Fundamentos da Matemática A

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1 VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Fundamentos da Matemática A Rio de Janeiro / 007 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

2 QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Unidade de Programa Objetivos I. Relações Binárias Possibilitar ao aluno recordar os conceitos, de par ordenado, relação e função. II. Funções Dar a estudo condições de reconhecer quando uma relação e uma função e traçar gráficos corretamente. III. Trigonometria

3 Unidade I RELAÇÕES BINÁRIAS:. Sistema Cartesiano Ortogonal : Considerando dois elementos a e b, admitiremos a eistência de um terceiro elemento (a,b) que denominamos par ordenado, de modo que dois pares ordenados (a,b) e (c,d) sejam iguais se, os primeiros elementos de cada par forem iguais, a c, e os segundos elementos de cada par também forem iguais, b d. Logo: (a,b) (c,d) a c e b d. Com base no que foi apresentado acima devemos observar que (,) (,), embora os conjuntos {,} e {,} sejam iguais. Todo par ordenado pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. O plano cartesiano é um plano α no qual consideremos dois eios e., perpendiculares entre si. Seja o ponto O, o ponto de intersecção desses eios, denominado origem do plano cartesiano. α b P(a,b) o a Temos:. Plano α Plano cartesiano;. Eio eio das abscissas (O);. Eio eio das ordenadas (O);. O origem;. a abscissa do ponto P;. b ordenada do ponto P;. (a, b) coordenadas do ponto P; A direita da origem temos os números positivos e à esquerda, números negativos. Acima da origem temos números positivos e abaio, números negativos.

4 Eemplos: ) Representar no plano cartesiano os seguintes pontos: A(, ), B(,), C(, ) e D(, ) A B C D ) Representar no plano cartesiano os seguintes pontos: G(, 0), H(, 0), I (0, ) e J(0, ). I H G J Cada uma das quatro regiões determinadas pelos eios e são chamadas quadrantes. º Quadrante º Quadrante º Quadrante 4º Quadrante 4

5 . Produto Cartesiano: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A B, formado por pares ordenados onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o segundo elemento de cada par pertence a B. Simbolicamente, temos: A B {(,) A e B } Eemplos: ) Se A {,4,,7} e B {,}. Determine A B e B A: a) A B { (,), (,), (4,), (4,), (,), (,), (7,), (7,) } b) B A { (,), (,4), (,), (,7), (,), (,4), (,), (,7)} ) Se A {,4,}. Determine A : A {(,), (,4), (,), (4,), (4,4), (4,), (,), (,4), (,)} Observe que: - Se A e B são conjuntos diferentes, então A B B A; - Se A tem p elementos e B tem q elementos A B tem p.q elementos;. Relação Binária: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se Relação Binária de A em B, a qualquer subconjunto R de A B. Eemplos: ) Dados os conjuntos A {,4,,7} e B {,}, verifique se os conjuntos abaio representam relações de A em B: a) R { (,), (4,), (,), (7,)} b) S { (,), (4,), (7,4)} c) T {(4,)} Soluções: a) R é relação de A em B, pois R A B, todos os elementos de R são elementos de A B; b) S não é relação de A em B, pois S A B, o elemento (7,4) está em S e não está em A B; c) T é relação de A em B, pois T A B.

6 ) Se A {0,,, } e B {,, 4}, determine os elementos da relação R {(,) AB }, o domínio e a imagem: Solução: A B R { (,), (,), (,), (,), (,) } D(R) {,,} e Im(R) {,} Obs.: O domínio da relação é formado de todos os valores de de cada par pertencente a R e a imagem da relação é formado de todos os valores de de cada par pertencente a R, ou seja: Domínio da Relação: D(R) { (,) R} Imagem da Relação: Im(R) { (,) R} Eercícios de Fiação: ) Localizar no plano cartesiano os seguintes pontos: A (, ) B (, 4) C (, ) D (4, ) E (0, ) F (, 0) G (4, 0) H (0, 4) I (0, 0) ) Sejam os conjuntos A {,, 0, } e B {0, }. Determine: a) A B b) B A c) d) A B 6

7 ) Se A B {(0, ), (0, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. Determine os conjuntos A e B: 4) Se A B e B tem elementos, qual o número máimo de elementos de A B? ) Dados os conjuntos A {, 0,,, } e B { 0,,,, 4}, determine : a) A relação R {, ) A B / } ( ; b) A relação R {, ) A B / } ( ; 6) Determine o domínio e a imagem de cada relação do º eercício: 7) Sejam os conjuntos { 0,, } e B { 0,, }. A Determine a relação R de A em B definida por < : 8) O produto cartesiano foi definido com os conjuntos A e B não vazios, se A e B fossem vazios, como ficaria A B? 9) Antes de passar para a próima unidade, veja se você consegue definir o que é uma função e verificar quais relações dos eercícios anteriores ( e 7), são funções, justificando a sua resposta: Eercícios de Auto Avaliação: ) Sabendo-se que A B {(0,), (0,4), (0,6), (,), (,4), (,6)}, determine os conjuntos A e B: ) Se A {0,} e B (0,,}, determine (A B) B: ) Dados A {0,,}, B {,,} e C {4,,6}, determine: a) (A B) C b) (B C) A c) (C A) (B A) 4) Um conjunto A tem elementos e um ouro conjunto B, tem 4 elementos. Determine o número de elementos de: a) A B c) A² b) B A d) B² 7

8 ) Um conjunto P possui ( 6) elementos; um conjunto B possui ( ) elementos. Calcule, sabendo-se que A B tem 4 elementos: 6) Um homem tem cinco camisas e três calças. De quantas maneiras diferentes ele poderá vestir-se, usando, cada vez, ma calça diferente com uma das camisas? 7) Dados os conjuntos A {,, 0, } e B {, 0,,,, 4}, determine as relações abaio, o seu domínio e a sua imagem: a) R {(,) A B } b) S {(,) A B } c) T {(,) A B ² ² } 8) Dados A { N 0} e a relação R {(,) A² 0}, determine o domínio e a imagem da relação: 9) Calcule os valores de e de modo que: (, ) (, ): 0) Localize no plano cartesiano os pontos A(0, 0), B(0, 6), C(6, 6), D(9, 0) e E(9, 0). Calcule a área o perímetro da figura formada pela união dos pontos A, B, C, D, E e A: 8

9 Unidade II FUNÇÕES:. Introdução: A noção de função é fundamental em Matemática. As funções estão no nosso dia-a-dia mesmo que nós não nos apercebamos disso. Vejamos alguns eemplos: a) A quantidade de combustível consumida por um automóvel é função da distância que ele percorre; b) O valor da conta de luz depende, de uma forma determinada, da quantidade de energia que usamos naquele período, ou seja, a quantia paga é função da quantidade de energia usada. c) O preço de uma corrida de tái é função da distância percorrida; d) A nota de um aluno na prova depende da quantidade de acertos que ele teve; Na própria matemática temos eemplos: a) A área de um círculo depende do tamanho do raio r, que é dada por A π.r. Podemos dizer que a área é função do raio, ou seja, A f(r). b) A área do quadrado depende do tamanho do lado l do quadrado, que é dado por A l. Logo a área do quadrado é função do lado, ou seja, A f(l). Muitas vezes obtém-se uma função através de uma equação. Por eemplo, a relação entre a medida C da temperatura em graus Celsius e a medida F da mesma temperatura em graus Fahrenheit são definida como sendo: F C. 9 Podemos escrever F f ( C) ou C f ( F), vejamos : Se F C 9 F 60 9C F 9C 60 F 9 C F f ( C) Se F C 9 F F 60 9C C C F ( F ) ou C C f ( F). 9. Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma função f: A B é uma correspondência que a cada elemento A associa um único elemento B. O conjunto A (conjunto de partida) é chamado domínio da função f e o conjunto B (conjunto de chegada) é chamado contradomínio da função f. Como indicamos a função por f, temos f(). 9

10 Como é livre para variar no domínio da função, diz-se que é variável independente, e que, por estar dependendo de, é a variável dependente. O conjunto dos elementos de B que estão associados por f a algum elemento de A, é chamado conjunto imagem de f. Em símbolos, podemos escrever: f: A B A, B (,) f ou f: A B A, B f(). Temos: D(f) A, CD(f) B e Im(f) { B, ) f } (. Eemplos: ) Sejam os conjuntos A {-,0,,} e B {,,,4}. Verifique se a relação R de A em B definida por é uma função, justificando a sua resposta: Solução: A B Não é função, porque nem todo elemento de A tem correspondente em B, observe que a imagem de seria o, mas o elemento não pertence ao conjunto B. ) Verifique se a relação de R em R cujo gráfico aparece abaio é uma função: Solução: Não é função, pois tem elemento de A com dois correspondentes em B. 0

11 ) Sejam os conjuntos A {-,-,,} e B {0,,,,4,,6,7,8,9}. Seja a função f: A B, definida por. Determine o conjunto imagem da função: Solução: Se, temos: (-) 9 (-) 9 Logo, o conjunto imagem é Im {,9}. 4) Seja a função f : R R definida por f ( ). Determine: a) f ( ) f ( 0); b) O elemento do domínio de modo que f ( ) 0 : Soluções: a) Temos: f ( ).( ) 8 e f ( 0). 0. Logo; f ( ) f ( 0) 8 0. b) Queremos determinar o elemento do domínio cuja imagem seja 0. Então; 0 4. ) O aluguel de um carro, por um período de 0 dias em uma locadora, é de 70 u.m. (unidade monetária), mais uma taa de u.m. por quilômetro rodado. Sabendo-se que ele ficou um mês com o carro alugado. Determine: a) Uma lei de associação para essa função; b) O valor a ser pago no final do período, se ele rodou 46 km; c) O número de quilômetros que ele rodou, sabendo-se que pagou 0 u.m.; Soluções: a) 70, onde representa o número de quilômetros; b) u.m. c) km;

12 Eercícios de Fiação: ) Sejam os conjuntos A {0,,,,4} e B {-,0,,,,4,,6,7,8}. Seja a função f: A B definida por. Determine: a) o diagrama de f; b) o conjunto imagem de f. ) Seja a função f: R R (R Conjunto dos Números Reais) definida por f() 4. Determine: a) f b) f c) f ( ) ( ) ( ) ) Seja a função f: R R (R Conjunto dos Números Reais) definida por f ( ). Qual é o elemento do domínio que tem como imagem: 4 4) Seja a função f: R R (R Conjunto dos Números Reais) assim definida:, f ( ), se se <. Calcule f ( 0) f ( ) f ( ) : ) Para estudar o nível de aprendizagem dos animais, um grupo de alunos de Psicologia fez uma eperiência na qual um rato branco era colocado, repetidamente, em um labirinto. Os estudantes notaram que o tempo (em minutos) requerido para o rato percorrer o labirinto, na n-ésima tentativa, era de aproimadamente Pede-se: a) O domínio da função; t( n). n b) O tempo que o rato gastou para percorrer o labirinto na ª tentativa; c) Em que tentativa o rato gastou 4 minutos para percorrer o labirinto. 6) Uma fábrica produz p(t) (t² t) pares de sapatos, t horas após o início de suas atividades diárias. Se a fábrica começa a funcionar as 8 horas da manhã, entre 0 e horas da manhã, quantos pares de sapatos serão produzidos?

13 7) O perímetro de um retângulo de largura e comprimento é 6 cm. Encontre a função que dá a área do retângulo em função da largura : 8) Freqüentemente se diz: considere uma função f dada por f() uma epressão contendo, sem menção do domínio da função. Neste caso, supõe-se que tal domínio é formado por todos os valores de para os quais a epressão pode ser calculada. Então, determine o domínio das seguintes funções: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 4 d) f ( ) 6 e) f ( ) f). Gráfico de Funções: Podemos descrever uma função por meio de um gráfico no plano cartesiano, que é um conjunto de pontos cujas abscissas são elementos do seu domínio e cujas ordenadas são os correspondentes elementos de sua imagem. Eemplos: a) f ), D R ( b) f ( ), D [-,]

14 Devemos recordar que para uma relação ser uma função, para todo elemento pertencente ao seu domínio deve corresponder a um único elemento no seu contradomínio. Logo, observe que se você traçar uma reta perpendicular ao eio das abscissas ela deverá interceptar o eio das abscissas no máimo em um ponto. Observe que a relação ao lado definida de R em R definida por ² não é função, pois temos elementos do domínio com dois correspondentes no contra-domínio..4 Funções Crescentes e Decrescentes: Uma função f() é crescente quando, a medida que aumenta, f() também aumenta. Podemos escrever: > f ( ) > f ( ), com, D( f ). Uma função f() é decrescente quando, a medida que aumenta, f() diminui. Podemos escrever: > f ( ) < f ( ), com, D( f ). Eemplo: Considere a função, se f ( ), se < < representada no gráfico a seguir: 8, se 4

15 Determine os valores de para os quais: a) f ( ) é crescente; b) f ( ) é decrescente; c) f ( ) 0 (raízes); d) f ( ) > 0; e) f ( ) < 0. Soluções: a) 0 < < ; b) < 0 ou > ; c) 0 e 4; d) < 0 ou 0 < < 4; e) > 4.. Função Constante: Uma função sempre o mesmo elemento f : R R recebe o nome de função constante quando para todo R associa K R. Eemplo: Construir o gráfico da função f () ; Im(f) {}.6 Função Afim: Uma função f : R R recebe o nome de função afim quando para todo R associa sempre o elemento ( a b) R, com a, b R e a 0. O gráfico da função afim é uma reta (provado em Geometria Analítica).

16 Obs. Quando b 0 a função também é chamada função linear. Portanto podemos afirmar que a função linear é um caso particular da função afim. O coeficiente a é chamado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano tangente do ângulo que a reta forma com o eio das abscissas. O coeficiente linear b é chamado coeficiente linear ponto que a reta corta o eio das ordenadas. O conjunto Imagem de uma função é o Conjunto dos Números Reais, observe que para todo real, eiste um também real, tal que: f(). Eemplos: Construir o gráfico das seguintes funções: a) f() b) f() c) f() d) f() Observe que nos eemplos (a) e (b) os coeficientes lineares são iguais a zero, logo, a reta corta o eio no ponto (0,0), origem do sistema cartesiano. Já nos eemplos (c) e (d) os coeficientes lineares são iguais a, portanto os gráficos cortam o eio das ordenadas no ponto (0,). 6

17 Observe também que, nos eemplos (a) e (c) os coeficientes angulares são positivos (o ângulo varia entre 0 e 90 ), logo elas são crescentes. Nos eemplos (b) e (d) os coeficientes angulares são negativos (o ângulo varia entre 90 e 80 ), logo e las são decrescentes. Eercícios de Fiação: ) Construir o gráfico das funções, determinando o conjunto imagem: a) f ( ) 4 b) f ( ) c) f ( ) 4 d) f ( ) e) f ( ) ) A função linear em que o valor do coeficiente angular é igual a, recebe o nome de função identidade. Qual o ângulo formado pela função identidade com o eio das abscissas? ) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações: 4 4) Determinar os valores de K para que a função f ( ) ( K 6) seja crescente: ) Determinar a função cujo gráfico é dado abaio: 6) Determine a função afim que passa pelo ponto (, ) e forma um ângulo de 4 com o eio das abscissas: 7

18 .7 Função Quadrática: Uma função f : R R recebe o nome de função quadrática quando para todo R associa sempre o elemento ( a b c) R, com a, b, c R e a 0. O gráfico da função quadrática é uma parábola (provado em Geometria Analítica). Eemplos: a) f ( ) (,) - 4 (-, 4) - (-, ) 0 0 (0, 0) (, ) 4 (, 4) b) f ( ) (,) - -4 (-, -4) - - (-, -) 0 0 (0, 0) - (, -) -4 (, -4).7. Concavidade: Se a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima e se a < 0, a concavidade voltada para baio. No eemplo acima, item (a) o a é positivo e no item (b) o a é negativo. 8

19 .7. Raízes ou Zeros: As raízes ou zeros de uma função são os valores de para os quais f () 0. b ± Logo, se f ( ) 0 a b c 0. Portanto, as raízes da funções são as a soluções da equação do º grau a b c 0. Sendo assim temos três situações a considerar em relação ao discriminante; a) Se > 0, a equação terá duas raízes reais e diferentes, logo o gráfico da função irá cortar o eio das abscissas em dois pontos distintos; b) Se 0, a equação terá duas raízes reais e iguais, logo o gráfico da função irá cortar o eio das abscissas em apenas um ponto; c) Se > 0, a equação não terá raízes reais, logo o gráfico da função não irá cortar o eio das abscissas..7. Vértice da Parábola: O vértice da parábola é o ponto de máimo ou de mínimo da parábola. Se a concavidade da parábola está voltada para cima, o vértice é um ponto mínimo e se a concavidade da parábola está voltada para baio, o vértice é um ponto máimo. b As coordenadas do vértice da parábola são dadas por,. a 4a Demonstração: Vamos chamar de V a abscissa do vértice da parábola, relativo a função f() a b c. Vamos analisar três situações, > 0, 0 e < 0. Vamos considerar nos três casos o a > 0, a demonstração é feita da mesma forma se a < 0. b) > 0 Nesse caso, o vértice é o ponto médio das raízes da função. Temos: b ± a b a b a V b a b a V b a b a b a 9

20 b) 0 Nesse caso, é fácil perceber que o vértice é a raiz da função. Como 0, temos: V b ± a 0 V b a. c) < 0 Neste caso, a função não admite raízes reais. Sejam dois pontos simétricos P e P, com abscissas considerando que V pontos, temos: f ( K ) f ( K ) K e V V K, e é a média aritmética das abscissas desses dois V V. Substituindo na função f() a b c, temos: ( K ) b( K ) c a( K ) b( K ) c a. V V Desenvolvendo e simplificando, obtemos: bk b 4aK V bk V V. 4aK a V V itens. Temos: Observe que da forma como foi demonstrado no item (c), pode ser generalizado para os demais Sendo V b a, podemos provar que V, substituindo na função f ( ) a b c. 4a b b b a. b b ab ab f ( ) a b c f a. b. c c a a a 4a a 4a Simplificando por a, temos: b b 4ac b 4ac f. a 4a 4a 4a b Logo as coordenadas do vértice são,. a 4a 4ac.7.4 Intersecção com o eio das ordenadas: Um ponto está localizado no eio das ordenadas quando o valor da abscissa é zero. Logo, se f() a b c f ( 0) a. 0 b. 0 c f ( 0) c. Logo, corta o eio no ponto (0,c). 0

21 .7. Imagem: Como o vértice da parábola é o ponto de máimo ou de mínimo, temos: Se a > 0, a concavidade está voltada para cima, logo o vértice é um ponto mínimo e o conjunto imagem será dado por: Im( f ) { R / V }, onde V é a ordenada do vértice. Se a < 0, a concavidade está voltada para baio, logo o vértice é um ponto máimo e o conjunto imagem será dado por: Im( f ) { R / V }, onde V é a ordenada do vértice..7.6 Eio de Simetria: O gráfico da função quadrática admite um eio de simetria e esse eio de simetria é uma reta perpendicular ao eio das abscissas que passa pelo vértice, logo todos os pontos desse eio de simetria obedecem a equação b 0 a. Eemplos: ) Seja a função f ( ) 6, pede - se : a) analisar a sua concavidade; b) os zeros ou raízes; c) a coordenada do ponto de intersecção com o eio das ordenadas; d) as coordenadas do vértice; e) um esboço do gráfico; f) o conjunto imagem; Soluções: a) Como o valor de a é positivo, a concavidade está voltada para cima; b) Fazendo 0, obtemos : e. 6 c) (0,) d) V(, 4) e) f) Im( f ) { R / 4}

22 ) Determinar uma função quadrática f tal que f ( 0), f ( ) 0 e f ( ) : Solução: Seja f ( ) a b c, então: f ( 0) c f ( ) 0 a b c 0 a b f ( ) 4a b c 4a b 4 a b a b a e a b b 4 Portanto, se a, b 4 e c, temos : f ( ) 4. ) Mostre que na equação do º grau a b c 0, de raízes e, temos para a soma das b raízes S ; a Solução: a) Se as raízes e são tais que, temos : No caso para, temos 0, logo : b b ± 0 a b b a b a a a b) Se as raízes e são tais que temos :, No caso para, temos 0, logo : b ± a > b a b a b a b a b a b a b a b a 4) Resolva a inequação 6 < 0 : Considerando f ( ), a > 0 e 6 > 0, e raízes e. Então, _ 6 Como queremos os valores de para os quais a função é menor que zero, temos S { R / < < }

23 Eercícios de Fiação: ) Construir o gráfico das seguintes funções: a) f ( ) b) c) d) f ( ) f ( ) f ( ) ) Dada a função f ( ) 8 9, pede-se: a) analisar a sua concavidade; b) as coordenadas dos pontos de intersecção com o eio das abscissas; c) as coordenadas do ponto de intersecção com o eio das ordenadas; d) as coordenadas do vértice; e) um esboço do gráfico; f) o conjunto imagem; g) os valores de para os quais a função é crescente; ) Seja a função f ( ) ( m ). (m ). m, determine os valores de m de modo que a função tenha duas raízes reais e diferentes: 4) Mostre que na equação do º grau a b c 0, de raízes e, temos para o produto da raízes, P c. a : ) Considerando todos os números reais, de soma igual a 8. Determine aqueles cujo produto é máimo: 6) (CESGRANRIO RJ) Um dia na praia às 0 horas a temperatura era de 6 C e às 4 horas atingiu a máima de 9, C. Supondo que nesse d ia a temperatura f( t) em graus era em função do tempo t medido em horas, dada por f ( t) at bt c, quando 8 t 0, então pode-se afirmar que: (a) b 0 (b) a b (c) b < 0 (d) a.b < 0 (e) a > 0 7) (PUC CAMP SP) Uma bola é largada do alto de um prédio e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela epressão h -t 6. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? (a), (b) (c) 7 (d) 0 (e)

24 8) Resolver as inequações em R: a) 0 b) 0 < 0 c) 6 > 0 d) e) Funções Modulares Para cada valor real podemos associar um único valor. Uma função f : R R recebe o nome de função modular quando para todo R associa sempre o elemento R. Utilizando a definição de módulo, temos:, se 0, se < 0 A imagem da função é Im R..9 Funções Eponenciais Uma função f R R recebe o nome de função eponencial quando para todo R associa * : sempre o elemento a R,. em que a é uma constante real positiva e diferente de. Observe que quando a >, a função f ( ) a. é crescente, pois a medida que aumenta, f () também aumenta. Observe que quando 0 < a <, a função f ( ) a. é decrescente, pois a medida que aumenta, f () diminui. 4

25 Eemplos: ) Construa o gráfico das seguintes funções: a) f ( ) (,) - /4 (-, /4) - / (-, /) 0 (0, ) (, ) 4 (, 4) b) f ( ) (,) - 4 (-, 4) - (-, ) 0 (0, ) / (, /) /4 (, /4) Nos dois casos o conjunto imagem são os reais positivos, ou seja, não eiste número real tal que a 0, considerando que a base a é um número real e positivo. ) Resolva as seguintes equações eponenciais: a) 8 Reduzindo a mesma base, temos: 7 4 b) Temos: Fazendo, obtemos : Logo; S 7. Logo, S { 4} { }

26 .0 Funções Logarítmicas: Uma função f : R R recebe o nome de função logarítmica quando para todo * associa sempre o elemento log, onde a é um número real positivo e diferente de. a * R Recordando logaritmos, sabemos que log a b a b, por eemplo para calcularmos o logaritmo de 8 na base, devemos procurar o número que devo elevar o para a potência resultar 8. Vejamos: log 8 8. Eemplos: ) Construa o gráfico das seguintes funções; a) ( ) log f n f() log (,) 4 (4, ) (, ) 0 (, 0) ½ - (½, -) ¼ - (¼, -) b) f ( ) log n f() log (,) 4 - (4, - ) - (, - ) 0 (, 0) ½ (½, ) ¼ (¼, ) Observe que na função f ( ) log, se a >, a função é crescente e se 0 < a <, a função é decrescente. O conjunto imagem é o conjunto dos Números Reais. a 6

27 Eercícios de Fiação; ) Construa o gráfico das seguintes funções, determinando o seu conjunto imagem: a) b) f ( ) f ( ). c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) log f) f ( ) log ) Faça uma análise em cada função da ª questão, verificando se é crescente ou decrescente. No caso de não ser crescente ou decrescente em todos os reais. Verifique os intervalos que são crescentes ou decrescentes; ) Resolva as seguintes equações modulares em R: a) b) c) d) 6 0 e) f) 4) Resolva as seguintes equações eponenciais em R: a) b) c) 7 - ( 6 ) 7 8 0, 8 d) e) f) 6. 0 ) Calcule os seguintes logaritmos: 7

28 a) log c) log 4 e) log 0,0 b) log d) log 6) Seja a um número real positivo e diferente de. Demonstre que: a) loga 0 b) loga c) loga a a n n 7) Utilizando a definição de logaritmos demonstre as três propriedades operatórias de logaritmos: a) loga ( α.β) α b) loga loga α loga β β n c) loga α loga α loga β n. log a α 8) Sabendo que log 0,00 e log 0,477 (quando não é citada a base, é um logaritmo decimal base 0), e aplicando as propriedades operatórias de logaritmos, calcule: a) log 6 b) log 6 c) log 7 d) log e) log 0, f) log 7 9) Construa no mesmo plano cartesiano o gráfico das funções f ( ) e f ( ) log. Qual a relação você avalia entre elas? 0) Obtenha o domínio da função f ) log ( 0) ( : 6. Função Composta; 8

29 Sejam as funções f : A B e g : B C, denomina-se função composta de g e f, nessa ordem, a função g ο f : A C definida por g ο f ( ) g( f ( )), para A. Eemplo: A B C Sejam as funções f : A B e Dados os conjuntos { 0,, }, { 0,,, 4} e {, 0,,, 4}. g : B C definidas por f ( ) e g( ). Determine e a lei de define g ο f : A C : Solução: Temos : f (0) 0 g(0), f () g() 0, f () 4 g(4) e g(). Queremos descobrir uma lei tal que: g( f (0)), g( f ()) 0 e g( f ()). Então g ( f ( )) g( ). Tente ilustrar o eemplo com diagramas. Observe que a função composta g ο f : A C só está definida quando o contra-domínio de f é igual ao domínio da g. Observe também que a composição de funções não é comutativa.. Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora: Uma função f : A B é sobrejetora se, para todo elemento de B eiste um elemento em A tal que f ( ). Logo podemos dizer que uma função f é sobrejetora, se Im( f )CD( f ). Uma função f : A B é injetora se, quaisquer que sejam, A, se f ( ) f ( ), A, se f ( ) f ( ) Uma função f : A B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora. PESQUISE EXEMPLOS DE FUNÇÕES INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA. Função Inversa: Seja uma função f : A B, bijetora. Chamamos função inversa de f a função f B A, : onde o par ( b, a) f, se ( a, b) f. Eemplo: A. Seja a função Sejam os conjuntos { 0,, } e B {,, } Determine: a) Pares de f e de f ; b) O domínio de f e de f ; c) A lei que define a função inversa; f : A B definida por f ( ). Soluções: 9

30 a) f {(0,),(,),(,) } e f {(,0),(,),(,) } b) D ( f ) { 0,, } e D( f ) {,, } c) f ( ).4 Paridade de uma função: Seja f uma função de A em B, f: A B. Dizemos que f é uma função par se, e somente se: f ( ) f ( ), A. Dizemos que f é uma função ímpar se, e somente se: f ( ) f ( ), A. Eemplos: a) f() ² é uma função par, pois ² (-)² ; b) f() é uma função par, pois..(-) ; c) f() cos é uma função par, pois cos(-) cos ; d) f() é uma função ímpar, pois.(-) -.; e) f() ³ é uma função ímpar, pois (-)³ -³ ; f) f() sen é uma função ímpar, pois sen(-) - sen ; Obs.: Temos funções que não é par e nem ímpar, ou seja, a função f pode ser tal que: f(-) f() e f(-) -f(). Eemplo: A função f ( ) 6, não é par e nem ímpar : Vejamos: f ( ) e f ( ) ( ) 6 ( ) 4 6. Se Se f ( ) f ( ) a função não é par. f ( ) f ( ) a função não é ímpar. 0

31 Eercícios de Fiação: f g ) Sejam as funções ( ) 4 e ( ). Pede - se : a) A lei que define g ο f ; b) A lei que define f ο g c) calcular g ο f e f ο g no ponto ; ) Se f ( ) e g( ). Determine g ο f e f ο g : ) Se f ( ) e g( ). Determine as leis que definem : a) b) c) d) g ο f f ο g f ο f g ο g 4) Nas funções abaio de R em R, obter a lei de correspondência que define a função inversa: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ), d) f ( ) ) Sejam f ( ) para > 0 e g( ) a inversa de f ( ). Determine o valor de f ( g( 4)) g( f ( 4)) : 6) A função f : R R, definida por f ( ) 4 não adnite inversa. Justifique : 4 f Qual é o valor do domínio de f () 7) Seja a função : R { } R { 4 }, definida por f ( ). com imagem? 8) Dadas as funções f e g em R definidas por f ( ) e g( ), determinar a função inversa de g o f :

32 Eercícios de Auto Avaliação: ) Dê eemplo de uma função constante e construa o seu gráfico: ) Dê eemplo de uma função afim decrescente cujo coeficiente linear é 4 e e construa o seu gráfico: ) Dê eemplo de uma função quadrática com concavidade para baio que tangencia o eio das abscissas e construa o seu gráfico: 4) Construa o gráfico das seguintes funções: a) f ( ) 4 b) c) f ( ) f ( ) 4 4 d) f ( ) e) f ( ) log f) f ( ) log g) h) f ( ) f ( ) i) f ( ) 6 8 j) f ( ) 6 ) As funções f ( ) a 4 e g( ) b, calcule os valores de a e b de modo que os gráficos das funções se interceptam no ponto (, 6): 6) Dada a função f ( ) 6, pede - se : a) analisar a sua concavidade; b) as coordenadas do ponto de intersecção com o eio das ordenadas; c) as coordenadas dos pontos de intersecção com o eio das abscissas; d) as coordenadas do vértice, indicando se é máimo ou mínimo; e) o gráfico; f) o conjunto imagem; g) os valores de para os quais a função é crescente; h) os valores de para os quais a função é decrescente.

33 7) Dada a função f ( ) 8, determine : a) f b) f d) f ( 0) ( ) c) f ( ) e) os valores de de modo que f ( ) 6 : 8) Seja f ( ) a b c. Sabendo que f ( ) 4, f ( ) 0 e f ( ), descubra a função f ( ) : 9) Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima e sua posição é dada em função do tempo pela função h( t) 40t t, onde a altura h é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. Determine: a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t 6s; b) os instantes em que o corpo está a uma altura de 60 metros do solo; c) o instante em que o corpo atinge a altura máima; d) a altura máima atingida. 0) Dadas as funções f ( ) e g( ) -, determine os valores reais de para que se tenha g ( f ( )) 0 : ) Determine o valor de m para que a função f ) ( m ) m ( m ) diferentes: ( possua duas reais e ) Resolva as seguintes inequações do º grau: a) b) - c) d) < 0 > 0 ( ) <

34 ) Determine o domínio das funções: a) f ( ) 8 b) f ( ) 8 c) f ( ) log log d) f ( ) 4 ( ) ( 4) 4) Sendo f ( ) e g( ), determine : a) f ( g( )) b) g( f ( )) c) f ( f ( )) d) g( g( )) e) f ( f ( )) f) g( g( )) ) Determine a inversa de cada uma das seguintes funções: a) f ( ) 7 7 b) f ( ) 7 c) f ( ) 6 4 d) f ( ) 7 6) A função f ( ), é inversível. Obtenha: a) f ( ) b) O domínio de f ( ) f calcule de modo que g ( f ( ) ) f g( ) 7) Dadas as funções ( ) 4 e g( ), ( ). 8) (ITA-SP) Seja f R R f α f α β, demonstre que α β : a função definida por f ( ) ( ) ( β) a. a b, onde a R * e b R. Se α R, β R e 4

35 Unidade III TRIGONOMETRIA:. Introdução: A Trigonometria é um dos ramos mais antigos da Matemática. A palavra Trigonometria vem de trígono metria, medida de triângulos. Inicialmente vamos recordar o teorema de Pitágoras, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. C Hipotenusa: CB a b a Catetos: AB c e AC b A B Teorema de Pitágoras: a² b² c² c. Trigonometria no Triângulo Retângulo: Em relação a trigonometria em um triangulo retângulo, faremos um resumo para recordação. Seja α a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. O seno de α é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. sen medida do cateto oposto a α α medida da hipotenusa O cosseno de α é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. cos medida do cateto adjacente a α α medida da hipotenusa A tangente de α é a razão entre a medida do cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. t g medida do cateto oposto a α α medida do cateto adjacente a α.. Ângulos de 0, 4 e 60 : Normalmente é apresentado aos alunos no Ensino Fundamental uma tabela apresentando valores de seno, cosseno e tangente de 0, 4 e 6 0, em alguns casos é apresentada a demonstração. No eercício, é solicitada a demonstração desses valores, vamos tentar! Ângulo 0º 4º 60º Seno ½ Cosseno ½ tangente

36 Eercícios de Fiação; ) Demonstre todos os valores da tabela acima: Sugestões: No ângulo de 4, você pode trabalhar com a diagonal de um quadrado; No caso dos ângulos de 0 e 60 você pode trabalha r com a altura de um triângulo eqüilátero. ) Calcular os valores de seno, cosseno e tangente, dos ângulos agudos de um triângulo retângulo onde os catetos medem 6 cm e 8 cm: ) Uma escada medindo m precisa fazer um ângulo de 40 com a parede para que não escorregue. A que distância o pé da escada precisa ficar na parede? 4) Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinação de 0. Sabendo-se que a escada rolante tem metros de comprimento, calcule a altura de um andar para o outro: ) Em um triângulo retângulo o perímetro mede 48 cm e a hipotenusa, 0 cm. Calcule o seno e o cosseno do maior ângulo: 6) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 00m, seguindo uma direção que forma um ângulo de 0 com uma das margens. Calcular a distância percorrida pelo barco para atravessar o rio? 7) Um foguete é lançado a 80 m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60. Determine a altura do foguete após percorrer 4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante: 8) Um helicóptero e um carro de polícia perseguem um carro de bandidos. O helicóptero está a 0 m de altura; o carro de polícia está bem abaio do helicóptero, na horizontal. Do helicóptero o carro de bandidos é avistado segundo um ângulo de 60. Qual a distância entre o carro dos bandidos e da polícia? 9) Uma rampa lisa de 0 metros de comprimento faz um ângulo de 0 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se verticalmente quantos metros em relação ao solo? 6

37 0) Durante uma tempestade, um poste de 9 m de altura quebra-se e, ao cair, forma com o solo um triângulo retângulo. A parte quebrada forma com o solo um ângulo de 0. Qual o comprimento da parte que ficou fia ao solo?. Arcos e Ângulos: Considerando dois pontos A e B em uma circunferência, ela fica dividida em duas partes. Cada uma dessas duas partes que incluem A e B é denominada arco de circunferência AB. Os pontos A e B são chamados etremidades dos arcos. Quando os pontos A e B coincidem, temos então o arco nulo e o arco de uma volta. Consideremos uma circunferência de centro O e os pontos A e B pertencentes a ela. B O A Unindo os pontos A e B ao centro da circunferência, obtemos o ângulo central AÔB. Considerando as mesmas medidas para um arco unitário e seu correspondente ângulo central, temos: med(aôb) med(ab) A C D B Observe que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Os arcos AB e CD possuem a mesma medida porém não tem o mesmo comprimento... Unidades de medidas: Para medirmos arcos usaremos duas unidades de medidas: o grau e o radiano. Grau é um arco unitário igual a da circunferência que contém o arco a ser medido. 60 Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo, cujas definições são: 7

38 60 ( grau igual a 60 minutos) e 60 ( minuto igual a 60 segundos). Radiano é um arco cujo comprimento tem a mesma medida do raio da circunferência que o contém. Como o comprimento da circunferência é.π.r, temos em toda circunferência.π arcos de comprimento r. Como cada arco mede um radiano, concluímos que a medida da circunferência é π rad... Transformação de unidades: Eemplos: Como uma circunferência mede 60 podemos estabelec er a seguinte relação: ) Transforme 0 em radianos: Solução: Se Então : π rad rad π 80. 0π 60 π rad ou 80 π rad 0π 80 π rad. ) Transforme π rad em graus : Solução: Se π rad 80 π 80 Então rad 0 ) Converter a radianos um arco de 8 40 : Se π rad ' " Temos um arco de 8 '40".09'40" 6.740" Logo, podemos estabelecer a seguinte regra de três: " π rad 6.740" rad Então : π 87π π rad

39 ou 0,8 rad considerando π,4..4 Ciclo Trigonométrico: Consideremos uma circunferência qualquer e fiemos nela um ponto A que chamaremos origem dos arcos. Convencionamos que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Logo, temos uma circunferência orientada. Considerando o raio da circunferência como unidade de medida de comprimento, a circunferência orientada passa a ser chamado ciclo trigonométrico. Seja um ciclo trigonométrico, no qual A é a origem dos arcos. Estabeleçamos, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais cujo o centro do ciclo trigonométrico coincide com a origem do sistema cartesiano e o ponto A(,0) seja a origem de todos os arcos. Logo, o plano cartesiano fica dividido em quatro regiões chamadas quadrantes. 90 B º Quadrante º Quadrante 80 0 C A º Quadrante 4º Quadrante 70 D Recordando que 80 equivale a π rad, logo: 0 equivale a 0 rad, 90 equivale a π rad, 70 equivale a π rad e 60 equivale a π rad.. Arcos Trigonométricos: 9

40 Seja 0 a medida de um arco AB em radianos, tal que 0 0 < π. Chamamos arco trigonométrico ao conjunto de números tal que: 0 k. π, onde k Z sendo 0 a ª determinação positiva do arco trigonométrico AP e k o número de voltas. Quando o arco AP ser medido em graus, esses arcos podem ser representados pela epressão: K 60, onde K Z 0. E. Sendo 0 60, temos:. Para k 0, ( ª determinação positiva). Para k, (ª determinação positiva). Para k, (ª determinação positiva). Para k -, 60 (-) ( ª determinação negativa). Para k -, 60 (-) ( ª determinação negativa), e assim sucessivamente. De forma análoga calculamos em radianos..6 Função Seno: Dado R, seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. O seno do arco é a ordenada OP do ponto P. (0, ) P P (, 0) 0 A(, 0) (0, ) Chamamos de função seno a função f: R R, f() sen. OBSERVAÇÕES: ª) D(f) R 40

41 ª) Im(f) [, ] ª) Se º Q ou º Q sen > 0; Se º Q ou 4º Q sen < 0; 4ª) Se º Q ou 4º Q f() sen é crescente; Se º Q ou º Q f() sen é decrescente; º) A função f() sen é periódica e o seu período é π; Se sen OP e k Z, então sen ( k.π) OP GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO: Observando na figura anterior, os pontos A(,0), B(0,), C(-,0), D(0,-) e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos, em correspondência com os pontos acima, os arcos cujas medidas na ª volta, são: π π 0 rad, rad, π rad, rad e π rad. Temos: π sen 0 0, sen, π sen π 0, sen, sen π 0 Observando no plano cartesiano temos: 0 π π 4

42 .7 Função Cosseno: Dado do ponto P. R, seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. O cosseno do arco é a abscissa OP (0, ) P (, 0) 0 P A(, 0) (0, ) Chamamos de função cosseno a função f: R R, f() cos. OBSERVAÇÕES: ª) D(f) R ª) Im(f) [, ] ª) Se º Q ou 4º Q cos > 0; Se º Q ou º Q cos < 0; 4ª) Se º Q ou º Q f() cos é decrescente; Se º Q ou 4º Q f() cos é crescente; º) A função f() cos é periódica e o seu período é π. Se cos OP e k Z, então cos ( k.π) OP. 4

43 .7. - GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO: Observando na figura anterior, os pontos A(,0), B(0,), C(-,0), D(0,-) e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos, em correspondência com os pontos acima, os arcos cujas medidas na ª volta, são: π π 0 rad, rad, π rad, rad e π rad. Temos: π π cos 0, cos 0, cos π, cos 0 e cos π. Observando no plano cartesiano temos: 0 π/ π π/ π 4

44 Eercícios de Fiação: ) Construa o gráfico das seguintes funções: a) b) c) d) e) f ( ). sen f ( ). sen f ( ) sen f ( ) sen f ( ) sen f) f ( ) sen g) f ( ) sen h) f ( ) cos i) f ( ) cos j) f ( ) cos ) Determine o conjunto imagem de cada função acima: ) Determine os valores de K que torna possível a igualdade sen 7K 0 : π 4) Determine o valor de A cos cos, considerando : m ) Determine o valor de m de modo que se tenha cos : m 6) Calcular: a) cos 80 b) sen 80 c) cos 80 d) sen 80 e) cos 94 f) sen 94 44

45 .8 Função Tangente: Dado π R, k.π, k Z, seja P sua imagem no ciclo. Seja a reta t paralela ao eio, pelo ponto A, com a mesma orientação do eio das ordenadas. Consideramos a reta OP e seja T a intersecção da reta OP com a reta t, chamamos tangente do arco a medida algébrica do segmento AT. A reta t é chamada eio das tangentes. t P T tg O A Chamamos função tangente a função f: D R, f() tg, onde D π R k. π, k Z OBSERVAÇÕES: π ª) D(f) { k.π, ª) Im(f) R k Z } ª) Se º Q ou º Q tg > 0; Se º Q ou 4º Q tg < 0. 4ª) A função f() tg é crescente em todos os quadrantes; º) A função f() tg é periódica e o seu período é π. π Se tg AT, para todo real e k. π, temos tg tg ( k.π). 4

46 .8. GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE: Observando o ciclo trigonométrico e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos na ª volta: π π tg 0 tgπ tg(. π ) 0, tg, tg não eiste. Marcando no gráfico os valores conhecidos acima e observando que em todos os quadrantes a função f() tg cresce indefinidamente, temos: 0 π/ π π/ π Observe, como foi citado nas observações que a função f() tg, é crescente em todos os pontos do seu domínio. Vamos, a seguir, deduzir relações trigonométricas envolvendo as funções seno, cosseno e tangente. 46

47 .8. Relações envolvendo Seno, Cosseno e Tangente: Considerando a figura abaio, temos: Q P T O M A Se med (AP) rad, então: sen MP, cos OM tg AT. Como o triângulo OMP é retângulo em M, temos: OP OM MP, e sabemos que, OP OM cos, logo: sen cos. MP sen Como o triângulo OMP é semelhante ao triângulo OAT, temos: OM MP AT cos sen tg. cos sen, logo: tg tg sen cos 47

48 Eemplos: ) Verifique as relações acima são válidas para um ângulo de 60 : Sabemos que sen 60, cos 60 e tg 60, logo: sen sen cos e tg 4 4 cos ) Dado a) cos ; b) tg sen, º Q, determine: cos e tg : a) Como sen cos, temos que: Mas está localizado no º quadrante, portanto: 8 cos ± sen cos ± ± ±. 9 9 cos. b) Como sen tg tg cos 4 cos Observe que se sen cos, podemos escrever: sen ± cos e ± sen. O fato de ser positivo ou negativo irá depender do quadrante em que o arco se encontra. sen Também podemos deduzir que se tg sen cos. tg. Assim como outras cos identidades podem vir a ser deduzidas. 48

49 .9 Função Cotangente: Dado R, k.π, k Z, seja P sua imagem no ciclo. Seja a reta c paralela ao eio das abscissas, pelo ponto B, com a mesma orientação do eio das abscissas. Consideramos a reta OP e seja T a intersecção da reta OP com a reta c, chamamos cotangente do arco a medida algébrica do segmento BT. A reta c é chamada eio das cotangentes. B T c P O Chamamos função cotangente a função f: D R, f() cotg, onde D { R k π, k Z}. ; OBSERVAÇÕES: ª) D(f) { k.π, k Z } ª) Im(f) R ª) Se º Q ou º Q cotg > 0; Se º Q ou 4º Q cotg < 0. 4ª) A função f() cotg é decrescente em todos os quadrantes; º) A função f() cotg é periódica e o seu período é π. Se cotg BT, para todo real e k.π, temos cotg cotg ( k.π). 49

50 .9. Gráfico da Função Cotangente: Observando o ciclo trigonométrico e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos na ª volta: π π cot g cot g 0, cot g 0 cot g π cot g (. π) não eiste. Marcando no gráfico os valores conhecidos acima e observando que em todos os quadrantes a função f ( ) cot g decresce infinitamente, temos: -π/ 0 π/ π π/ Observe, como foi citado nas observações que a função f() cotg, é decrescente em todos os pontos do seu domínio. Vamos, a seguir, deduzir relações trigonométricas envolvendo as funções seno, cosseno, tangente e cotangente..9. Relações envolvendo Seno, Cosseno, Tangente e Cotangente: Considerando a figura abaio, temos: B T 0

51 D P O M A Se med (AP) rad, então: sen MP, cos OM e tg BT. Como o triângulo OBT é semelhante ao triângulo ODP, temos: BT DP OB OD cot g cos cos cot g sen sen Observação: Como tg sen cos e cot g cot g cos sen tg Eemplos: π ) Descubra os valores de cot g, 6 π π cot g e cot g : 4 cot g cot g π π cos 6 6 sen π 6 π π cos 4 4 sen π 4, cot g π π cos sen π : ) Dado sen, ºQ, descubra o valor de cotg : sen cos cos ± ± ± cos.

52 6 cos Como cot g cot g 6 sen.0 Função Secante: Dado π R, k.π, k Z, seja P sua imagem no ciclo. Seja a reta s tangente ao ciclo em P e seja S sua intersecção com eio dos co-senos. Denominamos secante do arco, a medida algébrica do segmento OS. P O S Chamamos função secante a função f: D R, f() sec, onde D OBSERVAÇÕES: π ª) D(f) { k.π, ª) Im(f) R ], [ k Z } π R k. π, k Z ª) Se º Q ou 4º Q sec > 0; Se º Q ou º Q sec < 0. 4ª) Se º Q ou º Q f() sec é crescente; Se º Q ou 4º Q f() sec é decrescente; ª) A função f() sec é periódica e o seu período é π.

53 .0. Gráfico da Função Secante: Observando o ciclo trigonométrico e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos: π π sec 0 sec π, sec π, sec e sec não eiste. -π -π/ 0 π/ π π/.0. Relação envolvendo secante e cosseno: Considerando a figura abaio, temos:

54 P O B S π Dado real, k. π, k Z, temos: º) Se k.π, temos sec cos ; º) Se kπ, a imagem de não coincide com os eios coordenados, então temos: OPS ~ OBP Temos: OS OP sec OP OB cos sec cos Eemplos: π ) Calcule sec, 6 π sec e 4 π sec : Como sec, temos: cos π 6 π sec, sec 4 π e sec. π ) Se cos, º Q, calcule sec : 4 6 Como sec sec 4 ; cos. Função Cossecante: Dado R, k.π, k Z, seja P sua imagem no ciclo. Seja a reta s tangente ao ciclo em P e seja C sua intersecção com eio dos senos. Denominamos cossecante do arco, a medida algébrica do segmento OC. 4

55 C B P O Chamamos função cossecante a função f: D R, f() cossec, onde D { R k. π, k Z} OBSERVAÇÕES: ª) D(f) { k.π, k Z } ª) Im(f) R ], [ ª) Se º Q ou º Q cossec > 0; Se º Q ou 4º Q cossec < 0. 4ª) Se º Q ou º Q f() cossec é crescente; Se º Q ou 4º Q f() cossec é decrescente; ª) A função f() cossec é periódica e o seu período é π... Gráfico da Função Cossecante: Observando o ciclo trigonométrico e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos: cos sec π, π cos sec, cos sec 0, cos sec π, cos secπ não eiste.

56 -π -π/ 0 π/ π π/ π.. Relação envolvendo cossecante e seno: Observando a figura, temos: C B P O Dado real, k.π, k Z, temos: π º) Se k. π, k Z, temos cossec sen ; π º) Se k. π, a imagem de não coincide com os eios coordenados, então temos: 6

57 OPC ~ OBP. Temos: OC OP cos sec OP OB sen cos sec sen Eemplos: π ) Calcule cos sec, 6 π cos sec e 4 π cos sec : π Como cos sec, temos: cos sec sen 6 π, cos sec 4 e π cos sec.: ) Se sen, º Q, calcule cossec : 4 Como cos sec cossec 4 ; sen Eercícios de Fiação: π ) Sabendo que sen e < < π, calcular as demais funções circulares de : ) Calcular sen e cos, sabendo que sen.cos : ) Se sen e está localizado no º quadrante, calcular o valor de : cossec cotg cossec - cotg : k. π 4) Demonstre que para todo real,, valem as igualdades: a) cos tg b) tg sen tg ) Complete os valores: a) cotg 0 b) sec 0 c) cossec 0 7

58 6) Determine o conjunto ao qual m deve pertencer de modo que eista satisfazendo a igualdade: m cos sec : m 7) Determine o sinal das epressões: a) tg 60 sen 60 b) tg 0 tg 0 c) sen 07 séc 07 Eercícios de Auto Avaliação: ) Determine a área do triângulo retângulo ABC, retângulo em C onde AB e B 0 : ) Calcule a área e o perímetro de um triângulo isósceles cuja base tem 0 cm e os ângulos da base medem 0 : ) Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um comprimento máimo de 0 metros, quando é levantada a um ângulo máimo de 70. Sabe se que a base da escada está colocada sobre um caminhão a uma altura de metros do solo. Que altura em relação ao solo esta escada poderá alcançar? 4) Ao meio-dia, sol a pino, um garoto empina pipa. A linha que segura a pipa, bem esticada, forma com o chão um ângulo de 60. Como a sombra da pipa está distante 0 m de onde se encontra o garoto, qual é a altura em que se encontra a pipa nesse instante? ) O piloto de um avião começa a acionar o sistema de descida à altura de 800 m em relação a pista. Sabendo que a direção da linha de rumo do avião na descida para a pista faz um ângulo de 0 com o solo, calcule a distância percorrida pelo avião desde o início desse procedimento até chegar ao solo: 6) Determine a medida em graus de arco correspondente a radiano: 7) Determine a medida em radianos de um arco correspondente a grau: 8) Construa o gráfico das seguintes funções: 8

59 a) f ( ). sen b) f ( ) cos c) f ( ). tg 9) Sabendo que sen, com π < < π, encontre: 4 a) cos b) tg c) cot g d) sec e) cos sec Unidade I -. a. ) RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: B E A F G C D ) a) A B {(,0), (,), (, 0), (, ), (0,0),.(0,),(,0), (,)} b) B A {(0, ), (0, ), (0,0), (0,), (, ), (, ), (,0), (,)} c) A² {(, ), (, ), (,0), (,), (, ), (, ), (, 0), (,), (0, ), (0, ), (0,0), (0,), (, ), (, ), (,0), (,)} d) B² {(0, 0), (0, ), (, 0), (, )} ) Observe que em cada par (, ), e A e B logo: A {0,, } e B {, } 4) O A também pode ter elementos, logo A B pode ter até elementos ( ); 9

60 ) a) ² b) X - (-)² 4 X - (-) - B X - (-)² X - (-) - B X 0 (0)² 0 X 0 (0) X ()² X () X ()² 4 X () B R {(, 4), (, ), (0, 0), (, ), (, 4)} R {(0, ), (, )} 6) Observando que o domínio é formado pelos valores de tais que (, ) R e a imagem pelos valores, tais que (, ) R, temos: a) D(R) {,, 0,, } e Im(R) {0,, 4} b) D(R) {0, } e Im(R) {, } 7) R {(0, ), (0, ), (, ), (, ), (, )} 8) 9) Só é função a relação do eercício Nº item a, pois, o item b do nº não é função, pois temos elementos de A que não tem correspondente em B O nº 7 não função pois temos elementos de A associados a mais de um correspondente em B. Unidade II. e. ) a) b) Im {,,,, 7} 60

61 ) a) f(-) (-)² -. (-) b) f c) f ( ) ( ) ) ) f ( 0 ), f ( ) 0 e f ( ) f ( 0) f ( ) f ( ) 0 ) a) D {,,,..., n} b) Na ª tentativa, n t() t() 4 7 minutos; c) n? 4 n 4n n, n Logo, na ª tentativa o rato gastou 4 minutos. 6) As 0 horas, se passaram horas, logo p() 8; As horas, se passaram horas, logo p() Entre 0 e horas, 8 7 pares. 7) 6 como: A R. Y 8 temos: A R. (8 ) logo: 8 A R 8 ² f ( ) 8 6

62 8) a) Como o denominador não pode ser nulo, temos D D b) D c) D d) D { R / ± } R R { R / 4} f) 0 D R / > { R / } e) Como, nos Reais, não eiste raiz com índice par de número negativo, temos Unidade II. a.6 ) a) Im{ -4} b) Im R c) Im R d) Im R e) Im R ) Como o coeficiente angular é igual a, o ângulo é de 4, pois tg 4. ) Analiticamente, temos: 4 4 Se e 9 4 6

63 Se e. O ponto de intersecção das duas funções é (, ). Graficamente, temos: 4) f ( ) ( K 6) é crescente se a > 0. Logo, K 6 > 0 K >. ) a b; ( 0, ) (, ) a. 0 b b a. b a b a a Logo;. 6) Se forma um ângulo de 4 com o eio das abscissas, o coeficiente angular é igual a tg 4. Então b. Como o ponto (,) pertence a função, temos: b b 4. Logo, 4. Unidade II.7 ) a) b) c) d) 6

64 ) a) Como a < 0, concavidade voltada para baio; b) os pontos de intersecção com o eio das abscissas (eio ), são aqueles pontos onde a ordenada é zero ( 0). Então temos: Temos, - ² Ou ² a b ± X a b² - 4ac b -8 (-8)² - 4..(-9) c Logo; 9 X 8 ±0 Pontos: (9, 0) e (, 0) 8 0 0). c) O ponto de intersecção com o eio das ordenadas (eio ), é o ponto onde a abscissas é zero ( Então, temos: f (0) 0² (0, 9) b d) As coordenadas do vértice são dadas por, a 4a logo, 8 00 v 4 e v 4 e) ; V(4, - ) 64

65 f) Im { R / } g) < 4 ) Duas Raízes Reais e diferentes > 0 Temos: a m - b m b² - 4ac (m )² - 4.(m ).(m) c m 4m² m 9-4m² 4m 9 R.: m > e m Como > 0,vem: 6m 9 > 0 6m > - 9 m > - 6 b a 4) Se a² b c 0 X b ± a b a P. b a b a b b/ b/ 4a b 4a b² ( b² 4ac) b/ ² b/ ² 4ac 4a² 4a² c a ) Seja j o produto de por z. Temos; 8 8 Logo; z (8 ) -² 8 8 Um dos números é 4 e o produto máimo é 4² Então os números são 4 e 4. b 6) 4 b 8a ; pois v 4 (máima) a Se atingiu uma máima, a concavidade está para baio (a < 0) Portanto; b -8a (se a< 0 b > 0) b > 0 a < 0 Logo; a.b <0 item d 6

66 7) Quando a ola atingir o solo, a altura é h 0. -t² 6 0 t² 6 t² t s item b; 8) Raízese a) { R / ou } S - b) Não tem raízes Reais, pois < 0 como a > 0 concavidade para cima S c)raízes S { R / < < } d) Não possui Raízes Reais, pois < 0 S R e) R aízes S R 66

67 Unidade II.8 a.0 ) a) b) c) Im R Im R Im d) * R e) Im R f) Im R ) a) decrescente para < e crescente para > ; b) decrescente para < 0 e crescente para > 0; c) crescente; d) decrescente; e) crescente; f) decrescente. 67

68 ) a) logo; S ou - ou - {, } b) - ou - - logo; ou - - S, c) Não eiste valor de, tal que log o; S φ - d) S { } e) ² - - ² 0 ou S logo; ² ou {,,, 4} ou ² ou - f) Temos 0 - Se ou ( ) log o, (não satisfaz) ou S 68