CÁLCULO FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab.

Transcrição

1 Introdução Função é uma forma de estabelecer uma ligação entre dois conjuntos, sujeita a algumas condições. Antes, porém, será exposta uma forma de correspondência mais geral, chamada relação. Sejam dois conjuntos A e B. Uma relação S entre os dois conjuntos é qualquer subconjunto de A x B (A cartesiano B). Definida uma relação, podemos considerar dois novos conjuntos, domínio e imagem: O domínio de S, D(S), é o conjunto dos elementos x A para os quais existe um y B tal que (x,y) S. A imagem de S, Im(S), é o conjunto dos y B para os quais existe um x A tal que (x,y) S. Temos que D(S) A e Im(S) B Por exemplo, sejam os conjuntos A = {,,3} e B = {,3,,5} e seja a relação dada por S = {(x, y) A x B / y = x+} Daí, S = {(,),(,3),(3,)}, D(S) = {,,3} e Im(S) = {,3,} Conceito de Função Função é um caso particular de relação. Sejam dois conjuntos A e B. Uma relação f de A em B é uma função se e somente se: (a) Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y pertencente a B definido pela relação, chamado imagem de x. (b) A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio de f. Então, uma função é formada por três elementos: dois conjuntos, A e B, e uma regra f que associa a cada elemento de A, o domínio da função, apenas um único elemento em B, o contra domínio. A imagem y é representada por f(x), onde x é a variável independente e y é a variável dependente.temos que Im(S) B.

2 Funções Reais de uma Variável Real Seja uma função com domínio em A e contra domínio em B. Domínio é o conjunto onde a função é definida, e o conta-domínio é o conjunto onde a função toma valores.se estes dois conjuntos são subconjuntos dos reais, dizemos que f é uma função real de variável real. Por exemplo, seja a função dada por f ( x) = x, sendo A=N* e B = Assim, f () =, f () =, f (3) = 6... Temos ainda Im(f) = {,,6,...n,...} B Primeiras Normas Elementares para o Estudo de uma Função Domínio Dada uma função, muitas vezes devemos saber qual o domínio da função, ou seja, para quais valores da variável independente x a função está definida. Quando não é mencionado o domínio da função, convenciona-se como sendo os reais. Por exemplo, f ( x) = x 3, esta função está definida para todos os reais exceto para x=3. Então o domínio da função é D(f) = - {3} Funções Crescentes e Decrescentes Seja uma função f definida num intervalo [a,b], em que x e x pertencem a este intervalo. Uma função é crescente se x > x f ( x ) > f ( x) Uma função é não decrescente se x > x f ( x ) f ( x) Uma função é decrescente se x > x f ( x ) < f ( x) Uma função é não crescente se x > x f ( x ) f ( x) Se a função assume sempre o mesmo valor, isto é, f(x) = cte, trata-se de uma função constante. N* = {,, 3,...}

3 Pontos de Máximo e de Mínimo Seja o seguinte gráfico Vemos que para x = 3, esta função atinge seu menor valor, chamado de mínimo absoluto. Isto significa que para qualquer outro valor de x D, a função assume um valor maior. Por outro lado, para x = a função atinge um ponto de mínimo, chamado mínimo relativo. Abaixo serão formalizadas estas idéias. Seja uma função definida num domínio D. Um ponto x D é um ponto de máximo relativo se existir um intervalo aberto A, com centro em x, tal que f ( x) f ( x ) x A D Analogamente, um ponto x D é ponto de mínimo relativo se existir um intervalo aberto A, com centro em x, tal que f ( x) f ( x ) x A D Dizemos que x é um ponto de máximo absoluto se f ( x) f ( x ) x D e x é um ponto de mínimo absoluto se f ( x) f ( x ) x D No gráfico acima, o ponto x= é mínimo relativo, x= é máximo relativo e x=3 é mínimo absoluto. 3

4 Principais Funções Elementares e suas Aplicações Função Constante É uma função do tipo y = k, onde k é uma constante real. Seja o gráfico da função f(x )= 3 3,5 3,5,5, Função do º grau É uma função do tipo y = m.x+ n, m e n são constantes Seu gráfico é uma reta. A constante n é o intercepto do gráfico no eixo y, chamado de coeficiente linear da reta. A constante m é o coeficiente angular da reta e representa a taxa de variação de y dada uma variação na variável independente x. y O coeficiente angular é encontrado pela relação m = x = y y, isto é, bastam dois pontos x x para se encontrar o coeficiente angular da reta Este é o gráfico da função y = x+ O coeficiente linear é encontrado fazendo x= e então o intercepto está no ponto (,).

5 O coeficiente angular é encontrado escolhendo dois pontos que pertencem à reta y=x+, por exemplo, A(,) e B(3,), que resulta em m= 3 =, ou seja, dada uma variação de uma unidade em x ocorrerá a variação de uma unidade em y. Em geral, quando m>, a função é crescente e quando m<, a função é decrescente. Note que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo entre a reta e o eixo x. y y Então, como m =, temos que y - y = m (x-x ) é a equação geral da reta. x x Daí, para se caracterizar uma reta basta um coeficiente angular e um ponto. Função Quadrática È uma função do tipo y = ax + bx + c, Em que a,b e c são constantes reais com a. O gráfico deste tipo de função é chamado de parábola. O comportamento da parábola depende em parte de a e em parte do valor de. Se a >, a concavidade é voltada para cima e se a < é voltada para baixo. Se >, a função tem duas raízes reais; Se =, a parábola tem duas raízes iguais e interceptará o eixo x em um único ponto; Se < a parábola não tem raízes reais. Seja o gráfico da função f(x) = x -x As raízes (interceptos com o eixo x) da parábola são x = e x=. No caso, como a > a concavidade é voltada para cima e como > há duas raízes reais e distintas. O vértice também pode ser descoberto: vemos x v =, e então como y v = x v xv, temos y v = - Para valores de x ],[, temos y < e para x< e x>, temos y >. 5

6 Função Polinomial É uma função do tipo f ( x) = a x + a x + a x a x + a n n n n Então, a função constante é uma função polinomial de grau zero, a função linear, de grau um e a função quadrática é uma função polinomial de grau. Função Racional É toda função cuja imagem é o quociente de dois polinômios, sendo o denominador um polinômio não nulo. x Por exemplo, a função f ( x) = + x Um caso importante é a função f ( x) =, que é uma hipérbole. x O domínio desta função são os reais exceto o zero. O gráfico de uma hipérbole, para valores positivos de x é mostrado abaixo: Vemos que à medida que x se aproxima de zero o valor x tende ao infinito. Função Potência É uma função do tipo n f ( x) = x n Daí, uma função potência pode ser f(x) = x ou f(x) = x - = x /, ou f(x) = x = x 6

7 Função Exponencial Modelo de Crescimento Exponencial De um modo geral, se uma grandeza com valor inicial y crescer a uma taxa igual a k por unidade de tempo, então, após um tempo x, medida na mesma unidade de k, o valor dessa grandeza será dado por: y = y ( + k)x que é conhecida como função exponencial O padrão gráfico se altera quando (+k)> e quando (+k)está entre e. Logaritmos O uso de logaritmos tem sua motivação para resolver questões onde a variável está no expoente. Por exemplo, x = 8. Como 8 = 3, temos que x = 3. Em geral temos y a = N y = log a N Daí, y é o logaritmo do número N na base a.os valores N e a devem ser positivos e diferentes de um. As bases mais utilizadas são a base e a base e (número de Euler, e =,788...).Este último é indicado por lnn = lg e N. Propriedades de Logaritmos ( P) log M. N = log M + log N a a a M ( P) loga = loga M loga N N α ( P3) log M = α log M a a logc M ( P) log a M = (mudança de base) logc a O gráfico do logaritmo se altera quando a > e quando a ],[. O gráfico de Logaritmo na base é esboçado a seguir: O ponto de intersecção com eixo x é o ponto (,). - 7

8 Vemos também, que o logaritmo não está definido para valores negativos de x e que quanto mais próximo x estiver de zero o logaritmo tende para menos infinito. Quando a base do logaritmo está entre zero e um, o formato da curva se altera: Neste caso quando x se aproxima de zero a função tende para mais infinito. Funções Trigonométricas Serão descritas as funções seno, cosseno e tangente. O seno e o cosseno têm o domínio como sendo os reais e ambos assumem valores no intervalo [-,].Trata-se de funções limitadas. O gráfico do seno é mostrado a seguir:,5,5 -,5 - -,5 A intersecção com o eixo x é feita fazendo f(x) = senx =, e, portanto, x = kπ, onde k é um inteiro. A análise para o cosseno é similar. senx A função tangente é definida como f(x) = tgx =.O domínio da função tangente são os reais, cos x excluindo os pontos onde o cosseno se anula.a função tangente assume valores em todo o conjunto dos reais. 8