2a Lista de Exercícios. f (x), se x a g (x), se x < a. x 3 x, x 0, se x = 0. 1, se x 1 x 2 4 x 4, se x 1

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1 UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Eatas Departamento de Matemática Prof. José Carlos Eidam MA/PROFMAT - Fundamentos de Cálculo a Lista de Eercícios Derivadas. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, a I e h() = { f (), se a g (), se < a. Prove que h é derivável em = a se, e somente se, f (a) = g (a) e f (a) = g (a). { a + b + c, se <. Encontre constantes a, b e c tais que a função f () = 5 + 6, se seja derivável em R e f (0) = Verifique se f é contínua e derivável no ponto 0, sendo: ( + )cos (a) f () =, se 0 3, se >, 0 = 0 (b) f () =, 0 = 0, se = 0, se + sen, se > 0 4 (c) f () = , se < 0, 0 = 0 (d) f () = 5 5, se >, 0 = 0, se = 0 4, se sen (e) f () =, se 0 sen, 0 = 0 (f) f () =, se 0, 0, se = 0 0 = 0 0, se = 0 sen, se 0 sen( ) (g) f () =, 0 = 0 (h) f () =, se = 0 +, se 0 4, 0 = 0 0, se = 0 (i) f () = sen, 0 = 0 j) f () = sen( 5 ), 0 = 0 k) f () = cos( ), 0 = 0 tg[(3 + ) ] tg9 4. Calcule lim Calcule f () para as funções f abaio: ) f () = + ) f () = (3 + ) ) f () = + ( 3 + ) 00 4) f () = sen ( 3 5 ) cos 5) f () = ( 4 + tg + ) 6) f () = 6 tg

2 + cossec 7) f () = ) f () = sec ( + ) 9) f () = tg( 3 ) sec ( + λ)4 0) f () = sen cos ) f () = 4 + λ 4 ) f () = sen( sen ) 3) f () = ( ) 4) f () = cotg(3 + 5) 5) f () = + 3 sen 33 cos 7 3 sen 6) f () = cos( ) 6. Seja f : R R contínua em R tal que f () 3 +, para todo R. A função f é derivável em 0? 7. Seja f : R R derivável em a ]0,+ [. Calcule, em termos de f f () f (a) (a), o limite: lim. a a 8. Discuta as seguintes soluções para a questão Considere a função f () =. Decida se f é derivável em = 0 e, em caso afirmativo, calcule f (0). Justifique suas afirmações. Solução : f (0) = 0, pois f (0) = 0. Solução : Como a função g () = não é derivável em = 0, não é possível usar a regra do produto para derivar f em = 0. Logo f não é derivável em = 0. Solução 3 : Temos f () = h()g (), onde h() = e g () =. Assim: como g (0) = 0 e h(0) = 0 então f (0) = 0. {, se < 0 Solução 4 : Temos f () =, se 0. Logo e f (0) = h (0)g (0) + h(0)g (0); f () f (0) 0 lim lim = lim = 0, 0 + f () f (0) 0 lim = lim f () f (0) Portanto lim = 0, ou seja f (0) = Em que pontos f é derivável? (a) f () = (b) f () = + 4. = lim = Seja f : R R derivável em = 0 tal que f (0) = f (0) = 0. Seja g : R R uma função limitada e não derivável em = 0. Calcule a derivada de h() = f () g () no ponto = 0.. Seja f () = 3 3 sen( 3 ). (a) Calcule f (3). (b) Calcule f (0). (5 + f ())( + 3sec ) (c) Seja g () =, onde f é a função dada acima. Calcule g (0). + tg + 4

3 . Mostrar que a reta y = é tangente à curva y = Encontre o ponto de tangência. 3. Determine todos os pontos ( 0, y 0 ) sobre a curva y = tais que a tangente à curva em ( 0, y 0 ) seja paralela à reta 6 y + 5 = Seja f () = 3 +. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (0,0). 5. Sejam f : R R uma função derivável até a ordem e g : R R dada por g () = f ( + + sen). Calcule g (). Supondo f () =, calcule g (0). 6. Seja f () = 3. Calcule f (), para todo R. A função f é derivável no ponto 0 = 0? Justifique. 7. Sabe-se que f : R R é uma função derivável em R e que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 3 é + y = 6. Seja g : R R dada por g () = (f ( )). Determine g (0). 8. Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a (a 0) tem como intersecção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas. 9. Seja y = f () uma função dada implicitamente pela equação = y 3 ( y). Admitindo f derivável, determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto (,). 0. Seja y = f () uma função dada implicitamente pela equação + y + y = 3. Admitindo f derivável, determine as possíveis retas tangentes ao gráfico de f que são normais à reta y + = 0.. Seja f derivável num intervalo aberto I contendo = e tal que (f ()) 3 (f ()) + f () =, para todo I. Encontre f ( ) e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, f ( )).. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa f seja também derivável. Use derivação implícita para mostrar que (f ) () = f (f ()) desde que o denominador não seja nulo. 3. Usando o eercício anterior, encontre (f ) (5) sabendo que f (4) = 5 e que f (4) = Calcule a derivada de cada uma das funções abaio: (a) f () = cos(arctg ) (b) f () = arctg (c) f () = arcsen( ) (d) f () = ( + arctg ) 3 tg (3) (e) f () = (f) f () = arctg( arctg(3) + ) (g) f () = arcsen (h) f () = arctg( ) (i) f () = arcsen Taas relacionadas 5. (Epansão Adiabática) Quando certo gás composto sofre uma epansão adiabática, a sua pressão p e seu volume V satisfazem à equação p V,3 = k, onde k é uma constante. Mostre que V dp dv =,3 p dt dt. 3

4 6. De um petroleiro quebrado vaza um grande volume V de óleo num mar calmo. Após a turbulência inicial ter acabado, o petróleo se epande num contorno circular de raio r e espessura uniforme h, onde r cresce e h de cresce de um modo determinado pela viscosidade e flutuabilidade do óleo. Eperiências de laboratório sugerem que a espessura é inversamente proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido: h = c. Mostre que a taa dr com que o petróleo se epande é inversamente proporcional t dt a t 3/4. 7. Num certo instante t 0, a altura de um triângulo cresce à razão de cm/min e sua área aumenta à razão de cm /min. No instante t 0, sabendo que sua altura é 0 cm e sua área é 00 cm, qual a taa de variação da base do triângulo? 8. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte é de, m, a taa de variação com que a areia é despejada é de 0,08m 3 /min. Qual a taa de variação da altura do monte neste instante? 9. A aresta de um cubo cresce ao longo do tempo. Num certo instante t 0, o seu volume cresce a uma taa de 0cm 3 /min. Sabendo que, neste instante, a aresta do cubo mede 30cm, qual é a taa de variação da área da superfície do cubo? 30. Uma lâmpada está no solo a 5m de um edifício. Um homem de,8m de altura anda a partir da luz em direção ao edifício a,m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele está a m do edifício e quando ele está a 9m do edifício. 3. Uma tina de água tem 0 m de comprimento e uma seção transversal com a forma de um trapézio isósceles com 30 cm de comprimento na base, 80cm de etensão no topo e 50 cm de altura. Se a tina for preenchida com água a uma taa de 0, m 3 /min, quão rápido estará subindo o nível da água quando ela estiver a 30 cm de profundidade? 3. Uma câmera de televisão está posicionada a pés de uma base de lançamento de foguete. O ângulo de elevação da câmera deve variar a uma taa que possa focalizar o foguete. O mecanismo de foco da câmera também deve levar em conta o aumento da distância entre a câmera e o foguete. Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com uma velocidade de 600 pés/s quando já tiver subido pés. Quão rápido está variando a distância da câmera ao foguete nesse momento? Se a câmera de televisão apontar sempre na direção ao foguete, quão rápido estará variando o ângulo de elevação dela nesse mesmo momento? 33. (Escada deslizante) Uma escada de 5 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taa de pés por segundo. (a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baio nesse instante? (b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede. (c) Calcule a taa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede. Teoremas do valor intermediário e do valor médio 34. Seja h() = + cos. 4

5 (a) Mostre que h é bijetora. (b) Calcule h (). (c) Admitindo h derivável, determine (h ) (). 35. Seja f () = e, > 0. (a) Mostre que a equação e = y admite uma única solução para qualquer y R. Conclua que f admite inversa. (b) Seja g a inversa de f. Mostre que g () g (y) y, para quaisquer, y R. 36. Seja f () = tg + 3, π/ < < π/. (a) Mostre que a equação tg + 3 = y admite uma única solução para qualquer y R. Conclua que f admite inversa. (b) Seja g a inversa de f. Mostre que g () g (y) y, para quaisquer, y R. 37. Seja f () = , R. (a) Mostre que f é inversível e sobrejetora. (b) Calcule f em termos de f. (c) Se g : R R é a inversa de f, mostre que g () g (y) 7 y para quaisquer, y R. 38. Seja f () = , g a sua inversa e a,b R com a < b. Mostre que g (b) g (a) (b a). 39. Seja f () = Prove que f () tem duas raízes distintas no intervalo ],[. 40. Use o teorema do valor médio para provar as seguintes desigualdades: (a) sen b sen a b a, para todos a,b R. (b) a b a b, para todos a,b R, com a e b. (c) ln a a b, para todos a,b R, com a e b. b (d) b b a a > a a (b a), para todos a,b R com a < b. (e) e e y y, para todos, y com y Seja f uma função derivável no intervalo ],+ [. Mostre que se f (0) = 0 e 0 < f (), para todo > 0, então 0 < f (), para todos > Mostre que f () = ( + ) / é estritamente decrescente para > 0. Conclua que ( + π) e < ( + e) π. 43. Prove as seguintes desigualdades: 5

6 (a) > 3, para todo > (b) e π > π e (c) tg b tg a > b a para 0 < a < b < π (d) 3 3! < sen < 3 3! + 5 5!, para > 0 (e) + < +, para > 0 (f) arctg > ln( + ), para > 0 (g) e > + para > 0 (h) e > + + para > 0 (i) n n( ) para 44. Mostre que a equação = 0 admite uma única raiz real e tente localizá-la. 45. Mostre que a equação = 0 admite três raízes reais e tente localizá-las. 46. Determine os possíveis valores de a para os quais a equação admite uma única raiz real a = Mostre que a equação 3 + cos( π ) = 0 tem eatamente uma raiz real. 48. Seja f derivável em R e seja g dada por g () = f (), 0. Suponha que 0 é ponto de máimo local de g. Prove que 0 f ( 0 ) f ( 0 ) = 0. Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 passa pela origem. 49. Seja f () um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de infleão, que é a média aritmética das três raízes. 50. Sejam f : R R derivável e a,b R tais que f (a) = f (b) = 0. Mostre que se f (a)f (b) > 0, então eiste c entre a e b tal que f (c) = Para que valores de k a equação = k tem três raízes reais distintas? 5. Prove que se p é um polinômio, a equação e p() = 0 não pode ter infinitas soluções reais. (Sugestão: Divida por n para um certo n suficientemente grande.) 53. Seja f : R R derivável e com um único ponto crítico 0. Prove que se 0 for ponto de mínimo (máimo) local de f, então 0 será o único ponto de mínimo (máimo) global de f. 54. Mostre que ( ) (a) arcsen = arctg( ) π para qualquer R. + (b) arcsen = arcsen( ), < < 6

7 ( ) a 55. Seja a R tal que lim = 4. Determine a. a + Funções eponencial e logarítmica 56. Suponha que você receba as duas propostas abaio para trabalhar por um mês: A. Você recebe milhão de reais no final do período. B. Você recebe centavo no primeiro dia, centavos no segundo dia, 4 centavos no terceiro dia, e, em geral, n centavos no n-ésimo dia. Qual delas é mais lucrativa? 57. Calcule a derivada de cada uma das funções abaio: (a) cosh = (e + e ) (b) sinh = (e e ) (c) f () = e e (d) f () = e + e (e) f () = e / + (f) f () = ln(e + ) e (g) f () = (ln ) + ( + 3 ) (h) f () = ln ( + + ) (i) f () = π + π (j) f () = + 3 (k) f () = ln(arctg ) (l) f () = ( + cos ) sen (m) f () = (e + 3) arcsen( ) (n) f () = (3 + cos ) tg( ) (o) f () = ln(3 + 3 ) + e cos (p) f () = ( + ) sen(5 ) (q) f () = ( + arctg ) /4 (r) f () = e arctg + (s) f () = ln (t) f () = ln( +) (u) f () = ( sen ) Calcule, caso eista ln( ) ln 00 ln (a) lim (b) lim tg(π) 5 (c) lim 0 + cotg (d) lim (ln ln e )( ) (e) lim + e (f) lim ( e α ) ( (g) lim α ln, α > 0 (h) lim sen (i) lim cos ) [ (j) lim 0 ln( + ) ] e (k) lim ( sen )tg (l) lim (e + 3) / 0 + [ ] 0 ) (m) lim 0 + tg( (n) lim ln arctg( ) (o) lim 0 ln( + 3 ) ln( + ) (p) lim 0 arctg (s) lim (tg sec sec ) (t) lim π + (v) lim 0 + (sen )/ln (w) lim (q) lim 0 ( + sen) /sen sen + (r) lim 0 e + e ( + 3)/ln ln/(+ln ) (u) lim [ ln( + 3) +4 ln( + ) +4] () lim ( cos )/ No seu livro de Cálculo de 696, l Hospital ilustrou sua regra com o limite da função a 3 4 a 3 a f () = a 4 a 3 quando a, a > 0. Calcule este limite. 7

8 Funções hiperbólicas 60. Mostre que a função sinh = e e é inversível e sua inversa é dada por arcsinh = ln( + + ), R. Encontre as inversas das demais funções hiperbólicas e também suas derivadas. 6. Mostre que cosh sinh =, sech = tanh e coth = + csch, para todo R. 6. Mostre que cosh(+y) = sinh sinh y +cosh cosh y e sinh(+y) = cosh sinh y +cosh y sinh,, y R. 63. Esboce os gráficos de todas as funções hiperbólicas e de suas inversas. Máimos e mínimos 64. Encontre a R para que f () = + a tenha: (a) um mínimo local em =. (b) um mínimo local em = 3. (c) Mostre que f não terá máimo local para nenhum valor de a. 65. (a) Esboce o gráfico de f () = e. (b) Determine, em função de k, o número de soluções reais da equação ke =. 66. (a) Ache o ponto de mínimo de f () = e (b) Prove que ea+b ab e, para todos a > 0 e b > 0. no intervalo ]0,+ [. 67. Seja f uma função. Se eistir uma reta y = m + n tal que lim [f () (m + n)] = 0, dizemos que y = m + n é uma assíntota para f. Prove que a reta y = m + n é uma assíntota para f se, e somente f () se, lim = m e lim (f () m) = n. (Tudo o que dissemos para + vale também para.) 68. Esboce o gráfico das funções abaio e dê as equações das assíntotas, quando eistirem. (a) f () = (b) f () = 3 (c) f () = + (d) f () = 3 3 (e) f () = + (f) f () = (3 6 4 )e (g) f () = 3 3 (h) f () = e e 3 (i) f () = 3ln (j) f () = ln (k) f () = 3 ( ) (l) f () = (m) f () = ln() ln(3 + 3) (n) f () = (p) f () = 3 + (s) f () = ln ( )3 (o) f () = (q) f () = arctg(ln ) (r) f () = 3 + (t) f () = e (v) f () = (w) f () = (u) f () = ln () f () = 3

9 69. Achar os valores mínimo e máimo de: (a) f () = sen cos, [0,π] (b) f () = 3 + 3, (c) f () = + ln, 4 (d) f () = 3 3, (e) f () = 4 3, 0 3 (f) f () = , 3 (g) f () = , (h) f () = , Para que números positivos a a curva y = a corta a reta y =? 7. Seja f : R R uma função derivável e seja a R fiado. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (a) Se f () > 0, para todo > a, então lim f () = +. (b) Se f é derivável até segunda ordem com f () > 0 e f () > 0, para todo > a, então (c) Se lim f () = 0 então lim f () = L R. lim f () = +. (d) Se eiste uma assíntota para f (quando + ) com coeficiente angular m e se eiste (e) Se então L = m. lim f () = L, lim f () = m R, m 0 então f tem uma assíntota com coeficiente angular igual a m. Respostas () a = 3/, b = 0 e c = 7/; () (a), (c), (e), (f), (g), (h), (i), (j), (k) são contínuas em 0 ; (f), (g), (j) são deriváveis em 0 ; (3) 6sec 9; (5) Sim; (6) a f (a); (7) Somente (4) está correta; (8) (a) em todos os 7 pontos; (b) em 0 0; (9) 0; (5) (a) 3 3 sen( 3 3) cos( 3 3).; (b) ; (c) 8 ; () (3, 3); () (, 3), y = 6 + 3; (0,7), y = 6 + 7; (,9), y = 6 + 3; (3) y = 9, y = ; (4) ; (5) Não; (6) ; (8) y = ; (9) y + = ; y + = ; (0) ; + 7y = 0; (6),6; (7) 40π m/min; (8) 4 3 cm /min; (9) 3,6m/s; 0,9m/s; (30) 0 3 cm/min; (3) 360 pes/s; 0,096 rad/s; (3) (a) 7 57 pes/s; (b) 4 pes /s; (c) rad/s. (34) (b) 0; (c) ; (46) a > 5 ou a < 7; (5) 4 < k < 5; (55) a = /ln; (56) B; 9

10 (58) (a) 0; (b) 0; (c) 0; (d) ; (e) 0; (f) 0; (g) 0; (h) α; (i) 6 ; (j) ; (k) ; (l) e4 ; (m) ; (n) + ; (o) 3 ; (p) ; (q) e ; (r) 3; (s) 6a ; (t) ; (u) e; (v) e; (w) ; () + ; (59) ; (64) (a) a = 6; (b) a = 54; 9 (65) Não há soluções se k < 0; tem solução se k = 0 ou k > 4 e ; tem soluções se k = 4 ; tem 3 soluções e se 0 < k < 4 e. (66) (a) 0 = ; (69) (a), ; (b) (h) f ( 3), f ( ); (70) a e e ; (7) (b) e (d) são verdadeiras e (a), (c), (e) são falsas , ; (c) 4, ; (d) 3 3, 0; (e) 0, 7; (f) 87/4, 7; (g) 7, 0; 0