Material Didático. Matemática Elementar. Fevereiro Universidade Federal do Pará. Equipe de Matemática:

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1 Matemática Elementar Material Didático Equipe de Matemática: (PCNA Fevereiro de 014) Rosana Paula de Oliveira Soares (Coordenação) Fevereiro 014 Monitores: Brenna Carolina Almeida Garcia Daniel Lima de Lima Fabrício Pinheiro Baía Pedro Santos Valente Rafael Araújo Santos Ramon Lopes de Moraes Rodrigo Rodrigues Paiva Universidade Federal do Pará

2 Equipe de Professores Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação Geral) Matemática: Rosana Paula de Oliveira Soares (Coordenação) Rita de Cássia Carvalho Silva Química: Shirley Cristina Cabral Nascimento (Coordenação) Marlice Cruz Martelli Ana Rosa C.L.M. Duarte Marcos Vinícius de Souza Pinto Física: Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação) José Benício da Cruz Costa

3 Sumário 1. Aritmética e Expressões Algébricas Operações com Números Fracionários Potenciação e Radiciação Logaritmos Racionalização Polinômios Operações Com Expressões Algébricas Intervalos, Inequações e Módulo Intervalos Inequações Módulo ou Valor Absoluto Função Definição Domínio, Contradomínio e Imagem Tipo de Funções Gráfico de Funções Função Constante Função Polinomial de º Grau Função Polinomial de º Grau Função Exponencial Função Logarítmica Função Inversa Função Par e Função Impar Função Composta Geometria Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares ou Plano Cartesiano Distância Entre Dois Pontos No Plano Cartesiano Coeficiente Angular e Equação da Reta Semelhança Área Volumes Trigonometria Conceitos Iniciais Círculo Trigonométrico Relações Trigonométricas Inversas Identidades Trigonométricas Funções Trigonométricas Sistema de Coordenadas Polares i

4 1. Aritmética e Expressões Algébricas 1.1.Operações com Números Fracionários Soma e Subtração 1º Caso: Para a soma ou subtração de duas frações deve-se observar se as mesmas possuem o mesmo denominador. Neste caso, o resultado é uma nova fração onde o numerador é a soma dos numeradores e o denominador é o mesmo das frações que estão sendo somadas, de acordo com a regra geral: a b a ± b ± = c c c Veja alguns exemplos: º Caso: Ex1: = 4 = Ex: = = Ex3: = 1 = Para frações que não possuem o denominador em comum, deve-se determinar com antecedência o mínimo múltiplo comum (MMC) de todos os denominadores das frações envolvidas, de modo a igualar os denominadores e aplicar a regra acima. 9 + =? 3 4 O MMC é obtido a partir da fatoração dos denominadores, como segue abaixo: 4,3,3 1,3 3 1,1..3 = 1 O MMC então é igual a 1. Prossegue-se adotando o 1 (MMC) como denominador comum para as duas frações e determinando um novo numerador para ambas, o qual é obtido dividindose o MMC pelo antigo denominador e multiplicando este resultado pelo antigo numerador, como abaixo: 9 (1 3) (1 4) = + = = Outra forma de solução para igualar os denominadores do exemplo anterior é multiplicar e dividir uma das frações pelo denominador da outra fração envolvida. O mesmo procedimento deverá ser efetuado na outra fração. Observe: = + = + = Verifica-se que o resultado obtido foi o mesmo quando se calculou usando o MMC. Ressalta-se que esta forma de cálculo é aconselhável quando a operação envolve poucas frações, visto que no caso de mais frações envolvidas os cálculos poderão ser mais trabalhosos e, consequentemente, levar a resultados errados. 5,9,1 5,9,6 5,9,3 3 5,3,1 3 5,1, =? ,1, = (180 5) (180 9) 8 (180 1) 7 + = + = = + = Multiplicação de Números Fracionários O produto de duas ou mais frações é o produto dos seus numeradores dividido pelo produto dos seus denominadores Ex1: = = = = Ex: 1 1 = =

5 Ex3: 10 + = + = + = (1 3) 50 (1 4) = + = + = = + = Com o objetivo de facilitar os cálculos pode-se primeiramente simplificar as frações envolvidas para depois efetuar os cálculos multiplicativos: 3 1 (3 3) = = = (15 3) (1 7) = = = = (14 7) Potenciação e Radiciação Sendo a e b números reais não nulos, m e n inteiros, tem-se as seguintes regras para a potenciação e radiciação: Potenciação 1) Potência de expoente nulo e igual a 1: = 1 = ) Potencia de expoente negativo: = 1 3) Multiplicação de potência (= base):. = 4) Multiplicação de potência ( base): Divisão de Números Fracionários Para o caso de divisão entre frações procede-se multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda: Exemplos: a b a d a d = = c b c b c d Ex1: = = Ex: 5 = = = 11 = (35 7) (1 4) Ex3: 14 = = = (14 7) (8 4) = = = (. ) 5) Divisão de potência (= base): : = 6) Divisão de potência ( base): : = (: ) 7) Potência de expoente fracionário: = 8) Potência de uma potência: Exemplos: ( ) = () Ex1: = = = = 8 10 = 10 = 10 Ex: ( ) Ex3: 3 7 = = = = Ex4: 4 4 = 4 = 4 = 6144 Ex5: ( ) = 11 = =

6 Radiciação 1) Raiz elevada a expoente de mesmo índice: ( ) = ) Raiz em forma de potência: = 3) Raiz de uma raiz:. = 4) Raiz de um produto e produto de raízes: Ex1: 4 = = 4 = =, Ex: 7 = 3 = 7 3 = 3 = 3, Ex3: = 3 = 3 = 3 = 3 = 4, Ex4: = = = = = 5 Ex5: 1 = h 3 = 1 3 = 3 h = 0 O é definido somente para R... =.. 5) Raiz de um quociente e quociente de duas raízes: = 6) Raiz de uma potência e potência de uma raiz: ( ) = 7) Inversamento: Exemplos: = Ex1: 5 = 5 Ex1: Ex: Ex3: Ex4: = = = = = = = = 4 0 = 5 = 5= 5 = = 3 = 3 = 9 = Tipos particulares de logaritmos A notação para o logaritmo decimal, cuja base é igual a 10, é como é indicado nos exemplos a seguir: Ex1: 100 = 10 = = 10 = Ex: 1000 = 10 = = 10 = 3 Ex3: = 10 = 10 = 10 = 1 Ex4: = 10 = 10 = 10 = 4 A notação para o logaritmo natural, cuja base é o número de Euler é como está ilustrado nos exemplos a seguir: 1.3. Logaritmos O logaritmo de a na base b é o expoente c que devemos atribuir ao número b para obter a. = =. onde > 0; > 0 1. Isto é ilustrado nos seguintes exemplos: Obs: Logaritmo natural não é a mesma coisa que logaritmo neperiano. Ex1: = = = 1, Ex: = = = 3 Ex3: = = = = 4. 3

7 Exemplo: Encontre o valor de = Resolução: (1/16) = ( 3) = + ( 1) ( 3) + 3 ( ) + = = 1 + 5, : = = = Propriedades dos logaritmos 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0. 1 = = 0 ) Logaritmo da base é 1. = = 1 3) Logaritmo de um produto (. ) = + 4) Logaritmo de um quociente = 5) Logaritmo de uma potência = 6) Potência de base b e expoente log é igual a a. = 6) Mudança da base b para a base c = = + 3 = 5 Ex3: (16.64) = = + 3 = 5 Ex4: (104 51) = = = + = = 19 Ex5: 0,1 10 = 0, = = = 1 Ex6: = 1 16 = 0 4 = 4 Ex7: = 7 81 = 3 4 = 1 Ex8: = = 10 8 = Ex9: = 5 65 = = 4 = Ex10: 5 = 5 = 5 =.1 = Ex11: = 5 = ( 3) 5 = = ( 3). 1 = 3 Ex1: 104 = 4 = 5 4 = 5.1 = 5 Ex13: 0,0001 = 10 = ( 4) 10 = = ( 4)1 = 4 Ex14: 0,001 = 10 = ( 3) 10 = = ( 3)1 = 3 Ex15: = 4 Ex15: 4 =. = = = 16 Ex17: = = Ex18:. = (). = = Exemplos: Ex1: 16 =.8 = + 8 = = = 4 Ex: 43 = 9.7 = = Ex19 Encontre em função de = (. 8) + (15. 5)

8 Resolução: = ( + 8) + ( ) (1 + 3) + (3 + 1) + = = = = , : = = Para uma igualdade tem-se que = = como é ilustrado a seguir: Ex1: = 4 = 4 = 4 Ex: = = = Ex3: e = 1 ( ) = (1) ( 1) = 0 1 = 0 = Observe que ln(. ) não é um produto de "ln" com "(. )", pois ln é uma função, ou seja, ln( ) = ln(1) é a aplicação do logaritmo ln na igualdade = 1. Exemplo: Encontre o valor de na equação 3 = 1 Resolução: Para isolar a variável na equação é necessário aplicar o logaritmo ln na igualdade, então: 3 = 1 3. = (1) aplicando as propriedades de logaritmo, tem-se: ln(3) + ( ) = ( ) (4 + 8) () = 0 (3) (4 + 8). 1 = (3) = 8 (3) 4 = 1 (3) Racionalização O objetivo nos cálculos realizados abaixo é retirar a raiz do denominador. A seguir serão mostrados diferentes casos para realizar a racionalização de denominadores: 1 Caso: O denominador possui somente uma raiz. Exemplos: Ex1: = = = = 4 30 = = Ex: = = = ( ) ( ) = = = = = ( ) Ex3: = = ( 7 ) + ( 5 7 ) = = 7 7 ( 7 ) + ( 35) ( 7 ) + ( 35) = = 49 Caso: Quando o denominador é composto por uma raiz somada a um número qualquer 3 ( 4 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) = = = = =

9 3 Caso: Ocorre quando se tem uma raiz dentro de outra raiz no denominador = = = ( ) ( ) ( ) ( ) = = 9 7 Ainda há uma raiz no denominador e por isso deve-se usar o cálculo mostrado no caso = = ( ) 1 6 ( 7 ) = = = ( ) 4 Caso: Quando no denominador há uma raiz diferente da raiz quadrada Ex1: = = = = = Ex: = = = = = = = Polinômios Define-se um polinômio () de grau da seguinte forma: () = [1.1] Em que os coeficientes,,, e são números reais e é inteiro. A seguir exemplificam-se alguns polinômios: () = () = () = Note que () é de 4º grau, com coeficientes = = 0; () é de º grau e () é de 3º grau, com coeficientes = = Soma e Subtração de Polinômios Para somar dois polinômios () = e () = é só somar os termos de mesmo grau, como está indicado a seguir: () + () = ( + ) + + +( + ) Para subtrair dois polinômios () = e() = é só subtrair os termos de mesmo grau, como é mostrado a seguir: () () = ( ) + + ( ) Ex1: Calcule () + () e () (), sendo: Resolução: () = () = () + () = 3 + ( 6) ( ) () + () = () + () = () () = 3 ( 6) + 5 ( ) () () = ( 5) + + () () =

10 1.5.. Multiplicação e Divisão de Polinômios Para multiplicar dois polinômios, utiliza-se a propriedade distributiva da multiplicação: ( + )( + + ) = () + () + () + () + () + () 1.4 Ex1: Determine os produtos () () e h() (), sendo () () = () + () () 1.5 Estes conceitos são ilustrados no exemplo a seguir: Ex1: Determine a divisão ()/(), sendo: () = () = + 1 () = 1 () = + 3 Resolução: h() = + () = Resolução: ()() = ( 1)( + 3) ()() = ()( ) + ()(3) + ( 1)( ) + +( 1)(3) ()() = ( 1) + (.3) ( 1)( 1) + ( 1)3 ()() = ()() = h()() = ( + )( ) h()() = ( )( ) + ( )( ) + +( )( ) + ( )( ) h()() = ( 1)1 + ( 1)( 1) + +(1 1) + 1( 1) h()() = + + h()() = + + Para dividir dois polinômios () e (), o processo é semelhante ao da divisão de dois números reais. Os termos do quociente ()são escolhidos de modo que os termos de maior grau dos dividendos ao longo da operação sejam eliminados. E o resto () é o dividendo que tem grau menor que o divisor. A relação entre (), (), () e () é: A soma ( ) + ( ) é (o novo dividendo). A soma ( ) + ( + ) é (o novo dividendo). E finalmente, fazendo-se a divisão de por( + 1)encontramos como resultado o número 1. Como 1 é de grau menor que ( + 1), tem-se que 1 é o resto da divisão. Portanto o quociente da divisão é 1 e o resto é 1. Então, de 1.5, tem-se que: ( ) ( + 1) = ( 1) Raiz de um Polinômio A raiz ou o zero de um polinômio () é o valor que torna () = 0. Para um polinômio de 1ª ordem da forma () = + tem-se que a raiz é dada por + = 0 = 7

11 Ex1: Encontre a raiz dos polinômios () = 3 5 () = Resoluções: Primeiramente faz-se () = 0 e calcula-se o respectivo valor de : 3 5 = 0 3 = 5 = 5 3 Repete-se o mesmo procedimento para (): = 0 6 = 18 = 18 6 = 3 Para um polinômio de ª ordem da forma () = + + tem-se que as raízes e são dadas por em que = ± = 4 Ex1: Calcule as raízes dos polinômios () = 3 + () = = ( 8) ± 16. = = = 1 4 = 3 = 4 4 = Produtos Notáveis = 8 ± 4 4, portanto: Alguns produtos são tão utilizados que acabam recebendo nomes e métodos especiais de resolução. Eis alguns deles: a) Produto da soma pela diferença de dois termos:( x + a) ( x a) = x a b) Quadrado da soma de dois termos: ( ) x + a = x + xa + a c) Quadrado da diferença de dois termos: ( ) x a = x ax + a d) Cubo da soma de dois termos: ( x + a) = x + 3x a + 3xa + a e) Cubo da diferença de dois termos: ( ) x a = x 3x a + 3xa a ATENÇÃO: ( ) x ± a x ± a ( ) x ± a x ± a Resolução: Para () tem-se que = 1, = 3 e =, então: = ( 3) 4.1. = 9 8 = 1, logo: = ( 3) ± 1.1 = = 3 1 = 4 = = = 1 = 3 ± 1, portanto: E como para () tem-se que =, = 8 e = 6, então: Exemplos 1) 5 = 5 = (5 ) (5 + ) ) = 3 ² = (3 + ) 3) = = (3 ) 4) (7 + ) = = ³ = ( 8) 4..6 = = 16, logo: 8

12 3 3 5) g g h 3 g + 4 = g h + 3 ( h) + 4 g 6g h 1gh + ( h) = h g 3g h = + + 3gh + 8h = 6 ( + 3 ) é o maior divisor entre, e ) 3 9 = 3 ( 3 ) = = 3 ( 3 ) = 3 ( 3 ) 3) = = 5 ( ) 4) 3 ( + ) + 5 ( + ) = ( + ) (3 + 5 ) k 5 = k 5 k + 5 = k 10k + 5 6) ( ) + l l = l = 4 l 7) ( ) ( ) ) a 3 a 3 a a 3 = + = = a + 4 a a Operações Com Expressões Algébricas Uma expressão matemática é denominada algébrica ou literal quando possui números e letras. As letras são chamadas variáveis. Exemplos: 1) + ) 3 + 3) 4 7( + 3) Fatoração Fatoração significa escrever um número ou uma expressão algébrica como produto de outras expressões (transformar em fatores). Caso 1: Fator comum em evidência + = ( + ) Caso : Agrupamento = ( + ) + ( + ) = = ( + )( + ) Exemplos: 1) = = ( + 3 ) + ( + 3 ) = = ( + 3 ) ( + ) ) = = 3 ( ) + ( + ) = = 3 ( ) ( ) = ( ) (3 ) Caso 3: Fatoração de Polinômios Pode-se escrever um polinômio () em função de suas raízes, utilizando a fatoração: () = ( )( ) ( )( ) Ex1: Fatore os polinômios Resoluções: () = 3 5, () = , () = 3 + () = Para () tem-se que = 3 e = 5/3, então: () = ( ) Exemplos: 1) = = 6 ( + 3 ) = 6 é o maior divisor entre 6, 1 e 18 () = Para () tem-se que = 6 e = 3, então: () = ( ) 9

13 () = 6 ( 3) = 6( + 3) Para () tem-se que = 1, = e = 1, então: () = ( )( ) () = ( )( 1) e para () tem-se que =, = 3 e = 1, então: () = ( )( ) () = ( 3)( 1) Simplificação de Expressões Algébricas 3( ) = 3(4 ) ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) + = = ( )( + ) Operações com Frações Algébricas Adição e Subtração Regra: Somar ou subtrair as frações utilizando o MMC dos denominadores Exemplos: Regra: 1º Passo: Fatorar o numerador e o denominador º Passo: Dividir numerador e denominador em seus fatores comuns Exemplos: 1) = + 3 = ) ( + 3) = 3) = ( + 3) 3 = ( + 3) = 1 ( + 3) = 3 = ) 1 = ( 1) ( 1)( + 1) = + 1 = ( + 5) + 5 5) = ( 3) 3 = = ( 3)( + 3) + 3 1) + + ( + ) = ) = + ( + ) + = + + = 1 3) 3 3 = 3 ( ) = 3 3 = + + = 3 ( ) 4) = + 3 ( + 3)( 3) + 1 ( + 3) = = 5) = = 1( + 3) + ( 3)1 ( + 3)( 3) ( + 3)( 3) = = ( + 3)( 3) = = (4 ) = + 3 ( + )( ) = 1 3 ( ) 6) ) = 10

14 = ( )( + ) = = ( )( + ) 1 = Multiplicação + ( + )( ) = = 4 1 = 5 Regra: Multiplicar entre si tanto os numeradores quanto os denominadores. Exemplos: 1) 3. 6 = 3 3 () = 1 3 (4) = 4 ) = (4 4) ( + )( 1) ( + )( ) = ( + )( 1). ( 1) = = 4 ( 1) 3) = 3 = (6 3) ( 1) 4) = ( 1) (6 3) 3 ( 1) = = ( 1) ( 1) = 3 = 3 ( 1) ( 1) Divisão Regra: Conservar a 1 fração e multiplicar pelo inverso da fração. Exemplos: 1) 3 6 = = = 9 ) + + = + + = ( + ) ( ) ( + )( ) + =. + = = + 3) = = = ( + 6)( 6) = = = = = 5 6 = 5 ( 3) 11

15 Exercícios 8) Consideremos os seguintes dados : Log = 0,3 e Log3 = 0,48. Nessas condições, quanto vale log15 1) Encontre o valor de A ) Calcule a expressão = ) Calcule o Log 4 6 em função de x e y, sabendo que o Log 7 6 = x que o Log 7 4 = y. 10) Resolva a equação log(x + ) + log(x ) = ) Encontre o valor de x que satisfaz a equação 11) Racionalize = 3 1) Racionalize 4) Reduza à expressão mais simples ) Efetue o produto 5) Encontre o Valor de y = ) Sabendo que log 3 (7x - 1) = 3 e que log (y 3 + 3) = 7, calcule log y (x + 9) ( ). ( ) 14) Determine o quociente e o resto da seguinte divisão ) Obtenha o valor da expressão log log 1 log 0,01 1.log ) Calcule os valores de a, b, c e d para que o polinômio p(x) = a(x+c)³ +b(x+d) seja idêntico a q(x)= x³ +6x² +15x+14 1

16 16) Simplifique a expressão ) Simplificar a expressão + a ab a ab a b b + ab b ab 18) x, y e z são números reais, tais que 1 z =. Determine z em função de x e y 1 ( x + y ) 19) Resolva a expressão ² 0) Resolva a expressão ( )

17 . Intervalos, Inequações e Módulo.1. Intervalos Intervalos são trechos contínuos da reta numérica Intervalos Limitados Sejam a e b números reais com a < b a) Intervalo aberto de a até b c) Intervalo aberto de até a (,)=],[= R <} a d) Intervalo fechado de até a (,]= R } a (, ) =, = R <<} a b.. Inequações b) Intervalo fechado de a até b [,]= R } a b c) Intervalo aberto à direta de a até b [,)= R <} a b d) Intervalo aberto à esquerda de a até b (,]= R < } a b Resolver uma inequação é determinar todos os valores da variável que torna verdadeira a inequação. Este conjunto de valores é chamado conjunto solução da inequação. O conjunto solução representa um trecho contínuo do eixo de coordenadas, ou seja, representa um intervalo...1regras para trabalhar com desigualdades Sejam a, b, c, e d números reais i) Se < então +<+ ii) Se < e < então +<+ iii) Se < e >0 então.<. e /</ com 0 iv) Se < e <0 então.1.. Intervalos Não Limitados a) Intervalo aberto de a até + (,+ )=],+ [= R >} a b) Intervalo fechado de a até + [,+ )= R } a.>. e />/ com 0 Isto significa que se formos multiplicar ou dividir por um número negativo devemos inverter o sinal da desigualdade v) Se < e <, ou seja, << então < Nestas regras também podemos usar as desigualdades não estritas e. 14

18 Exemplos: Resolva as inequações e represente o conjunto solução na reta numérica: 1) +3<5 1 5< 1 3 4< 4 4 >4 >1.3. Módulo ou Valor Absoluto O nome módulo deriva do latim modulus, que significa medida, comprimento (valor necessariamente positivo). Pode-se dizer que módulo é o mesmo que distância de um número real (positivo ou negativo) à origem da reta numérica. O módulo de um número real também é conhecido como valor absoluto de. 1 = R >1} (1,+ ).3.1. Interpretação Geométrica O módulo ou valor absoluto de um número real é, na reta numérica, a distância entre este número e a origem. ) Exemplo Separando em duas inequações temos: ) = 8} e (significa a interseção) ) = 4} O número - está a unidades de medida à esquerda da origem. Assim, sua distância à origem é. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de - é, indicado por =. O número 3 está a 3 unidades de medida à direita da origem. Assim, sua distância à origem é 3. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de 3 é 3, indicado por 3 =3. Se considerarmos dois números reais x e y associados aos pontos X e Y na reta real, então x y corresponde a distância entre os dois pontos. R [4,8] = R 4 8} 15

19 .3. Definição de Módulo de um Número Real O módulo de um número real irá seguir duas opções: O módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo ou zero. ) ) = = 10 5 =10 5 = O módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo. Assim, dado x R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de x, o qual é indicado por x, como segue:, 0 =, <0 De acordo com a definição acima, para todo x, 0, ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo. ) ) = = 5 =5 == 5 = +( ) Propriedades i) 0 ii) iii) iv) =. =. v) / = / com 0 vi) vii) viii) ix) = =± = x) Desigualdade Triangular Exemplos: + + Observe que: + + 1) Considerando =10, = e = 5, calcule as expressões: ). ) Resolva a equação +1 =3. Solução: Da definição de módulo, temos que: +1 = +1 se (+1) 0 ou +1 = ( +1) se (+1)<0 Dessa forma, +1 = 3 ou (+1)=3. +1=3 =3 1 = = =1 -(+1)=3 1=3 =4 = 4 = Assim, o conjunto-solução é o seguinte: = R =1 = }. 3) Resolva a equação =, com >0. Temos que = ( )=, equivalente a = + ou =. Observando na reta real, percebe-se que o número x está a uma distância de.. =. =.. =10.10.=00 16

20 3)Resolva a inequação 3+ 5 Da propriedade (viii) do módulo temos: ou Lembre que ou em matemática significa união. Resolvendo as inequações: ) B) 3+ 5 = R 1 5} =[1, 5] 3 7 7/3 4) Resolver a inequação modular 5 <3. 1 Solução: Da propriedade (vii) do módulo temos que: (, 7 3] [1,+ = R 7 1} 3 3)Resolva a inequação ( 3) 16 ( 3) 16 ( 3) 16 Da propriedade (ix) do módulo então ( 3) 3 = 3 Da propriedade (vii) do módulo 3 Resolvendo as inequações ) 3 5-7/3-7/3 1 3< 5<3 Resolvendo sem separar as inequações: = R 1<<4} 3+5<<3+5 <<8 <<8 1<<4 5) Resolver a inequação modular 6 7. Solução: Da propriedade (vii), temos que: ou E (usar interseção) B) = R

21 Exercício de Intervalos 1) Escreva na forma de intervalo cada representação geométrica dada abaixo. Exercício de Inequações 6) Resolva a seguinte inequação: a) + 1 b) c) 3 ) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma de intervalo e na forma geométrica: d) ) Determine a solução das inequações: a) (x - ).(-x + 3x + 10) > 0. b) (x - 8x + 1).(x - 5x) > 0. c) (x - 5).(x - x - 15) 0 d) (x - 4).(5x + x + 4) 3) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma geométrica: a) 0 Exercício de Módulo 8) Resolva as equações: a) 53 = 1 b) 3 = 5 x c) 3x+1 = x-3 4) Sendo A = ]-3,4[ e B = [-1,6[, calcule A U B, A B, A B e B A. 5) Dados A = ]-3,]; B = ]-1,4[ e C = (-, + ) determine: a) (A U C) B b) (B U C) - A c) A B d) B C e) (C A) B f) A B c) d) 9) Resolver a inequação a) x - 4 < 3x. b) 10) Ache as raízes reais da equação, xl + x - 6 = 0 18

22 3. Função 3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente para indicar essa dependência ou variação. Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por :, se todos os elementos do conjunto A estão associados a um e somente um elemento do conjunto B. Vamos analisar alguns tipos de relações e verificar se são funções. A 1 3 (a) Esta relação não é uma função, pois o elemento 3, pertencente a A, está associado a dois elementos de B A 1 3 (b) Esta relação não é uma função, pois o elemento 1, pertencente a A, não está associado a elemento algum de B B a b c d e B a b c d e 3.. Domínio, Contradomínio e Imagem Considere a função : indicada no diagrama de fechas: Ao conjunto A damos o nome de domínio da função. Neste nosso exemplo o domínio da função é representado por () = { 3, 0, 3 }, ou seja, o domínio contém todos os elementos do conjunto A. Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função. No exemplo, o contradomínio da função é representado por ()={ 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio contém todos os elementos do conjunto B. Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não está relacionado a qualquer elemento de A. Um elemento do contradomínio B pode estar associado a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3. Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo, o conjunto imagem é representado por ()= { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do () que estão associados a algum elemento do (). Nesta função, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio. A 1 3 B a b c d e A função de A em B, :, deste exemplo, pode ser expressa pela seguinte lei de associação: :,()= (c) Esta relação é uma função. ou ainda como :, = A variável () ou é chamada de variável dependente, pois depende de, já a variável é 19

23 chamada de variável independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domínio A IMPORTANTE: Não confundir e (): é o nome da função, enquanto () é o valor que a função assume no ponto (). A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto o contradomínio, relacionandoos. O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra de associação, no caso f(x) = x, como também do D(f) e do CD(f). Quando a função é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos e, convenciona-se que o contradomínio seja o conjunto dos números reais. O domínio é o conjunto dos números reais, desconsiderando os valores de para os quais não é possível obter, pela lei de associação, uma imagem real. Diz-se, então, que a função é uma função real de variável real. Exemplos: 1) Dada a função () = 4, determine (0) () = (1) (0) ()/(1) (0) = 4.0 = () = 4. = 14 (1) = 4.1 = 14 = 16 = 8 ) Exercício Proposto: Considere a função () = ² Calcule o valor da constante = (1). (1)/4(0) e um número real de modo que () = 0. Resposta: = ; = 1 (multiplicidade ). 3) Seja uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Lia, Mário, Maria e Vítor. Determine o Domínio, a Imagem e o Contradomínio da função. = é = = á = = í () = é,, á,, () =,,, () = 4) Encontre o Domínio e a Imagem da função que calcula o quadrado de um número. Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de e a variável dependente de, a função pode ser representada pela equação: =. Como para qualquer valor de R, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de, tem-se: () = R = (é) = = () = = (á) = = () = = (í) = Se < 0 então = > 0; se = 0 então = 0 e se > 0 então > 0. Portanto, poderá ser zero ou um número positivo, assim: () = R 0 = 0, + ) 5) Encontre o Domínio e a Imagem da função que calcula a área de um quadrado. Chamando o comprimento do lado do quadrado de e sua área de, podemos calcular a área de uma seção quadrada como. =. Assim, a função pode ser representada pela equação = () =. Só é possível calcular a área de um quadrado se o tamanho de seu lado for maior do que zero () = R > 0 = (0, + ) 0

24 Como é sempre maior do que zero, a área calculada pela equação = será sempre um número maior do que zero; () = R > 0 = (0, + ) Observe que a função, que calcula o quadrado de um número, e a função, que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação =, porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes. Duas funções e são iguais se elas têm o mesmo domínio e se () = () para todo do domínio. 6) Calcule o domínio da função: Portanto, D = {x IR x < 3} Tipo de Funções Função Sobrejetora: Uma função : é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for especificadamente igual ao contradomínio. () = 4 Como 4 só é possível em IR se 4 0, ou seja, x, então: D = {x IR x } A B 7) Calcule o domínio da função: () = Como o termo x + 1 é o denominador da função, ele não pode ser nulo (pois não existe divisão por zero). Portanto x + 1 0, ou seja, x -1. Função Injetora: Uma função : é injetora se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. A B D = {x IR x -1} 8) Calcule o domínio da função: () = 3. Como visto anteriormente: 0. Portanto 0, ou seja, (condição 1). Além disso, 3 0, ou seja, x 3. Mas como ele está no denominador, ele não pode ser igual a zero, portanto, x < 3 (condição ). Função Bijetora: Uma função : é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Isto é, se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas e o conjunto imagem for igual ao contradomínio. A B Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e obtemos a solução representada na figura abaixo. 1

25 3.4. Gráfico de Funções O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pares ordenados (, no plano tal que pertence ao e pertence a. Assim, o gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados,, pois. Costuma-se dizer que uma função real a uma variável real gera uma curva em R. Como não é possível a representação de todos os pontos,, podemos escolher alguns valores de pertencentes ao para calcular as correspondentes imagens. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o chamado gráfico de dispersão. Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem. O domínio de uma função é o conjunto das abscissas dos pontos do gráfico (projeção no eixo X). A imagem da função é o conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico (projeção no eixo Y). Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma curva, obtendo o gráfico da função. Exemplo: Esboce o gráfico da função ,9 0, Análise de Gráficos Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do domínio intercepta a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em mais de um ponto não é função. Os valores de para os quais 0 chamamse zeros da função ou raízes da equação 0. Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal Função Constante Toda função : na forma, com é denominada função constante. Na função constante, todos os elementos do domínio terão sempre o mesmo valor de imagem, isto é, ao variarmos encontramos sempre o valor. O diagrama de flechas abaixo representa este tipo de função. Na figura abaixo traçamos o gráfico da equação Esta equação não representa uma função, pois para um mesmo valor de x obtém-se dois valores de y.

26 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo X que cruza o eixo Y em. Ou seja, passa pelo ponto 0,. Exemplo: Plote o gráfico da função Para qualquer valor de o valor da imagem da função é igual a. Por exemplo, se 0 0, se Assim, o gráfico da função é uma reta paralela ao eixo X e que passa pelo ponto 0,. com 0 e 0 O coeficiente linear é o valor que assume quando 0, enquanto que a raiz / é o valor de que torna 0. Assim, os pontos 0, e /,0 podem ser usados para traçar o gráfico da função Exemplo: Plote o gráfico das funções dadas pelas equações: a) 4 Quando 0 4 e quando 0. A reta passa pelos pontos,0 e 0, Função Polinomial de º Grau A função é dada por um polinômio de º Grau:. com e reais e 0. Se 0 a função recebe o nome de função afim. Se 0 a função recebe o nome de função linear. b) Para 0 e para 0 1. A reta passa pelos pontos 1,0 e 0,1. O coeficiente determina se é uma função crescente ou decrescente. Se 0, é uma função crescente. Se 0, é uma função decrescente. O gráfico de uma função polinomial de 1º grau é uma reta. Para determinar uma reta bastam pontos. Uma vez encontrados dois pontos que satisfazem a equação da função, seu gráfico é obtido traçando uma reta por eles. Gráfico de uma Função Afim Seja a função afim de equação: Gráfico de uma Função Linear Seja a função linear de equação: com 0. 3

27 A função linear é um caso particular da função afim quando o termo independente é nulo. Uma característica das funções lineares é que o seu gráfico passa pelo ponto 0,0. a origem da sistema de coordenadas cartesianas. Para o traçado do gráfico precisamos de mais um ponto. Este ponto pode ser obtido encontrando o valor da imagem para qualquer valor de. Exemplo: Plote o gráfico da função dada pela equação: Quando 0 0 e quando 4 A reta passa pelos pontos 0,0 e 4,. onde 4. O domínio e imagem da função de º grau é: 0,, 0, É importante notar que se a parábola for côncava para cima, corresponde ao seu ponto de mínimo e corresponde ao valor mínimo da função. Se a parábola for côncava para baixo, corresponde ao seu ponto de máximo e corresponde ao valor máximo da função. A função polinomial de º grau possui duas raízes ou zeros, que são os pontos e do domínio para os quais a imagem é nula, ou seja, 0 0 As raízes da função podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara: Se 0 a função tem duas raízes reais e distintas. Se 0 a função tem duas raízes reais iguais. Se 0 a função não tem raízes reais Função Polinomial de º Grau Uma função é denominada de função de º grau quando ela for dada por um polinômio de º Grau: com, e reais e 0 O gráfico de uma função de º grau é uma parábola. A parábola será côncava para cima se 0, e será côncava para baixo se 0. y O vértice da parábola é dado pelo ponto, em que as coordenadas e são dadas por: x y 4 x Se as raízes da função forem números reais então os pontos,,0 e,,0 são os pontos que o gráfico da função intercepta o eixo dos Y. Exemplos: Plote o gráfico das funções: a) ; 9 ; O gráfico da função é a parábola que passa pelos pontos 1,0,,0 e 3/,3/4 e que é côncava para cima, pois 30. 4

28 Quando 0 as raízes da função são iguais. O gráfico da função é uma parábola de vértice,0 coincidindo com o ponto que ela intercepta o eixo dos X. Para uma representação razoável de uma parábola, necessitamos de no mínimo 3 pontos. O gráfico da função intercepta o eixo Y quando 0 então, se 0 0, assim o ponto 0, pertence à parábola. b) ()= +3 = 1 ; =3 ; =0 Como o termo 0, a fatoração deste polinômio é bastante simples e podemos utilizar este fato para encontrar as raízes da função sem utilizar a fórmula de Baskara. Qualquer ponto do domínio pode ser utilizado para encontrar o terceiro ponto da parábola. Se, assim o ponto, pertence à parábola. O gráfico da função 4 é a parábola que passa pelos pontos 1,0,0, e, e que é côncava para cima, pois Para que o produto seja nulo temos que ou 0 ou 30, assim, O gráfico da função é a parábola que passa pelos pontos 0,0,3,0 e 3/, 9/4 e que é côncava para baixo pois 10. c) 4 3 ; 4 ; c) 4 ; 4 ; Quando 0 as raízes da função não são números reais. Isto significa que o gráfico da função não intercepta o eixo dos X Quando 0 as raízes da função são iguais. O gráfico da função é uma parábola de vértice,0 coincidindo com o ponto que ela intercepta o eixo dos X. O gráfico da função intercepta o eixo Y quando 0 então, se Quando 5

29 3, assim o ponto,3 pertence à parábola. O gráfico da função 4 3 é a parábola que passa pelos pontos 1,1,0,3 e,3 e que é côncava para cima, pois 0. A função, cuja base é a constante de Euler (,718 ) desempenha um papel muito importante nas aplicações da engenharia. Exemplos: Plote o gráfico das seguintes funções: a) e Como a função é uma função exponencial de base igual ao número de Euler,718, a função é crescente, pois Função Exponencial Os valores que a função assume são iguais aos valores de multiplicados por -1. Isto significa que as funções e são simétricas em relação ao eixo dos X. Toda função : na forma, com 0 e 1 é denominada de função exponencial. 0, O gráfico da função exponencial é uma curva que intercepta o eixo Y no ponto 0,1, pois 0 1 e nunca intercepta o eixo dos X, pois a imagem da função não pode ser zero pois é estritamente positiva. A função é crescente se a base 1 e decrescente se 01. b) Como a função é uma função exponencial de base igual, ela é decrescente, pois 0 1. Os valores que a função assume são iguais aos valores de multiplicados por -1. Isto significa que as funções e são simétricas em relação ao eixo dos X. 6

30 3.9. Função Logarítmica Toda função : na forma com 0 e 1 é denominada de função logarítmica 0, O gráfico da função logarítmica log é uma curva que intercepta o eixo X no ponto 1,0, pois 1log 1log 0. O gráfico da função nunca intercepta o eixo dos X, pois 0 não pertence ao domínio da função, ou seja, 0. A função é crescente se a base 1 e decrescente se Função Inversa Se : for uma função bijetora então, ela admite uma função inversa :. Exemplo: Dados dois conjunto,,,, e,,,,, define-se a função () como sendo a lei que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo. A B Observe que a função f é bijetora onde e. Se é bijetora então ela admite uma função inversa : onde e. B A Exemplo: Plote o gráfico das seguintes funções: ln e ln Como a função ln é uma função logarítmica de base igual ao número de Euler,718, a função é crescente, pois 0. Os valores que a função ln assume são iguais aos valores de ln multiplicados por -1. Isto significa que as funções e são simétricas em relação ao eixo dos X. Observação 1: o que era domínio na função original vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original vira domínio na função inversa. Observação : Se tiver uma inversa, então os gráficos de e são reflexões um do outro em relação a reta. 7

31 Exemplos: 1) Dada a função calcule sua inversa 1) () = 3 +6 Fazendo =() (I) = 3 +6 (II) = 3 +6 (III) (IV) 3 = 6 = () = 6 3 É fácil observar em (II) a mudança das variáveis: o que era virou, e vice-versa. Após fazer essa substituição, é só isolar a variável para encontrar a função inversa Função Par e Função Impar Uma função é dita ser uma função par se: O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos Y. Uma função é dita ser uma função impar se: O gráfico de uma função impar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplos: Dada a função determine se ela é uma função par ou uma função impar. 1) 1 Escolhendo valores arbitrários do domínio de f temos: 3 ) () = = log log log log log Observe que as funções exponenciais e logarítmicas são funções inversas como a função é par Também podemos reconhecer se uma função é par analisando seu gráfico. Observe no gráfico da função 1, que existe uma simetria em relação ao eixo. Por exemplo, as imagens de e são iguais ( 3), assim os pontos (,3) e (-,3) estão simétricos em relação a Y. 0, 0, 8

32 ) Escolhendo valores arbitrários do domínio de f temos: É importante lembrar que as funções e são geralmente diferentes. Exemplo: Considere as funções: como a função é impar e É possível observar que no gráfico de existe uma simetria em relação ao ponto da origem do sistema cartesiano (0;0). Temos os pontos simétricos (1;) e ( 1;-), assim como (;4) e (-; 4). Nesse caso, temos uma função ímpar. 1 a) Determine a função composta. Como a função agora os elementos do domínio de são as imagens da função. Isto significa que o "" da função deve ser substituído por "". Então: b) Determine a função composta Função Composta Sejam três conjuntos distintos, e que entre eles existam as seguintes funções: : : Assim, irá existir outra função tal que que é chamada de função composta de e denotada por. Como a função agora os elementos do domínio de são as imagens da função. Isto significa que o "" da função deve ser substituído por "". Então: c) Determine a função composta Na função, resolvemos primeiro a função interna, ao resultado, ou seja, à imagem de aplicamos a função. Assim, o domínio de é o conjunto de todos os elementos no domínio de tal que esteja no domínio de. c) Determine a função composta

33 4. Geometria A Geometria analítica se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Uma característica importante da Geometria Analítica se apresenta na definição de formas geométricas de modo numérico. Com isso, é possível ter uma abordagem algébrica para diversas questões geométricas, como também interpretar de forma geométrica algumas situações algébricas Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares ou Plano Cartesiano Este sistema é formado por dois eixos reais ortogonais entre si. Sua representação gráfica é um plano denominado plano cartesiano. y y o O x o (I) P x = projeção ortogonal do ponto no eixo. = projeção ortogonal do ponto no eixo. y P y O P x (II) P(x,y) x, determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Portanto, no sistema de coordenadas retangulares há uma correspondência biunívoca entre ponto e par ordenado de números reais. 4.. Distância Entre Dois Pontos No Plano Cartesiano Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, indicada por d(a, B), é a medida do segmento de extremidades A e B. Para ver de uma forma mais clara esta definição, a seguir é feito dois exemplos: Exemplo 1: A distância entre os pontos A e B é encontrada da seguinte maneira:,514. Exemplo : 3 y A(1, 3) B(5, 3) 1 5 x O ponto O de intersecção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. O eixo (eixo ) é denominado eixo das abscissas e o eixo (eixo ) é o eixo das ordenadas. A orientação positiva dos eixos, assim como no sistema unidimensional depende da convenção adotada. Cada ponto pode ser inequivocamente localizado no plano cartesiano mediante um par ordenado,, onde é a abscissa de e é a sua ordenada. O módulo da abscissa ( representa a menor distância que P está do eixo e o módulo da ordenada () representa a menor distância que está do eixo. Utilizando o teorema de Pitágoras tem-se que, É possível determinar uma expressão que indica a distância entre A e B, quaisquer que sejam A, ) e B(, ). Para cada ponto distinto no plano cartesiano há um e apenas um par de coordenadas,. Inversamente, qualquer par de coordenadas 30

34 Para 0, temos tan tan0 0. º) Se 0 90, temos tan 0 0. y r 0 α x 3º)Se temos tan 0 0 r y Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da figura acima temos: (, 0 α x, 4.3. Coeficiente Angular e Equação da Reta 4º) Se 90, a tan não é definida. Então dizemos que quando 90, ou seja, quando uma reta é vertical, ela não tem declividade Coeficiente angular de uma reta y r Dada uma reta r com inclinação em relação ao eixo x. O coeficiente angular ou a declividade dessa reta r é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação, ou seja : 0. α x tan Vamos observar vários casos, levando em consideração: 1º) Se : y Para uma análise mais geral, consideramos uma reta r que passa pelos pontos A, ) e B(, ). r 0 x 31

35 No triângulo retângulo temos: Então, tan Equação da reta quando conhecidos um ponto, ) e o coeficiente angular da reta Dois pontos distintos determinam uma única reta, ou seja, dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa pelos dois pontos. Da mesma forma, um ponto, ) e o coeficiente angular m determinam uma reta r. Sendo assim, consideremos genericamente um ponto, ) dessa reta. É possível chegarmos a uma equação, de incógnitas x e y, a partir dos números, e m, que é chamada equação da reta r. Considerando o ponto, ) qualquer sobre a reta r e tan, temos: tan,, 3- Se a reta é paralela ao eixo y, todos os pontos terão a mesma abscissa e a equação será dada por Forma reduzida da equação reta Analisamos anteriormente e chegamos à conclusão que equação da reta que passa por um ponto, ) com coeficiente angular m é dada por: Se escolhermos o ponto particular 0, ), ou seja, onde a reta intersecta o eixo y. Pela equação anterior temos 0 O número real n, que é a ordenada do ponto em que a reta intersecta o eixo y, é chamado coeficiente linear da reta Retas paralelas e Retas perpendiculares Sejam r e s duas retas paralelas (r // s) de inclinações e, respectivamente. Então: tan tan Logo, Sejam r e s duas retas perpendiculares (r s) de inclinações e, respectivamente. Então: Observações: 1- A equação independe de m ser positivo ou negativo e da localização do ponto. 90 tan tan90 tan sen90 cos90 cos sen 1 tan 1 - Se a reta é paralela ao eixo x, temos 0 e a equação da reta é dada por. 3

36 4.4. Semelhança Para entender o conceito de semelhança é recomendável entender o termo proporcionalidade. Diz-se que duas medidas x e y são proporcionais aos números a e b quando, x, y, a e b formam uma proporção, nesta ordem. Ou ainda x:y = a:b Observe que: Se x e y são proporcionais a e 3 isto significa que x/y = /3 No entanto, x = 4 e y = 6; x = 6 e y = 9; x = 8 e y = 1; x = 10 e y = 15; e tantas outras opções são possíveis soluções, para x e y, pois: Definição de semelhança Dados dois polígonos ABCD e A B C D de mesmo gênero, diz-se que esses polígonos são semelhantes se são satisfeitas as duas condições: i) seus ângulos são respectivamente iguais: A = A ; B = B ; C = C ; ii) Seus lados são respectivamente, proporcionais: Portanto, somente a informação de que x e y são proporcionais a e 3 não define, efetivamente, quais são os valores de x e y. *Duas figuras semelhantes têm exatamente o mesmo formato. É chamada de razão de semelhança No entanto, podemos chamar x e y, respectivamente, de a e 3a. Assim temos: Exemplo: Suponhamos que um segmento AB = 0 cm seja dividido pelo ponto P de tal forma que PA e PB sejam, respectivamente, proporcionais a e 3. Entre outras resoluções vejamos duas maneiras diferentes da fazer: Semelhança de Triângulos São duas as condições que garantem a semelhança entre dois polígonos, no entanto, no caso de triângulos, uma condição é necessária e suficiente para que a outro se verifique, isto é, os ângulos de dois triângulos são respectivamente iguais se, e somente se, seus lados são respectivamente, proporcionais. Logo, para garantirmos a semelhança de dois triângulos, basta que uma dessas condições esteja satisfeita. 33

37 Lei dos Cossenos Seja ABC um triângulo qualquer. Tracemos a altura relativa ao lado AC e chamemos de m, o segmento AH, projeção do lado AB sobre o lado AC. Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, basta que dois ângulos sejam, respectivamente iguais, para afirmarmos a semelhança entre dois triângulos. Consequência disso é que toda reta traçada paralela a um dos lados de um triângulo, determina outro triângulo semelhante ao primeiro. Como: h² + m² = c² e ainda, cos A = (o cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo, e a hipotenusa) m = c. cos A Substituindo na relação anterior temos: Exemplos: 1) Nas figuras seguintes, a semelhança produzida pela reta paralela a um dos lados do triângulo permite que calculemos os valores de x, y e z. Ou seja: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, diminuído do duplo produto desses dois lados, pelo cosseno do ângulo formado por eles.. Observe que caso A = 90º, isto implica que cos A = 0 e a relação fica reduzida ao teorema de Pitágoras. a² = b² + c² - bc.0 a² = b² + c² 4.5. Área ) Na figura seguinte os triângulos ABC e AED são semelhantes, pois são triângulos retângulos e possuem o ângulo A, como um ângulo comum Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a Medida de sua superfície. Mais importante do que saber as fórmulas de área é entender o que represente a área de uma região plana. Admitindo a superfície de um quadrado de lado unitário como uma unidade quadrada, a área de uma região plana é o número que expressa a relação entre sua superfície e a superfície desse quadrado. 34

38 Losango Observe que o losango ocupa a metade do retângulo cujas medidas são suas diagonais. Fácil compreender, portanto, ainda que indutivamente, que a área do retângulo seja o produto de suas duas dimensões. Um retângulo de dimensão 4 cm por 3 cm, por exemplo, tem 1cm² de área. Isto é, sua superfície equivale à superfície de 1 quadrados de lado 1 cm. Trapézio A área do trapézio pode ser obtida pela soma das áreas dos dois triângulos determinados por uma de suas diagonais. Paralelogramo Polígono Regular O Polígono regular de gênero n pode ser dividido, a partir do centro, em n triângulos isósceles congruentes. Triângulo A área do polígono será n vezes a área deste triângulo. Observe que o paralelogramo tem área igual ao dobro desse triângulo. Mas (n. l) é o perímetro do polígono que representamos por (p) e a, que representa a distância do centro ao lado, é conhecido como apótema do polígono. 35

39 Embora a área do polígono regular possa ser encontrada pelo produto do semi-perímetro pelo apótema, acaba sendo mais prático usar a estratégia que usamos para chegar a essa conclusão, ou seja, o polígono pode ser dividido em triângulos congruentes. O prisma apresenta os seguintes elementos: Círculo Consideremos os polígonos regulares inscritos no círculo, quanto maior é o número de lados do polígono, mais a sua área se aproxima da área do círculo. Ou seja, aumentando o número de lados do polígono inscrito num círculo, a área do polígono tende ser a área do círculo. O volume de um prisma pode ser calculado seguindo o raciocínio abaixo: Nesse processo, o perímetro do polígono tende a r (comprimento da circunferência) e, o apótema, tende a ser o raio r. A área do círculo então, pode ser determinada como sendo a área do polígono cujo semi-perímetro é r e apótema igual a r. Isto é: Vale ainda ressaltar: 1) Seja ABC um triângulo do qual se conhecem dois lados o ângulo formado por eles. O prisma da figura possui dimensões 4 e está sendo representado por cubos unitários dispostos lado a lado. O volume total do prisma é igual ao volume de todos os cubos unitários contidos no prisma. Logo, o volume do prisma é igual a 16 cubos. Observa-se, que a área da base do prisma é igual a 8 u.a., e que a altura é igual a u.c., portanto o volume do prisma é obtido efetuandose o produto da área da base pela altura. Á 4.6. Volumes Volume: é o espaço ocupado por um corpo. Prisma: é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. O produto da dimensão de área pela dimensão de comprimento origina a dimensão de volume (u.v.). A área lateral é calculada através da soma da área de cada figura que forma o sólido geométrico. -Paralelepípedo: prisma cujas faces são paralelogramos. 36

40 Esfera: é um sólido limitado por uma superfície curva de revolução que tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro. A superfície esférica é resultado da revolução de uma semicircunferência em torno do diâmetro. Paralelepípedo de dimensões a, b e c. O volume é calculado por: Á u.v. Cilindro: Um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. Esfera de raio R e centro C. O volume da esfera é calculado por: 4 3 Para o caso I em que tem-se um cilindro cheio, seu volume é dado por:. u.v. Para o caso II em que tem-se um cilindro oco, o volume é dado por:. u.v. A área lateral do cilindro é dada por: A área lateral da esfera pode ser calculada através da fórmula: Exercícios Propostos 1) Calcule a distância entre os pontos A(-,3) e B(1,5). ) A distância entre os pontos A( -,y) e B(6,7) é 10. Qual o valor de y. 3) Um ponto material móvel, desloca-se no plano cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo t (t 0). Qual a distância percorrida pelo ponto material móvel entre o ponto A para t = 0 e o ponto B para t = 6. 4) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( -6,3), a abscissa de P vale? 5) Sendo A(1,); B(3,5) e C(6,7) vértices de um triângulo, classifique esse triângulo em escaleno, isósceles ou equilátero... u.a. 37

41 6) O maior valor real de k para que a distância entre os pontos A (k; 1) e B (; k) seja igual é? 7) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (-1,) e B = (3,6) é? 8) A equação da reta que passa pelos pontos (, -3) e (8, 1) é? 9) O ponto de interseção das retas x + y = 3 e x + 3y 5 = 0 é? 17) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é igual a 83 cm². Qual é a área do quadrado maior? 10) O valor de a para que as retas r: ax + y 4 = 0 e s: 3x + 3y 7 = 0 sejam paralelas é? 11) Encontre a equação da reta s, perpendicular à reta t: x + 3y 4 =0, sabendo que ela passa pelo ponto P(3,4). 1) Encontre a equação da reta t que passa pelo ponto X(-1,8) e é perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares. 13) Prove que a bissetriz dos quadrantes ímpares é perpendicular à bissetriz dos quadrantes pares. 14) Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um ângulo de 10º. Determinar a medida do terceiro lado. 18) O projeto de uma casa é apresentado em forma retangular e dividido em quatro cômodos, também retangulares, conforme ilustra a figura. Sabendo que a área do banheiro (wc) é igual a 3 metros quadrados e que as áreas dos quartos 1 e são, respectivamente, 9 metros quadrados e 8 metros quadrados, então a área total do projeto desta casa, em metros quadrados, é igual a? 15) Na figura, a área do triângulo ABC é: 19) Um terreno correspondente à figura abaixo, foi vendido por R$ 0,00 o metro quadrado. Calcular o preço do terreno. 16) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 10km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a distância entre B e C, em km, é: 38