Derivada de funções na forma paramétrica

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1 Derivada de funções na forma paramétrica Sejam ( t) y y( t) (1) duas funções da mesma variável t [a,b]. Tomando e y como as coordenadas de um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t, corresponde um ponto do plano y. Se as funções = (t) e y = y(t) são contínuas quando t varia de a a b, o ponto P((t), y(t)) descreve uma curva no plano. As equações dadas em (1) são chamadas equações paramétricas da curva e t é chamado parâmetro. Eemplo: Esboce a trajetória de uma partícula que se move no plano y, no intervalo de 1 3 t 2t 3 tempo 0 t 4 cujas coordenadas são dadas por: 1 2 y t 3 y Supondo que a função = (t) admite uma inversa t = t(), podemos escrever y = y(t) = y(t()). Neste caso, dizemos que as equações dadas em (1) definem y como uma função de na forma paramétrica. Eliminando o parâmetro t nas equações (1), podemos obter y = y() na forma analítica usual. Eemplo: As equações 2t 1 y 4t 3 definem uma função y() na forma paramétrica? 32

2 Muitas curvas importantes costumam ser representadas na forma paramétrica. Eemplo: 3cos( t) y 3sen( t) t [0,2π] y Quando t varia de 0 a 2 a função (t) = 3cos(t) não admite inversa, uma vez que não é bijetora neste intervalo. No entanto, podemos restringir o domínio desta função convenientemente, a fim de obter uma inversa t = t(). Por eemplo, quando t [0, ], a equação apresentada no eemplo define a função y 2 9 e quando t [, 2], a equação define a função y 2 9. Eemplo: 3cos( t) y 2sen( t) t [0,2π] y 33

3 As equações deste eemplo não representam uma função y = f () na forma paramétrica, uma vez que a função (t) = 3cos(t) não admite inversa em [0,2]. Se 3cos( t) t [0, /2], as equações t [0,2π] definem a função y = f () na forma y 2sen( t) paramétrica. y Derivada da função na forma paramétrica ( t) Seja y = f () dada na forma paramétrica por: t [ a, b]. Se as funções y y( t) y = y(t), = (t) e t = t() são deriváveis e = (t) admite inversa t = t(), podemos ver a função y = y() como uma função composta: Aplicando a regra da cadeia: y = y( t ) = y( t( )) y'() = y' (t)t'() 1 y'(t) '(t) y'(t) '(t) Eemplo: Calcule a derivada das funções y() definidas na forma paramétrica por: a. 2t 1 y 4t 3 b. 3t 1 2 y 9t 6t 34

4 c. 3 4cos t 3 y 4sen t y 35

5 Regra de L Hôpital f ( ) Se f () e g() são duas funções contínuas e f(a ) = g(a) = 0, então lim a g( ) não pode ser encontrado com a substituição = a. Muitas vezes, limites deste tipo podem ser calculados por cancelamento, rearranjo de termos ou outros tipos de manipulações algébricas. Outras vezes, não é possível seu cálculo através dos métodos vistos anteriormente. f ( ) Em geral, se tivermos um limite da forma lim em que f()0 e g()0 a g ( ) quando a, então esse limite pode não eistir e é chamado forma indeterminada do tipo 0 0. Outra situação na qual um limite não é óbvio ocorre quando procuramos uma ln assíntota horizontal de F e precisamos calcular o limite: lim 1 1 f ( ) Em geral, se tivermos um limite da forma lim em que f() e g() a g ( ) quando a, então esse limite pode não eistir e é chamado forma indeterminada do tipo. A Regra de L Hôpital, é um método geral para o cálculo de limites que envolvem formas indeterminadas, mesmo quando não é possível o cálculo do limite através de manipulações algébricas. Regra de L Hôpital Sejam f e g funções diferenciáveis e g () 0 próimo a a (eceto possivelmente em a). f '( ) f ( ) f '( ) (i) Se lim f ( ) lim g( ) 0 e lim L, então lim lim L. a a a g'( ) a g( ) a g'( ) f '( ) f ( ) f '( ) (ii) Se lim f ( ) lim g( ) e lim L, então lim lim L. a a a g'( ) a g( ) a g'( ) OBS: A Regra de L Hôpital também válida para limites laterais e e para limites no infinito ou infinito negativo (a +, a -, ou - ). Eemplos: a. ln lim 1 1 sen( ) b. lim 0 a 1 c. lim 0 36

6 1 ln d. lim e. f. e 1 lim 3. 4 lim Produtos indeterminados Se lim f ( ) 0 a e lim g( ) a então lim f ( ) g( ) a pode não eistir e é chamado forma indeterminada do tipo 0.. Para trabalhar com esta indeterminação, escrevemos o produto fg como o f g quociente: fg ou fg 1/ g 1/ f Eemplo Calcule lim ln 0 b. Calcule lim1 cos ln 0 37

7 Diferenças indeterminadas Se lim f ( ) a e lim g( ) a então o limite lim[ f ( ) g( )] a é chamado forma indeterminada do tipo -.. Para trabalhar com esta indeterminação, tentamos converter a diferença, por eemplo, em um quociente usando um denominador comum ou racionalização, ou colocando em evidencia um fator em comum de modo a termos a forma indeterminada 0 ou. 0 Eemplo a. Calcule lim sec tg π 2 Potências indeterminadas Várias potências indeterminadas surgem do limite lim f ( ) 0 e lim g( ) 0 a a a lim f ( ) e lim g( ) 0 lim f ( ) 1 e a a lim g( ) a lim [ f ( )] a tipo 0 0 tipo 0 tipo 1 g ( ). Cada um desses casos pode ser tratado tanto por tomar o logaritmo natural: Quanto por escrever a função como eponencial: Eemplos a. Calcule lim1 sen4 0 cotg 38

8 b. Mostre que 1 lim 1 e. 1 1 Seja L lim 1 ln L lnlim1 1 lim ln 1 1 ln1 1 lim ln 1 lim 1 lim lim lim Portanto, 1 ln L 1 L e e. Logo, 1 lim 1 e. Teorema do Valor Médio Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 2. f é derivável no intervalo (a, b). Então eiste um número c em (a, b) tal que ou, de maneira equivalente, f '( c) f ( b) f ( a) b a f ( b) f ( a) f '( c)( b a) Graficamente, o TVM diz que há no mínimo um ponto P(c, f(c)) sobre o gráfico em que a inclinação da reta tangente é igual a inclinação da reta secante AB. 39

9 Eemplo Determine um ponto c em (0, 2) que satisfaça as condições do TVM para a função f() = 3. Eercícios Se f ( ) 1, mostre que f verifica as hipóteses do TVM no intervalo [-1, 4], e 4 determine um número c em (-1, 4) que satisfaça a conclusão do teorema. Ilustre os resultados graficamente. 2. Se 3 f ( ) 8 5, mostre que f verifica as hipóteses do TVM no intervalo [-1, 4], e determine um número c em (-1, 4) que satisfaça a conclusão do teorema. Ilustre os resultados graficamente. 3. Seja f uma função contínua e suponha que f(0) = -3 e f (c) 5 para todos os valores de. Quão grande f(2) pode ser? 40

10 Aplicações da Derivada Taa de variação Toda derivada pode ser interpretada como uma taa de variação. Por eemplo, se a velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo, então s (t) é a taa de variação da função s(t) por unidade de variação t. Dada a função y = f(), quando a variável independente varia de a + a correspondente variação de y será = f(+) f(). Desta forma, y f ( ) f ( ) é a taa média de variação de y em relação a. f ( ) f ( ) A derivada, lim é a taa instantânea de variação, ou 0 simplesmente, taa de variação de y em relação a Eemplos 1. Se daqui a t anos o número N de pessoas que utilizarão a internet em determinada comunidade for dado por N(t) = 10t t , determine: a. O número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos nessa comunidade. b. A taa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos Resp: a) b) 70 pessoas/ano 2. Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine: a. a taa de variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia de 2,5 a 3,0 m; b. a taa de variação da área, em relação ao lado, quando este mede 4 m. 41

11 3. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproimadamente, por: 3 t f(t) = 64t - 3 a. Qual a taa da epansão da epidemia após 4 dias? b. Qual a taa da epansão da epidemia após 8 dias? c. Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?. Custo Marginal Se o custo total de produção e comercialização de q unidades de um produto é dado por C = C(q), então se aumentarmos a produção de q para q + q, o acréscimo correspondente no custo total será dado por: C = C(q + q) C(q) A taa média de acréscimo no custo, por unidade acrescida na produção no intervalo [q,q + q] é dada por: C C( q q) C( q ) q q O custo marginal (CM) representa a taa de variação instantânea do custo total por unidade de variação da quantidade produzida quando esta se encontra em um nível q e é definido como o limite: C( q q) C( q) CM ( q) lim C '( q) q0 q Se o limite eistir em q. 42

12 Receita Marginal Se a receita total obtida com a comercialização de q unidades de um produto é dada por R = R(q), então quando a demanda aumenta de q para q + q, o acréscimo correspondente na receita total será dado por: R = R( q + q ) R( q ) A taa média de acréscimo na receita, por unidade acrescida na venda no intervalo [q,q + q] é dada por: R R( q q) R( q ) q q A receita marginal (RM) representa a taa de variação instantânea da receita total por unidade de variação da demanda quando esta se encontra em um nível q e é definida como o limite: R( q q) R( q) RM ( q) lim R'( q) q0 q Eemplos 1. Supondo que a receita total de uma empresa que produz q unidades de um produto, no período de um mês, seja dada por R(q) = 1,32q e que o custo total seja dado por: 100 2q, C ( q) 1300 q 600, ( q 1500), 0 q q 1500 q 1500 Determine o custo marginal para q = 1000 ; 43

13 2. Suponha que o custo, em dólares, para uma companhia produzir novas linhas de jeans é: 2 3 C( ) ,01 0,0002 a) Encontre a função custo marginal. b) Encontre C (100) e eplique seu resultado. Máimos e Mínimos Seja a função y = f (), na qual assinalamos os pontos de abscissas 1, 2, 3 e 4. Esses pontos são chamados pontos etremos da função. Os pontos 1 e 3 são pontos de máimo relativos (ou local), enquanto que f( 1) e f( 3) são valores máimos relativos. Os pontos 2 e 4 são chamados pontos de mínimo relativos (ou local), enquanto que f( 2) e f( 4) são os valores mínimos relativos. Além disso, observamos que f é crescente para < 1, ( 2, 3) e > 4, e decrescente para ( 1, 2) e ( 3, 4). Formalizando estas definições, temos: Definição: Uma função f tem um máimo relativo em c, se eistir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f() para todo I. Definição: Uma função f tem um mínimo relativo em c, se eistir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f() para todo I. Definição: Seja f uma função definida em um intervalo I: (i) f é crescente nesse intervalo se, para quaisquer 1, 2 I tais que 1 2 f( 1) f( 2); 44

14 (ii) f é decrescente nesse intervalo se, para quaisquer 1, 2 I tais que 1 2 f( 2). f( 1) y y Eemplo Verifique se a função f() = possui máimos e mínimos relativos. Localize os intervalos em que a f() é crescente e decrescente. Proposição: Suponha que f() eista para todos os valores de (a, b) e que f tenha um etremo relativo em c, onde a c b. Se f (c) eiste, então f (c) = 0. Geometricamente esta proposição indica que se f tem um etremo relativo em c e se f (c) eiste, então o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal no ponto onde = c. Observação: A recíproca desta proposição não é verdadeira, ou seja, f (c) = 0 não implica que c seja um etremo de f. O eemplo mais simples que ilustra este fato é a função f () = 3. y 45

15 Por esta função, vemos que f (0) = 0, porém f não tem etremo em = 0. Da mesma forma, observamos nas figuras abaio que quando f (c) não eiste, f pode ter ou não um etremo relativo em c. y y Definição: O ponto c D(f) tal que f (c) = 0 ou f (c), é chamado ponto crítico de f. Um ponto crítico pode ser ou não um ponto etremo. Porém, uma condição necessária para a eistência de um etremo relativo em um ponto c é que c seja um ponto crítico. Em outras palavras, todo ponto etremo é ponto crítico, porém nem todo ponto crítico é ponto etremo. É importante observar que uma função definida em um dado intervalo pode admitir diversos etremos relativos. O maior valor da função neste intervalo é chamado máimo absoluto e o menor valor, mínimo absoluto. Eemplo Verifique se a função f() = possui um valor máimo absoluto em (-3, 2). Proposição: Seja f:[a, b] uma função contínua, definida em um intervalo fechado [a, b]. Então f possui máimo e mínimo absoluto em [a, b]. Para analisarmos o máimo e o mínimo absoluto em uma função quando o intervalo não for especificado, usamos as seguintes definições: Definição: Dizemos que f(c) é o máimo absoluto da função f se c D(f ) e f(c) f() para todos os valores de no domínio de f. Definição: Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f se c D(f ) e f(c) f() para todos os valores de no domínio de f. 46

16 Eemplo Verifique se a função f() = possui um mínimo absoluto. Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b). i) Se f () 0 para todo (a, b), então f e crescente em [a, b]; ii) Se f () 0 para todo (a, b), então f e decrescente em [a, b]. OBS: Se uma função é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é monótona nesse intervalo. Eemplos: Determine os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. a. f() = b f() =

17 c f() = 2 2 4, se 1 1, se 1. Critérios para determinar a natureza dos etremos de uma função A determinação e análise dos pontos críticos de uma função, bem como das regiões de crescimento ou decrescimento, permite a construção de seu gráfico de modo confiável. Como eemplo, podemos citar a necessidade de uma empresa determinar a produção que fornece seu lucro máimo, as medidas que permitem o custo mínimo de um determinado objeto e assim por diante. Para isso, a primeira medida é sempre encontrar os pontos críticos da função e em seguida, analisar se são de máimo, de mínimo ou nenhum, nem outro. Eistem dois teoremas que estabelecem critérios para determinar a natureza dos etremos de uma função: Teorema: (Teste da derivada primeira). Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b], que possui derivada em todo ponto do intervalo aberto (a, b), eceto possivelmente num ponto c. i. Se f () 0 para todo c e f () 0 para todo c, então f tem um máimo relativo em c. ii. Se f () 0 para todo c e f () 0 para todo c, então f tem um mínimo relativo em c. 48

18 Eemplo: 1 Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máimos e mínimos relativos da função f() = Observamos que este teste informa as regiões do domínio onde a função cresce e onde ela decresce, porém não diz de que modo isso ocorre, ou seja, não diz nada sobre a curvatura do gráfico, o qual pode ser côncavo para baio, para cima, ou reto, por eemplo. Quem fornece estas informações é a segunda derivada da função. Vejamos: 2 Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máimos e mínimos relativos da função f() =

19 3 Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máimos e mínimos relativos da função f() = 1/3 (8 ). Concavidade e pontos de infleão Seja f uma função diferenciável (pelo menos até a segunda derivada) em um intervalo (a, b). Se f () > 0 para todo em (a, b), então a função primeira derivada f () é crescente em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para cima: Analogamente, se f () < 0 para todo em (a, b), então a função primeira derivada f () é decrescente em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para baio: 50

20 Definição: Um ponto P(c, f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chamado ponto de infleão se a concavidade do gráfico muda neste ponto. Nessa figura, os pontos de abscissa c1, c2, c3 e c4 são pontos de infleão. Vale observar que c2 e c3 são pontos etremos relativos de f e que f não é derivável nestes pontos. Nos pontos c1 e c4 eistem derivadas f (c1) e f (c4). Nos correspondentes pontos (c1, f(c1)) e (c4, f(c4)) a reta tangente corta o gráfico de f. Eemplos: Determine os pontos de infleão e reconheça os intervalos em que as funções tem concavidade voltada para cima ou para baio. a) f() = Observação: um ponto c D(f ) onde f é contínua e tal que f (c) = 0 é um ponto de infleão de f b) ( 1) 3 51

21 c) f() = 1 1/3 d) f() = 2 1 ( 1), para 1 2, para 1 52

22 e) f() = Teorema: (Teste da derivada segunda). Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f (c) = 0, com a c b. Se f admite a derivada segunda em (a, b) então: i) Se f (c) 0, f tem um valor máimo relativo em c. ii) Se f (c) 0, f tem um valor mínimo relativo em c. Eemplos: Encontre os máimos e mínimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda. a) f() =

23 b) f () = Análise geral do comportamento de uma função Conceitos estudados: Pontos crítico; Intervalos de crescimento e decrescimento de f(); Máimos e mínimos relativos; Concavidade e pontos de infleão de f. Assíntotas horizontais e verticais Definição: A reta = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: i) lim f ( ) a = + ii) lim f ( ) = + a iii) lim f ( ) a = - iv) lim f ( ) = - a Definição: A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico f se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: i) lim f ( ) = b ii) lim f ( ) = b 54

24 Esboço de gráficos Utilizando todos os itens citados na análise de uma função, podemos fazer um resumo de atividades que nos levarão ao esboço de gráficos. Etapas Procedimento 1ª Encontrar D(f) 2 a Calcular os pontos de intersecção com os eios. (Quando não requer muito cálculo) 3ª Determinar os pontos críticos 4ª Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f() 5ª Encontrar os máimos e mínimos relativos 6ª Determinar a concavidade e os pontos de infleão 7ª Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se eistirem 8ª Esboçar o gráfico Eemplos: Esboçar os gráficos das funções abaio: a) f () =

25 b) 2 2 f( )

26 c) Esboce o gráfico de uma função que tenha as seguintes características: f (0) 0; f '( ) 0 f '( ) 0 f '( 1) f f ''( ) 0 f ''( ) 0 se se '(3 / 2) se se ,25 0,25 ou 3 / 2 3 / 2 57

27 Problemas de Otimização Quando estudamos problemas de otimização determinamos valores máimos e/ou mínimos absolutos das funções que os representam. São chamados de problemas de otimização pelo fato de que as soluções encontradas com esta técnica são as melhores possíveis para cada caso, ou seja, resolver estes problemas com as técnicas de máimos e mínimos significa encontrar a solução ótima para eles. Problema 1: Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproimadamente por v(t) = t 3 10,5 t t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento? 58

28 Problema 2: Um fazendeiro tem 2400 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 59

29 Problema 3: Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio abaio. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendêlo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para estender o cabo? 60

30 Problema 4: Deve-se construir uma caia retangular com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto dobrando-se perpendicularmente os lados restantes. Determine o lado do quadrado que se vai retirar para que a caia tenha volume máimo. 61

31 Problema 5: O modelo Count é uma fórmula empírica usada para predizer a altura de uma criança em idade pré-escolar. Se h() denota a altura (em centímetros) na idade (em anos) para 1 6, então h() pode ser aproimada por h( ) 70,228 5,104 9,222ln. 4 a) Construa o gráfico da função e da sua derivada. b) Estime a altura e a taa de crescimento quando uma criança atinge a idade 2 anos. c) Quando a taa de crescimento é máima e mínima? Quanto valem estas taas? 62

32 EXERCÍCIOS: 1) Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de área total igual a 50 cm 2, de modo que o volume seja máimo. 2) Cinqüenta animais ameaçados de etinção são colocados em uma reserva. Decorridos t 2 t 6t 30 anos, a população desses animais é estimada por: ( t) 50. Em que instante 2 t 30 essa população animal atinge seu máimo? Quanto ele vale? 3) O peso específico da água a uma temperatura de T C é dado por P( T) ct at bt, 0 T 100, sendo a 5,310, 6 b 6,5310 e c 1, Construa o gráfico.. Qual é a temperatura na qual a água apresentará o maior peso específico? 4) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375π cm 3. O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 0,15 por cm 2 e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,05 por cm 2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para construí-lo. 5) Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. A pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação horas após as 17h é f ( ) a) Em que instante, entre 17h e meia-noite, eistem mais ouvintes sintonizados na estação? Qual é a porcentagem de ouvintes neste momento? b) Em que instante, entre 17h e meia-noite, eistem menos ouvintes sintonizados na estação? Qual é a porcentagem de ouvintes neste momento? 6) De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade do sangue a r cm de distância do eio central de uma artéria de raio R é dada por S(r) = c (R 2 r 2 ), onde c é uma constante positiva. A que distância do eio central da artéria a velocidade do sangue é máima? 63

33 7) Uma pesquisa de opinião revela que meses após anunciar sua candidatura, certo político terá o apoio de S ( ) % dos eleitores, sendo Se a eleição estiver marcada para novembro, qual o melhor mês para anunciar a candidatura? Se o político necessita de pelo menos 50% dos votos para vencer, quais são as chances de ser eleito? 8) A reação do organismo à administração de um medicamento é freqüentemente representada por uma função da forma R ( D) D C 2 2 D, onde D é a dose e C (uma constante) é a 3 dose máima que pode ser administrada. A taa de variação de R em relação à D é chamada de sensibilidade. Determine o valor de D para o qual a sensibilidade é máima. 9) Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères atravessa o circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo E 2 I e P I R. r R Supondo que r seja constante, qual o valor de R para o qual a potência dissipada é máima? 10) Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de m 2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra? 11) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, a oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto que em terra custa R$ 312,00 por metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? 12) A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade é proporcional ao produto do número de pessoas que já ouviram o boato pelo número de pessoas que ainda não o ouviram. Mostre que a rapidez é máima no instante em que metade das pessoas ainda não ouviu o boato. 64