UFSC Parte 2. Prof. BAIANO

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1 UFSC Parte Prof. BAIANO

2 UFSC. Se f : é a função definida por f( ) = sen, então f() >. rad 6 rad INCORRETO

3 UFSC 4. Na Figura, a reta r é tangente à circunferência λ, de centro no ponto O(,) e raio. Para α = π/6 rad as coordenadas do ponto P são (/ 3, ). Cos α = / OP Cos 3 = / OP 3/ = / OP OP = / 3 CORRETO

4 UFSC 8. O valor numérico da epressão cos36 o + cos7 o + cos8 o + cos44 o é zero. Cos 36 = - Cos 44 Cos 7 = - Cos 8 CORRETO

5 UFSC. O sistema é possível e indeterminado. (-3). +.y +.z = -3 SISTEMA IMPOSSÍVEL S.I. INCORRETO

6 UFSC. O sistema é impossível quando a =.. +.y = SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO S.P.I. INCORRETO

7 UFSC Página 5 8.( ) Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela equação s(t) = 5.cos(π.t + π/), em que t está em segundos e s em metros, então essa função tem período de segundos e seu conjunto imagem é Im = [-, ] P = π/ m P = π/ π P = Im = [ a b, a + b] Im = [ 5, + 5] Im = [ -5, 5] INCORRETO

8 SENINHO E COSSENINHO EU NÃO TENHO CULPA, DE FAZER CURSINHO, TÔ ESTUDANDO PRO VESTIBULAR TRIGONOMETRIA, BEM DO SEU JEITINHO, VOCÊ VAI VER NÃO PRECISA NEM ESTUDAR QUER SABER O QUE EU VOU LHE ENSINAR, SENO E COSSENO VOCÊ VAI AMAR OS DOIS, TEM DOMÍNIO MEU DOCINHO, É REAIS VOCÊ VAI GOSTAR E TEM A IMAGEM UAI, É BOM DEMAIS, NÃO TEM COMO EU ERRAR VAI DE a b até a + b É MACETE NÃO PRECISA NEM PROVAR E TEM O PERÍODO UAI, É BOM DEMAIS, NÃO TEM COMO EU ERRAR É π SOBRE m, O QUE O m FAZ, O ELE VAI MULTIPLICAR PAR, PAR, TODA FUNÇÃO COSSENO É PAR IMPÁR, IMPÁR, QUANDO A FUNÇÃO FOR SENO ELA É ÍMPAR

9 UFSC Página 5 9.( ) A equação sen + cos =, admite 4 soluções no intervalo [, 3π] sen + cos =.sen.cos + cos = cos.(.sen + ) =.sen + = sen = -/ soluções cos = 3 soluções b a INCORRETO

10 UFSC Página 5 5.( ) Sabendo que tg =5 e que π < < 3π, então cos =. 6 6 Dica: perceba que o intervalo correspondente, pertence ao 3 quadrante, onde os valores de cosseno são negativos, logo a questão já estaria errada. Resolvendo a questão, monte um triângulo retângulo, sabendo que tg=5. h 5 h² = 5² + ² h²= 6 h= 6 cos= CA = h = 6 6 = 6 6 Como cosseno no 3 quadrante é negativo. INCORRETO

11 UFSC Página 5 4.( ) Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então o valor numérico do cosseno do maior ângulo agudo é k α 3k É aquele que está oposto ao maior cateto. cosα = CA h = 3k 5k = 3 5 4k CORRETO

12 UFSC 9 Página 8 6.( ) O sistema linear é possível e indeterminado. + y+ z = 3+ 3y+ 3z = y+ 5z = 9 + y+ z = 3+ 3y+ 3z = y+ 5z = 9.(-5).X +.Y +.Z = 4 S.I. S.P.D INCORRETO S.P.I

13 Tá na hora, tá na hora De sistemas estudar Se for S.P.D Uma solução eu vou achar Mas se for S.P.I Infainite vai dar E se for o S.I. Ninguém consegue calcular S.P.D., S.P.I. 3X ÔH, ÔH, ÔH TÁ na HORA, TÁ na HORA Se você for bem tanso você vai se confundir No S.P.D não vai dar zero S.P.I. Todos vão dar No S.I. só o principal, ninguém consegue calcular S.P.D., S.P.I. 3X ÔH, ÔH, ÔH Se você for bem tanso você vai se confundir

14 UFSC 9 Página 8 4. Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre: ( t AB ) = t t A B ( t AB ) = t t A B t Obs. : (AB) = t t B A INCORRETO

15 UFSC 8 As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do nível médio, seja dada, aproimadamente, pela fórmula h(t) = 8 + 4sen(π.t/), em que t é o tempo medido em horas. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).. O valor mínimo atingido pela maré baia é 8 m.. O momento do dia em que ocorre a maré baia é às h. 4. O período de variação da altura da maré é de 4 h. 8. O período do dia em que um navio de m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre e horas.

16 UFSC 8 4. O período de variação da altura da maré é de 4 h. Função: h(t) = 8 + 4sen(π.t/) P = π m π P = π P = π. P = 4 π CORRETO

17 UFSC 8. O valor mínimo atingido pela maré baia é 8 m. INCORRETO Função: h(t) = 8 + 4sen(π.t/) Valor mínimo: h = (-) = 4. O momento do dia em que ocorre a maré baia é às h. eio máimo 8 4 eio médio eio mínimo Período INCORRETO

18 UFSC 8 8. O período do dia em que um navio de m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre e horas. h(t) = sen(π.t/ ) = sen(π.t/ ) = 4.sen(π.t/ ) / = sen(π.t/ ) 5π/6 π/ π.t/ = π/6 t = π.t/ = 5π/6 t = CORRETO Gabarito:

19 UFSC 8-7 Considere as matrizes: A = y -, B = y e C = - 6 3, onde, y e z z z variam no conjunto dos números reais. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).. Para z= eiste uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C. X = A matriz A admite inversa se e somente se yz. y - 4. A matriz transposta de B é B t =. 8. Se A.B = C, então + y + z = 5

20 UFSC 8. Para z= eiste uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C. X = C = C = X = y z 3 3 C. X = y = y y = -.+.y. = = 7.+.y = ()+.y = 64.y = -6 y = -3-6.()+3.(-3) = = = -69 X = OK! - 3 CORRETO

21 UFSC 8. A matriz A admite inversa se e somente se yz. A = y - z Uma matriz admite inversa se, e somente se o determinante é diferente de zero. y - + yz z yz - y - CORRETO

22 UFSC 8 4. A matriz transposta de B é B t = y -. B = - y B t = - y Matriz Transposta: Quem é linha vira coluna e quem é coluna vira linha INCORRETO

23 UFSC 8 8. Se A.B = C, então + y + z = 5. A = y - z y - z - y = z = y = 3 B = - y (-)+.y y.(-)+(-).y+. y.+(-).+. = (-)+z.y+..+z.+. z z = +y+z = 6 C = z.y+ -y y = z.y z - INCORRETO Gabarito: 3

24 UFSC 7 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S)..Se <π, então as raízes da equação cos - sen = - são e π. 4. Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no quadro-negro: Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação de θ graus para vencer um desnível de 4m. Qual será o comprimento da rampa? Mas, o professor já havia apagado os valores de sen θ e cos θ, restando apenas tg θ = /5. Eugênio usou seus conhecimentos de trigonometria e determinou que o comprimento da rampa é m. 8. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, de R em R, dada por f() = sen(/4). FIGURA 6. A figura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha que vai ser usada nessa construção necessita de um ângulo de inclinação de 3 para o telhado. Portanto, a altura do telhado para se obter a inclinação desejada é de metros o 8 m

25 UFSC 7 PÁGINA 3 5.( ) Se <π, então as raízes da equação cos - sen = - são e π. cos sen = - π/ (-sen ) sen = - - sen = - sen = sen = sen = ± 3π/ OBS: A questão poderia ser resolvida usando a fórmula do arco duplo do cosseno: cos = cos sen INCORRETO

26 UFSC 7 Página 4 7.( ) Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no quadro-negro: Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação de θ graus para vencer um desnível de 4m. Qual será o comprimento da rampa? Mas, o professor já havia apagado os valores de sen θ e cos θ, restando apenas tg θ = /5. Eugênio usou seus conhecimentos de trigonometria e determinou que o comprimento da rampa é m. 4 y tgθ = 5 θ S O H C A H T O A tgθ = 5 = cat.op. cat.adj. = 4 = O comprimento da rampa é a hipotenusa do triângulo. A hipotenusa é sempre o maior lado. Como um dos catetos já mede a hipotenusa não pode ser. INCORRETO

27 UFSC 7 Página 4 8. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, de R em R, dada por f() = sen(/4). FIGURA f() =.sen(/4) Eios máimo e mínimo: Maior valor do seno(): y Seninho começa do meinho f() =. = Menor valor do seno(-) 8π f() =.(-) = - P = π m π = = 8π 4 - CORRETO

28 UFSC 7 página 4 6.( ) A figura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha que vai ser usada nessa construção necessita de um ângulo de inclinação de 3 para o telhado. Portanto, a altura do telhado para se obter a inclinação desejada é 4de 3 3 metros. S O H C A H T O A tg3 o 3 3 = = = cat.op. cat.adj o m CORRETO

29 UFSC 6 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).. Se K = (k ij ) é uma matriz quadrada de ordem dada por K ij = i+j para i<j e K ij = i² + para i j, então K é uma matriz inversível. A = a a a a = det A = 8 = - 7 Logo, A é inversível. CORRETO

30 UFSC 6. Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula. A.B = O A.B = O A. B = O A = ou B = O INCORRETO

31 UFSC 6 4. Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 57 e 75. Se R = M.P, então a matriz R² tem 65 elementos. M 5 7. P 7 5 = R 5 5 R = R 5 5.R 5 5 terá como resultado uma matriz 5 5, portanto com 5 elementos. INCORRETO

32 UFSC 6 8. Chamamos traço de L e anotamos tr(l) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(l) = tr(l t ). Quando calculamos a transposta de uma matriz quadrada, a diagonal principal não se altera. Observe o eemplo: a d g b e h c f i a b c d e f g h i CORRETO tr(l) = a + e + i tr(l t ) = a + e + i

33 UFSC 6 página 3 9) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S)..( ) Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a 3m de uma parede plana evertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede e esta sombra tem 7m de altura. Se a altura do poste é de m, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é de 45º. Resolução : CORRETO

34 UFSC 6 Página 3 3.( ) Se sen(a) = /3, então sen (5π + a) sen (88π - a) = / sen a (- sen a) = /3 /3 INCORRETO 4.( ) Os gráficos das funções f() = sen(4) e g () = -/3 + π /4 têm eatamente 3 pontos em comum, para no intervalo (, π /). π/4=,75 -,5 - π/ g(π/) = -. (π ) + π/4 3 g(π/) = - +,75 = -,5 CORRETO

35 UFSC 6 Página 3.( ) Para ser verdadeira a desigualdade tg().sec() <, deve estar localizado no segundo ou no quarto quadrante. Resolução : sen. cos sen cos cos < < o Sen <, logo é um ângulo do 3 ou 4 INCORRETO

36 UFSC 5 Página 8 9) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).. O par ordenado (, y) = (5, ) é a única solução do sistema Única solução S.P.D P = 3 ΔP = 6 6 = 6 ΔP INCORRETO 3 X + Y = 9 3X + 6Y = 7 = = 6 = = S.P.D S.P.I S.I.

37 UFSC 5. A matriz A = (a ij ) 3, tal que a ij = i 3j é A = [- -5-8]. A = (a ij ) 3 A = (a a a 3 ) Sendo aij = i 3j, tem-se: a = () 3 () a = - a = () - 3 () a = - 5 A3 = () 3 (3) a3 = - 8 Portanto A = [ ] CORRETO

38 UFSC 5 4. A soma dos elementos da inversa da matriz é igual a. A - = A = + + = INCORRETO

39 UFSC 5 8. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A t = -A, sendo A t a transposta da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a matriz é anti-simétrica. INCORRETO t A t A Como A t - A Não é anti-simétrica Como A t = A Matriz simétrica

40 UFSC 5 6. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que P.Q R seja uma matriz nula, o valor de deve ser. A = 3 B = C = D = As matrizes dadas possuem as seguintes ordens A 3 B X C X3 D X Para fazer P.Q R, devemos tomar na ordem as matrizes : P (X3). Q (3) - R (X) P =C Q = A R = D

41 UFSC 5 Para fazer P.Q R : = (8 + ) ( + + ) = 4 = 4 = CORRETO =

42 UFSC 5 3. A e B são matrizes quadradas de ordem tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(a) = 5det(B), sendo que det(a) e det(b) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B. Aplicando determinante aos dois lados da igualdade A = 5B, vem que: det(a) = det(5b) det(a) = 5.5 det(b) det(a) = 5 det (B). INCORRETO

43 UFSC 4 6) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S) A matriz não possui inversa. Como A - = / A para afirmar que uma matriz não possui inversa, basta mostrar que o seu determinante é nulo. Observando que a terceira linha da matriz é a soma da primeira com a segunda, que nos garante que o seu determinante é nulo. (combinação linear) CORRETO. Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele. X = /. +.y +.z = Se um sistema de equações é indeterminado, então ele possui infinitas soluções. INCORRETO

44 UFSC 4 4. Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por, y, z. As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela abaio. Então, os preços dos produtos, y e z só podem ser, respectivamente, R$.,, R$ 5.,, R$ 3.,.

45 A tabela pode ser representada por um sistema linear Como o teto diz que os valores só podem ser os mencionados, teríamos uma única solução, tornando o sistema S.P.D, logo ΔP, verificando : y + 3. z = y +. z = 5 P = y + 5. z = Como a terceira linha é a soma da primeira com a segunda (combinação linear) o determinante será nulo, não podendo possuir uma única solução e como a coluna dos termos independentes também possui combinação linear todas os determinantes calculados dariam zero tornando o sistema S.P.I, logo com infinitas soluções. INCORRETO

46 UFSC 4 8. A solução da equação = é = = = = CORRETO

47 UFSC 4 3) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).. O valor de sen 9π/ é. Sen 9π/ = sen π/ = 9π/ 4π/ π/ CORRETO. O gráfico da função g() = In ² é simétrico em relação ao eio das ordenadas. Simetria em relação ao eio das ordenadas indica que a função é par, ou seja, g() = g(-): g() = ln e g(-) = ln (-) = ln CORRETO

48 UFSC 4 4. Para todo arco para o qual as epressões cos /( + tg ) e /(sen + cos ) podem ser calculadas, elas fornecem o mesmo valor. cos ( + tg) = cos sen ( + ) cos = cos cos + cos sen cos = cos + sen coscos + sen sen + cos INCORRETO

49 UFSC 4 8. Para todo arco vale sen ² + cos ² = e sen + cos e pode ocorrer sen + cos =. Resolução : sen ² + cos ² = (relação fundamental) sen + cos sen +. sen. cos + cos. sen. cos sen.cos sen + cos = sen 35 + cos 35 = SENX COSX SENX COS X <<SENX + COS X Sen + Cos > CORRETO

50 UFSC 4 6. A imagem da função y = 3.cos é o intervalo [-3,3]. Resolução : Y = a + b.cos(m. + n) Im = [ a b, a + b ] Im = [ 3, + 3 ] Im = [- 3, 3 ] CORRETO

51 UFSC 3 8) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).. O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem é 48. Se A é quadrada de ordem (A ), então ela terá = 44 elementos. INCORRETO. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem. O produto de duas matrizes, A e B, será possível quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. INCORRETO

52 UFSC 3 X X X 4. A soma das raízes da equação = é 8. 4 X X 4 4 X ³ + 4² + 6 4² 4² 4² = ³ 8² + 6 = (² 8 + 6) = = ou ² = = 8 CORRETO

53 UFSC 3 8. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas. A matriz quadrada pode não ter inversa (det A = ) e, se possuir inversa, ela será única. A. A - = I 3 y = + y = INCORRETO 6. O sistema é indeterminado. 3 S.P.I ΔP = ΔP = O ΔP = 3 + ΔP = 5 ΔP O INCORRETO S.P.D S.P.D S.P.I S.I. 3 = =

54 UFSC 3 Questão Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).. Sen para todo Є [,π/ ]. Representando y = sen no plano cartesiano Representando y = no plano cartesiano temos sen, para Є [,π/ ] π/ CORRETO π/ π π -

55 UFSC 3. Sen + cos para todo Є [,π/ ]. Sen + cos (Sen + cos ) () Sen +.sen.cos + cos.sen.cos Sen, como Є [,π/ ] COSX SENX CORRETO SENX COS X <<SENX + COS X Sen + Cos >

56 UFSC 3 4. Para qualquer arco pertencente à interseção dos domínios das funções trigonométricas vale a igualdade cosec /cotg = sec. cosec cot g = sen cos = = sec cos sen CORRETO

57 UFSC 3 8. Os gráficos das funções f () = sen e f () = 5sen se interceptam numa infinidade de pontos. f () = sen f () = 5.sen Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que se interceptam em infinitos pontos: 5 - π π 3π -5 CORRETO

58 UFSC 3 6. Os gráficos das funções g () = cos e g () = 3 + cos não possuem ponto em comum. g () = cos Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que nunca se interceptam : 4 3 g () = 3 + cos - π π 3π CORRETO

59 UFSC 3 3. Os gráficos das funções h () = sen e h () = sen (+) se interceptam numa infinidade de pontos. h () = sen h() = sen (+) Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que se interceptam em infinitos pontos: π π 3π - CORRETO

60 FIQUEM COM DEUS