Estudo Dirigido - Desvendando a Geometria Analítica: Distância entre dois pontos

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1 Estudo Dirigido - Desvendando a Geometria Analítica: Distância entre dois pontos Conteúdo: Plano Cartesiano Público-alvo: Alunos de Ensino Médio Competências; Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnicocientíficas, usando representações algébricas. Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. Habilidades: Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. O que é um aparelho de GPS? Você já usou um aparelho de GPS para se localizar? Quais são as aplicações do GPS? Como funciona o GPS? Conceitos iniciais Provavelmente você já ouviu falar do sistema de posicionamento global, normalmente chamado de GPS. Esse nome vem do inglês (Global Positioning System), uma vez que o GPS foi criado pelo governo dos Estados Unidos para fins militares e, depois, foi disponibilizado à população civil. Existem 24 satélites que circundam a Terra duas vezes por dia, a uma altitude de aproximadamente km. As órbitas dos satélites foram feitas de tal forma que, a qualquer

2 instante e em qualquer ponto da superfície do planeta, quatro satélites são sempre visíveis, ou seja, estão no céu em uma posição que permite que os sinais por eles emitidos possam ser captados. A partir do sinal emitido pelos satélites, um aparelho receptor é capaz de determinar sua posição e altitude na Terra, com uma margem de erro de até 2m. Para o sistema militar americano, a margem de erro é de 2 cm. Isso é possível porque os satélites emitem simultaneamente seus sinais, usando micro-ondas. O aparelho receptor é programado de tal forma que sabe quando o sinal foi emitido e, usando um relógio interno, ele descobre quanto tempo o sinal levou para sair do satélite e chegar até ele. Como a velocidade da onda também é conhecida, o receptor pode calcular sua distância até o satélite (d = v.t). O sinal do satélite mostra sua posição no espaço; usando um pouco de Geometria Analítica Espacial, o receptor consegue determinar as coordenadas de sua própria posição, ou seja, o receptor pode informar ao usuário onde ele está. Mas o que é a Geometria Analítica? A Geometria Analítica foi criada por René Descartes, por volta de O principal objetivo de seu criador era mostrar um novo modo de pensar, de analisar e resolver problemas de geometria. Assim, a Geometria Analítica não é um conteúdo em si, mas uma estratégia de resolução de problemas de geometria. Até a criação da Geometria Analítica, todos os problemas de geometria só eram resolvidos com os conhecimentos clássicos desse assunto: congruência ou semelhança de figuras, teoremas que permitiam o cálculo de áreas, volumes e comprimento de segmentos, relações de proporcionalidade entre segmentos e propriedades das figuras em geral. Descartes foi o primeiro a perceber que, além de todo esse arsenal, os problemas de geometria podiam ser atacados, usando-se a álgebra. A Geometria Analítica, então, é como um dicionário entre a Álgebra e a Geometria. Qualquer questão geométrica é traduzida em uma propriedade algébrica, sendo o problema resolvido do ponto de vista algébrico e sua resposta, traduzida de volta para a Geometria. Alguns problemas para ativar o pensamento... 1) A Terra é uma esfera de aproximadamente 6 300km de raio. Como foi dito no texto, os satélites GPS orbitam a Terra a km de altitude. Faça um desenho, em escala, mostrando a Terra e a órbita de um satélite GPS. Deixe claro, também, qual foi a escala utilizada. 2) Se apenas um satélite GPS for visível no céu, por que não é possível determinar a posição do receptor na superfície terrestre?

3 O plano cartesiano A principal ideia da Geometria Analítica é o plano cartesiano. Considere um plano e nele marque duas retas perpendiculares entre si, no ponto O, chamado de origem. Essas retas são chamadas de eixos coordenados. A primeira reta (normalmente desenhada na horizontal) é chamada de eixo das abscissas ou eixo x e é representada por OX. A segunda reta (normalmente desenhada na vertical) é chamada de eixo das ordenadas ou eixo y e é representada por OY. Cada ponto dos eixos corresponde a um número real, de tal forma que o ponto O (comum aos dois eixos) representa o número zero. Normalmente representamos os números positivos do eixo x à direita de O e os números positivos do eixo y acima de O. Para indicar a posição dos números positivos de cada eixo, colocamos uma pequena seta na direita do eixo x e na parte superior do eixo y, como mostra a figura. Os eixos coordenados Embora seja muito comum, não é obrigatório que o eixo x seja horizontal e o eixo y seja vertical. Na realidade, basta que eles sejam perpendiculares e que para ir do lado positivo do eixo x para o lado positivo do eixo y, o ângulo de 90 o seja percorrido no sentido anti-horário. Eixos cartesianos posição válida

4 Dado um ponto qualquer P do plano cartesiano, traçamos uma reta perpendicular ao eixo x, passando por P e uma reta perpendicular ao eixo y, passando por P. Considere que essas retas cortam os eixos x e y, respectivamente, nos pontos A e B. Suponha, também, que aos pontos A e B correspondem, respectivamente, os números a e b. Dessa forma, dizemos que o ponto P possui coordenadas (a,b). O número a é chamado de abscissa de P e o número b é chamado de ordenada de P. Representação do ponto P de coordenadas (2,3) Como você pode perceber, o plano cartesiano não é uma novidade. Já o utilizamos na construção de gráficos de funções e também no ciclo trigonométrico, para definir o seno e o cosseno de um número real. Mais alguns problemas para você pensar... 1) Considere uma reta numerada e uma pessoa na origem (posição p = 0). A cada segundo, essa pessoa joga uma moeda para cima. Se o resultado é cara, ela anda uma unidade para a direita e, se o resultado é coroa, ela anda uma unidade para a esquerda. a) Faça alguns lançamentos de moeda e represente, em um desenho, o caminho seguido por essa pessoa, até o primeiro momento em que ela retorna à origem. b) Quantas vezes você teve que lançar a moeda, até retornar à origem? c) Qual o ponto mais afastado da origem que foi alcançado? d) Todos, na sua sala, conseguiram fazer um caminho que retorna à origem. Em média, isso foi feito com quantos movimentos? 2) Considere o plano cartesiano e uma pessoa na origem, com duas moedas, uma de R$ 0,25 e outra de R$ 1,00. A cada segundo, as duas moedas são lançadas e, de acordo com o resultado, ocorre uma ação, conforme a tabela:

5 Resultado do lançamento da moeda de R$ 0,25 Resultado do lançamento da moeda de R$ 1,00 Ação Cara Cara Ir uma unidade para a direita Cara Coroa Ir uma unidade para a esquerda Coroa Cara Ir uma unidade para cima Coroa Coroa Ir uma unidade para baixo a) Faça alguns lançamentos de moeda e represente, em um desenho, o caminho seguido por essa pessoa, até o primeiro momento em que ela retorna à origem.. b) Quantas vezes você teve que lançar a moeda, até retornar à origem? c) Qual o ponto mais afastado da origem que foi alcançado? d) Todos, na sua sala, conseguiram fazer um caminho que retorna à origem. Em média, isso foi feito com quantos movimentos? 3) A figura abaixo mostra o mapa de uma região do Brasil, na qual foram colocados os eixos cartesianos. Determine as coordenadas dos pontos correspondentes às cidades de: a) Belo Horizonte b) Salvador c) Brasília d) Curitiba

6 4) Uma formiga estava sobre uma mesa, na qual se definiram os eixos cartesianos. Inicialmente ela estava na origem, mas foi em linha reta até o ponto A(2,3). Ao chegar ao ponto A, ela fez uma curva e foi em linha reta até o ponto B(-3,-4). Faça uma figura representando a trajetória seguida por essa formiga. 5) Na figura abaixo estão representados um quadrado e um triângulo equilátero, ambos com lado 5. Determine as coordenadas dos vértices de cada um desses polígonos. 6) Dados os pontos A(2,3), B(5,7), C(-3,-4) e D(5,-3), represente no plano cartesiano os segmentos AB e CD. Esses segmentos são paralelos? 7) Você está no ponto A(5,-3) e deseja chegar ao ponto B(-6,4). Porém os segmentos CD, EF e GH são muros intransponíveis e você não pode atravessá-los. Considere C = (2,-5), D=(7,1), E = (1,2), F = (3,5), G = (-2,3) e H = (-7,-2). a) Faça um desenho representando essa situação e responda: para se ir em linha reta de A até B, quantos muros deveriam ser atravessados? b) Você decide, então, ir em linha reta de A, até um ponto J do terceiro quadrante e, depois, novamente em linha reta, ir de J até B, sem atravessar muro algum. Determine as coordenadas de um ponto J, com essas características. Fonte: Alves, Laurito e Alves, Cecília Geometria Analítica para todos. Edição Particular BH.

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