FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0

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1 FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode ser encontrada lá. O intuito desta seção é apresentar as formas e gráficos de algumas funções importantes. Definição: Dizemos que y é uma função de se para cada valor atribuído a eiste em único valor correspondente para y. Neste caso, denotamos y = f(). O conjunto de valores que podem ser atribuídos a é chamado domínio da função e é denotado por Dom f ou por Df. O conjunto formado pelos valores que y assume em correspondência a algum valor é chamado de imagem da função e é denotado por Im f ou If. FUNÇÃO AFIM: y = a+b a: coeficiente angular b: coeficientelinear a < 0 a = 0 a > 0 b < 0 b = 0 b > 0

2 FUNÇÃO QUADRÁTICA y a 0 = a + b + c a,b,c R a > 0 a < 0 > 0 = 0 < 0 Observações: = b 4ac = Discriminante de f > 0 : raízes reais diferentes = 0 : raízes reais iguais < 0 : raízes compleas

3 FUNÇÃO MODULAR A função modular f : IR IR é definida por f () =, se:, f () =, =, se 0 se < 0 f() = f() = Eemplos: 1) Resolver = : -1= = 1 ou -1-1= = -1 = Resposta: S = {1, -1/} ) Resolver: 1 = + -1= + = 4 ou - -1= -( + ) = -1 = + Resposta: S = {4, -/}

4 FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA y ( ) = n ou y ( ) = 1 n n par Dom f=[0;+ ) Im f=[0;+ ) n ímpar Dom f= R Im f=r

5 GRÁFICOS DE n y = FUNÇÃO f GRÁFICO SIMETRIA DOMÍNIO D, IMAGEM I f ( ) = não há D = [0, ) I = [0, ) f ( ) = eio y (função par) D = IR I = [0, ) f ( ) = origem (função ímpar) D = IR I = IR / f ( ) = eio y (função par) D = IR I = [0, ) / f ( ) = 1 origem (função ímpar) D = IR I = IR f ( ) = eio y (função par) D = IR I = [0, ) f ( ) = 1 origem (função ímpar) D = IR {0} I = IR {0}

6 FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, tal que a >0 e a? 1, chamamos função eponencial de base a a função f de IR IR que associa a cada real o número a. Podemos escrever, também: f: IR IR a Eemplos de funções eponenciais em IR: a) f() = 1 b) f() = c) f() = e d) f() = e e) f() = 10 1 = e O gráfico de f() = a tem o seguinte aspecto: 1) Se a > 1 ) Se 0 < a < 1 função crescente função decrescente Observamos que nos dois casos, a imagem da função eponencial é: Im = R + *. Dizemos, ainda, que a função f() = a, corta o eio y no ponto (0, 1).

7 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para cada número real positivo b 1, definimos a função logarítmica, na base b, como sendo a função f() f : ( = Log. b 0, ) IR, que a cada número real positivo associa o número real A função logaritmo de na base b pode ser representada graficamente de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaio: b > 1 0 < b < 1 Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se 0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos os números reais.

8 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As três principais funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, cujos gráficos estão abaio. Função Seno Função Cosseno Função Tangente

9 Tipos importantes de funções: Função par: Se f() = f( ), para todo Domf então dizemos que a função f() é uma função par. (note que o gráfico é uma curva simétrica pelo eio y). Eemplos: f(x) = é uma função par, já que f( ) = ( ) = = f(). g() = cos() é uma função par, já que f ( ) = cos( ) = cos() = f(). Função ímpar: Se f() = f( ), para todo Domf então dizemos que a função f() é uma função ímpar. (note que o gráfico é uma curva simétrica pela origem). Eemplos: f(x) = é uma função par, já que f( ) = ( ) = = f(). g() = sen() é uma função ímpar, já que f( ) = sen( ) = sen() = f(). Função injetora: Se para quaisquer 1 e no domínio de f(), f( ) f( ), então dizemos que f é uma função injetora. 1 1 Eemplos: f() = é uma função injetora, já que se f( ) = f( ) = f() = não é injetora, já que se 1 = e = temos 1, mas f 1 = ( ) = f() = = 4 = ( ) = f( ) f( ). Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio. Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora. Função composta: Sejam ( g() ) f o g() = f é a função composta de f com g. Eemplos: Se f() = + e () sen() g: A B e f : Im g C. A função f o g: A C dada por g = então f g() = f( g() ) = f( sen() ) = ( sen() ) + o. Se h () = e e () tg() h o u() = h u() = h tg() = e. tg() u = então ( ) ( ) Observação: Em geral, f o g() go f(). No eemplo anterior, se f() = + e g () = sen() então go f() = g( f() ) = g( + ) = sen( + ) e ( sen() ) + sen( + ) go f() f o g() = =. Função inversa: Se y = f() é uma função bijetora então a função g(y) tal que g (y) = y = f() é a função inversa de f(). Muitas vezes denotamos a função inversa de f por f -1.

10 Eemplos: Se f () = então 1 y = = y e a função inversa de f() é g (y) = f (y) = y 1 ou transformando para, f () =. Observação: As funções f() e g(y) são inversas se e somente se f (g(y)) = y e g (f()) =. Ou seja, uma forma alternativa para verificar se duas funções são inversas é verificar se as compostas dão as funções identidades. Eemplos: Se f () = + 1 e f 1 () = 1 f 1 ( f() ) = f ( + 1) = ( + 1) 1 = 1 então f( f ()) = f( 1) = ( 1) + 1= 1. Assim, como f ( f ) 1 1 () = f ( f() ) = inversas. e então f() e f -1 () são Resultado útil: Se c é um número real positivo então: O gráfico de f() + c é o gráfico de f() deslocado c unidades para cima. O gráfico de f() - c é o gráfico de f() deslocado c unidades para baio. O gráfico de f( + c) é o gráfico de f() deslocado c unidades para a esquerda. O gráfico de f( - c) é o gráfico de f() deslocado c unidades para a direita. Ou seja, Bibliografia: 1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São Paulo, 00. ) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar vol.1. Atual editora. São Paulo, 000. ) Guidorizzi HL. Um curso de Cálculo vol 1. FTD editora. 5ª edição. Rio de Janeiro, ) Stewart J. Cálculo vol 1.Pioneira editora. São Paulo, 001.

11 EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES 1) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R: a) y = + b) y = c) y = ) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R: a) y = b) y= - + d) d) y 4 = e) y = - + c) y = 4 d) y = ) Determine os valores de que satisfazem a cada uma das epressões abaio: a) 5 = 1 b) = c) = 4 d) < 1 e) 7 4) Construa os gráficos das seguintes funções: a) y = + b) y = + c) y = - 4 d) y = 4 5) Construa os gráficos das seguintes funções: a) y = b) y = + c) y = + d) y = 4 6) Complete com verdadeiro ou falso, com e y pertencentes aos reais. a) ( ) ( ) + y = + y b) ( ) ( ).y =.y c) ( ) + y = + y d) ( ) ( + y) = + y e) ( ) ( + y) = log + log y,.y 0 log > y + y f) ( ) + =,.y 0 y y + g) ( ) = 7) Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f() = 1 b) g() = c) h() = + 1 d) f() = - e) g() =. f) h() =

12 8) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada. a) f() = Log 1 c) f () = Ln( + 1) 4 d) f() = Ln( ) b) f() = Log e) f() = Log 1( ) f) f() = Log 1 9) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, eplicitando o domínio, a imagem e o período: a) y = sen b) y = - sen c) π y = sen d) y = sen 4 10) Calcule f o g(), g o f (), f o f() e g o g() para as seguintes funções: a) f () = + 10 e g () = sen() b) f () = + e g() = 7 11) Simplifique a epressão f( + h) f() onde h a) f () = b) f () = 1 c) f () = ( + )

13 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES 1) y = X+ y = -+1 y = y = (4-)/ y = ) y = *^ y = -^+ y = 4-^ y = ^ ) 9 a) S=, 5 8 b) S=, c) S=,4 11 d) S = 5 R < e) S = { R } < 7

14 4) a) y = + c) y = - 4 b) y = + d) y = 4 5) a) y = c) y = + b) y = + d) y = 4

15 6) a) F eemplo: b) V ( 5 + ) 5 + c) F eemplo: d) F eemplo: ( + 1) + 1 e) F O correto é ( y) = log + log y,.y 0 log > f) F eemplo: g) V 7) a) f() = c) h() = + e) g() =. Observação:.? 6 b) g() 1 = d) f() = 1 - f) h() = 8) a) D f = { R / > 0} b) D f = { R / > 0}

16 c) D f = { R / > 1} e) D f = { R / < 0} d) D f = { R / > } f) D f = { R / > 0} 9) a) c) b) d)

17 10) a) f o g() = sen() + 10 g o f () = sen( + 10) f o f() = g o g() = sen(sen()) b) f o g() = ( 7) + ( 7) g o f () = ( + ) 7 f o f() = ( + ) g o g() = ( 7) 7 + ( + ) 11) a) -+h 1 b) ( + h) c) +4+h