Material Didático. Matemática Elementar. Maio Universidade Federal do Pará. Equipe de Matemática: José Benício da Cruz Costa (Coordenação)

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1 Matemática Elementar Material Didático Equipe de Matemática: (PCNA - Maio de 016) José Benício da Cruz Costa (Coordenação) Maio 016 Universidade Federal do Pará Monitores: Daniel de Souza Avelar da Costa Fernanda Lacerda Palheta João Marcos Costa de Oliveira Lucas Carvalho de Paula Mellina Modesto Lisboa Murilo Henrique Silva da Silva

2 Equipe de Professores Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação Geral) Matemática: José Benício da Cruz Costa (Coordenação) Rosana Paula de Oliveira Soares Rita de Cássia Carvalho Silva Química: Shirley Cristina Cabral Nascimento (Coordenação) Marlice Cruz Martelli Ana Rosa C.L.M. Duarte Marcos Vinícius de Souza Pinto Física: Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação) José Benício da Cruz Costa

3 SUMÁRIO 1. Aritmética e Expressões Algébricas Ordem de prescedência dos Cálculos Operações com Numeros Fracionarios Expressões Algébricas Potenciação Radiciação Racionalização de Denominadores Logaritmo Módulo ou Valor Absoluto Polinomios EXERCÍCIOS PROPOSTOS... 4 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Intervalos e Inequações Intervalos Inequações EXERCÍCIOS PROPOSTOS... RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS.... Função Definição Domínio, Contradomínio e Imagem Tipo de Funções Gráfico de Funções Função Polinomial de 1 Grau Função Polinomial de Grau Função Exponencial Função Logarítmica Função Inversa Função Composta EXERCÍCIOS PROPOSTOS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Geometria Plana e espacial Ponto Reta Plano Espaço Segmentos de Reta Circunferência e Círculo Ângulo Polígono Perímetro e Área Volume EXERCÍCIOS PROPOSTOS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Geometria Analítica Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas Sistema Bidimensional de Coordenadas Cartesianas Gráfico de uma Equação Equação da Reta EXERCÍCIOS PROPOSTOS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Trigonometria Conceitos Iniciais Círculo Trigonométrico Relações Trigonométricas Inversas Identidades Trigonométricas Funções Trigonométricas Sist. de Coordenadas Polares EXERCÍCIOS PROPOSTOS Respostas dos Exercícios Propostos

4 1. Aritmética e Expressões Algébricas 1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos Para efetuar o cálculo de expressões numéricas ou algébricas deve-se respeitar a seguinte ordem de prioridade: 1) Agrupamentos prévios pelo uso de traço de frações, radical, parênteses, chaves e colchetes. No caso de agrupamentos com múltiplos por parênteses resolver do interno ao externo; ) Potenciação e radiciação; ) Multiplicação e divisão; 4) Adição e subtração. Exemplos: 1) ) ( + 1). 6. (5 + ) Operações com Números Fracionários 1..1 Soma e Subtração Para a soma ou a subtração de duas frações deve-se observar se os denominadores são iguais ou diferentes. 1º Caso: Denominadores iguais Neste caso, os numeradores devem ser somados ou subtraídos, de acordo com os sinais operatórios, e o valor do denominador mantido. Exemplos: 1) ) a b a b c c c ) ) º Caso: Denominadores diferentes ) (( + 1). 6 ). (5 + ) (. 6 ). 8 ( 6 ) Neste caso, deve-se determinar com antecedência o mínimo múltiplo comum (MMC) entre todos os denominadores das frações envolvidas, de modo a igualar os denominadores e aplicar a regra acima. 4) Exemplos: 1) Calcular a soma das frações 5

5 + 9 4? O MMC é obtido a partir da fatoração dos denominadores, como segue abaixo: 4,, 1, 1,1.. 1 O MMC então é igual a 1. Prosseguese adotando o MMC como denominador comum para as duas frações. Novos numeradores são obtidos para ambas as frações dividindo-se o MMC pelo antigo denominador e multiplicando este resultado pelo antigo numerador, como exemplificado a seguir: OBS: Para efetuar a soma de frações com denominadores diferentes podemos utilizar qualquer múltiplo comum. A forma mais simples de encontrar um múltiplo comum é multiplicar todos os denominadores. ) Calcular a soma das frações (9. 1). + (5. 1). 8 (5. 9) (1 ) (1 4) ) Calcular a soma das frações 5,9,1 5,9,6 5,9, 5,,1 5,1, ? 1,1, Multiplicação de Frações O produto de duas ou mais frações é o produto dos seus numeradores dividido pelo produto dos seus denominadores. Exemplos: 1) ) ) (5. 4) (. 4 ). (. 5 ) (180 5) (180 9) 8 (180 1) ) 8 (180 1)

6 4) 10. ( ) ( ) ( ) Divisão de Frações No caso de divisão entre frações procede-se multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda: Exemplos: a b c a b c d a b d c d a d b c qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas. As letras constituem a parte variável da expressão, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. Continuam válidas todas as regras da aritmética. Exemplos: 1) x 7 x ) x. ( x). 7. x x 1 x x + y 4 x x y y. ( x + y) x. ( 4 x) x. y x y + y 4x x y É comum necessitar simplificar as expressões algébricas para a resolução de problemas. Técnicas como agrupamento, evidência do fator comum, etc., são normalmente adotadas para a simplificação e/ou fatoração das expressões. 1) ) ) ) Expressões Algébricas Recebe o nome de expressão algébrica a expressão matemática na Exemplos: Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo: 1) x + y x + y (x. x) + (. y + y) x(1 ) + y ( + 1) x + y ) x + y (x + y) x + y + ( ). (x + y) x + y + ( x y) (x x) + ( y y) 7

7 x(1 ) + y( ) x y ) x ( y x + y ) x ( y + y x) x ( y x) x + x y 4x y 4) x + (y ( x + y)) x + ( y + ( 1) (x + y)) x + ( y + ( x y)) x + ( y y x) x + ( x) x 6x 5x A fatoração consiste em representar um número ou uma expressão algébrica como produto, respetivamente, de outros números ou de outras expressões algébricas. Exemplos: 1) 6 a b 1 b 6 b (a ) ) 9 x x y x ( y) ) a x + b x + a y + b y x(a + b) + y (a + b) (a + b) (x + y) 1..1 Simplificação de Frações Algébricas Para simplificar frações algébricas devemos seguir a seguinte regra: 1º Passo: Fatorar o numerador e o denominador º Passo: Dividir o numerador e denominador em seus fatores comuns Só podemos cancelar ou cortar os fatores (termos) que estejam multiplicando tanto o numerador quanto o denominador. Exemplos: 1) ) x 4y x 1 a x + b x a + b (x y) x x y x x y x x (a + b) a + b x 1 x 1.4. Potenciação x y x a + b x a + b A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais. De um modo geral, sendo a um número real e n um número natural n definimos: a n a a a p (n vezes o fator a) base Exemplos: 1) ) ( ) ( ). ( ) 4 ).. 7 4) ( ) ( ). ( ). ( ) 7 Propriedades expoente a n p potência Considere a e b números reais não nulos, n e m inteiros: 8

8 1) Potência de expoente nulo e igual a 1: a 0 1 e a 1 a ) Potência de base igual a 1: 1 n 1 ) Potencia de expoente negativo: a n 1 a n 4) Multiplicação de potências de mesma base: a n. a m a n+m 5) Divisão de potências de mesma base: a n an m am 6)Multiplicação de potências de expoentes iguais: a n. b n (a. b) n 7) Divisão de potências de expoentes iguais: a n b n (a b ) n 8) Potência de uma potência: (a n ) m (a) n.m ) ( ) ( 7 ) 1 ( ) 1 ( 7 ) 1 ( ) ( 7 ) 1 ( ) 7 ( ) 1 ( ). ( ) ( ). ( ). ( ) 1 4 ( 9 7 ) ) x y ( x y) x y (x y) x y x y x y 1 x 1 y 1 x y 4) (x + x x ). x x. x + x. x x x + x ( ) x 0 + x x + 1 Exemplos: Nos exemplos a seguir, abserve o uso das propriedades da potência nas expressões. 1) ( ) ( 4 ) ( ) 5) x x. 6x (. 6) x ( 1 ) x 4 x 6) ( ) x x x x x. x x. ( ) x x. 9 x 7) ( a b ) (. 9) x 18 x. a + b a. b.. a + b a 6. a 1 b 9 + b 9

9 a 5 b9 + b b 9 a 5 + b 1 b9 + a 5. b a 5 8) a. ( a b ). a b a. a b. a b a. a. a b. b a +1 b + a0 b 1 1 b b 1 b1 Nos exemplos abaixo, determine o valor de x : 9) x 9 x x 10) x + x+1 4 x + x 1 4 x ( ) 4 x 4 x 4 x 8 x x 11) 6 x x 1 6 x 5 6 x x 6 6x 5 6 x x x x ( ) x ( 5) x 6 6 x 6 x 1.5. Radiciação A radiciação é uma operação matemática inversa da potenciação, ou seja, n se a b então b n a onde o símbolo é o radical e n 0. Exemplos: 4 1) 16 ) 7 b b 4 16 b 4 () 4 b Logo 4 16 b b 7 b b logo ( ) 7 ) 16 b b 16 Como não existe um número que elevado a um expoente par seja um número negativo então 16 não existe Obs: Não existe raiz de um radicando negativo se o índice for par. Propriedades Sejam n 0 e m 0 1) Raiz de radicando nulo: n 0 0 ) Raiz de índice unitário nulo: 1 a a ) Produto de radicais de mesmo índice: n a n. b n. c n a. b. c 4) Divisão de radicais com mesmo índice: n a n b n a radicando n a b índice b raiz 10

10 5) Potência de uma raiz: n ( a) m n a m 6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice: n ( a) n a 7) Raiz de uma raiz: e) m n a m n a n.m a a 1 n.m m a 1 n (a 1 m n)1 a 1 n.1 m n.m a m n a n.m a 8) Multiplicação de raiz por uma constante n a b n a n b A raiz é apenas uma forma de representar a potenciação com expoente fracionário. Assim, toda raiz pode ser escrita em forma de potência como: Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas: ) ( ).. ( )... ( )... 6 ) n a m a m n Exemplos: 1) Utilizando as regras da potenciação, demonstre as seguintes regras da radiciação: n a) b) a n c) a n 0 a 1 a n. b 0 1 n 0 a 1 1 a 1 a n. c n a. b. c a 1 n. b 1 n. c 1 n (a. b. c) 1 n n a. b. c Simplifique as expressões abaixo, considerando a > 0 4) a. a a 1. a 1 a 1 +1 a 1 a 5) a. a a 1. a 1 a 1 +1 a 6) a. a a a 1. a a 1 + a a 7) ( a ) (a ) a. a 9 a 9 d) n ( a) m n a m a 8. a a 8. a a 4 a n ( a) m (a 1 n) m a 1.m n a m n n a m 1.6.Racionalização de denominadores 11

11 Racionalização de denominadores é o processo para a obtenção de uma fração com denominador racional equivalente a uma anterior que possuía um ou mais radicais no denominador. A técnica consiste em multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominada fator racionalizante. 1 Caso: O denominador é um radical de incide (raiz quadrada) Neste caso o denominador tem a forma a. O fator racionalizante de a é a pois: a a a 1 a 1 a 1 +1 a 1 a Exemplos: 1) ) ) a a a a a a a 1 a 1 a 1 a 1 a5 6 a 6 a5 a Caso: Quando no denominador há um número somado ou diminuído à uma raiz quadrada Neste caso o denominador tem as formas: a + b ou a b O fator integrante de (a + b) (a b) (a b) é (a + b) pois: (a + b) (a b) e o fator integrante de a a a b + a b b b a b Exemplos: 1) ) ) (4 5) 4 ( 5 5) ( + ) a b a + b a b a + b ( a b) ( a b) ( a + b) ( a b) a b a b a a b a b a + b ( a) b a b a + b a b Caso: O denominador é um radical de índice genérico n Neste caso o denominador tem a forma n a. é 1

12 n O fator racionalizante de a a n 1 n pois: n a n a n 1 Exemplos: 1) ) 1 a 1+n 1 n n é a n 1 a 1 n a n 1 n a (1 n +n 1 n ) a n n a 1 a ( ) 1 Exemplos: 1) ) ( ) (1 + ) ) ( + ) (1+ 4 ) Caso: O denominador é um radical de incide genérico n e radicando elevado a uma potência genérica m Neste caso o denominador tem a forma n a m com m < n n O fator racionalizante de a m n a n m n a m n a n m a n m n pois: a m+n m n a m n a n m n 4 a (m n +n m n ) a n n a 1 a é 1.7. Logaritmo O logaritmo de um número positivo a na base b, positiva e diferente de 1, é o expoente c que se deve elevar b para obter a. se log b a c então b c a onde a > 0, b > 0 e b 1. logaritmo log b a c base A notação do logaritmo decimal, de base igual a 10, é: logaritmando log a log 10 a 1

13 A notação do logaritmo natural, de base igual ao número de Euler e.7188, é: 7) ln 1 e c ec 1 e ec e 1 c 1 ln a log e a Nota: Não devemos confundir logaritmo natural e logaritmo neperiano. Algumas vezes ambos são tratados como sinônimos, mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a um logaritmo na base 1 e. Exemplos: 1) log 100 x 10 x x 10 x ) log 0,1 x 10 x 0,1 10 x x ) log 4 x x 4 x x 8) ln e c e c e e c e 1 c 1 9) Calcule o valor de log 1,4 usando a definição de logaritmo e as aproximações: 10 0,01 e ,845. log 1,4 x 10 x 1,4 10 x x x x 10 0, , x 10 0,01+0, x 10 0,146 x 0,146 log 1,4 0,146 Propriedades 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0. log b 1 log b b 0 0 4) log ( 1 ) c c 1 c 1 5 c 5 c 5 5) log 1 x x 1 x 0 c 0 ) Logaritmo da base é 1. log b b log b b 1 1 ) Logaritmo de um produto log b (a. c) log b a + log b c 4) Logaritmo de um quociente log b ( a c ) log b a log b c 6) log1 4 ( ) x ( 1 4 ) x ( 1 ) x 1 ( ) x (1+1 ) x x x 5) Logaritmo de uma potência log b a n n log b a 6) Mudança da base b para a base c log b a log c a log c b 14

14 7) Igualdade de logaritmos de mesma base se log b x log b y então x y 8) Relações entre potências e logaritmos de mesma base. log b b a a e b log b a a x 1 x 1 8) ln x x 4 ln x e x x e 9) log x log 4 Exemplos: 1) log(0,1 10) log 0,1 + log 10 log log log x log x 4 x ou x, pois ( ) () 4 Como o logaritmando x não pode ser negativo, só x é solução da equação. ) log ( 1 16 ) log 1 log 16 log 0 log ) log 4 4 4) 4 log 4 ( ) log 4.log 4 log log 4 5) e ln x e ln x x 6) ln(a) + ln(b) ln (e) ln ( a b e ) Resolva as equações abaixo: 7) log x ( ) x x 1 ( ) x 1 10) e 4x+8 1 e 4x+8 1 Para isolar a variável x na equação é necessário aplicar o logaritmo ln nos dois lados da equação, então: ln(e 4x+8 ) ln ( 1 ) 4x + 8 ln 1 ln 4x ln 4x 8 ln x 8 ln 4 x 1 4 ln 1.8. Módulo ou Valor Absoluto A todo número real x associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, representado por x definido por : x, se x 0 x { x, se x < 0 15

15 O módulo de um número positivo ou nulo é o próprio número 4 4 ; 0 0 O módulo de um número negativo é o oposto dele mesmo ( ) ; 5 ( 5 ) 5 De acordo com a definição acima, para todo x R tem-se x 0, ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. Geometricamente, o módulo um número real é, na reta numérica, a distância entre este número e a origem. - 0 O número - está a unidades de medida à esquerda da origem. Assim, sua distância à origem é. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de - é, indicado por. O número está a unidades de medida à direita da origem. Assim, sua distância à origem é. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de é, indicado por. Se considerarmos dois números reais x e y associados aos pontos X e Y na reta real, então x y corresponde a distância entre os dois pontos. R Propriedades 1) x 0 ) x x ) x. y x. y 4) x/y x / y com y 0 5) x y se e somente se x ± y n 6) x n R { x se n for par x se n for impar ; x Observação: x ± y x ± y Exemplos: 1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo, calcule: a) + 5 b) c) ( )... 6 d) ( ) e) ( ) f) x + 1 x quando x ( ) ) Sejam a 10, b e c 5, calcule as expressões: a) a. b a. b a. b a. a. b

16 b) a c a c c) c c 5 5 4x x 6x 4 x 4x x x 6 x Portanto x ou x d) c c 5 ) Resolva as equações abaixo: a) x + 8 se x + 0 x + (x + ) 8 x 8 6 se x + < 0 x + (x + ) 8 x + 8 x 8 x 10 Portanto x 6 ou x 10 b) x + 1. se (x + 1) 0 x + 1 x + 1 x + 1 x 1 x x 1 se (x + 1) < 0 x + 1 ( x + 1) -(x + 1) x + 1 x 4 x 4 Portanto x 1 ou x c) 4x x Pela propriedade 5 temos: 4x + 1 ±(5 x) x d) x 8 x x 8 se x 0 x x 8 x 8 se x < 0 x x 8 x 8 x 8 Portanto x 8 ou x Polinômios Define-se um polinômio p(x) de grau n a expressão algébrica na seguinte forma: p(x) a n x n + a n 1 x n 1 + +a 1 x + a 0 Em que os coeficientes a n, a n 1,, a 1 e a 0 são números reais e n é um número inteiro. O grau do polinômio é grau de seu termo (monômio) de maior potência. Exemplos: O polinômio b(x) 5x + x é um polinômio de º grau completo. O polinômio c(x) x x é de º grau, com coeficientes a a Adição e Subtração de Polinômios Para adicionar ou subtrair dois polinômios devemos somar ou subtrair os termos de mesmo grau. Exemplos: 1) Sejam os polinômios: p(x) 5 x x + x q(x) 4x + x 4 6x 17

17 a) Calcule r(x) p(x) + q(x) r(x) [ 5 x x + x ] + [4x + x 4 6x ] (organize por ordem decrescente do grau) r(x) [ x x x + 5] + [x 4 6x + 4x ] (agrupe os termos de mesmo grau) r(x) x 4 + x x 6 x x + 4x + 5 r(x) x 4 + x + ( 6)x + (5 ) + ( 1 + 4)x + r(x) x 4 + x 9x + x + b) Calcule s(x) p(x) q(x) s(x) [ 5 x x + x ] [4x + x 4 6x ] s(x) [ x x x + 5] [x 4 6x + 4x ] s(x) x x x + 5 x 4 + 6x 4x + s(x) x 4 + x x + 6 x x 4x s(x) x 4 + x + ( + 6)x + (5 + ) + ( 1 4)x + s(x) x 4 + x + x 5x + 7 ) Calcule r(x) p(x) q(x), onde p(x) x + 5x q(x) x + x 1 r(x) ( x + 5x ) ( x + x 1) r(x) 4x + 10x 4 + 9x 6x + r(x) 9x 4x + (10 6)x + ( 4 + ) r(x) 9x 4x + 4x 1 No caso de adição e subtração de dois polinômios podemos organizar o polinômio por ordem decrescente do grau de seus monômios, e efetuar estas operações como usualmente fazemos na forma: Exemplos: 1) Sejam os polinômios: p(x) x x + 5 x e q(x) 6x x 4 + 4x a) Calcule a Soma: p(x) + q(x) +x x x +5 + x 4 6x +4x x 4 +x 9x +x + b) Calcule a Subtração: p(x) q(x) +x x x +5 x 4 6x +4x x 4 +x +x 5x Multiplicação de Polinômios Para multiplicar dois polinômios, utilizase a propriedade distributiva da multiplicação: (a + b)(c + d + f) (ac) + (ad) + (af) + (bc) + (bd) + (bf) Exemplos: 1) Sejam os polinômios: p(x) x + x 18

18 q(x) x 5 x Calcule s(x) p(x). q(x) s(x) ( x + x )(x 5 x ) s(x) ( x). (x 5 ) + ( x). ( x ) + +(x )(x 5 ) + (x )( x ) s(x) x. x 5 + x. x + x. x 5 x. x s(x) x 6 + x 4 + x 8 x 6 s(x) x 8 + ( 1 1) x 6 + x 4 s(x) x 8 x 6 + x 4 ) Sejam os polinômios: p(x) x 1 q(x) x + x Calcule r(x) p(x). q(x) r(x) (x 1). ( x + x) r(x) (x). ( x ) + (x). (x) + ( 1). ( x ) + +( 1). (x) r(x). x. x + 6. x. x + 1. x. x r(x) x + 6x + x x r(x) x + 7x x Podemos efetuar a multiplicação de dois polinômios como usualmente fazemos esta operação com números reais na forma: a) Produto da soma pela diferença de dois termos: (x + a). (x a) x a b) Quadrado da soma de dois termos: (x + a) (x + a). (x + a) x + ax + a c) Quadrado da diferença de dois termos: (x a) (x a). (x a) x ax + a d) Cubo da soma de dois termos: (x + a) x + x a + xa + a e) Cubo da diferença de dois termos: (x a) x x a + xa a Exemplos: 1) (k 5) k. k k 10k + 5 ) ( t + ) ( t) +. ( t). () + 4 t + 1 t + 9 ) ( x)( + x) () (x) 9 4x 4) 9y + x 6yx ( y). (y). (x) + (x) (y x) Divisão de Polinômios x 1 x +x 6x x x + x x + 7x x Produtos Notáveis Alguns produtos são utilizados frequentemente e são chamados de produtos notáveis. Eis alguns deles: a(x) b(x). q(x) + r(x) a(x) r(x) q(x) + b(x) b(x) 19

19 Para dividir dois polinômios a(x) e b(x), o processo é semelhante ao da divisão de dois números reais. Os termos do quociente q(x)são escolhidos de modo que os termos de maior grau dos dividendos ao longo da operação sejam eliminados. O resto r(x) é o dividendo que tem grau menor que o divisor. Exemplos: Calcule 1) f(x)/(g(x), sendo: f(x) x x e g(x) x + 1 x x x + 1 x x x x + 1 x x +x + x x +x + 1 Sabendo que: (x x) ( x x + 1). (x + 1) x + 5x + 8x + 4 x + x x x + x + x + 8x + 4 x 6x x + 4 x 4 p(x) f(x) g(x) x + x Raiz de um Polinômio Raízes ou zeros de um polinômio p(x) são os valores de x que tornam p(x) 0. Um polinômio de grau n tem n raízes que podem ser reais ou complexas, distintas ou repetidas. Se x 1, x,, x n são raízes de polinômio p(x) de grau n, então p(x 1 ) 0, p(x ) 0, p(x n ) 0. 0 Um polinômio de 1 0 grau na forma p(x) ax + b tem uma raiz x 1 que pode ser calculada como ax 1 + b 0 x 1 b a Tem-se: f(x) g(x) (x x) (x + 1) (x x 1) + ( 1 x + 1 ) ) p(x) f(x)/(g(x), sendo: f(x) x + 5x + 8x + 4 g(x) x + e Um polinômio de 0 grau na forma p(x) ax + bx + c tem duas raízes x 1 e x que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara. x b ± a onde b 4 a c Se > 0 então x 1 e x são raízes reais e distintas Se 0 então x 1 e x são raízes reais e iguais 0

20 Se < 0 então x 1 e x são raízes complexas Graficamente, os zeros reais do polinômio p(x) são as interseções do gráfico da função p(x) com o eixo x. Caso 1: Raízes reais distintas Exemplos: Verifique se x é raiz dos polinômios abaixo: 1) p(x) x + 9 p( ). ( ) p( ) 0 Portanto x é raiz de p(x). ) r(x) x + 6 x + 9 r( ) ( ) + 6. ( ) + 9 r( ) r( ) 0 Portanto x é raiz de r(x). Caso : Raízes reais iguais ) s(x) x + 9x s( ) ( ) + 9( ) s( ) s( ) 0 Portanto x não é raiz de s(x). Encontre as raízes dos polinômios abaixo: Caso : Raízes complexas 4) p(x) x 6 p(x) x 6 0 x 6 0 x 6 x 6 x 5) s(t) 6 t + 18 s(t) 6t t

21 6t 18 t ) g(x) x x + x x + 0 t Usando Bhaskara: a 1, b e c, ( ) > 0 ; raízes reais distintas ( ) ± 1 x.1 x x ± 1 7) g(x) 4x + 16x x + 16x Usando Bhaskara: a 4, b 16 e c 16, (16) ; raízes reais iguais (16) ± 0 x.4 x x ) p(t) t t t t 0 16 ± 0 8 Usando Bhaskara: a 1, b e c 0, ( ) t 1 + t 0 Como o polinômio é incompleto (c 0) podemos resolvê-lo diretamente na forma: t t 0 t. (t ) 0 Para um produto ser zero um dos dois fatores deve ser zero, assim: t 0 { ou t 0 t 1 0 t 0 t 9) p(x) 4x 16 4x 16 0 Usando Bhaskara: a 4, b 0 e c 16, (0) 4.4. ( 16) 56 (0) ± 56 t.4 x x ± 16 8 ± 16 8 Como o polinômio é incompleto (b 0) podemos resolvê-lo diretamente na forma: 4x 16 0 x 16 4 x 4 t ( ) ± 4.1 ± x 4

22 x x 1 ou x 10) p(x) x + x 6x x + x 6x 0 x ( x x 6) 0 x 0 x 1 0 { x x 6 0 Usando Bhaskara para resolver a equação: x x 6 0: ( 1) 4.1. ( 6) 5 ( 1) ± 5 x.1 x ± 5 x 1 5 Assim: x 1 0 ; x ; x Fatoração de Polinômios Considere o polinômio p(x) de grau n p(x) a n x n + a n 1 x n 1 + +a 1 x + a 0 Se x 1, x,, x n são raízes de p(x) então, p(x) pode ser fatorado como: p(x) a n (x x 1 )(x x ) (x x n 1 )(x x n ) onde a n é o coeficiente do termo de maior grau do polinômio. Se x 1, x,, x n são raízes de p(x) então, p(x) é divisível (resto igual a zero) por (x x i ) com i 1,, n, onde x i é cada uma de suas raízes. Exemplos: Fatores os polinômios abaixo: 1) g(x) x x + Devemos primeiro encontrar as raízes do polinômio. x ( ) ± ( ) ± 1 x 1 ; x 1 x Para g(x) tem-se que a n 1, x 1 e x 1, então: g(x) a n (x x 1 )(x x ) g(x) x x + (x )(x 1) ) k(x) 8x + x + 6 Raízes: x ( 8) ± ( 8) ± 4 4 x 1 ; x 1 x para k(x) tem-se que a n, x 1 e x 1: k(x) a n (x x 1 )(x x ) k(x) x 8x + 6 (x )(x 1) ) Fatore e simplifique a expressão x + 4x + x + 1 Fatorando o numerador x + 4x + Cálculo das raízes x (4) ± (4) ± 0 4 x

23 x 1 1 ; x 1 Tem-se que a n, x 1 1e x 1 x + 4x + (x ( 1))(x ( 1)) x + 4x + (x + 1)(x + 1) Calculando a expressão: x + 4x + x + 1 b) (a 4.. b ). (a. b)² 6) Calcule o valor das expressões: a) 1 ( ) +( ) 1 + b) + c) ( 1 ).( 1 ) [( 1 ) ] x + 4x + x + 1 (x + 1)(x + 1) x + 1 (x + 1) EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Encontre o valor de A A ) Calcule a expressão ( a x + a x ax x x ). x a ) Resolva a expressão ( x + 1 x + x x + ) x x + 8 x 4) A expressão é igual a: (x y). (x y ) x²y² 7) Simplifique os radicais a) 64 b) 576 c) 1 d) 7 e) 4 8) Simplifique as expressões: a) b) c) a ab 4 + b a 4 b + a 4 b 4 9) Efetue as operações: a). 1 b) 4. c) d) e) ( ). ab ab 5) Simplifique, sendo a. b 0 (a 4..b )³ a) (a.b )² f) ( + ). (5 ) g) (5 ) 4

24 h) i) ) Simplifique a 1 + x x x Sabendo que: x 1 ( a b b a ) 11) Qual o valor que se obtém ao subtrair 5 1 de? ) As indicações R1 e R, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula R1 R log 10 M1 M Em que M1 e M medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R18 e outro correspondente a R6. Calcule a razão M1 M 1) Calcule o valor de S: S log 4 (log 9) + log ( log 81 ) + log 0,8 ( log 16 ) 14) Determine o valor de x na equação y log (x+4) para que y seja igual a 8. 15) Calcule o valor de a) log b) 1+log 4 c) 9 log 16) Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos) a) log ab c b) log a³b² c 4 17) Se log a e log b, coloque em função de a e b os seguintes logaritmos decimais: a) log 6 b) log 4 c) log 0,5 d) log 5 18) Sabendo que log (7x 1) e que log (y + ) 7, calcule log y (x + 9). 19) Quais os valores de x e y sabendo que: x + y 1 log x + log y log 6 0) Calcule o log 4 6 em função de x e y, sabendo que o log 7 6 x que o log 7 4 y. 1) Resolva a equação log(x + ) + log(x ) 1 ) Resolva as equações: a) 5x 1 b) x + 5 x c) x + 1 x d) x 6x 9 e) x + x f) x + x 6 0 ) Elimine o módulo: a) x x 5

25 b) x + x + 1 c) x 1 + x d) x + x 1 + x 4) Determine h(x), tal que: h(x) (x + 1). (x ) + (x ). (x 1) + 4(x + 1) 5) Sendo f x; g x + x e h x + 5x, obtenha os números reais a e b tais que h af + bg 6) Demonstre que f (x 1) + (x ) (x ) é um polinômio nulo. 7) Calcule os valores de a, b, c e d para que o polinômio p(x) a(x + c) + b(x + d) seja idêntico a q(x) x + 6x + 15x ) Determine o quociente e o resto da seguinte divisão x 9x + 10x x x + 1 6) a) b) c) 7) a) 4 b)4 c) d)4 e) 18 8) a) 7 b) 49 c) 0 9) a) 6 b) 9 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) 1 9 ) 1 ) 1 X+ 4) 6x²y² 5) a) a 10 b b) a 16 b 11 c) 5/1 d) e) f) 9 4 g) 7 0 h) 7 i) 1 10) a+b ab 11) 1 7 1) 100 6

26 1) 5 14) x 5 15) a) b) 1 c) 9 16) a) 1 + log a + log b log c b) log a + log b 4 log c 17) a) a + b b) a c) a d) a b + 1 x 1, se x < 1 a) S { 1, se 1 x 0 } x + 1, se x > 0 1, se x < 1 b) S { x, se 1 x } 1, se x > x +, se x < 1/ c) S { x 1, se 1/ x } x, se x > x +, se x < 0 x +, se 0 x 1 d) S { } x + 1, se 1 < x x, se x > 4) x + 4 5) a ; b 6) É nulo. 7) a 1; b ; c ; d. 8) q(x) x ; r(x) x ) log y (x + 9) 19) x 4; y 9 0) x x+y 1) x ± 14 ) a) S {x R x ou x 9/5} b) S {x R x /4 ou x 7/} c) S {x R x ou x 1/} d) S {x R x + ou x ou x } e) S {x R x ±1/} f) S {x R x ou x } ) 7

27 . Intervalos e Inequações.1. Intervalos Definição: Intervalos são trechos contínuos da reta numérica Intervalos Limitados Sejam a e b números reais com a <b a) Intervalo aberto de a até b (a, b) ]a, b[ {x R a < x < b} b) Intervalo fechado de a até + [a, + ) {x R x a} a c) Intervalo aberto de até a (, a) ], a[ {x R x < a} a a b d) Intervalo fechado de até a b) Intervalo fechado de a até b [a, b] {x R a x b} a c) Intervalo fechado em a e aberto em b: [a, b) [a, b[ {x R a x < b} b (, a] ], a] {x R x a} Exemplo 1: Dado o intervalo represente-o na reta numérica a) ], 5 ] a a b d) Intervalo aberto em a e fechado em b (a, b] ]a, b] {x R a < x b} b) [ 1, ] a b c) ], 4 [.1.. Intervalos Não Limitados a) Intervalo aberto de a até + (a, + ) ]a, + [ {x R x > a} a Exemplo : Descreva o intervalo indicado na reta numérica: a) I [, + ) {x R x } 8

28 b) I {x R x 1 OU x < 6} Exemplo 1: Se a < b e c > 0 a então a. c < b. c e < b. Como c c em: a 4; b 4; c. a < b 4 < 4.. Inequações Inequação é uma expressão algébrica que contém sinal de desigualdade (< ; > ; ; ). Propriedades da desigualdade Sejam a, b, c, d números reais: 1) Somar ou subtrair um número qualquer em ambos os lados da inequação não altera o sinal da mesma. Exemplo 1: Se a < b então a + c < b + c. Como em: a ; b 4; c. a < b < 4 a + c < b + c < 4 5 < 1 Exemplo : Se a > b então a + c > b + c. Como em: a 5 ; b 4 ; c. a > b 5 > 4 a + c > b + c 5 + > > ) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número POSITIVO não altera o sinal da mesma. a c < b c 4 < 4 8 < 8 a c < b c 4 < 4 < Exemplo : Se a > b e c > 0 a então a. c > b. c e > b. Como c c em: a 4 ; b ; c. a > b 4 > a c > b c 4 > 8 > 4 a c > b c 4 > > 1 ) Multiplicar ou dividir ambos os lados do inequação por um número NEGATIVO inverte o sinal da desigualdade. Exemplo 1: Se a < b e c < a 0 então a. c > b. c e > b. c c Como em: a ; b 4; c. a < b < 4 a. c > b. c ( ) > 4 ( ) 6 > 1 a c > b c > 4 > 4 9

29 Exemplo : Se a > b e c < 0 então a. c < b. c e < b. c c em: a 4; b ; c. a > b 4 > a. c < b. c 4 ( ) < ( ) 8 < 4 a c < b c 4 < a Como < 1 Obs.: As propriedades acima continuam válidas para as desigualdades não estritas e. 4) Desigualdade Triangular: x + y x + y Exemplo 1: x 4; y. 4 + ( ) Obs.: x + y x + y somente se x e y forem simultaneamente positivos ou negativos. 5) x a a x a Demonstração: Se x for positivo: x x x a Se x for negativo: x x x a x a Então: x a E x a, ou seja, a x a 6) x a x a ou x a Demonstração: Se x for positivo: x x x a Se x for negativo: n 7) x n x x x a x a Então x a OU x a { x se n for par x se n for impar Exemplo 1: Se x 4 x Exemplo : Se x ( ) 4 x Resolver uma inequação é determinar todos os valores da variável que torna verdadeira a mesma. Este conjunto de valores é chamado conjunto solução da inequação. O conjunto solução da inequação representa um trecho contínuo da reta numérica, ou seja, é um intervalo. Exemplo 1: Determine se os valores de x ; x 0 e x são soluções da inequação x + < 5x 1. Substituindo x na inequação: + < 5 ( ) 0 < 15 Falso Substituindo x 0 na inequação 0 + < 5 (0) < 0 Falso Substituindo x na inequação: + < 5 () 5 < 10 Verdadeiro Portanto x é uma das soluções da inequação Exemplo : Resolva as inequações abaixo e represente o conjunto solução na reta numérica: a) x + < 5x 1 0

30 b) 1 x 5 1 x 5x < 1 4x < 4 4 x > 4 x > 1 S {x R x > 1} Separando em duas inequações temos: A) 1 x 1 + x x 16 x 8 S A {x 8} (1, + ) A) x + 5 x x 1 B) x + 5 x 7 x 7-7/ (, 7 ] [1, + ) 1-7/ 1 x 1 x 7 S A S B E (significa a interseção) S {x R x 7 ou x 1} B) x 5 x 8 x 4 S B {x 4} d)(x ) 4 16 (x ) (x ) 4 x 8 Da propriedade 7 x 4 16 x x 4 x E x [4, 8] S {x R 4 x 8} Lembre que E em matemática significa S interseção. Resolvendo as inequações: A S B A) x x 5 B) x 1 x 5 x 1 c) x + 5 Da propriedade 6 temos: x 5 x 1 S A S B x + 5 OU x + 5 Lembre que OU em matemática significa união. Resolvendo as inequações separadamente: S {x R 1 x 5}S [1, 5] e) x 5 <. 1

31 Da propriedade 5 temos: S {x R x 1 ou x 1 } < x 5 < Resolvendo sem separar as inequações: + 5 < x < + 5 < x < 8 < x < 8 1 < x < 4. Exercícios Propostos 1) Escreva na forma de intervalo cada representação geométrica dada abaixo. 4 1 f) 6 x 7. S {x R 1 < x < 4} Da propriedade 6 temos: A) 6 x 7 x 7 6 x 1 x 1 OU B) 6 x 7 x 7 6 x 1 x 1-1/ 1 4 1/ -1/ 1/ ) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma de intervalo e na forma geométrica: a) {x R 6 x 10} b) {x R 1 < x 5} c) {x R x 4} d) {x R x < 1} ) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma geométrica: a) [ 1, + ) b) (0, 7] c) (, ) d)[ 6, + ) 4) Sendo A]-,4[ e B [-1,6[, calcule A B, A B, A B e B A. 5) Dados A ]-,]; B ]-1,4[ e C (-, + ) determine: a) (A U C) B b) (B U C) A c) A B d) B C e) (C A) B f) A B 6) Resolva a seguinte inequação: a) 4x 4 x > x + 1 b) x 4 + x + 14 > x 1 + x

32 c) x² + 1 < x² 5x 7) O conjunto solução da inequação x 1 é: x+6 x 4 8) O conjunto solução da inequação 1 + x x < 5 é: 9) O conjunto solução da inequação x² 7x + 0 é: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 1) ) a) (, ] b) [4, + ) c) (, 5) d) (0, 1) a) [6, 10] b) ( 1, 5] c) [4, + ) d) (, 1) ) 4) 5) 6) Intervalos A B ], 6[ A B [ 1, 4[ A B ], 1[ B A [4, 6[ a) B b) ], ] ], + [ c) ], 1] d) e) ], 4[ f) ] 1, ] a) S {x R x < 58} b) S {x R x > 17} c) S 7) S {x R x < 6 ou 1 x < 4 ou x 6} 8) S {x R 1,1 < x < 1,7} 9) S {x R 1 x }

33 . Função.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente para indicar essa dependência ou variação. Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por f: A B, se todos os elementos do conjunto A estão associados a um e somente um elemento do conjunto B. A 1 Fig.. Este diagrama da Fig.. é uma função, pois todos os elementos de A possuem uma imagem associada em B... Domínio, Contradomínio e Imagem Considere a função f: A B indicada no diagrama de flechas da Fig. 6.4 abaixo: B a b c d e Vamos analisar alguns tipos de relações e verificar se são funções de acordo com as figuras: A 1 Fig..1 O diagrama da Fig..1 não é função, pois o elemento, pertencente a A, está associado a dois elementos de B. A 1 Fig.. Este outro exemplo da Fig.. não é uma função, pois o elemento 1 pertencente a A, não está associado a elemento algum de B. B a b c d e B a b c d e Fig..4 Diagrama de flechas Ao conjunto A damos o nome de domínio da função. Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) {, 0, }, ou seja, o domínio contém todos os elementos do conjunto A. Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função. No exemplo da Fig..4, o contradomínio da função f é representado por CD(f) { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio contém todos os elementos do conjunto B. Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não está relacionado a qualquer elemento de A. Um elemento do contradomínio B pode estar associado a mais de um elemento do domínio A. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio - e. 4

34 Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. Novamente analisando a Fig..4, o conjunto imagem é representado por Im(f) { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f). Nesta função, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio. Na representação cartesiana temos que Domínio é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f. Imagem é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f. A função f de A em B, f: A B, da Fig..4, pode ser expressa pela seguinte lei de associação: ou ainda como: f: A B, f(x) x f: A B, y x A variável f(x) ou y é chamada de variável dependente, pois depende de x, já a variável x é chamada de variável independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domínio A A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto o contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra de associação, no caso f(x) x, como também do D(f) e do CD(f). Quando a função f é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos A e B, convenciona-se que o contradomínio B seja o conjunto dos números reais. O domínio é o conjunto dos números reais, desconsiderando os valores de x para os quais não é possível obter, pela lei de associação, uma imagem real. Diz-se, então, que a função f é uma função real de variável real. Exemplos: 1) Dada a função f(x) 4x, determine [f(0) f()]/f(1). [f(0) f()] f(1) f(0) 4.0 f() f(1) ) Seja f uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Lia, Max, Naira e Vítor. Determine o Domínio, a Imagem e o Contradomínio da função. x José x Lia y f(josé) J y f(lia) L IMPORTANTE: Não confundir f e f(x): f é o nome da função, enquanto f(x) é o valor que a função f assume no ponto x D(f). x Max x Naira x Vítor y f(max) M y f(naira) N y f(vítor) V 5

35 D(f) { José, Lia, Max, Naira, Vitor} I(f) { J, L, M, N, V} CD(f) todas as letras do alfabeto ) Encontre o Domínio e a Imagem da função f que calcula o quadrado de um número. Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função f como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de x e a variável dependente de y, a função f pode ser representada pela equação: y x. Como para qualquer valor de x R, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de y, tem-se: D(f) {R} Se x < 0 então y x > 0; se x 0 então y 0 e se x > 0 então y > 0. Portanto, y poderá ser zero ou um número positivo, assim: I(f) {y ε R y 0} [0, + ) 4) Encontre o Domínio e a Imagem da função g que calcula a área de um quadrado. Chamando o comprimento do lado do quadrado de x e sua área de y, podemos calcular a área de uma secção quadrada como x. x x. Assim, a função g pode ser representada pela equação y g(x) x. Só é possível calcular a área y de um quadrado se o tamanho de seu lado for maior do que zero D(g) {x ε R x > 0} (0, + ) Como x é sempre maior do que zero, a área y calculada pela equação y x será sempre um número maior do que zero; Im(g) {y ε R y > 0} (0, + ) Observe que a função f, que calcula o quadrado de um número, e a função g, que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação y x, porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes. Duas funções f e g são iguais se elas têm o mesmo domínio e se f(x) g(x) para todo x do domínio. Exemplos: 6) Calcule o domínio da função: f(x) x 4 Como x 4 só é possível em IR se x 4 0, ou seja, x, então: D {x IR x } 7) Calcule o domínio da função: f(x) 5 x + 1 Como o termo x + 1 é o denominador da função, ele não pode ser nulo (pois não existe divisão por zero). Portanto x + 1 0, ou seja, x -1. D {x IR x -1} 8) Calcule o domínio da função: ( x ) f(x) ( x) 6

36 Como visto anteriormente: x 0. Portanto x 0, ou seja, x (condição 1). A B Além disso, x > 0, ou seja, x <. Mas como ele está no denominador, ele não pode ser igual a zero, portanto, x < (condição ). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e obtemos a solução representada na figura a seguir. Fig..5 Diagrama para uma Função sobrejetora Função Injetora: Uma função f: A B é injetora se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, como exemplo a Fig..6. A B Portanto, D {x IR x < }. 6) Determine o domínio da função: h ( z) z 1 z 1 z Devemos ter simultaneamente: z 1 0 z 1 ( s1) z 0 z ( s) D s1 s D z / z 1 z Fig..6 Diagrama para uma Função injetora Função Bijetora: Uma função f: A B é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Isto é, se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas e o conjunto imagem for igual ao contradomínio. A B.. Tipos de Funções Função Sobrejetora: Uma função f: A B é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for especificadamente igual ao contradomínio. Como no exemplo da Fig..5 Fig..7 Diagrama para uma Função bijetora Outros tipos de funções:..1 Função Crescente Definição: A função f : A B definida por y f (x) é crescente no conjunto A 1 7

37 A se, para dois valores quaisquer x 1 e x pertencentes a A 1, com x 1 < x tivermos f(x 1 ) < f(x ) Em símbolos: f é crescente quando ( x 1 ; x ) (x 1 < x f(x 1 ) < f(x )) A função é decrescente em um determinado intervalo se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y diminui (coeficiente angular negativo), segundo o gráfico da Fig..9: A função é crescente em um determinado intervalo se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y também aumenta (coeficiente angular positivo), segundo o gráfico da Fig..8 : Fig..9 Gráfico de uma Função decrescente Exemplo: A função em : f ( x) x é decrescente Fig..8 Gráfico de uma Função crescente Exemplo: A função : x x 1 1 x x x f ( x) x é crescente em f ( x ) 1 1 x f ( x ); assim : ;( x x.. Função Decrescente: Definição: A função 1, ) f : A B definida por y f (x), é decrescente no conjunto A 1 A se, para dois valores quaisquer x 1 e x pertencentes a A 1, com x 1 < x tivermos f(x 1 ) > f(x ). x x 1 1 x x f ( x ) 1 x 1 f ( x x.. Função Constante ); assim: ;( x x 1, ) Toda função f: R R na forma f(x) k, com k R é denominada função constante. D(f) R e Im(f) k Na função constante, todos os elementos do domínio terão sempre o mesmo valor de imagem, isto é, ao variarmos x encontramos sempre o valor k. Segundo o diagrama de flechas da Fig..10 que representa este tipo de função. Em símbolos: f é decrescente quando ( x 1 ; x ) (x 1 < x f(x 1 ) > f(x )) 8

38 O gráfico da função identidade está esboçado na Fig..1. É uma reta que contém as bissetrizes do 1º e º quadrantes, e sua imagem é Im Fig..10 Diagrama para uma Função constante O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo X que cruza o eixo Y em y k. Ou seja, passa pelo ponto (0, k). Exemplo: Plote o gráfico da função f(x) Para qualquer valor de x o valor da imagem da função é igual a. Por exemplo, se x 0 f(0), se x 4 f(4). Assim, o gráfico da função é uma reta paralela ao eixo X e que passa pelo ponto (0, ) como na Fig..11: D(f) R e Im(f) Fig..1 Gráfico da função f(x) x..5 Função Par e Função Ímpar Uma função f é dita ser uma função par se obedecer a lei da seguinte Eq. (.1): f( x) f(x) (.1) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos Y. Uma função f é dita ser uma função ímpar se obedecer a seguinte lei segundo a Eq. (.): f( x) f(x) (.) Fig..11 exemplo de gráfico de uma função constante f(x)..4 Função Identidade Uma aplicação f de em, recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x associa o próprio x, isto é: f : x x O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplos: Dada a função f determine se ela é uma função par ou uma função ímpar com base nas Eq..1 e. 1) f(x) x 1 Escolhendo valores arbitrários do domínio de f temos : 9

39 para x f( ) f() para x f( ) f() 8 como f( x) f(x) a função é par Também podemos reconhecer se uma função é par analisando seu gráfico como na Fig..1. Observe no gráfico da função f(x) x 1, que existe uma simetria em relação ao eixo y. Por exemplo, as imagens de x e x são iguais (y ), assim os pontos (,) e (-,) estão simétricos em relação a Y. É possível observar que no gráfico, da Fig..14, que f(x). x possui uma simetria em relação ao ponto da origem do sistema cartesiano (0;0). Temos os pontos simétricos (1;) e ( 1, -), assim como (, 4) e (-, 4). Nesse caso, temos uma função ímpar. Fig..14: Gráfico da Função ímpar f(x) x.4. Gráfico de Funções Fig..1 Gráfico da Função par ) f(x) x f(x) x 1 Escolhendo valores arbitrários do domínio de f temos: para x 1 f(1) f( 1) ; para x f() 4 e f( ) 4 ; como f( x) f(x) a função é ímpar. e O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) no plano xy tal que x pertence ao D(f) e y pertence a I(f). Assim, o gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)), pois y f(x). Costuma-se dizer que uma função real a uma variável real gera uma curva em. Como não é possível a representação de todos os pontos (x, f(x)), podemos escolher alguns valores de x pertencentes ao D(f) para calcular as correspondentes imagens f(x), como feito na Fig..16. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o chamado gráfico de dispersão. Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de 40

40 dispersão com uma curva como na Fig..15, obtendo o gráfico da função. Exemplo: Esboce o gráfico da função: f(x) 9 x 9 x 0 x 9 D(f) (, 9] e Im(F) [0, + ) Fig..17 Gráfico de y 4x + 6y 1 Fig..15 Gráfico de pontos de dispersão da função f(x) 9 x Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem. O domínio de uma função é o conjunto das abscissas x dos pontos do gráfico (projeção no eixo X). A imagem da função é o conjunto das ordenadas y dos pontos do gráfico (projeção no eixo Y). x y 9 x Fig..16 Tabela de pontos de dispersão Fig..18 Gráfico mostrando D f e I f.4.1. Análise de Gráficos Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do domínio intercepta a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em mais de um ponto não é função. Na Fig..17 traçamos o gráfico da seguinte equação: y 4x + 6y 1. Esta equação não representa uma função, pois para um mesmo valor de x obtém-se dois valores de y. Os valores de x para os quais f(x) 0 chamam-se zeros da função f ou raízes da equação f(x) 0. Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal..5. Função Polinomial de 1º Grau A função f é dada por um polinômio de 1º Grau segundo a Eq.. : f(x) a. x + b (.) com a e b reais e a 0. 41

41 D(f) R e Im(f) R Se b 0 na Eq.., então a função recebe o nome de função afim. Se b 0 a função recebe o nome de função linear. O coeficiente a determina se f é uma função crescente ou decrescente. Se a > 0, f é uma função crescente. Se a < 0, f é uma função decrescente. O gráfico de uma função polinomial de 1º grau é uma reta. Para determinar uma reta bastam pontos. Uma vez encontrados dois pontos que satisfazem a equação da função, seu gráfico é obtido traçando uma reta por eles. Gráfico de uma Função Afim Fig..19 Gráfico de y x + 4 b) y x Para x 0 y e para y 0 x 1. A reta passa pelos pontos A( 1,0) e B(0, ). Seja a função afim de equação: com a 0 e b 0 y f(x) a x + b O coeficiente linear b é o valor que y assume quando x 0, enquanto que a raiz x b/a é o valor de x que torna y 0. Assim, os pontos (0, b) e ( b/ a, 0) podem ser usados para traçar o gráfico da função Exemplos: Plote o gráfico das funções dadas pelas equações: a) y x + 4 Quando x 0 y 4 e quando y 0 x. A reta passa pelos pontos A(,0) e B(0,4). Fig..0 Gráfico de y x. Note que o coeficiente a, logo a reta é decrescente Gráfico de uma Função Linear Seja a função linear de Eq..4: com a 0 na Eq..4 y f(x) a x (.4) A função linear é um caso particular da função afim quando o termo independente b é nulo. Uma característica das funções lineares é que o seu gráfico passa pelo ponto (0,0). a origem da sistema de coordenadas cartesianas. Para o traçado do gráfico precisamos de mais um ponto. Este ponto pode ser obtido 4

42 encontrando o valor da imagem y f(x) para qualquer valor de x D(f). Exemplo: Plote o gráfico da função dada por: f(x) 1 x y x Quando x 0 y 0 e quando x 4 x. A reta passa pelos pontos A(0,0) e B( 4,). Conclusão: f(x) 0 x 1 ou x ou x 4 ou x 7 f(x) > 0 1 < x < ou < x < 4 ou x > 7 f(x) < 0 x < 1 ou 4 < x < 7.6. Função Polinomial de º Grau Uma função f é denominada de função de º grau quando ela for dada por um polinômio de º Grau: f(x) a x + b x + c (.5) com a, b e c na Eq..5 pertencente aos reais e a 0. Fig..1 Gráfico de y x Sinal de uma Função Para se estudar o sinal de uma função, quando a função está representada no plano cartesiano, basta examinar se é positiva, nula ou negativa a ordenada de cada ponto da curva. Exemplo: Estudar o sinal da função y f(x) cujo gráfico está abaixo representado. O gráfico de uma função de º grau é uma parábola. A parábola será côncava para cima se a > 0, e será côncava para baixo se a < 0. y Fig.. Gráfico para a > 0 y x x Preparando o gráfico com aspecto prático temos: Fig.. Gráfico para a < 0 4

43 O vértice da parábola é dado pelo ponto (x v, y v ) em que as coordenadas x v e y v são dadas pelas seguintes Eq..6 e.7 : x v b a y v 4 a onde b 4 a c. (.6) (.7) O domínio e imagem da função de º grau é: se a > 0, D(f) R e Im(f) [y v, + ) se a < 0 D(f) R e Im(f) (, y v ] É importante notar que se a parábola for côncava para cima, x v corresponde ao seu ponto de mínimo e y v corresponde ao valor mínimo da função. Se a parábola for côncava para baixo, x v corresponde ao seu ponto de máximo e y v corresponde ao valor máximo da função. A função polinomial de º grau possui duas raízes ou zeros, que são os pontos x 1 e x do domínio para os quais a imagem é nula, ou seja, Se as raízes da função forem números reais então os pontos (x 1, f(x 1 )) (x 1, 0) e (x, f(x )) (x, 0) são os pontos que o gráfico da função intercepta o eixo dos X. Exemplos: Plote o gráfico das funções: a) f(x) x 9 x + 6 x a ; b 9 ; c 6 b 4. a. c ( 9) Substituindo estes valores nas Eq..8 e.9 : x v b a 9 6 e x e y v 4a O gráfico da função é a parábola que passa pelos pontos (1,0), (,0) e (/, /4) e que é côncava para cima, pois a > 0. f(x 1 ) 0 e f(x ) 0 As raízes da função podem ser calculadas pela fórmula de Bháskara segundo as Eq..8 e.9: x 1 b + a (.8) x 1 b a (.9) Se > 0 a função f tem duas raízes reais e distintas x 1 x. Se 0 a função f tem duas raízes reais iguais x 1 x. Se < 0 a função f não tem raízes reais. b) f(x) x + x a 1 ; b ; c 0 44

44 Como o termo c 0, a fatoração deste polinômio é bastante simples e podemos utilizar este fato para encontrar as raízes da função sem utilizar as Eq..8 e.9. f(x) x + x 0 x. ( x + ) 0 Para que o produto seja nulo temos que ou x 0 ou ( x + ) 0, assim, x 1 0 e x. x v ( 1) e y v f ( ) 9 4 O gráfico da função é a parábola que passa pelos pontos (0,0), (,0) e (/, 9/4) e que é côncava para baixo pois a 1 < 0. coincidindo com o ponto que ela intercepta o eixo dos X. Para uma representação razoável de uma parábola, necessitamos de no mínimo pontos. O gráfico da função intercepta o eixo Y quando x 0 então, se x 0 f(0), assim o ponto (0, ) pertence à parábola. Qualquer ponto do domínio pode ser utilizado para encontrar o terceiro ponto da parábola. Se x f(), assim o ponto (, ) pertence à parábola. O gráfico da função f(x) x 4 x + é a parábola que passa pelos pontos (1, 0), (0, ) e (, ) e que é côncava para cima, pois a > 0. c) f(x) x 4 x + a ; b 4 ; c b 4 a c ( 4) x 1 x 4 ± 0 4 x v b a e y v 4a Quando 0 as raízes da função são iguais x 1 x. O gráfico da função é uma parábola de vértice (x 1, 0) d) f(x) x 4 x + a ; b 4 ; c ( 4) < 0 x v b a e y v 4a ( 8) 8 1 Quando < 0 as raízes da função não são números reais. Isto significa que o gráfico da função não intercepta o eixo dos X. O gráfico da função intercepta o eixo Y quando x 0 então, se x 0 f(0). Quando x f(), assim o ponto (, ) pertence à parábola. 45

45 O gráfico da função f(x) x 4 x + é a parábola que passa pelos pontos (1, 1), (0, ) e (, ) e que é côncava para cima, pois a > 0. Fig..4 Gráficos segundo os parâmetros a e Gráfico de uma Função Quadrática Para fazermos o esboço do gráfico de uma função quadrática f(x) ax + bx + c, buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são: 1) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta x b a perpendicular ao eixo dos x. ) Verificar se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo, a > 0 ou a < 0. ) Zeros da função. Se > 0, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos P1 ( b+ ) e P ( b a a ) 4) Vértice da parábola é o ponto V ( b, ) que é máximo se a 4a a < 0 e mínimo se a > 0. Seguem-se os tipos de gráficos que poderemos obter: Fig..5 Gráficos segundo os parâmetros a < 0 e > 0 Fig..6 Gráficos segundo os parâmetros a e.7. Função Exponencial Toda função f: R R na forma f(x) a x, com a > 0 e a 1 é denominada de função exponencial. 46

46 D(f) R e Im(f) R + (0, + ) O gráfico da função exponencial f(x) a x é uma curva que intercepta o eixo Y no ponto (0, 1), pois f(0) a 0 1 e nunca intercepta o eixo dos X, pois a imagem da função não pode ser zero pois é estritamente positiva. A função é crescente se a base a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. a) f(x) e x e g(x) e x Como a função f(x) e x é uma função exponencial de base igual ao número de Euler e,718, a função é crescente, pois e > 0. Os valores que a função g(x) e x assume são iguais aos valores de f(x) e x multiplicados por -1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X. Fig..7 Gráficos de funções exponenciais cujas bases estão 0 < a < 1 Observe que para valores positivos de x,o gráfico da função se aproxima do eixo 0x, embora sem nunca tocá-lo. Dizemos que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico desta função. b) f(x) e x e g(x) e x Como a função f(x) e x (e 1 ) x é uma função exponencial de base igual e 1, ela é decrescente, pois 0 < e 1 < 1. Fig..8 Gráficos de funções exponencias cujas bases são a > 1 Os valores que a função g(x) e x assume são iguais aos valores de f(x) e x multiplicados por -1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X. A função f(x) e x, cuja base é a constante de Euler e (e,718 ) desempenha um papel muito importante nas aplicações da engenharia. Exemplos: Plote o gráfico das seguintes funções: 47

47 .8. Função Logarítmica Toda função f: R R na forma f(x) log a x com a > 0 e a 1 é denominada de função logarítmica D(f) R + (0, + ) e Im(f) R O gráfico da função logarítmica f(x) log a x é uma curva que intercepta o eixo X no ponto (1, 0), pois f(1) log a 1 log a a 0 0. O gráfico da função nunca intercepta o eixo dos Y, pois x 0 não pertence ao domínio da função, ou seja, f(0). A função é crescente se a base a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Como a função f(x) ln (x) é uma função logarítmica de base igual ao número de Euler e,718, a função é crescente, pois e > 0. Os valores que a função g(x) ln (x) assume são iguais aos valores de f(x) ln (x) multiplicados por -1. Isto significa que as funções g e f são simétricas em relação ao eixo dos X. Fig..9 Gráficos de funções logarítmicas cujas bases são a > 1.9. Função Inversa Se f: A B for uma função injetora então, ela admite uma função inversa f 1 : B A. Exemplo: Dados dois conjuntos A {a, b, c, d, e} e Y { A, B, C, D, E}, define-se a função (f) como sendo a lei que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo no diagrama da Fig..1. A B Fig..0 Gráficos de funções logarítmicas cujas bases estão 0 < a < 1 Exemplo: Fig..1 Diagrama de associação Plote o gráfico das seguintes funções: f(x) ln (x) e g(x) ln (x) 48

48 Observe que a função f é injetora onde D(f) A e Im(f) B. Se f é injetora então ela admite uma função inversa f 1 : B A onde D(f) B e Im(f) A. B A Fig.. - Gráficos de duas funções inversas, percebe-se a simetria em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares y x ) f(x) x Fig.. Diagrama para a função inversa de f. Observação 1: o que era domínio na função f original vira imagem na função inversa f 1, e o que era imagem na função original vira domínio na função inversa. Observação : Se f tiver uma inversa, então os gráficos de y f(x) e y f 1 (x) são reflexões um do outro em relação a reta y x. Exemplos: Dada a função f calcule sua inversa f 1 y x x y log (x) log y y log log x y f 1 (x) log x Observe que as funções exponenciais e logarítmicas são funções inversas. D(f) R e Im(f) R + (0, + ) Dom(f 1 ) R + (0, + ) e Im(f) R 1) f(x) x + 6 Fazendo y f(x) (I) y x + 6 (II) x y + 6 (III) y x 6 (IV) y f 1 (x) x 6 É fácil observar em (II) a mudança das variáveis: o que era x virou y, e viceversa. Após fazer essa substituição, é só isolar a variável y para encontrar a função inversa. Fig.. - Gráficos de duas funções inversas, logarítmica e exponencial, sendo um caso clássico de funções inversas. Veja a simetria em relação a y x. 49

49 .10. Função Composta Sejam três conjuntos distintos A, B e C que entre eles existam as seguintes funções: f: A B e g: B C Assim, irá existir outra função h A C tal que h(x) g(f(x)) que é chamada de função composta de g e f denotada por (g f)(x) na Fig..4 : Isto significa que o "x" da função g deve ser substituído por "f(x)". Então: g o f g(f(x)). f(x). [x + 1]. [x + x + 1] x + 4x + (g o f)(x) x + 4x + b) Determine a função composta f o g. Fig..4 Diagrama de flechas para uma função composta Na função (g f)(x) g(f(x)), resolvemos primeiro a função interna f, ao resultado, ou seja, à imagem de f aplicamos a função g. Assim, o domínio de (g f)(x) é o conjunto de todos os elementos x no domínio de f tal que f(x) esteja no domínio de g. Dom(g f) {x Dom(f) f(x) Dom(g)} É importante lembrar que as funções (g f) e (f g) são geralmente diferentes. Exemplo: Como a função (f o g)(x) f(g(x)) agora os elementos do domínio de f são as imagens y g(x) da função g. Isto significa que o "x" da função f deve ser substituído por "g(x)". Então: f o g f(g(x)) g(x) + 1 [x ] + 1 x + 1 (f o g)(x) x + 1. c) Determine a função composta f o f. f o f f(f(x)) f(x) + 1 [x + 1] + 1 x + (f o f)(x) x + Considere as funções: g(x) x e f(x) x + 1 d) Determine a função composta g o g. a) Determine a função composta g o f. Como a função (g o f)(x) g(f(x)) agora os elementos do domínio de g são as imagens y f(x) da função f. g o g g(g(x)). [g(x)]. [x ]. (4x 4 ) 8 x 4 (g o g)(x) 8 x 4 50

50 .11. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Seja f(x) 1, x 0. Se f( + x p) f(). Calcule f(1 p) f(1 + p). ) Esboce o lugar geométrico do seguinte conjunto H {(x, y) R x + y y 0}. Verifique que o conjunto esboçado não corresponde a uma função. ) Verifique as possibilidades para os quais x satisfaz a inequação (4x )/(x + 1) > 4) Os pontos (0,0) e (,1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x 0.5. Calcule o valor de f(1). 5) O maior elemento da sequência a n n n, n 1,,, 50, vale: 6) Plote o seguinte gráfico x. 7) Considere a função 1, se 0 x f(x) {, se x < 0 e g(x) f(x) 1. Plote g(x). 8) Se o conjunto: S {x R/a x b ou x c} é a solução de (x + ). (x x ) 0 O valor de a + b + c é: 9) Considere a função f(x) x 1 + x ; Mostre que x + se x 1 f(x) { 1 se 1 < x < x se x Em seguida esboce o gráfico de f. 10) As soluções da equação: x a x + a + x + a x a (a4 + 1) a (x a ) Onde a 0, são: 11) O domínio da função real f definida por: é: f(x) x 1 1 x 1) Seja S o conjunto de todas as soluções da equação log 0.5 (x + 1) log 4 (x 1). Mostre que S possui solução única. 1) Seja a equação logarítmica (log m ). (log m ) log m Calcule a soma de suas raízes. 14) Se: 6 log a m 1 + log a m Com a > 0, a 1 e m > 0, então: m é: a + m 15) Encontre o domínio real da função: x f(x) x 8x ) Mostre que a inequação 10 x + 10 x x x x+4 < Em que x é um número real, possui apenas solução negativa. 17) Plote: a) f(x) e x. b) g(x). x x c) f(x) 4 e x 51

51 d) g(x) x + 6x 8 +. Plote o gráfico de: 18) Para 1 < x < 0.5, o gráfico da função y x x 1, coincide com o gráfico da função y ax + b. Encontre os valores de a e b. 19) Sejam f, g: R R funções tais que g(x) 1 x e f(x) + f( x) (x 1), para todo x R. Calcule f(g(x)). 0) A soma das raízes reais positivas da equação 4 a 5 a + 4 0, sendo a x é: 1) Plote o gráfico de f(x) ln( x 1). g(x) ( ) f (( 1 ) x + ) + ( ). 4) Dada a função: x x 1, se 4 x < 0 f(x) { x +, se 0 x 0, caso contrário Faça e calcule o que se pede: a) Esboce o gráfico de f(x): b) Calcule a área formada entre f(x) e o eixo das abscissas do plano cartesiano, para x 0. c) Esboce o gráfico de g(x) f(( 0.5x + ) ) ) Dadas as funções. x f(x). x + 1 e. x + 1 g(x). x, responda e calcule o que se pede: a) Indique o domínio das funções f(x) e g(x). b) A função g(x) é a inversa de f(x)? Em caso negativo, encontre a função inversa de f(x). c) Determine o valor da soma f() + g(). d) Determine o valor do quociente f( )/g( ). ) Seja f(x) a função ilustrada abaixo: 5

52 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) 1/5 ) [x² + (y 1)² 1]. Logo, a equação de uma circunferência não é uma função. ) S {x R x < 1 ou x > 5/} 4) f(1) /10 5) Y máx 450 6) gráfico 7) gráfico 8) a² + b² + c² 8 x +, se x 1 9) S { 1, se 1 < x < x, se x } 10) ±1/a 11) D f {x R 1/ < x 1/} 19) f(g(x)) x³; f(x) (-x + 1)³ 0) a 1 e a 0. Logo, a 1 + a ln (x 1), se x > 1 1) f(x) { l n( x 1), se x < 1 }.a) D f(x) {x R x 1/} e D g(x) {x R x 0}.b) Não, a inversa é F 1 (x) x + x.c) f() 6/5 e g(x) 5/6. Logo, f() + g() 61/0.d) f( ) g( ) (9 5 ) ) gráfico 4. a) x x 1, se 4 x < 0 S { x² +, se 0 x 0, caso contrário } 1) x + 1) m 1 + m 10, sendo m 1 6 e m 4 14) 1/ 15) D f {x R x ou x 4} 16) x < 0 17.a) f(x) e x { e x, se x 0 e x, se x < 0 }, se x > 0 17.b) g(x) x /x {, se x < 0 } b) Área x 4 u.a ; p/ x 0 c) 17.c) f(x) 4 e x { 4 e x, se x 0 4 e x, se x < 0 } 17.d) g(x) x + 6x 8 + x² 1x + 18, se x 4 { x + 1x 1, se x > 4 ou x < }18) a - 1 e b 5

53 4. GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume. Já a geometria espacial, por sua vez, estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no espaço, conhecidos como sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais Ponto O ponto determina uma localização e seu conceito é adimensional. O ponto não possui forma ou tamanho, embora seja necessário fazê-los, para a sua representação gráfica (Fig. 4.1). Figura 4. Representação dos tipos de reta 4..1 Postulados da Reta Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. A Fig. 4. define uma representação gráfica deste postulado. Figura 4. Pontos inclusos e exclusos à reta Figura 4.1 Representação gráfica de um ponto Por um ponto passam infinitas retas (Fig. 4.4). 4.. Reta A reta é uma linha unidimensional ilimitada. Embora seja necessário dar uma espessura e um tamanho para a representação gráfica de uma reta, ela não tem espessura e seu comprimento é infinito, como exemplificado na Fig. 4.. Figura 4.4 Representação de retas em um ponto Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém (Fig. 4.5). 54

54 Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente contida nesse plano (Fig. 4.8). Figura 4.5 Reta formada pela união de dois pontos 4.. Plano O plano corresponde a uma superfície plana bidimensional ilimitada. Embora seja necessário dar uma forma e tamanho para a sua representação gráfica, o plano tem comprimento e largura infinitos e não tem profundidade, como exemplificado na Fig. 4.6 Figura 4.8 Reta formada pela união de dois pontos contida em um plano Três pontos não situados na mesma reta determinam um plano (Fig. 4.9). Figura 4.6 Representação de um plano Figura 4.9 Pontos determinantes de um plano α qualquer 4..1 Postulados do Plano Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. A Fig. 4.7 define uma representação gráfica deste postulado. Por uma reta passam infinitos planos (Fig. 4.10). Figura 4.10 Reta com infinitos planos 4... Posições Relativas de duas Retas no Plano Figura 4.7 Representação de pontos inclusos e exclusos a um plano α Duas retas em um mesmo plano podem ser: 55

55 Retas Concorrentes: Duas retas são ditas concorrentes quando existe apenas um ponto comum entre elas, ou seja, quando as retas se interceptam. Retas Paralelas: Duas retas a e b, em um mesmo plano, são ditas paralelas quando não têm ponto comum entre elas. Denota-se a/ /b. Retas Coincidentes: Duas retas são ditas coincidentes quando têm todos os pontos em comum. A Fig esboça posições de duas retas concorrentes, paralelas e coincidentes em um mesmo plano. Figura 4.1 Representação de espaço Posições Relativas de duas Retas no Espaço Duas retas no espaço tridimensional podem ser: Retas Coplanares: Duas retas são ditas coplanares quando existe um plano que as contêm. Retas Reversas: Duas retas são ditas reversas quando não existe um plano que as contêm. A Fig. 4.1 aponta retas coplanares e retas reversas. Figura 4.11 Posições relativas de retas em um plano 4.4. Espaço O espaço tridimensional é o conjunto de todos os pontos situados em um plano e fora dele. Embora seja necessário dar uma forma para a sua representação gráfica do plano, ele tem comprimento, largura e profundidade infinitos, como exemplificado na Fig Figura 4.1 Posições relativas de retas em um espaço (I) De acordo com a figura acima: As retas r e s estão contidas no plano ABCFE, portanto são coplanares. As retas t e s estão contidas no plano EFGH, portanto são coplanares. 56

56 As retas t e r são retas reversas, pois não existe um plano que as contêm. Exemplo: 1) De acordo com a figura 4.14 abaixo, dê a classificação em relação à posição relativa dos pares de retas indicadas: Figura 4.14 Posições relativas de retas em um espaço (II) a) Retas r e s: coplanares paralelas b) Retas r e t: coplanares concorrentes c) Retas r e x: reversas d) Retas t e x: coplanares paralelas 4.5. Segmento de Retas Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão limitados por dois pontos, como exemplificado na figura Figura 4.15 Representação de um segmento de reta (I) AB medida do comprimento de AB Razão entre Segmentos de Reta O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre duas grandezas. A razão entre dois números x e y é definida pelo quociente: x k com k R e y 0, y A razão k indica o valor do número x quando comparado ao número y, tomando-o como unidade. Por exemplo, a razão entre dois números reais x e y 4 é determinada por: x y 4 1 0,5 Isto significa que o número x é 0,5 vezes o número y, ou seja, x é a metade de y. Não é possível dividir um segmento de reta por outro para determinar a razão entre segmentos, mas é possível realizar a divisão entre as medidas (tamanho) dos segmentos. Por exemplo, a razão os entre os segmentos AB e CD, respectivamente, de comprimentos 6 cm e cm é determinada por: AB CD 6 AB é a medida do segmento e CD é a medida do segmento Isto significa que o segmento AB é vezes maior do que o segmento CD Segmentos Proporcionais 57

57 Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. Quatro números x, y, a e b são proporcionais, nesta ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja: x y a C ; y 0; b 0 b O número real C é chamado de constante de proporcionalidade. Lêse x está para y assim como a está para b. Por exemplo, se os números x e y são proporcionais a e, nesta ordem, então: x y onde / é a constante de proporcionalidade. Observe que apenas a informação da constante de proporcionalidade não define exatamente os valores de x e y, pois existem infinitas soluções para x e y. Por exemplo, x 4 e y 6; x 6 e y 9, pois: x y De forma semelhante aos números reais, é possível estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta igualando as razões que são equivalentes. Os segmentos AB, CD, EF e GH são, nesta ordem, proporcionais quando a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja: AB CD EF GH onde:ab é a medida do segmento AB, CD é a medida do segmento CD, EF é a medida do segmento EF, GH é a medida do segmento GH. Exemplos: 1) Verifique se os segmentos AB, CD, MN e PQ, nesta ordem, são proporcionais, sabendo que AB 6 cm, CD 18 cm, MN 4 cm e PQ 1 cm. Como AB CD e MN PQ AB CD MN PQ 1 podemos dizer que os segmentos são proporcionais e a constante de proporcionalidade é de 1/. ) Considere os segmentos AB, CD, MN e PQ, proporcionais nesta ordem. Calcule as medidas dos segmentos AB e CD sabendo que AB (x + ) cm, CD (x ) cm, MN 40 cm e PQ 0 cm AB CD MN PQ x + x 40 0 x + x 4 (x + ) 4 (x ) x + 9 4x x x x 17 AB (x + ) cm 58

58 CD (x ) cm ) Suponha que um segmento de reta AB seja dividido pelo ponto P numa razão de /, conforme figura Calcule os comprimentos dos segmentos AP e PB sabendo que o comprimento de AB é 0 cm. Um feixe de retas paralelas é o conjunto de três ou mais retas coplanares paralelas. Uma reta neste mesmo plano que corta o feixe é chamada de reta transversal. O teorema de Talles encontra-se ilustrado na figura 4.17 abaixo. Figura 4.16 Representação de um segmento de reta (II) x AP ; y PB ; AB 0 x + y 0 e x y Isolando y na primeira equação tem-se: y 0 x Substituindo y na segunda equação: x 0 x x (0 x) x 40 x 5x 40 x 8 Substituindo o valor de x: y 0 x y 0 8 y 1 Logo, AP 8 cm ; PB 1 cm Teorema de Talles Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas transversais, segmentos que são proporcionais. Figura 4.17 Representação de um feixe de retas paralelas se r//s//t Exemplos: então AB BC MN NP 1) Determine o valor de x na figura (4.18) abaixo. Figura 4.18 Aplicação do teorema de Talles (I) De acordo com o teorema de Talles, temos: 11 7 x 11 8 x 8 7 x

59 ) A figura (4.19) abaixo mostra dois terrenos cujas laterais horizontais são paralelas. Determine as medidas x e y. Figura 4.0 Aplicação do teorema de Talles (III) Figura 4.19 Aplicação do teorema de Talles (II) De acordo com o teorema de Talles, temos: Sendo: Substituindo: x y 0 50 x 5. y y 5 x + y 6 e x y 5 y + 5y + y y 15 y y 45 m x y x 18 m As medidas são: x 18 m e y 45 m ) Determine a medida do segmento AP, na figura (4.0) abaixo, sabendo que MP 0 cm ; PN 50 cm; PB 60 cm Imaginando uma reta paralela a r e s passando pelo ponto A, podemos utilizar o teorema de Talles, então: AP PB MP PN x m x Circunferência e Círculo A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância (denominada raio) de um ponto fixo situado no mesmo plano (chamado centro). A Fig. 4.1 aponta uma representação esquemática de uma circunferência. Figura 4.1 Representação de uma circunferência O interior da circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma distância menor do que r do centro O. O exterior da circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma 60

60 distância maior do que do que r do centro O, conforme Fig. 4.. Segmento circular é a interseção de um círculo com o semipleno definido por uma corda que não contém o centro do círculo. Arco e Setor Circular (Fig. 4.5). Figura 4. Representação de um círculo O círculo ou disco é a superfície plana e fechada, limitada pela circunferência, ou seja, é o conjunto de pontos situados na circunferência e em seu interior. A Fig. 4. compara círculo e circunferência. Figura 4.5 Representação de arco e setor circular O arco AB de uma circunferência é o conjunto de pontos desta circunferência compreendidos pelos raios AO e OB. O setor circular AOB é o conjunto de pontos do círculo que estão compreendidos pelos raios AO e OB. Figura 4. Comparação entre círculo e circunferência Elementos da Circunferência e do Círculo Corda e Segmento Circular (Fig. 4.4). Diâmetro, Semicircunferência e Semicírculo (Fig. 4.6). Figura 4.4 Representação de corda e segmento circular Corda é um segmento de reta que liga dois pontos de uma circunferência. Figura 4.6 Representação de diâmetro, semicircunferência e semicírculo. O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. É a corda de comprimento máximo e mede o dobro do raio. 61

61 A semicircunferência AB é o arco definido pelos pontos A e B diametralmente opostos da circunferência. A medida do ângulo de uma volta completa ou giro é de 60. A Fig. 4.8 representa um arco de 90 subdivididos a cada 10. O semicírculo AOB é o setor circular definido pelos raios OA e OB Ângulo Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. A Fig. 4.7 aborda uma ilustração esquemática de um ângulo qualquer. Figura 4.8 ângulos de 0 a 90 Figura 4.7 Representação de ângulo Unidades de Medida de Ângulos Duas unidades de medida de um arco e, consequentemente, de um ângulo são normalmente utilizadas: o grau e o radiano. Grau Se uma circunferência for dividida em 60 arcos iguais, o ângulo que determina um destes arcos corresponde a 1 grau (1 ), ou seja, o arco da circunferência mede um grau quando corresponde a 1/60 dessa circunferência. Um grau tem 60 minutos (60 ). Um minuto tem 60 segundos (60 ). Radiano Um Radiano (1 rad) é a medida de um arco cujo comprimento (L) é igual ao raio (R) da circunferência que o contém. Como ao arco está associado um ângulo central, também podemos dizer que 1 radiano é a medida deste ângulo, o qual determina um arco de comprimento igual ao raio da respectiva circunferência. O comprimento de um arco qualquer está representado na Fig A medida do ângulo de uma volta completa é de π rad, onde π , é um número irracional. Figura 4.9 Comprimento de arco 6

62 Pela definição de radiano tem-se: Se α rad então L R; se α rad então L R, etc. Se o ângulo for dado em radianos, o comprimento do arco fica determinado pela Eq. 4.1: L α R (4.1) com α dado em radianos α π rad 10 ) Deseja-se repartir uma pizza de 0 cm de diâmetro em 11 pedaços iguais, conforme indicado na figura 4.0. Determine o valor do ângulo α que cada fatia deverá ser cortada. Conversão de unidades Dado um ângulo α em grau (α ) podemos ter determinar seu valor em radianos (α rad ), ou vice e versa utilizando uma regra de três. Exemplos: 60 α π α rad 1) Determine o valor de α 45 em radianos π x x π π 4 α 45 π 4 rad ) Determine o valor de α π rad em graus. 60 x x π π π 10 π π x π Figura 4.0 Aplicação da circunferência (I) Figura 4.1 Aplicação de circunferência (II) Se cada polia tem diâmetro de 0 cm e a distância entre seus centros é de 0 cm, determine o valor aproximado do comprimento da correia. Podemos considerar as seguintes partes da correia e determinar seus comprimentos: Parte superior de centro a centro a polia: L 1 0 cm Parte inferior de centro a centro a polia: L 0 cm 6

63 Contorno da semicircunferência da polia de diâmetro d 0 cm, L π R π d,14 0 1,4 cm ângulos agudo, obtuso, reto, raso, de uma volta e côncavo. Figura 4. Representação de ângulos ângulo agudo ângulo obtuso Comprimento total da correia L: L L 1 + L + L ,4 L 1,8 cm Dizemos que o comprimento da correia é aproximadamente igual a 1,8 cm, pois no cálculo tomamos um o valor aproximado de π. 0 < α < 90 ângulo reto 90 < α < 180 ângulo raso 5) Determine quantas voltas por segundo deve dar cada roda de um automóvel na velocidade linear constante de 1,4 m/s, sabendo que o raio de cada roda é 5 cm e que a roda não desliza durante a rolagem (adotar π.14). α 90 ângulo de uma volta α 180 ângulo côncavo Distância percorrida em 1 segundo: L 1,4 m Raio da roda: R 5 cm 0.5 m L α R α L R ,6 α 15,6 rad Cada volta de roda equivale a um ângulo de π rad. Se o ângulo total percorrido por cada roda é de α 15,6 rad, então o número de voltas (n) é: n α π 15,6 π 15,6,14 0 voltas.7.. Classificação dos Ângulos Em relação à sua medida, a figura 4. apresenta uma relação esquemática entre α 60 Em relação a outro ângulo: 180 < α < 60 Congruentes: Dois ângulos são chamados congruentes quando suas medidas forem iguais. Complementares: Dois ângulos são chamados complementares quando a soma entre eles for igual a 90. Suplementares: Dois ângulos são chamados suplementares quando a soma entre eles for igual a 180. Replementares: Dois ângulos são chamados replementares quando a soma entre eles for igual a

64 Em relação à posição de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal (Fig. 4.). Figura 4.4 Aplicação de retas cortadas por transversal (I) Figura 4. Ângulos formados por duas retas cortadas por uma tranversal Os ângulos correspondentes (mesma posição) são congruentes, isto é, são iguais. Exemplo: b e f Os ângulos colaterais (mesmo lado) são suplementares Exemplo de colaterais internos: h e c Exemplo de colaterais externos: d e g Os ângulos alternos (lados alterados) são congruentes. Exemplo de alternos internos: b e h Exemplo de alternos externos: a e g Os ângulos opostos pelo vértice (ângulos cujos lados são semirretas opostas aos lados do outro) são congruentes. Exemplo de alternos internos: b e d Exemplos: 1) Determine o valor do ângulo a, na figura 4.4, sabendo que h 40. Os ângulos h e d são correspondentes, pois ocupam a mesma posição, portanto são iguais. d h 40 Os ângulos a a e d são suplementares, então: a + d 180 a a a ) Na figura 4.5, determinar os valores dos ângulos x, y e z. Solução Figura 4.5 Aplicação de retas cortadas por transversal (II) Os ângulos 4x e z são opostos pelo vértice, portanto são iguais. 4 x z x z 4 Os ângulos x e z são suplementares, então: 65

65 x + z 180 z + z z + 4 z z 70 z 144 z 144 x z x 6 Os ângulos x e y são iguais por serem opostos pelo vértice, assim: x y y x Polígono 18 y 18 Um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos não colineares. Chama-se de polígono regular ao polígono cujos lados são iguais. Classificação quanto ao número de lados (Fig. 4.6). satisfeitas simultaneamente ambas as condições: i) Ângulos correspondentes iguais: A A ; B B ; C C ; a. Lados correspondentes proporcionais AB A B BC B C CD C D k onde k é a razão de semelhança A razão de semelhança k pode ser de ampliação (k > 1) ou de redução (k < 1). Duas figuras semelhantes têm exatamente o mesmo formato, mas com tamanho diferente, como representado na Fig Figura 4.7 Semelhança de polígonos quanto ao formato Exemplos: 1) Determine o comprimentos x, y e z dos polígonos da figura 4.8, sabendo que eles são semelhantes. Figura 4.6 Representação de polígonos quanto aos lados Semelhança de Polígonos Dois polígonos de mesmo número de lados ABCD e A B C D, são ditos semelhantes (ABCD ~A B C D ) se forem Figura 4.8 Aplicação de semelhança de polígonos 66

66 Se ABCD ~A B C D então: ii) iv) iii) AB A B BC B C CD C D DA D A k i) BC B C 4 6 k DA D A k x x x cm AB A B k y 5,7 y y 11,4 5,7 y,8 cm CD C D k,4 z,4 z 7, z z,6 cm.8.. Semelhança de Triângulos De fato, não é necessário que sejam conhecidos todos os lados e todos os ângulos de dois triângulos para que a semelhança entre eles possa ser assegurada. É suficiente para garantir a semelhança de dois triângulos uma das seguintes opções: Se dois triângulos possuem os seus lados correspondente proporcionais, então eles são semelhantes, conforme Fig Se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, então eles são semelhantes. O terceiro ângulo fica perfeitamente determinado porque a soma dos ângulos internos do triângulo é de 180, conforme Fig Figura 4.40 Semelhança de triângulos quanto aos ângulos Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados correspondentes do outro triângulo e se o ângulo entre estes lados for igual ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes (Fig. 4.41). Figura 4.41 Semelhança de triângulos quanto a dois lados e um ângulo A consequência dessa condição é que toda reta traçada paralela a um dos lados de um triângulo determina outro triângulo semelhante ao primeiro (Fig. 4.4). Figura 4.9 Semelhança de triângulos quanto aos lados Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia 67

67 Os triângulos ABC e AED são semelhantes, pois possuem dois ângulos iguais, ambos são triângulos retângulos e possuem o ângulo  em comum, então: Figura 4.4 Demonstração de semelhança de lado e ângulo de dois triângulos quaisquer Se r//bc Exemplos: então ABC~ AB C 1) Determine os valores de x, y e z indicados nas figuras abaixo. Um dos triângulos é determinado pelo traçado de uma reta paralela a um dos lados do outro, então são semelhantes. AB AE CA DA x x + 5 x + 5x 84 x + 5x 84 0 Resolvendo a equação de segundo grau: x 5 ± ( 84).1 5 ± 19 x 1 ou x 7 Como a medida de comprimento não pode ser negativa tem-se: x 7 x x 4 x 4 y y y + 4 8y y 4 y 1 z 5 8 8z 15 z 15 8 ) Determine o valor de x na figura Perímetro e Área Perímetro: é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou seja, é a soma dos comprimentos de todos os lados de uma figura geométrica. Área: é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a medida de sua superfície. Exemplo: Considere uma sala cuja planta baixa está indicada na figura Figura 4.4 Aplicação de semelhança de triângulos 68

68 Figura 4.44 Aplicação de perímetro e área (I) a) Quantos metros de rodapé serão necessários para contornar a sala? Deseja-se saber a medida do contorno da sala, isto é, o perímetro P do retângulo. P Serão necessários m de rodapé. b) Deseja-se revestir o piso da sala com lajotas quadradas de 1 m (Fig. 4.45). Quantas lajotas serão necessárias? Se colocarmos sobre a sala uma malha quadriculada na qual cada quadrado representa uma lajota, o número de lajotas necessárias será a quantidades de quadrados da malha. Cada lajota pode ser considerada como uma unidade de área (u. a 1 m. Para revestir a sala são necessárias 8 lajotas, isto é, 8 u. a., então a área (S) da sala é: S 8 u. a 8 1 m 8 m Abaixo indicamos o perímetro (p) e a área (S) de algumas figuras geométricas planas Círculo p. π. r S π. r Figura 4.46 Representação de área e perímetro de um círculo Observe que o perímetro do círculo é o comprimento da circunferência (L α r, α π) 4.9. Paralelogramo p a + b S b. h Figura 4.45 Aplicação de perímetro e área (II) Precisaremos de 8 lajotas. c) Qual é a área da sala? Figura 4.47 Representação de área e perímetro de um paralelogramo 69

69 4.9. Triângulo p a + b + c S b. h A área do trapézio pode ser obtida pela soma das áreas dos dois triângulos determinados por uma de suas diagonais Polígono Regular de n lados Figura 4.48 Representação de área e perímetro de um triângulo Observe que a área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo. p n. l l. a S n. ( ) Figura 4.51 Representação de área e perímetro de um polígono regular Losango a p 4. a d + D D. d S Figura 4.49 Representação de área e perímetro de um losango Um Polígono regular de n lados pode ser dividido, a partir do centro, em n triângulos isósceles congruentes de altura a. A área do polígono será n vezes a área deste triângulo. Exemplos: 1) Calcule a área da superfície composta pelas áreas hachuradas e pontilhadas da figura 4.5. Observe que o losango ocupa a metade do retângulo cujos lados têm medidas iguais às diagonais Trapézio Figura 4.50 Representação de área e perímetro de um trapézio p a + B + b + c (B + b). h S Figura 4.5 Aplicação de área e perímetro em figuras planas A unidade de área é um quadrado de lado com comprimento igual a 1 cm, então u. a. 1 cm. 70

70 Cada retângulo pontilhado é formado por u. a., então sua área é S p cm. A parte hachurada de baixo da figura é uma semicírculo de raio igual a cm e a parte branca de cima da figura também. Assim a parte hachurada se encaixa perfeitamente na parte branca da figura, formando um retângulo hachurado com 8 u. a. Então, a área hachurada é S h 8 cm. A área total da superfície é: S T S p + S h cm ) Calcule a área da coroa circular de raio R 0 cm e largura t 5 cm, indicada na figura 4.5, isto é, calcule a área da superfície colorida na figura. S c π. (R r ) π. (0 15 ) 175 π cm S c 175,14 549,5 cm Volume Definição: é o espaço ocupado por um corpo e também a capacidade do corpo de comportar alguma substância. A unidade de volume no Sistema Internacional de unidade é o metro cúbico (m ). Um metro cúbico (1 m ) pode ser representado pelo espaço ocupado por cubo de aresta igual a 1 m. Exemplo: Considere um tanque de água 4 m de comprimento, m de largura e m de altura, conforme indicado na figura Figura 4.5 Aplicação de área e polígno em figuras planas (II) Podemos observar na figura que a área da coroa circular (S c ) é igual à área do círculo maior (S 1 ) diminuída da área do círculo menor (S ). S 1 π. R ; S π. r S c π. (R r ) Na figura R 0 cm e t 5 cm, então: r R t cm Figura 4.54 Aplicação de volume a) Desprezando a espessura, quantas caixas d água de 1 m 1m 1 m 1 m caberão dentro do tanque? Traçando no tanque uma malha de cubos na qual cada cubo representa a caixa d água, observa-se que foram utilizadas 16 caixas. b) Qual é o volume do tanque? 71

71 Cada caixa d água pode ser considerada como uma unidade de volume (1 u. a 1 m ). Para preencher o tanque são necessárias 16 caixas, isto é, 16 u. v., então o volume (V) do tanque é: V 16 u. v 16 1 m 16 m c) Quantos litros de água serão necessários para encher o tanque? 1 litro 1 dcm 1 dcm 10 1 m 1 dcm (10 1 ) m 10 m 1 litro 10 m ou 1 m 10 litros V 16 m 16 (1 m ) 16 (10 litros) V litros Abaixo indicamos o e o volume (V) de alguns sólidos geométricos Prisma V A base h Figura 4.57 Representação de volume de um prisma Cilindro Figura 4.58 Representação de volume de um cilindro Pirâmide V A base h V π. r h Cubo V L V A base h Figura Representação de volume de um pirâmide Figura 4.55 Representação de volume de um cubo Paralelepípedo V L l h Cone V A base h V π r h Figura 4.56 Representação de volume de um paralelepípedo Figura Representação de volume de um cone 7

72 Esfera que toda a superfície da caixa será encapada? 4 π r V Figura 4.61 Representação de volume de um esfera Exemplos: 1) A área de uma pirâmide quadrangular é igual a 9 cm e a sua altura é igual ao comprimento das laterais de sua base. Com estas informações, determine o volume da pirâmide. Uma pirâmide quadrangular é uma pirâmide cuja base é um quadrado. Chamando de a o comprimento dos lados deste quadrado, a área da base é: A área total a ser encapada é: A total A base + A tampa + A lateral A altura h da caixa é desconhecida e a base da caixa é um retângulo de 15 cm 0 cm. Assim, A base A tampa cm A lateral perímetro base altura A lateral ( ) h 70 h A total h 100 cm 70h h h 10 O volume da caixa é calculo por: A base a 9 cm a cm V caixa A base h A altura h da pirâmide é igual ao comprimento do lado da base, então h a. O volume da pirâmide é: V pirâmide A base h 9 9 cm ) Dispomos de 100 cm de um papel adesivo para encapar uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo com 0 cm de comprimento e 15 cm de largura. Qual deve ser o volume desta caixa considerando que todo o papel adesivo disponível será utilizado, que não haverá sobreposição dele e V caixa 000 cm ) Um fabricante deseja enlatar seu produto em uma lata cilíndrica de raio interno (r) igual a 10 cm, como indicado na figura 4.6. Figura 4.6 Aplicação de volume 7

73 a) Qual deverá ser a altura (h) da lata para armazenar 500 ml do produto? Antes de utilizar a fórmula do volume, devemos unificar as unidades de medidas envolvidas. 1 litro 10 ml 1 litro 1 dcm 1 (10 cm) 10 cm 1 ml 1 cm Podemos então trabalhar com mililitros e centímetro. Volume: V 500 ml 500 cm O volume do cilindro é: V π r h h V π r h 500 π (5) (cm cm cm) h 500 π. 5 0 π cm h 6,7 cm b) Sabendo que as latas serão produzidas com folhas de aço, determine a área de aço necessária para a construção de 1 lata. A total A base + A tampa + A lateral A total π r + π r + π r h π r (r + h) A total π 5 (5 + 0 π ) 57,08 cm 4) Um cone reto e um cilindro circular reto possuem alturas (h) iguais e bases com raios (r) iguais. Uma semiesfera é retirada do interior do cilindro e acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos S 1 e S, indicados na figura 4.6. Determine a condição necessária para que os volumes dos dois sólidos sejam iguais. Figura 4.6 Aplicação de volume Volume (S1) V cone + V semiefera Volume (S1) π r h 4 π r + ( ) Volume (S1) π r h π r + π r (h + r) Volume (S) V cilindro V semiefera Volume (S) π r π r h Volume (S) π r h π r Se então: π r π r (h r) Volume (S1) Volume (S), (h + r) π r h + r h r (h r) 4 r h 74

74 logo: r 1 h. Os sólidos terão o mesmo volume se o raio for a metade da altura. Exercícios Propostos 1) Na figura 4.64 abaixo, calcule o valor de x. Figura 4.64 Figura ilustrativa de exercício de geometria plana e espacial (I) ) Determine os valores de x, y.e z indicados na Fig Figura 4.65 Figura ilustrativa de exercício de geometria plana e espacial (II) 4) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de voltas, ele passa a se deteriorar. Sabendo que o diâmetro do pneu é 0,5 m, determine, aproximadamente, a distância em km que ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto. 5) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é igual a 8 cm. Determine a área o quadrado maior (Fig. 4.67). Figura 4.67 Figura ilustrativa de exercício de geometria plana e espacial (IV) ) Determine o valor do ângulo x da figura 4.66, sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é de 60. Figura 4.66 Figura ilustrativa de exercício de geometria plana e espacial (III) 6) Na figura 4.68, ABC é um quadrante de um círculo de raio igual a cm e ADEF é um quadrado de lado igual a 1 cm. Considere o sólido gerado pela rotação de 60 da região hachurada da figura em torno da reta AB. Determine o volume deste sólido de revolução. 75

75 Figura 4.68 Figura ilustrativa de exercício de geometria plana e espacial (V) 7) Dois cubos de alumínio com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão. A seguir, o alumínio líquido é moldado na forma de um paralelepípedo reto de base quadrada de lado igual a 8 cm. Determine a altura do paralelepípedo. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) x 1 ) x 6 11 ) x 70 cm 4) 91, 5 km 5) 49 cm 6) 17π cm 7) 19 cm 1 ; y ; z 9 76

76 5. GEOMETRIA ANALÍTICA A Geometria Analítica se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Com isso, é possível ter uma abordagem algébrica para diversas questões geométricas, como também interpretar de forma geométrica algumas expressões algébricas Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas Um sistema de coordenadas é utilizado para a localização de um ponto. No sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas, um ponto pode se mover livremente sobre uma reta (no espaço unidimensional). Para proceder a localização de pontos sobre uma reta L é necessário determinar uma origem, uma escala e uma orientação para a reta. Marca-se sobre a retax um ponto O chamado de origem e adota-se uma unidade de medida. O ponto O divide a reta xem duas semirretas: Uma das semirretas é escolhida para determinar o sentido positivo e é chamada de semirreta positiva. É usual marcar a semirreta positiva com uma flecha em sua ponta. A semirreta oposta à semirreta positiva é chamada de semirreta negativa e o sentido oposto ao sentido positivo é denominado sentido negativo. Ao ponto O associa-se o número zero. Ao ponto U, localizado a uma unidade de medida do ponto O no sentido positivo da reta orientada, associa-se o número um. Fig 5.1: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia A coordenada x p de um ponto P representa a distância orientada entre os pontos O e P medida na unidade adotada. Diz-se que P tem coordenada x p e escreve-se P(x p ). Exemplo: 1) Determina as coordenadas dos pontos indicados na figura abaixo Fig 5.: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia O ponto O é a origem do sistema e associa-se a coordenada zero, denotase O(0). O ponto P está a unidades da origem O na semirreta positiva do sistema. Assim, sua distância orientada em relação à origem é +. Logo sua coordenada é x p + e denota-se P(). O ponto Q está a unidades da origem O na semirreta negativa do sistema. Assim, sua distância orientada em relação à origem é. Logo sua coordenada é x Q e denota-se Q( ). Assim, é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais Re os pontos sobre a reta x, da seguinte maneira: 77

77 Cada número real corresponde a um único ponto da reta. Cada ponto da reta corresponde a um único número real, chamado de coordenada do ponto. Quando a cada ponto da reta tiver sido associada uma coordenada, constitui-se um sistema de coordenadas e esta reta é então chamada de eixo de coordenadas, escala numérica ou reta numérica. O conjunto das coordenadas de todos os pontos da escala numérica é chamado de conjunto dos números reais R. É usual representar o sistema unidimensional por uma reta horizontal, orientada para direita, e denominá-la por eixo xou eixo das abscissas Distância entre Dois Pontos na Reta Sejam A(x A ) e B(x B ) dois pontos de um eixo de coordenadas unidimensional. Exemplos: Denomina-se distância entre os pontos A e B o número real d dado por Eq 5.1:d(A, B) x b x a 1) Determine as distâncias orientadas e as coordenadas dos pontos A e B indicados na figura abaixo. Fig 5.: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia O ponto A se encontra a uma unidade da origem no sentido negativo do eixo, portanto sua distância orientada é de 1, consequentemente, sua coordenada é 1,denota-se A( 1). O ponto B se encontra a quatro unidades da origem no sentido positivo do eixo, portanto sua distância orientada é de +4, consequentemente, sua coordenada é +4,denota-se B(4). ) Sejam os pontos: A( 4,5), B( 1,8), C(1) e D(,): a) Localize os pontos no eixo de coordenadas. Fig 5.4: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia b) Calcule as distâncias entre os pontos: Ae C ; BeD; AeD. d(a, C) x C x A 1 ( 4,5) 5,5 d(b, D) x D x B, ( 1,8) 5,1 d(a, D) x D x A, ( 4,5) 7,8 ) Considere um eixot de coordenadas para representar o tempo em anos. A origem deste eixo é o ano do nascimento de Cristo e o sentido positivo indica os anos d.c. (depois de Cristo). a) Indique no eixo t e determine as coordenadas dos pontos NA e MA que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa A que nasceu no ano de 0 a.c. e morreu no ano 5 d.c. Calcule a idade que esta pessoa morreu. Fig 5.5: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Ponto NA, t NA 0 NA( 0) Ponto MA, t MA 5 MA(5) Tempo de vida da pessoa A: 78

78 tv A d(na, MA) 5 ( 0) 55anos b) Indique no eixo t e determine as coordenadas dos pontos NB e MB que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoab que nasceu no ano de 0 a.c. e morreu no ano 10 d.c. Calcule a idade que esta pessoa morreu. Fig 5.6: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Ponto NB, t NB 0 NB( 0) Ponto MB, t MB 10 MB(10) Tempo de vida da pessoa B: tv B d(nb, MB) 10 ( 0) 0anos c) Determine quem nasceu e quem morreu primeiro e por quantos anos as pessoas Ae B foram contemporâneas (viveram na mesma época). Fig 5.7: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia NA( 0)NB( 0)MB(10)MA(5) A pessoa A nasceu primeiro e a pessoa B morreu primeiro. As pessoas A e B viveram na mesma época no período entre o nascimento da última a nascer (NB) até a morte da primeira a morrer (MB). T d(nb, MB) 10 ( 0) 0anos 5.. Sistema Bidimensional de Coordenadas Cartesianas Neste sistema, um ponto pode se mover livremente em todas as direções de um plano (no espaço bidimensional). O sistema é formado por dois eixos coordenados perpendiculares que se cruzarem na origem. O ponto O de intersecção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. Um dos eixos é denominado de eixo das abscissas e o outro eixo das ordenadas. A orientação dos eixos, assim como no sistema unidimensional depende da convenção adotada. O eixo das abscissas geralmente é representado por uma reta horizontal orientada para a direita e chamado de eixo dos x. O eixo das ordenadas geralmente é representado por uma reta vertical orientada para cima e chamado de eixo dos y Sobre o eixo das abscissas, a partir da origem no sentido positivo do eixo, marca-se o ponto U x, correspondente a unidade de comprimento do eixo x e associa-se a abscissa 1. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas, a partir da origem no sentido positivo do eixo, marca-se o ponto U y, correspondente a unidade de comprimento do eixo y e associa-se a ordenada 1. Os comprimentos OU x e OU y, que representam a escala utilizada, respectivamente, no eixo x e no eixo y não necessitam ter exatamente a mesma medida. A representação gráfica do sistema bidimensional cartesiano ou retangular é um plano denominado plano cartesiano. Cada ponto P(x, y),onde x é a abscissa e y é a ordenada de P, pode ser inequivocamente localizado no plano 79

79 cartesiano mediante um par ordenado (x 0, y 0 ). Para cada ponto distinto P no plano cartesiano há um e apenas um par de coordenadas (x 0, y 0 ). Inversamente, qualquer par de coordenadas (x 0, y 0 ) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Portanto, no sistema de coordenadas retangulares há uma correspondência biunívoca entre ponto e par ordenado de números reais. Sejam A(x 1, y 1 ) e B(x, y ) dois pontos no plano cartesiano, como indicado abaixo. Na figura abaixo indicamos a localização de um ponto P(x 0, y 0 ), de abscissa x 0 e ordenada y 0, neste plano. Fig 5.9: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia A distância entre os pontos A e B pode ser determinada aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo em destaque na figura. Eq 5.:[d(A, B)] x + y x x x 1 ; y y y 1 Fig 5.8: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia P x (x 0, 0) é a projeção do ponto P no eixo x. P y (0, y 0 ) é a projeção do ponto P no eixo y. O módulo da abscissa representa a menor distância que Pestá do eixo y e o módulo da ordenada representa a menor distância que P está do eixo x Distância entre Dois Pontos na Plano Dados dois pontos, A eb, a distância entre eles, indicada por d(a, B), é a medida do segmento de extremidades A e B. Exemplos: d(a, B) (x x 1 ) + (y y 1 ) 1) Determine a distância entre os pontosa e B da figura abaixo: y A(1, ) B(5, ) 1 5 Fig 5.10: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Os pontos A e B estão em uma mesma reta, portanto a distância pode ser calculada de uma forma simplificada como se faz no sistema unidimensional x d(a, B) x B x A

80 ) Determine a distância entre os pontosa e B da figura abaixo: 6 y 4 B(, 6). 6 A(6, ) x d(a, B) (5) + ( ) ) Considere o mapa representado na figura abaixo e um sistema de coordenadas cartesianas com origem na esquina da Avenida Q com a Rua C de eixo horizontal com orientação Oeste e eixo vertical de orientação Norte, sendo a unidade de medida o metro e 1 quadra100 m. Fig 5.11: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Neste caso são dadas as distâncias nas direções x e y, podemos simplificar o cálculo utilizando diretamente o teorema de Pitágoras (Eq 5.). d(a, B) x + y + 4 d(a, B) 5 5. d(a, B) 5 5. ) Determine a distância entre os pontosa e B da figura abaixo: Fig 5.1: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia A(,4); B(,1) d(a, B) x + y x x B x A ( ) 5 y y B y A 1 4 Fig 5.1: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Uma pessoa está localizada na esquina da Rua D com a Avenida P (ponto P) e deseja ir para a esquina da Avenida R com a Rua E (ponto A) a) Determine as coordenadas dos pontos PC e A e represente-os no sistema de coordenadas estabelecido. O PontoP, em relação à origem do sistema, está a 100m na direção Leste (sentido contrário ao do eixo x) e a 100m na direção Sul (sentido contrário ao do eixo y), então P( 100, 100). O Ponto C, em relação à origem do sistema, está a 00m na direção Leste (sentido contrário ao do eixo x) e a 100m na direção Sul (sentido contrário ao do eixo y), então C( 00, 100). 81

81 O Ponto A, em relação à origem do sistema, está a 00m na direção Leste (sentido contrário ao do eixo x) e a 100m na direção Norte (sentido positivo de y), logo A( 00,100). Fig 5.15: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Utilize esta informação e determine se P pertence ao segmento de reta P 1 P, onde P 1 (0,10), P (,6)eP (7, 4). d(p 1, P ) ( 0) + (6 10) ,47 Fig 5.14: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia b) Qual a distância percorrida se a pessoa fizer o percurso P C A? d(p, C) x C x P 00 ( 100) 100m d(c, A) y A y C 100 ( 100) 00m d d(p, C) + d(c, A) m c) Qual a distância percorrida se a pessoa pudesse fazer o percurso P A? d d(p, A) (x A x P ) + (y A y P ) d ( 00 ( 100)) + (100 ( 100)) d ( 100) + (00) d,6metros 5) Se P 1, P ep são três pontos no plano, então P pertence ao segmento de reta P 1 P se, e somente se, d(p 1, P ) d(p 1, P ) + d(p, P ). d(p, P ) (7 ) + ( 4 6) ,18 d(p 1, P ) + d(p, P ) 4, ,18 15,65 d(p 1, P ) (7 0) + ( 4 10) ,65 O ponto P pertence ao segmento de reta P 1 P, pois d(p 1, P ) d(p 1, P ) + d(p, P ). 6) Verifique se o triângulo de vértices ABC é isósceles, equilátero ou escaleno, sendo: A(0,0), B(, )ec(, ) Fig 5.16: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia d(a, B) ( 0) + ( 0)

82 d(a, C) ( 0) + ( 0) d(b, C) ( ) + ( ) 5,66 O triângulo é isósceles, pois possui dois lados iguais. Gráfico Gráfico 4 Fig 5.17: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia 5.. Gráfico de uma Equação Traçar o gráfico de uma equação é representar em um sistema de coordenadas todos os pontos que satisfazem a equação. Não é possível representar todos os pontos, mas podemos representar alguns pontos que satisfazem a equação e esse tipo de gráfico é chamado de gráfico de dispersão. Gráfico 5 Fig 5.18: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Exemplos: 1) Analise os gráficos dados abaixo e determine a equação da reta visualizada no Gráfico 5 Gráfico 1 Gráfico No Gráfico 1 está representado o seguinte conjunto de pontos: G 1 {( ; 4), ( 1; ), (0; 0), (1; ), (; 4)} Nos gráficos de a 5 foram acrescentados pontos intermediários aos pontos existentes. No Gráfico 5 os pontos estão tão próximos que visualizamos o gráfico de uma reta que, devido a limitações gráficas, está representada com comprimento finito. Podemos observar nos gráficos que a coordenada y dos pontos representados é sempre o dobro de sua coordenadax, ou seja, y x. Assim, a reta visualizada no Gráfico 5 é o gráfico da equação: y x 8

83 A definição algébrica desta reta, chamaremos de reta r, é: r {P(x, y) R y x} Lê-se a retar é o conjunto de todos os pontos P de coordenadas xe y do plano tal que y x. ) Determine as equações das retas r e s, indicadas no gráfico abaixo. Identifique a interseção destas retas. r e s. Então x e y., isto significa que é o ponto P(,) Equação da Reta Vimos anteriormente que dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. Isto significa que bastam dois pontos para traçar uma reta, embora ela seja constituída por infinitos pontos. Considere uma reta r que passa pelos pontos P 0 (x 0, y 0 ) e P 1 (x 1, y 1 ), como indicado no gráfico abaixo. Fig 5.19: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Sabemos que uma reta é formada por infinitos pontos, destacamos alguns pontos das retas. Todos os pontos da reta r possuem ordenada y, para qualquer valor de abscissax. Então, r: {P(x, y) R y } Assim, a equação da retar, paralela ao eixo x, é: y Todos os pontos da reta s possuem abscissa x, para qualquer valor de ordenada y. Então, s: {P(x, y) R x } Assim, a equação da reta s, paralela ao eixo y, é: x O elemento de interseção das retas r e s deve satisfazer as equações das retas Fig 5.0: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Denomina-se inclinação da reta r ao ângulo α formado entre o eixo das abscissas (x) e a reta, considerado positivo se medido no sentido antihorário, com 0 α 180. Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r ao número real mdado por: Eq 5.:m y x y 1 y 0 x 1 x 0 ; comx 0 < x 1 Observe que o coeficiente angular representa a tangente trigonométrica do ângulo α. Devido à variação da inclinação da reta é possível ter uma das seguintes situações: 84

84 1) Se α 0 ouα 180 : x x 1 x 0 > 0; y y 1 y 0 < 0 m y x m < 0 4) Se α 90, Fig 5.1: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia x x 1 x 0 > 0; y y 1 y 0 0 ) Se 0 < α < 90 m y x m 0 Fig 5.: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia x x 1 x 0 > 0; y y 1 y 0 > 0 m y x m > 0 )Se 90 < α < 180 Fig 5.4: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia x x 1 x 0 0; y y 1 y 0 0 m y m R x Quando α 90, a reta é paralela ao eixo y e sua a declividade não é definida, pois não podemos dividir um número por zero. Portanto, a reta não tem declividade Equação da Reta dados um Ponto e o Coeficiente Angular Sejam P 0 (x 0, y 0 ) e m, respectivamente, um ponto da reta re o coeficiente angular da reta. Considere o ponto genérico P(x, y) nesta mesma reta, como indicado na figura abaixo. Fig 5.: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Fig 5.5: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia 85

85 O coeficiente angular da reta r é dado por Logo, m y x m y y 0 x x 0 Eq 5.4: y y 0 m (x x 0 ) Equação da Reta dados Dois Pontos Sejam P 0 (x 0, y 0 ) e P 1 (x 1, y 1 ) dois pontos conhecidos de uma reta r. Para determinar a equação da reta é necessário calcular previamente o valor do coeficiente angular. Posteriormente, escolhemos um dos pontos conhecidos e substituímos suas coordenadas e o valor calculado do coeficiente angular na equação da reta. m y x y 1 y 0 x 1 x 0 y y 0 m (x x 0 ) Tome nota! 1) A equação da reta é um polinômio de primeiro grau em x. ) Na equação da reta na forma y mx + b, se x 0 tem-se y b, então o ponto P(0, b) é o ponto de interseção da reta com o eixo dos y, onde b é o coeficiente linear da reta. ) Se a reta é paralela ao eixo x, m 0,todos os pontos terão a mesma ordenada y 0. A equação da reta é dada por y y 0 4) Se a reta é paralela ao eixo y, m, todos os pontos terão a mesma abscissa x 0. A equação da reta é dada por x x 0. Exemplos: 1) Determine a equação da reta indicada nos gráficos abaixo: Eq 5.5:y y 0 ( y 1 y 0 x 1 x 0 ) (x x 0 ) Equação da Reta na Forma Reduzida Trabalhando algebricamente com a equação da reta dada por y y 0 m(x x 0 ), obtém-se: y mx mx 0 + y 0 y mx + (y 0 mx 0 ) Fazendo b (y 0 mx 0 ), tem-se: Eq 5.6:y mx + b Esta forma é conhecida como equação da reta na forma reduzida onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da reta. a) b) identificar Podemos dois pontos da reta: P 0 (,4); P 1 (0,1) m y 1 y 0 x 1 x 0 m ( ) y y 1 m (x x 1 ) y 1 (x 0) y x + 1 Podemos identificar um ponto da reta P 0 (,) e o coeficiente angular m 0,5 y y 0 m (x x 0 ) y 1 (x ) y x 1 + y x + 86

86 5..4. Retas Paralelas e Retas Perpendiculares Sejam r e s duas retas paralelas (r / s) de inclinações α 1 e α, respectivamente. Então: α 1 α m 1 m Fig 5.6: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia Sejam r e s duas retas perpendiculares (r s) de inclinações α 1 e α, respectivamente. Então: Exemplos: α α m 1 1 m Fig 5.7: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia 1) Trace o gráfico das retas r e s e determine a interseção entre elas. Sabendo que: A reta r é a reta de equação y 0,5x + 8. A reta s é perpendicular à reta r e um de seus pontos é o ponto P(,). A equação da reta r está em sua forma reduzida, y ax + b, então a é o coeficiente angular (m r ) da reta r, ou seja, m r 0,5. A reta s é perpendicular à reta r, então o coeficiente angular ( m s ) da reta s é: m s 1 1 m r ( 0,5) Então, a reta r é uma reta de coeficiente angular m s e passa pelo ponto P(,). Conhecendo o coeficiente angular e um ponto da reta s sua equação pode ser determinada por: y y 0 m s (x x 0 ) y (x ()) y x 4 y x O ponto de interseção entre as retas pertence à ambas as retas portanto deve satisfazer às equações das retas r e s, ou seja, r: y 0,5x + 8es: y x 0,5x + 8 x,5x 10 x 4 Sabendo o valor da abscissa do ponto P(x, y), o valor de sua ordenada fica estabelecido pela substituição em qualquer uma das equações. y x.4 6ou y 0,5x + 8 0, O ponto de interseção é o pontoq(4,6). O gráfico de uma reta pode ser traçado se forem conhecidos de seus pontos pois por pontos passa uma única reta. Dois pontos da reta s são conhecidos: P(,) e Q(4,6). 87

87 O ponto da interseção Q(4,6) também pertence à reta r. Outro ponto qualquer da reta r pode ser obtido por sua equação y 0,5x + 8. Por exemplo, para x, y 0, , então o ponto T(,7) pertence à reta r. O gráfico das retas r e s bem como o ponto de interseção entre elas estão indicados abaixo. Exercícios Propostos 1) Um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( 6,). Determine as coordenadas do ponto P. ) Um ponto móvel P ( + t, 4t + ) desloca-se no plano cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo t(com t 0). Qual a distância percorrida pelo ponto entre os tempos t 0 e t 6? ) Determine o ponto de interseção das retas x + y e x + y 5 0 Fig 5.8: Fonte Prof. Dra. Rita de Cássia 4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(1, ) e que tem coeficiente angular igual a 1. 5) Considere os pontos A(0,0), B(,) e C(4,1). Determine as equações das retas r e s que são, respectivamente, paralela e perpendicular à reta AC e que passam pelo ponto B. 6) As retas r e s são perpendiculares e se interceptam no ponto (,4). A reta s contém o ponto (0,5). Determine a equação da reta r. 7) Calcule a área do triângulo formado pela interseção das retas: r: x + y 1; s: x ; t: y 1. Trace o gráfico das retas em um mesmo plano cartesiano e destaque o triângulo. 8)Determine o valor de x para que o ponto M(, ) seja o ponto médio do segmento de extremos A(x, 5) e B(, x). 9)Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0) e P(, h). Determine a expressão que representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h. 88

88 10) Uma reta passa pelo ponto P (8, ) e tem uma inclinação de 45º. Qual é a equação dessa reta? 11) Os pontos A (1, ), B (, 1) e C (, 4) são os vértices de um triângulo. Determinar as equações das retas suportes aos lados desse triângulo. 1) Determinar a posição da reta r, de equação x y + 5 0, em relação à reta s, de equação 4x 6y Respostas dos Exercícios Propostos: 1) A(-,0) ) 10 u.c. ) P(1,1) 4) y x 1 5) r: y - x/4 1/, s: y+4x 11 6) r: y-x 0 7) A 4 u.a. 8) x 1 9) d 9 + h² 10) y x-6 11) AB: y -x + 5/, AC: y x, BC: y -x+10 1) As retas r e s são paralelas 89

89 6. Trigonometria 6.1. Conceitos Iniciais Ângulos e Arcos Em trigonometria, é de fundamental importância o conhecimento de ângulos e arcos, pois é a partir destes que os demais conceitos da trigonometria serão desenvolvidos. Portanto, tem-se a seguinte definição de ângulo: ângulo α é a abertura entre duas retas R 1 e R que possuem um ponto P em comum (vértice do ângulo). Esta ideia está ilustrada na Fig Unidades de Ângulos As duas principais unidades de medida de ângulo são o grau ( ) e o radiano (rad). Tais grandezas são definidas da seguinte forma: Grau Ao dividir uma circunferência em 60 arcos iguais o que é representado na Fig.6. ; o ângulo que determina um destes arcos corresponde a 1. Fig.6.: Representação do ângulo que mede 1. Fig.6.1: Representação de um ângulo α. Adicionalmente, pode-se observar a magnitude de um ângulo α como sendo a quantidade de rotação que separa R 1 da R. Um ângulo αdetermina um arco (L) de circunferência, como se observa na Fig.6.. Esse comprimento de arco está relacionado, juntamente com o ângulo (α), ao Raio (R); o que é explicitado na Eq.6.1: Radiano O radiano é o ângulo que determina um arco com comprimento igual ao raio da circunferência, tal qual é explicitado na Fig.6.4. α L R (6.1) Fig.6.4: Representação do ângulo que mede 1 rad Tipos de Ângulos Fig.6.: Circunferência de raio R e comprimento de arco L. Alguns tipos de ângulos são muito usados, e, portanto, é de fundamental importância classificá-los. São estes: ângulo reto (90 ), ângulo raso ou de meia-volta (180 ), ângulo agudo (maior que 0 e menor que 90 ), ângulo obtuso (maior que 90 e menor que 180 ) e 90

90 ângulo de uma volta (60 ). Os quais estão representados na Fig.6.5:. 90 (a) Fig.6.6: Representação de um Plano Cartesiano. (b) Triângulo Retângulo Um triângulo que possui um ângulo reto (90 ) chama-se triângulo retângulo. O maior lado a de um triângulo retângulo é chamado de hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); e os outros dois lados b e c são chamados de catetos (Ver Fig.6.7). α (c) (d) (e) Fig.6.5: Ângulos de comum uso: (a) ângulo reto, (b) ângulo raso, (c) ângulo agudo, (d) ângulo obtuso e (e) ângulo de uma volta. Duas retas que formam um ângulo reto entre si são chamadas de perpendiculares ou ortogonais. Por exemplo, o plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares, como mostra a fig.6.6. α 60 Fig.6.7: Triângulo Retângulo. Teorema de Pitágoras Para todo triângulo retângulo tem-se que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, o que pode ser explicitado pela Eq.5.: a b + c (6.) Relações Trigonométricas Pode-se obter relações trigonométricas (da Eq.6. à Eq.6.8) em um triângulo retângulo: sen θ c a cos θ b a (6.) (6.4) 91

91 tan θ c b cotg θ c b cossec θ a c sec θ a b Lei dos Cossenos (6.5) (6.6) (6.7) (6.8) No triângulo BCH, tem-se que, na Eq.6.11: sen B h a h a sen B (6.11) De Eq.6.10 e Eq.6.11, obtém-se a Eq.6.1 ou a Eq.6.1: b sen A a sen B (6.1) Para um triângulo qualquer podemos escrever a Lei dos Cossenos como na Eq.6.9. a b + c. b. c. cos(α) (6.9) b cos B a sen A Assim, pode-se concluir que: (6.1) Onde é o ângulo oposto ao lado a, onde é possível observar na Fig.6.8. a sen A b sen B c sen C (6.14) A Eq.6.14 é conhecida como Lei dos Senos ou Teorema dos Senos. 6.. Círculo Trigonométrico Fig.6.8: Exemplos de Triângulos onde pode ser aplicada a Lei dos Cossenos. Lei dos Senos Considerando o triângulo ABC, CH será a altura relativa ao lado AB, como mostrado na Fig.5.9: 6..1 Definição O círculo trigonométrico (ou ciclo trigonométrico) é a circunferência que possui raio unitário e cujo centro coincide com a origem do plano cartesiano. A circunferência trigonométrica pode ser definida como na Eq S {A d(a, 0) 1} (6.15) Fig.6.9: Distância entre CH em um Triângulo ABC. O círculo trigonométrico é dividido em quatro quadrantes, os quais são limitados por um intervalo de ângulos. Além disso, ele também pode ser representado em graus ou radiano, assim como mostra a Fig I Quadrante [0, π ] ; No triângulo ACH, tem-se que, na Eq.6.10: sen A h b h b sen A (6.10) II Quadrante [ π, π]; III Quadrante [π, π ] ; IV Quadrante [ π, π]. 9

92 correspondente nos demais quadrantes. Sendo esses correspondentes obtidos a partir de algumas regras, das quais temse: No II Quadrante: 180º α; No III Quadrante: 180º + α; No IV Quadrante: 60º α. Tais ideias são ilustradas na Fig (a) (a) (b) Fig.6.10: Círculo trigonométrico: (a) em radianos e (b) em graus. Nota-se que o Sentido Positivo do Círculo Trigonométrico é dado a partir do Sentido Anti-horário, enquanto que o Sentido Negativo é dado a partir do Sentido Horário. Além disso, é possível calcular o Comprimento da Circunferência C a partir da seguinte equação Eq C. π. R (6.16) 6.. Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico Conhecidas as razões trigonométricas básicas no triângulo retângulo, será possível expandir esse conhecimento para o círculo trigonométrico, a fim de se determinar o seno, o cosseno e a tangente de outros arcos importantes. Para todo ângulo α contido no primeiro quadrante, tem-se um ângulo (b) Fig.6.11: Ângulos correspondentes de α em outros quadrantes: (a) em graus e (b) em radianos. Seno e Cosseno Para a determinação dos valores de seno e cosseno de um ângulo α, usamse os mesmos princípios citados no triângulo retângulo. Como é possível observar na Fig.6.1, raio do círculo trigonométrico é unitário (Hipotenusa). Portanto, o seno de α será igual ao próprio cateto oposto (C.O.) à α; e o cosseno de α será igual ao próprio cateto adjacente (C.A.) à α. As 9

93 Eq.6.17, Eq.6.18 e Eq.6.19 exemplificam tais relações. sen α y A (6.17) cos α x A (6.18) tan α sen α cos α (6.19) (a) Fig.6.1: Determinando o Seno e o Cosseno de α Com isso, obtém-se a Eq.6.0: sin²(α) + cos²(α) 1 (6.0) Como o raio do círculo trigonométrico é unitário, o maior valor de seno e cosseno é igual a 1; e o menor valor será 1. Ou seja, as funções seno e cosseno estão limitadas ao intervalo [ 1; 1]. A partir da Fig.6.1 é possível notar que: o seno do ângulo correspondente de α no II quadrante é igual ao seno de α; o seno dos ângulos correspondentes de α no III e no IV quadrantes são iguais ao oposto do seno de α; o cosseno dos ângulos correspondentes de α no II e no III quadrantes são iguais ao oposto do cosseno de α; e o cosseno do ângulo correspondente de α no IV quadrante é igual ao cosseno de α. (b) Fig Representação gráfica das funções seno e cosseno dos ângulos correspondentes de α nos demais quadrantes: (a) sen (α) e sen (α); (b) cos (α) e cos (α). Observa-se que a função sen(α) é uma função ímpar, pois tem-se que sen(α) sen( α). E nota-se, também, que a função cos(α) é uma função par, pois tem-se que cos(α) cos( α), tal como é ilustrado na Fig

94 Eixo dos senos π/ α sentido positivo α α sen (α) -sen (α) (a) (b) Fig.6.14: Classificação das funções (a) sin(α) e (b) cos(α) como ímpar e par, respectivamente. Na Tab.6.1, são indicados os valores do seno e do cosseno de alguns ângulos notáveis. Ângulo sen(α) cos (α) α α 0 α 45 α 60 -π/ 1 -α Eixo dos senos π/ -π/ cos (α) 1 α α α -α Eixo dos cossenos sentido negativo sentido positivo Eixo dos cossenos sentido negativo Tab.6.1: Tabela dos valores de seno e cosseno dos ângulos notáveis. Exemplo 1: Determine o valor de: a) sen ( π ) O ângulo π rad está no IV quadrante e está relacionado ao ângulo π rad, portanto: sen ( π ) sen (π ), logo: sen ( π ) b) cos ( π ) cos ( π ) cos (π π ), logo: cos ( ) c) sen ( 5.π 4 ) O ângulo 5.π 4 1 rad está no III quadrante e está relacionado ao ângulo π 4 portanto: rad, 5. π sen ( 4 ) sen (π π ), logo: sen ( ) d) cos ( 5.π 4 ) 95

95 5. π cos ( 4 ) cos (π π ), logo: cos ( ). 5. π e) sen ( 6 ) O Eixo dos senos π/ α t r A tg α B Eixo dos cossenos E o ângulo 5.π rad está no II quadrante 6 e, portanto, está relacionado ao ângulo π 6 rad, portanto: 5. π sen ( 6 ) sen (π π ), logo: sen ( ) f) cos ( 5.π 6 ) 1 5. π cos ( 6 ) cos (π π ), logo: cos ( ). Tangente Para a representação do valor da tangente de um ângulo α no círculo trigonométrico, acrescenta-se uma reta tangente t ao círculo trigonométrico, assim como é indicado na figura Fig A tangente de α será dada pelo comprimento do segmento AB. Nota-se que não existe tan(α) se α é igual a π/ ou π/, pois as reta r e t não se interceptam para os ângulos α π/ e α π/. Fig.6.15: Definição gráfica da função tan(α). Ao analisar a Fig.6.16, conclui-se que a tangente do ângulo correspondente de α no III Quadrante é igual à tangente de α; e a tangente dos ângulos correspondentes de α no II e no IV quadrantes são iguais ao oposto da tangente de α. Fig.6.16:Representação gráfica da função tangente dos ângulos correspondentes de α nos demais quadrantes. Exemplo : Determine o valor de: 7. π a) tan ( 6 ) π/ O ângulo 7.π 6 rad está no III quadrante e está relacionado ao ângulo π 6 portanto: rad, 96

96 7. π tan ( 6 ) tan (π π ), logo: tan ( ).. π b) tan ( 4 ) O ângulo.π 4 rad está no II quadrante e está relacionado ao ângulo π 4 portanto: rad,. π tan ( 4 ) tan (π π ), logo: tan (. 4 4 ) π c) tan ( ) O ângulo 5.π rad está no IV quadrante e está relacionado ao ângulo π portanto: 5. π π tan ( ) tan (5. ), logo: 5. π d) tan ( ) 5. π tan ( ). rad, O ângulo 5.π rad é côngruo de π rad (o ângulo 5.π rad está na mesma posição rad após uma volta completa no de π círculo trigonométrico). Portanto, a função tan ( 5.π ) não existe tal qual função tan ( π ). 6.. Relações Trigonométricas Inversas Definem-se as seguintes razões inversas: a secante de um ângulo α (sec(α)) é dada pelo inverso do cosseno deste ângulo ; a cossecante de um ângulo α (cossec(α)) é dada pelo inverso do seno de α ; e a cotangente de um ângulo α (cotg(α)) é dada pelo inverso da tangente deste ângulo. Assim, têmse as Eq.6.1, Eq.6. e Eq.6.: sec(α) cossec (α) cotg (α) 1 cos(α) 1 sen (α) cos (α) sen (α) (6.1) (6.) (6.) Exemplo : Se sen(α) 1, com 0 < α < π. Determine o valor de sec(α). sen (α) + cos (α) 1, portanto: ( 1 ) + cos (α) cos (α) 1 cos (α) 1 1 4, então: cos (α) 4 cos (α) ± ( ) cos (α) ± 4, e como 0 < α < π, tem se que α está no I quadrante, logo: Portanto: sec(α) cos (α). 1 cos(α) sec(α) sec(α)., logo: 97

97 sec(α). Exemplo 4: Se sen(α).π, com < α < π. Determine o valor de cotg(α). sen (α) + cos²(α) 1, portanto: ( ) + cos (α) cos (α) 1 cos (α) 1 4 9, então: cos (α) 5 9 cos (α) ± ( 5 9 ) cos (α) ± 5, e como π < α <. π, tem se que α está no IV quadrante, logo: Portanto: cotg (α) cos (α) 5. cos (α) cotg (α) sen (α) cotg (α) ( 5 ) ( ), logo: ( 5 ) ( ) ( 5. 5 ). ( ) cotg (α) Identidades Trigonométricas Algumas identidades trigonométricas facilitam a resolução de alguns problemas., tal como as Eq.6.4, Eq.6.5 e Eq.6.6. sen (α) + cos (α) 1 (6.4) 1 + tg (x) sec (x) (6.5) 1 + cotg (x) cossec (x) (6.6) Dados dois ângulos a e b; os valores de seno, cosseno e tangente dos arcos obtidos pela soma ou pela subtração de a e b serão as equações de Eq.6.7 à Eq.6.4: sen(a + b) sen(a). cos(b) + sen(b). cos(a) sen(a b) sen(a). cos(b) sen(b). cos(a) cos(a + b) cos(a). cos(b) sen(a). sen(b) cos(a b) cos(a). cos(b) + sen(a). sen(b) (6.7) (6.8) (6.9) (6.0) sen(x). sen(x). cos(x) (6.1) cos(x) cos²(x) sen²(x) (6.) sen ( x (x) ) 1 cos cos ( x (x) ) 1+cos (6.) (6.4) Dados dois ângulos p e q, os valores da soma e da subtração dos senos e dos cossenos destes ângulos serão obtidos a partir das seguintes relações de Eq.6.5 à Eq.6.8: sen(p) + sen(q). sen( p+q ). cos(p q ) sen(p) sen(q). sen ( p q ). cos (p+q ) cos(p) + cos(q). cos ( p+q ). cos(p q ) (6.5) (6.6) (6.7) 98

98 cos(p) cos(q). sen ( p+q ). sen (p q ) (6.8) Exemplo 5: Determine o valor de sen(105 ) e cos(15 ). Como 105º é igual a 60º + 45º, tem-se que: sen(105 ) sen( ). Portanto, sen(105 ) sen(60 ). cos(45 ) + sen(45 ). cos(60 ). Então: sen(105 ) , logo: Para cada valor de x existe um valor correspondente de y que varia de -1 a 1, isto é, a imagem da função (Im(f)) compreende o intervalo[ 1, 1]. A cada volta que se completa no círculo trigonométrico, os valores de y repetem-se oscilando, o que significa dizer que a função apresenta caráter oscilatório e periódico, de período igual a π A Fig.6.17 representa a curva conhecida como senoide. sen(105 ) E como 15º é igual a 60º 45º, temse que: cos(15 ) cos(60 45 ). Portanto: cos(15 ) cos(60 ). cos(45 ) + sen(60 ). sen(45 ) cos (15º) , logo: cos (15º) Funções Trigonométricas Função Seno: Admitindo y como uma variável independente, é possível representar a função seno da Eq.6.9:. Fig.6.17: Gráfico da Senoide. Se a função se apresentar na forma da Eq.6.40: f(x) sen(a. x) (6.40) o período T da função será igual a Eq T π a (6.41) Se a > 1, ocorre uma compressão horizontal no gráfico de ordem a (Ver Fig.6.18). y f(x) sin(x) (6.9) A partir dessa representação, devemse constatar as seguintes definições: O domínio da função (D(f)) está compreendido sob todo o conjunto dos números reais, ou seja, a variável x pode assumir qualquer valor real. Fig.6.18: Gráfico da Função f(x) sen(x). 99

99 Podem haver casos nos quais a função é apresentada sob a forma y A. sen x, o que provocará um alongamento (A > 1) ou um encurtamento vertical (A < 1) Função Cosseno: Assumindo y como uma variável independente, é possível também representar a função cosseno na Eq.6.4: y f(x) cos x (6.4) A partir dessa representação, deve-se atentar às seguintes definições: Fig.6.19: Gráfico da Função f(x) 0.5 sen(x). Percebe-se também a existência de deslocamentos verticais ou horizontais sob as respectivas formas: y A + sen(x) para os deslocamentos verticais e y sen(x + a) para os deslocamentos horizontais. Sendo assim, é possível chegar a uma nova fórmula genérica (Eq.6.4) para a função seno levando-se em consideração os deslocamentos supracitados. f(x) A + B. sen(cx + d) (6.4) O Domínio da função (D(f)) está compreendido sob todo o conjunto dos números reais, ou seja, a variável x pode assumir qualquer valor real. Para cada valor de x existe um valor correspondente de y que varia de -1 a 1, isto é, a imagem da função (Im(f)) compreende o intervalo [ 1, 1]. A cada volta que se completa no Círculo Trigonométrico, os valores de y se repetem oscilando, o que significa dizer que a função apresenta caráter oscilatório e periódico, de período igual a π. O gráfico contido na Fig.6.1 representa a curva conhecida como cossenóide. Em que A, B, c e d são constantes reais. Fig.6.0:Gráfico Função f(x) sen(x + π) da Fig.6.1: Gráfico da Função f(x) cos(x). Caso a função seja apresentada sob a forma f(x) cos(a. x),analogamente à função seno, o período T da função será igual a Eq.6.44 T π a (6.44) 100

100 Neste caso também ocorre uma compressão horizontal no gráfico de ordem a. A função cosseno também pode ser y A cos(x),o que provocará um alongamento (A > 1) ou encurtamento (A < 1) vertical (variação da amplitude). Percebe-se igualmente a existência de deslocamentos verticais ou horizontais sob as respectivas formas: y A + cos(x) para os deslocamentos verticais e y cos(x + a) para os deslocamentos horizontais. Para cada valor de x pertencente ao domínio, existe um valor de y que, ao se aproximar dos valores de indefinição da função, apresentarão assíntotas, as quais podem ser visto no gráfico da Fig.6. na forma de linhas verticais tracejadas. Assim como nas funções seno e cosseno, a função tangente também apresenta caráter periódico, porém a descontinuidade dos valores, devido às assíntotas, torna a função não oscilatória. Sendo assim, é possível obter a uma formulação genérica (Eq.6.45) para a função cosseno levando em consideração os deslocamentos mencionados: f(x) A + B. cos(c. x + d) (6.45) Em que A, B, c e d são constantes reais Função Tangente: Tal qual as funções seno e cosseno, a função Tangente também pode ser presentada, de acordo com a Eq.6.46; tendo, igualmente, y como uma variável independente: y f(x) tan x (6.46) Com isso, constatam-se as seguintes definições: A variável x, ao contrário do que ocorre nas funções seno e cosseno, não pode assumir os valores π e π (e seus respectivos correspondentes em N voltas no círculo trigonométrico). Desta forma, o domínio (D(f)) corresponde ao intervalo [0; π [ U ] π ; π [ U ] π ; π] + N. π. Fig.6.: Gráfico da Função f(x) tan(x). Assim como nas funções anteriormente comentadas, na função tangente também podem ocorrer deslocamentos no gráfico. Sendo estes generalizados pela Eq.5.47: f(x) A + B tan(cx + d) (6.47) Sendo que o novo período T será dado ela Eq.6.48: T π a Função Arco-Seno (6.48) O arco-seno (arcsen(x))é um ângulo definido pela variável dependente de um valor x tal que para arcsen(x) α isto é, sen(α) x. 101

101 Exemplo 6: Para um triângulo retângulo de hipotenusa cm e cujo ângulo é oposto a um cateto de 1cm, determine o valor de sen(α) 1 logo: α arcsen( 1 ). Como: sen ( π 6 ) 1, então: π π rad Função Arco-Cosseno O arco-cosseno (arccos(x)) é um ângulo cujo valor de seu cosseno vale x, isto é, depende de x tal que arccos(x) α cos(α) x. Exemplo 7: Sabe-se que um triângulo retângulo possui um ângulo tal que o cateto adjacente a este ângulo vale cm e a hipotenusa do respectivo triângulo possui valor de 4 cm. Determine o ângulo Exemplo 8: Um triângulo retângulo possui um ângulo o qual tem como cateto oposto b., e o cateto adjacente c.. Determine o ângulo Como: tan(α) 1 logo: α arctan(1) tan ( π ) 1, então: 4 α π rad Sistema de Coordenadas Polares O sistema de coordenadas polares no plano tem como referenciais um ponto fixo O denominado polo e uma semirreta orientada fixa com origem em O denominada eixo polar; e um raio r, como é representado na Fig.6.. O Eixo polar Fig.6.: Representação de um eixo polar Como: cos(α) 4 1, logo: α arccos( 1 ) cos ( π ) 1 : Considere P um ponto genérico no plano e seja o raio r a distância entre o polo O e o ponto P, assim r OP. Se P O, então P pertence a uma única semirreta determinada com a origem em O. Tais descrições são representadas na Fig.6. α π rad Função Arco-Tangente O arco-tangente (arctan(x)) de um valor x, é o ângulo α cuja a tangente é igual ao valor x. Ou seja, se tan(α) x, tem-se que α arctan(x). 10

102 Fig.6.: Semirreta formando um ângulo θ com o Eixo Polar. Seja θ o ângulo formado entre o eixo polar e esta semirreta, medido a partir do eixo polar. Como o ângulo θ tem vértice no pólo O e o seu lado inicial é o eixo polar, ele é dito estar na posição padrão ou fundamental. Assim, a semirreta constitui o lado terminal do ângulo θ na posição fundamental. Os ângulos são geralmente medidos em radiano e são considerados positivos quando medidos no sentido anti-horário. A cada ponto P do plano, pode-se associar um par de números reais r e θ denominados coordenadas polares de P. Denota-se P(r, θ), onde r é a coordenada radial (raio) de P, que é a distância de P em relação ao pólo, e θ é a coordenada angular ou ângulo polar de P. As coordenadas polares (r, θ) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semirretas partindo de O. O valor de r localiza P num círculo de raio r, o valor de θ localiza P numa semirreta que é o lado terminal do ângulo na posição fundamental, e P é determinado pela interseção do círculo com a semirreta, como é mostrado na Fig.6.4. Fig.6.4: Grade formada por círculos concêntricos e semirretas partindo de Conversão de Coordenadas Para converter coordenadas polares (r, θ) em cartesianas (x, y), ou viceversa, é usual considerar que o polo do sistema polar coincidente com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar do sistema polar coincidente com o eixo x, tais como as Eq.6.49 e Eq Assim, o eixo positivo y é a semirreta θ π/. x r cosθ { y r sen θ ou r ± x { + y tan θ y x para x 0 (6.49) (6.50) Se θ está na posição fundamental então r + x + y Se θ arctan(y x)então tan(θ + n π) y x para x 0 e n I 10

103 (r, θ ) polar P { (x, y) cartesiano Exemplo 10: Converta as coordenadas cartesianas dadas para coordenadas polares. r ± x + y (x, y) (r, θ) { tan θ y para x 0 x Fig.6.5. Representação Gráfica do Eixo Polar P coincidindo com o eixo x do Sistema Cartesiano. Exemplo 9: Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas: (r, θ) (x, y) (r cosθ, r sen θ) a) (r, θ) (, π ) x cos ( π ).0 0 y sen ( π ). ( 1) (x, y) (0, ) b) (r, θ) ( 4, π ) x ( 4 ). cos ( π ) ( 4). (1 ) y ( 4). sen ( π ) ( 4). ( ) c) (r, θ) (1, π ) (x, y) (, ) x (1 ). cos ( π ) (1). ( 1 ) 1 y (1). sen ( π ). ( ) (x, y) ( 1, ) a) (x, y) (4, 4) r tan θ θ arc tan(1) { π 4 5π 4 Como o ponto está no primeiro quadrante 0 θ π, logo θ π 4 (r, θ) (4, π 4 ) b) (x, y) ( 1, ) r + ( 1) + ( ) 4 tan θ 1 θ arc tan( ) { 4π Como o ponto está no terceiro π quadrante π θ π, logo θ 4π (r, θ) (, 4π ) c) (x, y) (, ) r + ( ) + ( ) 6 6 tan θ 1 π θ arc tan ( 1 ) { 6 11π 6 5π 6 Como o ponto está no quarto quadrante π π θ 0, logo θ 6 104