de clientes atendidos será a quantidade fixa de clientes com hora marcada mais a quantidade de clientes sem hora marcada. 212 = 10x x = x = 140 x = 140/10 x = 14 (quatorze sem hora marcada) C = C = clientes no total foram atendidos nesse dia. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Noção de função em conjuntos Vejamos a noção de função junto à nomenclatura de conjuntos. Exemplo: Dados A e B, usando o diagrama de flechas devemos associar cada elemento de A a seu triplo em B A Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa por y = 3x B x A y B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Noção de função em conjuntos Observa-se que para que tenhamos uma função de A em B: Todos os elementos de A têm correspondentes em B; A cada elemento de A corresponde um único elemento em B. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Vamos praticar... Dados os conjuntos A e B, determine quais representam uma função de A em B. A B A B 0. A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Vamos praticar... Analisaremos o diagrama de flechas abaixo: A B o Observamos que para os elemento de A, há um correspondente em B. o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Observamos que há elementos em B que tem 2 correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo, temos uma função de A em B..16 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Vamos praticar... Trataremos o diagrama de flechas abaixo: A B o Observamos que para os elemento de A, há um correspondente em B. o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Observamos que há um elemento em B que tem 3 correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo, temos uma função de A em B. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Vamos praticar... Analisaremos o diagrama de flechas abaixo: 0. A B o Observamos que para os elemento de A, há um correspondente em B. o Entretanto, há um elemento de A que corresponde a mais de um único elemento de B. Sendo assim, essa característica NÃO permite existir uma função de A em B. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Vamos praticar... Podemos concluir então que: A É uma função B A 0. B A É uma função B Não é uma função.5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Domínio Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função, pois representa as entradas para a função f. Ou seja, os valores que podem ser usados na função. O domínio da função indicaremos por D(f) A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Contradomínio Dada uma função f de A em B, o conjunto B chama-se contradomínio da função, pois representa as possíveis saídas para a função f. Ou seja, os possíveis resultados para quando aplicamos um valor do x do domínio na função. O contradomínio da função indicaremos por CD(f) A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Imagem Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos os valores de y obtidos através de x é chamado de conjunto imagem da função f. Ou seja, ele é o resultado de f(x), que representa os valores reais obtidos quando aplicamos um x do domínio na função e é indicado por Im(f) A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Componentes de uma função Para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio A, o contradomínio B e a regra que associa cada elemento de A apenas a um único elemento y = f(x) de B. Nos dados anteriores, o domínio é A = {0; 1; 2; 3}, o contradomínio é B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, a regra é dada por y = 2x e o conjunto imagem é dado por Im(f) = {0; 2; 4; 6}. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Vamos praticar... Considere g uma função de A em B, para a qual A = {1; 3; 4}, B = {3; 9; 12} e g(x) é o triplo de x para todos x A. Construa o diagrama de flechas da função; A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 Vamos praticar... Determine D(g), CD(g) e Im(g); o De acordo com o diagrama de flechas dado, o conjunto A representa o conjunto de todos os valores reais de x que podem ser aplicados na função, caracterizando-se assim o domínio. Logo, D(g) = {1; 3; 4}. o o De forma semelhante, o conjunto B representa o conjunto de todos os possíveis valores que podem ser resultados da aplicação de x na função, caracterizando-se assim o contradomínio. Logo, CD(g) = {3; 9; 12}. Obtemos o conjunto imagem através da aplicação dos valores de x do domínio da função em g. Como g(x) = 3x, aplicando: o x = 1, g(1) = 3.1 g(1) = 3 o x = 3, g(3) = 3.3 g(3) = 9 o x = 4, g(4) = 3.4 g(4) = 12 Assim, Im(g) = {3; 9; 12} Perceba que, neste caso, o conjunto imagem da função é igual ao contradomínio. Isto nem sempre é verdadeiro, apenas em casos especiais como este! UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

22 Vamos praticar... Determine g(3); Como g(x) = 3x, então para g(3), usa-se x = 3, pois o 3 representa o valor que substituirá x, assim: g(3) = 3.3 g(3) = 9 Determine x para o qual g(x) = 12. Como g(x) = 3x, e segundo o enunciado para g(x) utilizaremos 12, então: g(x) = 3x 12 = 3x x = 12/3 x = 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

23 Funções definidas por fórmulas No início vimos uma correspondência entre o número de litros e o preço a pagar expressa por: P = 2,30x Essa função pode ser expressa pela fórmula matemática: y = 2,30x ou f(x) = 2,30x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23

24 Funções definidas por fórmulas Numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto de um custo fixo de R$300,00 mais um custo variável de R$0,50 por unidade fabricada. Vamos expressar, por meio de uma fórmula matemática, a função do custo operacional. o Seja f(x) o custo operacional de uma mercadoria e x o número de unidades fabricadas. Como a indústria cobra um custo de R$0,50 por unidade fabricada, o custo para x unidades fabricadas é 0,50x (o produto). Ela também cobra uma custo fixo de R$300,00 na fabricação. Assim, o custo operacional é dado soma da parte variável com a fixa, f(x) = 0,50x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24

25 Vamos praticar... Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$40,00 de visita e mais R$20,00, por hora de mão de obra. Então o preço que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número de horas de trabalho. Determine essa função. o Seja f(x) o preço a ser pago pelo conserto do televisor e x o número de horas trabalhadas. Como a firma cobra R$20,00 por hora trabalhada, o custo para x horas trabalhadas é de 20x (o produto). Há também uma taxa fixa de R$40,00 de visita. Logo, o custo total é dado pela soma da parte variável com a fixa, f(x) = 20x + 40 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25

26 Vamos praticar... Dada uma função cuja lei envolve mais de uma sentença f(x) = 3x + 1 para x 2 x 2 para x > 2. Vamos determinar: f(5) Para f(5), utilizaremos x = 5, pois o 5 representa o valor que substituirá x, como 5 > 2 utilizaremos a segunda sentença, ou seja, x 2. Assim: f(x) = x 2 f(5) = 5 2 f(5) = 25 f(0) Para f(0), utilizaremos x = 0, pois o 0 representa o valor que substituirá x, como 0 2 utilizaremos a primeira sentença, ou seja, 3x + 1. Assim: f(x) = 3x + 1 f(0) = f(0) = 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26

27 Vamos praticar... f 5 2 Para f 5, utilizaremos x = 5, pois 2 2 o5 representa o valor que 2 substituirá x, como 5 = 2,5; e 2,5 2 utilizaremos a segunda 2 sentença, ou seja, x 2. Assim: f(x) = x 2 f 5 = f = f 1 3 Para f 1, utilizaremos x = 1, pois o 1 representa o valor que substituirá x, como 1 0,3; e 0,3 2 utilizaremos a primeira 3 sentença, ou seja, 3x + 1. Assim: f(x) = 3x + 1 f 1 3 = f 1 3 = 1+ 1 f 1 3 = 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27

28 Domínio de uma função real Vimos que em uma função há três componentes: domínio, contradomínio e lei da função. Às vezes, porém, é dada somente a lei da função, sem que A e B sejam citados. Assim para que possamos usar algum valor na função é necessário saber se ele pertence ao domínio da função. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28

29 Domínio de uma função real Vejamos alguns exemplos: f(x) = 1 x 1 x só é possível se x 0, pois não existe divisão por 0. Assim, 0 (zero) não pode fazer parte do domínio. Logo, D(f) = R {0} = R* UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29

30 Domínio de uma função real g(x) = 3 x 3 x só é possível se 3 x 0, pois não há raiz quadrada de número negativo. 3 x 0 -x - 3 x 3. Assim, x 3 é o domínio da função. Portanto, D(f) = {x R x 3} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30

31 Domínio de uma função real h(x) = 7 x x 2 7 x só é possível se 7 x 0, pois não há raiz quadrada de número negativo. 7 x 0 - x - 7 x 7. x 2 só é possível se x - 2 0, pois não há raiz quadrada de número negativo e como x 2 é o denominador ele não pode ser nulo. x x 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 31

32 Domínio de uma função real Devemos considerar o intervalo que satisfaz a ambas ao mesmo tempo. Então faremos a intersecção de x 7 e x 2. 7 x x 2 7 x x Assim, teremos como domínio o intervalo (2, 7] ou 2 x 7. Logo, D(f) = {x R 2 x 7} 7 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 32

33 Vamos praticar... Explicite o domínio das seguintes funções: 1 f(x) = x 6 Para que a função dada possa existir, o denominador x 6 0, pois não existe divisão por ZERO. Logo, x 6 0 x 6. D(f) = {x R x 6} y = x+1 x Para que a função dada anteriormente possa existir o denominador x 0, pois não existe divisão por ZERO. Logo, x 0. D(f) = {x R x 0} ou R* UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33

34 Vamos praticar... y = 3 x Dada a função, para qualquer que seja o x existe um valor para sua raiz cúbica, pois tanto para valores positivos quanto negativos a raiz cúbica nos retorna um resultado. Sendo diferente da raiz quadrada, que só retorna resultado quando trata de valores positivos ou nulo. Logo, D(f) = {x R} ou R UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34

35 Vamos praticar... g(x) = x 2 x 3 x 2 0 x 2. x 3 0 x 3. x 2 x x 2 x Logo, o domínio da função é x 2 e x 3. D(g) = {x R x 2 e x 3} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35

36 Para que serve mesmo o domínio de uma função? Como vimos o domínio de uma função representa as entradas para a função, ou seja, os valores que podem ser usados na função. Façamos um paralelo entre essa definição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo: Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmos x como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retorna um resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte do domínio da função (liquidificador). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36

37 Para que serve mesmo o domínio de uma função? Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a função liquidificador não poderá processar esse x (pedra), NÃO sendo possível obter f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte do domínio da função (liquidificador). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 37

38 Para que serve mesmo o domínio de uma função? Concluímos então que, o domínio de uma função serve para sabermos que valores x podem ser usados na função f para obtermos f(x). Exercendo, assim, uma importância fundamental no estudo de funções. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 38

39 Gráficos UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 39

40 Gráfico de uma função Em livros, revistas e jornais frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar uma determinada situação. Esses gráficos e tabelas, em geral, representam FUNÇÕES, e por meio deles podemos obter informações sobre a situação que retratam, bem como sobre as funções que representam. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 40

41 Gráfico de uma função: Definições 1. O Gráfico facilita à análise de dados, que, muitas vezes, estão dispostos em planilhas ou tabelas complexas. 2. Gráficos, consiste em recursos visuais que facilitam a compreensão dos dados expostos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 41

42 Gráfico de uma função O gráfico de uma função auxilia na análise da variação de duas (ou mais) grandezas quando uma depende da outra. Analisemos o gráfico a seguir um gráfico que mostra pontos de consumo de água em uma residência (em porcentagem). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 42

43 Analisando gráficos UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 43

44 Analisando gráficos Analisando o gráfico, vemos que: O lavatório e o tanque consomem a mesma quantidade de água; A bacia sanitária consome aproximadamente 5 vezes mais água do que o tanque; A bacia sanitária e o chuveiro são os que mais consomem água; Desta lista, a máquina de lavar louças é o aparelho que menos consome água. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 44

45 Vamos Praticar? (Adaptado de Enem 2007) Explosões solares emitem radiações eletromagnéticas muito intensas e ejetam, para o espaço, partículas carregadas de alta energia, o que provoca efeitos danosos na Terra. O gráfico seguinte mostra o tempo transcorrido desde a primeira detecção de uma explosão solar até a chegada dos diferentes tipos de perturbação e seus respectivos efeitos na Terra. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 45

46 Vamos Praticar? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 46

47 Vamos Praticar? Considerando-se o gráfico, é correto afirmar que a perturbação por ondas de rádio geradas em uma explosão solar: a) dura mais que uma tempestade magnética. b) chega à Terra dez dias antes do plasma solar. c) chega à Terra depois da perturbação por raios X. d) tem duração maior que a da perturbação por raios X. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 47

48 Resolução a) Duração inferior à 10 h Duração de, aproximadamente10 dias FALSA! Podemos perceber que a duração T das ondas de rádio é tal que 1min<T<10h e a tempestade magnética tem duração de, aproximadamente, dez dias. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 48

49 Resolução ATENÇÃO! Percebe-se, que este item ressalta a necessidade de sabermos analisar gráficos que NÃO ESTÃO EM ESCALA, deixando assim de confiarmos apenas na nossa percepção visual de comprimento, e passando analisar cuidadosamente todas as informações de um gráfico! UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 49

50 Resolução b) Diferença na Chegada é um pouco maior que 1 dia! FALSA! Pelo esquema acima, analisando cuidadosamente o eixo horizontal do gráfico percebemos que as perturbações por ondas de rádio chegam na Terra, aproximadamente, um dia antes do plasma solar. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 50

51 Resolução c) Diferença na Chegada é menor que 1 minuto! FALSA! Pode-se perceber pelo esquema acima que as perturbações por ondas de rádio e de raios X chegam, praticamente, simultaneamente à Terra. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 51

52 Resolução d) Duração de pouco mais de 10 min. Duração superior à 1h. d) VERDADEIRA. Percebam que a perturbação por raio X tem duração de pouco mais de dez minutos, enquanto as perturbações por ondas de raio dura algumas horas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 52

53 Coordenadas cartesianas A notação (a,b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira coordenada e o número b é a segunda coordenada. Observe que os pares ordenados (3;4) e (4;3) são diferentes, pois a primeira coordenada de (3;4) é 3, enquanto a primeira coordenada de (4;3) é 4. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 53

54 Sistema de Eixos Ortogonais Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, que têm a mesma origem O. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 54

55 Sistema de Eixos Ortogonais UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 55

56 Sistema de Eixos Ortogonais Damos o nome de plano cartesiano a um plano munido de um sistema de eixos ortogonais. Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes. A figura a seguir ilustra melhor a noção de quadrante. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 56

57 Sistema de Eixos Ortogonais UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 57

58 Sistema de Eixos Ortogonais Usamos esse sistema para localizar pontos no plano. Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números a e b são as coordenadas cartesianas do ponto P, em que a é a abscissa e b é a ordenada. Por exemplo, vamos localizar em um plano cartesiano os pontos A(4;1), B(1;4), C(-2;-3), D(2;-2), E(-1;0). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 58

59 Sistema de Eixos Ortogonais UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 59

60 Construção de Gráficos de Funções Para construirmos o gráfico de uma função dada por y=f(x), com x ϵ D(f), no plano cartesiano devemos: 1. Construir uma tabela com valores de x e y; 2. A cada par ordenado da tabela associar um ponto do plano cartesiano; 3. Marcar o número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da função. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 60

61 Exemplos Vamos construir o gráfico da função dada por f(x) = 2x+1, sendo o domínio D=(0,1,2,3,4). Façamos uma tabelados valores de x e f(x), para termos uma noção do comportamento da função. x y = f(x) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 61

62 Exemplos Diante dos valores da tabela podemos construir o gráfico de f (gráfico ao lado). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 62

63 Exemplos Vamos construir o gráfico da função dada por f(x) = 2x+1, sendo o domínio D = IR. Façamos uma tabelados valores de x e f(x), para termos uma noção do comportamento da função. x y=f(x) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 63

64 Exemplos Diante dos valores da tabela podemos construir o gráfico de f (gráfico ao lado). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 64

65 Construção de Gráficos de Funções R= Os domínios são diferentes UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 65

66 Vamos Praticar? (Enem Adaptado) O gráfico da página seguinte, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada neste gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 66

67 Vamos Praticar? Alternativas: a) 465. b) 493. c) 498. d) 538. e) 699. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 67

68 Resposta Se observarmos o comportamento do gráfico, notaremos que este pode ser modelado por uma função do 1º grau, da forma f(x) = ax+b. Admitindo f(x) como o número de espécies ameaçadas de extinção, e x como seus respectivos anos. Podemos escrever a equação da reta que passa por dois pontos: P1(1983;239) e P2(2007;461). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 68

69 Resposta A partir destes dados podemos formar um sistema de equações. Como f(x) = ax+b a b L a b L2 Vamos resolver este sistema 2X2: L2 = L2 - L1 222=24a a=9,25 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 69

70 Resposta Como já descobrimos o valor de a, podemos encontrar, facilmente, o valor de b: L1 239=1983*9,25+b b = ,75 Desta forma a função que procurávamos é: f(x)=9,25x-18103,75. Basta descobrir o valor de f(2011): f(2011) = 9,25* ,75 = 498 Logo a alternativa correta é a C UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 70

71 Função Crescente e Decrescente De modo geral, analisando o gráfico de uma função, podemos observar propriedades importantes dela, tais como: 1. Onde ela é positiva (f(x)>0), onde ela é negativa (f(x)<0) e onde ela se anula (f(x)=0). Os valores de x nos quais ela se anula (f(x)=0) são chamados de zero da função f. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 71

72 Função Crescente e Decrescente 2. Onde ela é crescente (se x1<x2, então f(x1)<f(x2)), onde ela é Decrescente (se x1<x2, então f(x1)>f(x2)) e onde ela assume um valor máximo ou um mínimo, se existirem. Por exemplo, vamos considerar o gráfico seguinte e analisá-lo no intervalo (-6, 6). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 72

73 Função Crescente e Decrescente UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 73

74 Analisando o Gráfico f é positiva em (-5,-1) e em (5,6); f é negativa em (-6,-5) e em (-1,5); f é nula em x=-5, x=-1 e x=5. Esses são os zeros da função f é crescente em (-6,-3] e em [2,6); f é decrescente em [-3,2]; O ponto com x=-3 é um ponto de máximo e f(x)=2 é o valor máximo de f; O ponto com x=2 é um ponto de mínimo e f(x) = -3 é o valor mínimo de f. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 74

75 Vamos Praticar? Um rapaz desafia seu pai para uma corrida de 100m. O pai permite que o filho comece 30 m à sua frente. Um gráfico bastante simplificado dessa corrida é dado a seguir: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 75

76 Vamos Praticar? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 76

77 Vamos Praticar? Pelo gráfico, quem ganhou a corrida e qual foi a diferença de tempo? O pai chegou, aproximadamente, 14s após a largada O garoto chegou, aproximadamente, 17s após a largada R= Portanto o Pai Ganhou a corrida com 3s de diferença! Esta linha verde representa a corrida garoto, pois no tempo inicial a distância vale 30m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 77

78 Vamos Praticar? A que distância do início o pai alcançou seu filho? 70m R= Como a ordenada do ponto de intersecção vale 70 m, logo o pai ultrapassou o garoto nesta distância. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 78

79 Vamos Praticar? Em que momento depois do início da corrida ocorreu a ultrapassagem? R= Como a abscissa do ponto de intersecção vale 10s, logo o pai ultrapassou o garoto neste momento. 10s UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 79

80 Gráficos no Enem! Gráfico de Setores/ Pizza Vendas 1º Tri 2º Tri 3º Tri 4º Tri O ângulo central de cada setor está relacionado com a frequência relativa de cada variável. A circunferência (360º) corresponderá a 100% da frenquência relativa. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 80

81 Gráficos no Enem! Gráfico de linhas Esses Gráficos são muito usados principalmente para mostrar a evolução das frequências dos valores de uma variável durante um certo período. A posição de cada segmento indica se ocorreu crescimento, decréscimo ou estabilidade. Série 1 Série 2 Série 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 81

82 Gráficos no Enem! Gráfico de barras Este gráfico é normalmente usado para comparar as frequências dos valores de uma mesma variável em um período estabelecido Série 3 Série 2 Série 1 Esse é um dos Gráficos que mais aparecem na prova do ENEM. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 82

83 Para treinar mais... Caiu no Enem- (Adaptado) Essa era uma questão referente à uma pesquisa eleitoral. Ela pedia apenas que calculasse o ângulo central referente ao candidato Brizola. 14% 10% 22% 1% 6% 47% Brizola Brancos e nulos Bittar Nelson Ronaldo Jussara Basta calcular a porcentagem de 360 : Resposta UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 83

84 Para treinar mais... (ENEM Questão 136 Prova Azul) Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 84

85 Para treinar mais... O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 85

86 Para treinar mais... Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a: a) 355 milhões b) 400 milhões c) 426 milhões d) 441 milhões e) 477 milhões UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 86

87 Resolução Segundo o enunciado, o número de passageiros era 321,9 milhões em abril de 2001 e de acordo com o Gráfico neste mesmo período tínhamos 400 passageiros transportados por veículos. Em outubro de 2008 o número de passageiros transportados por veículos foi para 441. Precimaos descobrir qual foi o número de passageiros nesse período. Como o enunciado afirma que o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em Basta montar uma Regra de Três Simples. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 87

88 Resolução Nº de passageiros p/ veículo Nº de passageiros (milhões) ,9 441 x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 88

89 Para treinar mais... ENEM Questão 166 Prova Rosa Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking desmatamento, conforme gráfico, da Chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados. de UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 89

90 Para treinar mais... Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre A) 100 km² e 900 km² B) 1000 km² e 2700 km² C) 2800 km² e 3200 km² D) 3300 km² e 4000 km² E) 4100 km² e 5800 km² UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 90

91 Resolução 2004 Desmatamento total: Km² > 100% + 10,5%= 110,5% de Km²= 110, Km² ,75 Km² 26243,75 29,16 Km² 9 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 91

92 Referências DANTE, L. R. Matemática: Ensino Médio. 1.ed. São Paulo: Ática, NIEDERAUER,J.Z. Funções. Disponível em: < Acesso em:19 maio Função. Disponível em: < >. Acesso em:19 maio UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 92