E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES

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1 E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES

2 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 SUMÁRIO Apresentação Capítulo Definição Domínio, Contradomínio e Imagem Tipos de função Outros tipos de função Função crescente Função decrescente Função constante Função Identidade Função Par e Função Ímpar Gráficos de Funções Análise de Gráficos Função Polinomial do 1º Grau Função Polinomial do 2º Grau Função Exponencial Função Logarítmica Função Inversa Função Composta Função Modular EXERCÍCIOS PROPOSTOS GABARITO Página 1

3 2 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Apresentação Ao chegar à UFPA, você tem a possibilidade de cursar gratuitamente cursos de nivelamento em Ciências Básicas (Física, Química e Matemática). Assistindo às aulas no próprio ambiente em que cursará sua graduação, isso auxiliará você a adquirir o conhecimento necessário para enfrentar melhor o programa curricular do seu curso. Então seja Bem-vindo ao Curso de Nivelamento em Matemática Elementar do PCNA. Este é o terceiro de uma série de cinco E-books que vão lhe acompanhar durante o curso, o professor utilizará este material como apoio às suas aulas e é fundamental que você o leia e acompanhe as atividades propostas. A série E-books PCNA-Matemática foi desenvolvida com o propósito de apresentar o conteúdo do curso de Matemática Elementar, fornecendo também ferramentas para facilitar o ensino e a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral que você irá encontrar em breve na sua graduação. Neste fascículo você irá encontrar o conteúdo de Funções. É bom lembrar que não se pode aprender Cálculo sem alguns pré-requisitos, que muitas das vezes não valorizamos por acharmos simples e descomplicados, todavia, atenção e compreensão se fazem necessária. Página 2

4 3 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Capítulo 3 No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente para indicar essa dependência ou variação Definição Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por f: A B, se todos os elementos do conjunto A estão associados a um e somente um elemento do conjunto B. Vamos analisar alguns tipos de relações e verificar se são funções de acordo com as figuras: Fig. 3.1 O diagrama da Fig. 3.1 não é função, pois o elemento X 3, pertencente a A, está associado a dois elementos de B. Página 3

5 4 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig. 3.2 Este outro exemplo da Fig. 3.2 não é uma função, pois o elemento X 3 pertencente a A, não está associado a elemento algum de B. Fig. 3.3 Este diagrama da Fig. 3.3 é uma função, pois todos os elementos de A possuem uma imagem associada em B. Página 4

6 5 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO Domínio, Contradomínio e Imagem Considere a função f:a B indicada no diagrama de flechas da Fig. 3.4 abaixo:. Fig. 3.4 Diagrama de flechas Ao conjunto A damos o nome de domínio da função. Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { 1, 0, 1}, ou seja, o domínio contém todos os elementos do conjunto A. Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função. No exemplo da Fig. 3.4, o contradomínio da função f é representado por CD(f) = {0, 1, 4}, isto é, o contradomínio contém todos os elementos do conjunto B. Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 4 não está relacionado a qualquer elemento de A. Um elemento do contradomínio B pode estar associado a mais de um elemento do domínio A. Como exemplo temos o elemento 1 que está associado aos elementos do domínio 1 e 1. Página 5

7 6 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. Novamente analisando a Fig. 3.4, o conjunto imagem é representado por Im(f) = {0, 1}, pois 0 e 1 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f). Nesta função, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 4 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio. Na representação cartesiana temos que Domínio é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f. Imagem é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f. A função f de A em B, f: A B, da Fig. 3.4, pode ser expressa pela seguinte lei de associação: f: A B, f(x) = x 2 ou ainda como: f: A B, y = x 2 A variável f(x) ou y é chamada de variável dependente, pois depende de x, já a variável x é chamada de variável independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domínio A IMPORTANTE: Não confundir f e f(x): f é o nome da função, enquanto f(x) é o valor que a função f assume no ponto x D(f). Página 6

8 7 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto o contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra de associação, no caso f(x) = x 2, como também do D(f) e do CD(f). Quando a função f é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos A e B, convenciona-se que o contradomínio B seja o conjunto dos números reais. O domínio é o conjunto dos números reais, desconsiderando os valores de x para os quais não é possível obter, pela lei de associação, uma imagem real. Diz-se, então, que a função f é uma função real de variável real. Exemplos: 1) Dada a função f(x) = 4x 2 2, determine [f(0) f(2)] Solução: f(1) f(0) = = 2, f(2) = = 14, f(1) = = 2. [f(0) f(2)] f(1) ( 2) (14) = = 8 2 2) Seja f uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Lia, Max, Naira e Vítor. Determine o Domínio, a Imagem e o Contradomínio da função. Página 7

9 8 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Solução: D(f)={ José,Lia,Max,Naira,Vitor} I(f)={ J,L,M,N,V}; CD(f)=todas as letras do alfabeto 3) Encontre o Domínio e a Imagem da função f que calcula o quadrado de um número. Solução: Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função f como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de x e a variável dependente de y, a função f pode ser representada pela equação: y = x 2. Como para qualquer valor de x R, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de y, tem-se: D(f)={R} Se x < 0 então y = x 2 > 0; se x=0 então y=0 e se x>0 então y>0. Portanto, y poderá ser zero ou um número positivo, assim: I(f) = {y ε R y 0} = [0, + ) Página 8

10 9 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 4) Encontre o Domínio e a Imagem da função g que calcula a área de um quadrado. Solução: Chamando o comprimento do lado do quadrado de x e sua área de y, podemos calcular a área de uma secção quadrada como x. x = x 2. Assim, a função g pode ser representada pela equação y = g(x) = x 2. Só é possível calcular a área y de um quadrado se o tamanho de seu lado for maior do que zero D(g)={x ε R x>0}=(0,+ ) Como x é sempre maior do que zero, a área y calculada pela equação y = x 2 será sempre um número maior do que zero; Im(g) = {y ε R y > 0} = (0, + ) Observe que a função f, que calcula o quadrado de um número, e a função g, que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação y = x 2, porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes. Duas funções f e g são iguais se elas têm o mesmo domínio e se f(x)=g(x) para todo x do domínio. 5) Calcule o domínio da função f(x) = 2x 4: Solução: Como 2x 4 só é possível em R se 2x 4 0, ou seja, x 2, então: Página 9

11 10 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 D = {x R x 2} 6) Calcule o domínio da função f(x) = 5 Solução: x+1 Como o termo x + 1 é o denominador da função, ele não pode ser nulo (pois não existe divisão por zero). Portanto x + 1 0, ou seja, x 1. D = {x R x 1} 7) Calcule o domínio da função: f(x) = x 2 3 x Solução: Como visto anteriormente: x 2 0. Portanto x 2 0, ou seja, x 2 (condição 1) Além disso, 3 x > 0, ou seja, x < 3. Mas como ele está no denominador, ele não pode ser igual a zero, portanto, x < 3 (condição 2). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 obtemos a solução representada na figura a seguir. Página 10

12 11 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Portanto, D = {x R 2 x < 3} 8) Determine o domínio da função h(z) = z 1 + z+1 z 2 : Solução: Devemos ter simultaneamente: z 1 0 z 1 (s1) z 2 0 z 2 (s2) D = s1 s2 D = {z R z 1 z 2} 3.3. Tipos de função Função Sobrejetora: Uma função f: A B é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for especificadamente igual ao contradomínio. Como no exemplo da Fig Página 11

13 12 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig. 3.5 Diagrama para uma função sobrejetora Função Injetora: Uma função f: A B é injetora se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, como exemplo a Fig Fig. 3.6 Diagrama para uma função injetora Página 12

14 13 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Função Bijetora: Uma função f: A B é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Isto é, se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas e o conjunto imagem for igual ao contradomínio. Fig. 3.7 Diagrama para uma função bijetora 3.4. Outros tipos de função Função crescente Definição: A função f: A B definida por y = f(x) é crescente no conjunto A 1 A se, para dois valores quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a A 1, com x 1 < x 2 tivermos f(x 1 ) < f(x 2 ) Em símbolos, f é crescente quando: ( x 1 ; x 2 ) (x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 )) Página 13

15 14 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 A função é crescente em um determinado intervalo se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y também aumenta (coeficiente angular positivo), segundo o gráfico da Fig. 3.8: Fig. 3.8 Gráfico de uma função crescente Exemplo: A função f(x) = 2x é crescente em R: Solução: x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ); assim: x 1 < x 2 2x 1 < 2x 2 ; ( x 1, x 2 R) Função decrescente Definição: A função f: A B definida por y = f(x) é decrescente no conjunto A 1 A se, para dois valores Página 14

16 15 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a A 1, com x 1 < x 2 tivermos f(x 1 ) > f(x 2 ) Em símbolos, f é crescente quando: ( x 1 ; x 2 ) (x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 )) A função é decrescente em um determinado intervalo se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y diminui (coeficiente angular negativo), segundo o gráfico da Fig. 3.9: Fig. 3.9 Gráfico de uma função decrescente Página 15

17 16 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Exemplo: A função f(x) = 2x é decrescente em R: Solução: x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ); assim: x 1 < x 2 2x 1 > 2x 2 ; ( x 1, x 2 R) Função constante Toda função f: R R na forma f(x) = k, com k R é denominada função constante. D(f) = R e Im(f) = k Na função constante, todos os elementos do domínio terão sempre o mesmo valor de imagem, isto é, ao variarmos x encontramos sempre o valor k. Segundo o diagrama de flechas da Fig.3.10 que representa este tipo de função. Página 16

18 17 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig Diagrama para uma Função constante O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo X que cruza o eixo Y em y = k. Ou seja, passa pelo ponto (0, k). Exemplo: Plote o gráfico da função f(x) = 2 Solução: Para qualquer valor de x o valor da imagem da função é igual a 2. Por exemplo, se x = 0 f(0) = 2, se x = 4 f(4) = 2. Assim, o gráfico da função é uma reta paralela ao eixo X e que passa pelo ponto (0, 2) como na Fig. 3.11: D(f) = R e Im(f) = 2 Página 17

19 18 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig exemplo de gráfico de uma função constante f(x) = Função Identidade Uma aplicação f de R em R, recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x R associa o próprio x, isto é: f: R R x x O gráfico da função identidade está esboçado na Fig É uma reta que contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes, e sua imagem é Im = R Página 18

20 19 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig Gráfico da função f(x) = x Função Par e Função Ímpar Uma função f é dita ser uma função par se obedecer a lei da seguinte eq.(3.1): f( x) = f(x) (3.1) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos Y. Uma função f é dita ser uma função ímpar se obedecer a lei da seguinte Eq. (3.2): f( x) = f(x) (3.2) Página 19

21 20 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplos: Dada a função f determine se ela é uma função par ou uma função ímpar com base nas Eq. 3.1 e 3.2 1) f(x) = x 2 1 Solução: Escolhendo valores arbitrários do domínio de f temos: para x = 2 f( 2) = f(2) = 3 para x = 3 f( 3) = f(3) = 8 Como f( x) = f(x) a função é par Também podemos reconhecer se uma função é par analisando seu gráfico como na Fig Observe no gráfico da função f(x) = x 2 1, que existe uma simetria em relação ao eixo y. Por exemplo, as imagens de x = 2 e x = 2 são iguais (y =3), assim os pontos (2,3) e (-2,3) estão simétricos em relação a Y Página 20

22 21 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig Gráfico da Função par f(x) = x 2 1 2) f(x) = 2x Solução: Escolhendo valores arbitrários do domínio de f temos: z para x = 1 f(1) = 2 e f( 1) = 2; para x = 2 f(2) = 4 e f( 2) = 4; Como f( x) = f(x) a função é ímpar. É possível observar que no gráfico, da Fig. 3.14, que f(x) = 2x possui uma simetria em relação ao ponto da origem do sistema cartesiano (0;0). Temos os pontos simétricos (1;2) e ( 1, -2), assim como (2, 4) e (-2, 4). Nesse caso, temos uma função ímpar Página 21

23 22 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig. 3.14: Gráfico da Função ímpar f(x) = 2x 3.5 Gráficos de Funções O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) no plano xy tal que x pertence ao D(f) e y pertence a Im(f). Assim, o gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)), pois y = f(x). Costuma-se dizer que uma função real a uma variável real gera uma curva em R 2. Como não é possível a representação de todos os pontos (x,f(x)), podemos escolher alguns valores de x pertencentes ao D(f) para calcular as correspondentes imagens f(x), como feito na Fig Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o chamado gráfico de dispersão. Página 22

24 23 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma curva como na Fig.3.16, obtendo o gráfico da função. Exemplo: Esboce o gráfico da função f(x) = 9 x 9 x 0 x 9 D(f) = (, 9] e Im(f) = [0, + ) x y = 9 x Fig Tabela de pontos de dispersão Página 23

25 24 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig Gráfico de pontos de dispersão da função f(x) = 9 x Análise de Gráficos Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do domínio intercepta a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em mais de um ponto não é função. Na Fig traçamos o gráfico da seguinte equação: y 2 = 4x + 6y 13. Esta equação não representa uma função, pois para um mesmo valor de x obtêm-se dois valores de y. Página 24

26 25 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig.3.17 Gráfico de y 2 = 4x + 6y 13 Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem. O domínio de uma função é o conjunto das abscissas x dos pontos do gráfico (projeção no eixo x). A imagem da função é o conjunto das ordenadas y dos pontos do gráfico (projeção no eixo y). Fig Gráfico mostrando D(f) e Im(f) Página 25

27 26 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Os valores de x para os quais f(x) = 0 chamam-se zeros da função f ou raízes da equação f(x) = 0. Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal Função Polinomial do 1º Grau A função f é dada por um polinômio de 1º Grau segundo a Eq. 3.3 : f(x) = a. x + b (3.3) Com a e b reais e a 0 D(f) = R e Im(f) = R Se b 0 na Eq. 3.3, então a função recebe o nome de função afim. Se b = 0 a função recebe o nome de função linear. O coeficiente a determina se f é uma função crescente ou decrescente. Se a > 0, f é uma função crescente. Se a < 0, f é uma função decrescente. O gráfico de uma função polinomial de 1º grau é uma reta. Para determinar uma reta bastam 2 pontos. Uma vez encontrados dois pontos que satisfazem a equação da função, seu gráfico é obtido traçando uma reta por eles. Página 26

28 27 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Gráfico de uma Função Afim Seja a função afim de equação: com a 0 e b 0 y = f(x) = a x + b O coeficiente linear b é o valor que y assume quando x = 0, enquanto que a raiz x = b é o valor de x que torna a y = 0. Assim, os pontos (0, b) e ( b, 0) podem ser usados a para traçar o gráfico da função. Exemplos: Plote o gráfico das funções dadas pelas equações: a) y = 2 x + 4 Solução: Quando x = 0 y = 4 e quando y = 0 x = 2. A reta passa pelos pontos A( 2,0) e B(0,4). Página 27

29 28 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig Gráfico de y = 2x + 4 b) y = 2 x 2 Solução: Para x = 0 y = 2 e para y = 0 x = 1. A reta passa pelos pontos A( 1,0) e B(0, 2). Página 28

30 29 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig Gráfico de y = 2x 2. Note que o coeficiente a = 2, logo a reta é decrescente Gráfico de uma Função Linear Seja a função linear de Eq. 3.4: com a 0 na Eq. 3.4 f(x) = a. x (3.4) A função linear é um caso particular da função afim quando o termo independente b é nulo. Uma característica das funções lineares é que o seu gráfico passa pelo ponto (0,0). a origem da sistema de Página 29

31 30 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 coordenadas cartesianas. Para o traçado do gráfico precisamos de mais um ponto. Este ponto pode ser obtido encontrando o valor da imagem y = f(x) para qualquer valor de x D(f). Exemplo: Plote o gráfico da função dada por: f(x) = 1 2 x Solução: y = x 2 Quando x = 0 y = 0 e quando x = 4 x = 2. A reta passa pelos pontos A(0,0) e B( 4,2). Fig Gráfico de y = x 2 Página 30

32 31 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Sinal de uma Função Para se estudar o sinal de uma função, quando a função está representada no plano cartesiano, basta examinar se é positiva, nula ou negativa a ordenada de cada ponto da curva. Exemplo: Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está abaixo representado. Solução: Preparando o gráfico com aspecto prático temos: Página 31

33 32 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Conclusão: f(x) = 0 x = 0,5 ou x = 1 ou x = 2,5 ou x = 3 f(x) > 0 0 < x < 0,5 ou 1 < x < 2,5 f(x) < 0 0,5 < x < 1 ou 2,5 < x < Função Polinomial do 2º Grau Uma função f é denominada de função de 2º grau quando ela for dada por um polinômio de 2º Grau: f(x) = ax 2 + bx + c (3.5) Com a, b e c na Eq. 3.5 pertencente aos reais e a 0. O gráfico de uma função de 2º grau é uma parábola. A parábola será côncava para cima se a > 0, e será côncava para baixo se a < 0. Página 32

34 33 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig Gráfico para a > 0 Fig Gráfico para a < 0 O vértice da parábola é dado pelo ponto (x v, y v ) em que as coordenadas xv e yv são dadas pelas seguintes Eq. 3.6 e 3.7 : Página 33

35 34 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 x v = b2 a (3.6) Onde = b 2 4a. c y v = Δ 4a (3.7) O domínio e imagem da função de 2º grau é: se a > 0, D(f) = R e Im(f) = [y v, + ) se a < 0, D(f) = R e Im(f) = (, y v ] É importante notar que se a parábola for côncava para cima, x v corresponde ao seu ponto de mínimo e y v corresponde ao valor mínimo da função. Se a parábola for côncava para baixo, x v corresponde ao seu ponto de máximo e yv corresponde ao valor máximo da função. A função polinomial de 2º grau possui duas raízes ou zeros, que são os pontos x 1 e x 2 do domínio para os quais a imagem é nula, ou seja: f(x 1 ) = 0 e f(x 2 ) = 0 As raízes da função podem ser calculadas pela fórmula de Bháskara segundo as Eq. 3.8 e 3.9: x 1 = b + 2a (3.8) e x 2 = b 2a (3.9) Página 34

36 35 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Se Δ > 0 a função f tem duas raízes reais e distintas x 1 x 2. Se Δ = 0 a função f tem duas raízes reais iguais x 1 = x 2. Se Δ < 0 a função f não tem raízes reais. Se as raízes da função forem números reais então os pontos (x 1, f(x 1 )) = (x 1, 0) e (x 2, f(x 2 )) = (x 2, 0) são os pontos que o gráfico da função intercepta o eixo dos x. Exemplos: Plote o gráfico das funções: a) f(x) = 3x 2 9x + 6 Solução: a = 3 ; b = 9 ; c = 6 ; Δ = b 2 4. a. c = ( 9) = 9 Substituindo estes valores nas Eq. 3.8 e 3.9 : x 1 = = 2 e x 2 = = 1 x v = b 2a = 9 6 = 3 2 e y v = Δ 4a = 9 12 = 3 4 Página 35

37 36 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 O gráfico da função é a parábola que passa pelos pontos (1,0), (2,0) e ( 3, 3 ) e que é côncava para cima, pois 2 4 a = 3 > 0. b) f(x) = x 2 + 3x Solução: a = 3 ; b = 9 ; c = 6 Como o termo c = 0, a fatoração deste polinômio é bastante simples e podemos utilizar este fato para encontrar as raízes da função sem utilizar as Eq. 3.8 e 3.9. f(x) = x 2 + 3x = 0 x( x + 3) = 0 Para que o produto seja nulo temos que ou x = 0 ou ( x + 3) = 0, assim, x 1 = 0 e x 1 = 3. x v = 3 2( 1) = 3 2 e y v = f ( 3 2 ) = 9 4 Página 36

38 37 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 O gráfico da função é a parábola que passa pelos pontos (0,0),(3,0) e ( 3, 9 ) e que é côncava para baixo pois a = 1 < c) f(x) = 2x 2 4x + 2 Solução: a = 2 ; b = 4 ; c = 2 ; Δ = b 2 4. a. c = ( 4) = 0 x 1 = x 2 = 4 ± 0 4 = 0 x v = b 2a = 4 4 = 1 e y v = Δ 4a = 0 8 = 0 Página 37

39 38 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Quando Δ = 0 as raízes da função são iguais x 1 = x 2. O gráfico da função é uma parábola de vértice (x 1, 0) coincidindo com o ponto que ela intercepta o eixo dos X. Para uma representação razoável de uma parábola, necessitamos de no mínimo 3 pontos. O gráfico da função intercepta o eixo Y quando x = 0 então, se x = 0 f(0) = 2, assim o ponto (0,2) pertence à parábola. Qualquer ponto do domínio pode ser utilizado para encontrar o terceiro ponto da parábola. Se x = 2 f(2) = 2, assim o ponto (2,2) pertence à parábola. O gráfico da função f(x) = 2x 2 4x + 2 é a parábola que passa pelos pontos (1,0), (0,2) e (2,2) e que é côncava para cima, pois a = 2 > 0. Página 38

40 39 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 d) f(x) = 2x 2 4x + 3 Solução: a = 2 ; b = 4 ; c = 3 ; Δ = b 2 4. a. c = ( 4) = 8 < 0 x v = b 2a = 4 4 = 1 e y v = Δ 4a = 8 8 = 1 Quando Δ < 0 as raízes da função não são números reais. Isto significa que o gráfico da função não intercepta o eixo dos X. O gráfico da função intercepta o eixo Y quando x = 0 então, se x = 0 f(0) = 3. Quando x = 2 f(2) = 3, assim o ponto (2,3) pertence à parábola. O gráfico da função f(x) = 2x 2 4x + 3 é a parábola que passa pelos pontos (1, 1), (0, 3) e (2, 3) e que é côncava para cima, pois a = 2 > 0. Página 39

41 40 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Gráfico de uma Função Quadrática Para fazermos o esboço do gráfico de uma função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c, buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são: 1) O gráfico é uma parábola cujo eixo de simetria é a reta x = b perpendicular ao eixo dos x. 2a 2) Verificar se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo, a > 0 ou a < 0. 3) Zeros da função. Se >0, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos P1 ( b+ ) e P2 ( b 2a 2a ) 4) Vértice da parábola é o ponto V(x v, y v ) V ( b 2a, 4a ) que é máximo se a < 0 e mínimo se a > Função Exponencial Toda função f: R R na forma f(x) = a x, com a>0 e a 1 é denominada de função exponencial. D(f) = R e Im(f) = R + = (0, + ) O gráfico da função exponencial f(x) = a x é uma curva que intercepta o eixo Y no ponto (0,1), pois f(0) = a 0 = 1 e nunca intercepta o eixo dos X, pois a imagem da função não pode ser zero pois é estritamente positiva. A função é crescente se a base a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Página 40

42 41 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Fig Gráficos de funções exponenciais cujas bases estão 0<a<1 Observe que para valores positivos de x, o gráfico da função se aproxima do eixo Ox, embora sem nunca tocá-lo. Dizemos que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico desta função. Fig Gráficos de funções exponencias cujas bases são a>1 Página 41

43 42 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 A função f(x) = e x, cuja base é a constante de Euler e (e 2,718 ) desempenha um papel muito importante nas aplicações da engenharia. Exemplos: 1) Plote o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = e x e g(x) = e x Solução: Como a função f(x) = e x é uma função exponencial de base igual ao número de Euler e = 2,7182, a função é crescente, pois e > 0. Os valores que a função g(x) = e^x assume são iguais aos valores de f(x) = e x multiplicados por 1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X. Página 42

44 43 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 b) f(x) = e x e g(x) = e x Solução: Como a função f(x) = e x = (e 1 ) x é uma função exponencial de base igual e 1, ela é decrescente, pois 0 < e 1 < 1. Os valores que a função g(x) e x assume são iguais aos valores de f(x) = e x multiplicados por 1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X Função Logarítmica Toda função f: R R na forma f(x) = log a x, com a > 0 e a 1 é denominada de função exponencial. D(f) = R + = (0, + ) e Im(f) = R O gráfico da função logarítmica f(x) = lo g a x é uma curva que intercepta o eixo X no ponto (1,0), pois f(1) = lo g a 1 = lo g a a 0 = 0. O gráfico da função nunca intercepta o eixo dos Página 43

45 44 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Y, pois x = 0 não pertence ao domínio da função, ou seja, f(0). A função é crescente se a base a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Fig Gráficos de funções logarítmicas cujas bases são a > 1 Fig Gráficos de funções logarítmicas cujas bases estão 0 < a < 1 Página 44

46 45 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Exemplos: 1) Plote o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = ln(x) e g(x) = ln(x) Solução: Como a função f(x) = ln(x) é uma função logarítmica de base igual ao número de Euler e = 2,7182, a função é crescente, pois e > 0. Os valores que a função g(x) = e x assume são iguais aos valores de f(x) = e x multiplicados por 1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X Função Inversa Se f:a B for uma função injetora então, ela admite uma função inversa f 1 : B A Exemplo: Dados dois conjuntos A = {a, b, c, d, e} e Y = { A, B, C, D, E}, define-se a função (f) como sendo a lei que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo no diagrama da Fig.3.31 Página 45

47 46 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 B. Fig Diagrama de associação Observe que a função f é injetora onde D(f) = A e Im(f) = Se f é injetora então ela admite uma função inversa f 1 : B A onde D(f) = B e Im(f) = A Fig Diagrama para a função inversa de f Observação 1: o que era domínio na função f original vira imagem na função inversa f 1, e o que era imagem na função original vira domínio na função inversa. Página 46

48 47 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Observação 2: Se f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = f 1 (x) são reflexões um do outro em relação a reta y=x. Exemplos: 1) Dada a função f calcule sua inversa f 1 a) f(x) = 3 x + 6 Solução: Fazendo y = f(x) y = 3x + 6 x = 3y + 6 3y = x 6 y = x 6 3 É fácil observar a mudança das variáveis: o que era x virou y, e vice-versa. Após fazer essa substituição, é só isolar a variável y para encontrar a função inversa. Página 47

49 48 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 b) f(x) = 2 x Solução: y = 2 x x = 2 y log 2 (x) = log 2 2 y y log 2 2 = log 2 x y = f 1 (x) = log 2 x Observe que as funções exponenciais e logarítmicas são funções inversas. D(f) = R e Im(f) = R + = (0, + ) D(f 1 ) = R + = (0, + ) e Im(f) = R Fig Gráficos de duas funções inversas, logarítmica e exponencial, sendo um caso clássico de funções inversas. Veja a simetria em relação a y=x Função Composta Sejam três conjuntos distintos A, B e C que entre eles existam as seguintes funções: f: A B e g: B C Exemplo: Dados dois conjuntos A = {a, b, c, d, e} e Y = { A, B, C, D, E}, define-se a função (f) como sendo a lei que associa Página 48

50 49 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo no diagrama da Fig.3.31 Assim, irá existir outra função h A C tal que h(x) = g(f(x)) que é chamada de função composta de g e f denotada por (g f)(x) na Fig.3.34 : Fig Diagrama de flechas para uma função composta Na função (g f)(x) = g(f(x)), resolvemos primeiro a função interna f, ao resultado,ou seja, à imagem de f aplicamos a função g. Assim, o domínio de (g f)(x)é o conjunto de todos os elementos x no domínio de f tal que f(x) esteja no domínio de g. Dom(g f) = {x D(f) f(x) D(g)} É importante lembrar que as funções (g f) e (f g) são geralmente diferentes. Exemplos: 1) Considere as funções: g(x) = 2x 2 e f(x) = x + 1 a) Determine a função composta g o f. Página 49

51 50 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 Solução: Como a função (g o f)(x) = g(f(x)) agora os elementos do domínio de g são as imagens y = f(x) da função f. Isto significa que o "x" da função g deve ser substituído por "f(x)". Então: g o f = g(f(x)) = 2. f(x) 2 = 2. [x + 1] 2 = 2. [x 2 + 2x + 1] = 2x 2 + 4x + 2 (g o f)(x) = 2x 2 + 4x + 2 b) Determine a função composta f o g. Solução: Como a função (f o g)(x) = f(g(x)) agora os elementos do domínio de f são as imagens y = g(x) da função g. Isto significa que o "x" da função f deve ser substituído por "g(x)". Então: fo g = f(g(x)) = g(x) + 1 = [2x 2 ] + 1 = = 2 x (f o g)(x) = 2x c) Determine a função composta f o f. Solução: f o f = f(f(x)) = f(x) + 1 = [x + 1] + 1 = = x + 2 Página 50

52 51 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 (f o f)(x) = x + 2 d) Determine a função composta g o g. Solução: g o g = g(g(x)) = 2. [g(x)] 2 = 2. [2x 2 ] 2 = = 2. (4x 4 ) = 8 x 4 (g o g)(x) = 8 x Função Modular Função definida por mais de uma sentença: Sendo uma função f definida pelas sentenças: Se x < 0, então f(x) = 1 Se x 0, então f(x) = x + 1 Calcule, utilizando as sentenças acima, f( 3), f( 2), f(0) e f(2). Y é uma função de x definida por duas sentenças. Assim, usa-se uma sentença ou outra, dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra. Nesse caso, a Página 51

53 52 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 mudança de sentença fica evidente no gráfico da função f mostrado abaixo. Características da função modular: Chama-se função modular a função f de IR em IR dada pela lei f(x) = x. Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser caracterizada: x, se x 0 f(x) = { x, se x < 0 } Exemplos 1) Se f(x) = x 1 e g(x) = x, construa o gráfico da função h(x), que é a composta de g com f. De modo geral, para esboçar o gráfico de h(x) = f(x) : Página 52

54 53 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 1 quando f(x) 0, o gráfico de h(x) é o próprio gráfico de f(x). 2 quando f(x) < 0, o gráfico de h(x) é o gráfico de f(x). g(f(x)) = x 1 2) Se f(x) = x² 4 e g(x) = x, então a composta de g com f é dada pela lei: h(x) = g(f(x)) = g(x² 4) = x² 4 Construa o gráfico da função h(x) = x² - 4. Página 53

55 54 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Aqui estão questões relacionadas ao capítulo estudado. É importante o esforço para resolver todas as questões. Em caso de dúvidas os monitores do programa estão prontos para lhe ajudar. Bons estudos! 1) Seja f(x) = 1, x 0. Se f(2 + p) f(2) = 3. Calcule f(1 x 2 p) f(1 + p). 2) Esboce o lugar geométrico do seguinte conjunto H = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2y = 0}. Verifique que o conjunto esboçado não corresponde a uma função. 3) Verifique as possibilidades para os quais x satisfaz a inequação (4x 3)/(x + 1) > 2 4) Os pontos (0,0) e (2,1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = Calcule o valor de f(1). 5) O maior elemento da sequência a n = n 2n 2, n = 1,2,3, 50, vale: Página 54

56 55 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 6) Se o conjunto: S = {x R/a x b ou x c} é a solução de (x + 2). (2x x 2 ) 0 O valor de a 2 + b 2 + c 2 é: 7) Considere a função f(x) = x 1 + x 2 ; Mostre que 2x + 3 se x 1 f(x) = { 1 se 1 < x < 2 2x 3 se x 2 Em seguida esboce o gráfico de f. 8) As soluções da equação: x a x + a + x + a x a = 2(a4 + 1) a 2 (x 2 a 2 ) Onde a 0, são: 9) O domínio da função real f definida por: é: f(x) = 2x 1 1 3x 10) Seja S o conjunto de todas as soluções da equação log 0.25 (x + 1) = log 4 (x 1). Mostre que S possui solução única. 11) Seja a equação logarítmica (log m 2). (log m 16 2) = log m Calcule a soma de suas raízes. Página 55

57 56 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 12) Se: 6 log a m 1 + log a 2 m = 2 Com a > 0, a 1 e m > 0, então: m é: a + m 13) Encontre o domínio real da função: 2 x f(x) = x 2 8x ) Mostre que a inequação 10 x + 10 x x x x+4 < Em que x é um número real, possui apenas solução negativa. 15) Plote: a) f(x) = e x. b) g(x) = 2. x x c) f(x) = 4 3e x d) g(x) = 2 x 2 + 6x ) Para 1 < x < 0.5, o gráfico da função y = x x 1, coincide com o gráfico da função y = ax + b. Encontre os valores de a e b. Página 56

58 57 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 17) Sejam f, g: R R funções tais que g(x) = 1 x e f(x) + 2f(2 x) = (x 1) 3, para todo x R. Calcule f(g(x)). 18) A soma das raízes reais positivas da equação 4 a 5 2 a + 4 = 0, sendo a = x 2 é: 19) Plote o gráfico de f(x) = ln( x 1). 20) Dadas as funções e f(x) = 3x 2x + 1 g(x) = 2x + 1 3x, responda e calcule o que se pede: a) Indique o domínio das funções f(x) e g(x). b) A função g(x) é a inversa de f(x)? Em caso negativo, encontre a função inversa de f(x). c) Determine o valor da soma f(2) + g(2). d) Determine o valor do quociente f( 3)/g( 3). Página 57

59 58 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 GABARITO 1) 12/5 2) [x² + (y 1)² = 1]. Logo, a equação de uma circunferência não é uma função. 3) S = {x R x < 1 ou x > 5/2} 4) f(1) = 3/10 5) Y máx = 450 6) a² + b² + c² = 8 2x + 3, se x 1 7) S = { 1, se 1 < x < 2 2x 3, se x 2 } 8) ±1/a 9) D f = {x R 1/3 < x 1/2} 10) x = ) m 1 + m 2 = 10, sendo m 1 = 6 e m 2 = 4 12) 1/2 13) D f = {x R x 2 ou x 4} 14) x < 0 Página 58

60 59 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 15.a) f(x) = e x { e x, se x 0 e x, se x < 0 } 2, se x > 0 15.b) g(x) = 2 x /x { 2, se x < 0 } 15.c) f(x) = 4 3e x { 4 3e x, se x 0 4 3e x, se x < 0 } 15.d) g(x) = 2 x 2 + 6x x² 12x + 18, se 2 x 4 { 2x x 13, se x > 4 ou x < 2 } 16) a = - 1 e b = 2 17) f(g(x)) = x³; f(x) = (-x + 1)³ 18) a 1 = 2 e a 2 = 0. Logo, a 1 + a 2 = 2 ln (x 1), se x > 1 19) f(x) = { l n( x 1), se x < 1 } 20.a) D f(x) = {x R x 1/2} e D g(x) = {x R x 0} 20.b) Não, a inversa é F 1 (x) = x 3 + 2x 20.c) f(2) = 6/5 e g(x) = 5/6. Logo, f(2) + g(2) = 61/30 20.d) f( 3) g( 3) = (9 5 ) Página 59