2ª Lista de Exercícios - Problemas de Otimização

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1 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Robson Rodrigues 2ª Lista de Exercícios - Problemas de Otimização Problema 1. Utilizando 40 m de tela e um muro como um dos lados, deseja-se construir um cercado de formato retangular. Determine as dimensões do cercado para que a área seja máxima. Problema 2. Um fazendeiro deseja usar 320 m de cerca para determinar um pasto retangular com a maior área possível. Quais devem ser as dimensões do pasto se: a) os quatro lados do pasto são delimitados pela cerca? b) três lados do pasto são delimitados pela cerca e o outro lado é delimitado por um muro? Problema 3. O departamento de estradas e rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5000 m 2, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual é o menor comprimento da cerca necessária para a obra? Problema 4. Uma caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço quadrado de cartolina de 60 cm de lado, cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Determine as dimensões da caixa para que seu volume seja máximo.

2 Problema 5. Uma lata cilíndrica, sem tampa, deve ter 250 cm 3 de volume. O preço do material usado para o fundo é de 4 centavos o cm 2 e o preço do material usado para o lado da lata é de 2 centavos o cm 2.Qual deve ser a medida do raio da base e a altura da lata, de modo que o custo de matéria-prima seja mínimo? Problema 6. Pretende-se construir um recipiente cilíndrico, sem tampa, com um volume V. O custo do material usado para fazer o fundo é de 3 centavos o cm 2 e o do material usado para fazer o lado é de 2 centavos o cm 2. Encontre uma relação simples entre o raio e altura do recipiente a fim de que o custo seja mínimo. Problema 7. Uma caixa fechada de fundo quadrado tem volume de 250 m 3. O material usado para fazer a tampa e o fundo da caixa custa R$ 2,00 o metro quadrado e o material utilizado para os lados custa R$ 1,00 o metro quadrado. A caixa pode ser construída por menos de R$ 300,00? Problema 8. Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo quadrado. O material usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o metro quadrado e o material usado para fazer o fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída por R$ 48,00? Problema 9. Uma estação geradora de eletricidade está na margem de um rio que tem 2 m de largura. Uma fábrica está a 6 m rio abaixo, do outro lado do rio (ver figura). O custo de operação das linhas é de $ 10 o metro por terra e $15 o metro por água. a) Expresse o custo C, da transmissão de energia a usina à fábrica como função de x. b) Encontre o trajeto mais econômico. usina 2 x 6 x fábrica

3 Problema 10. Um empresário pode produzir gravadores ao custo de R$ 20,00 a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por x reais à unidade, os consumidores comprarão 120 x gravadores por mês. Determine o preço de venda para o qual o lucro do empresário é máximo. Problema 11. Deve-se fazer cocho para água com uma longa peça de estanho de 6 ft (pés) de largura, dobrando para cima, a um ângulo, uma faixa de 2 ft de cada lado. Qual o ângulo que maximiza a área da seção transversal e, consequentemente, o volume do cocho? Problema 12. Considere a função f(x) = 1 x 3 9 x 2. Utilizando o teste da primeira derivada, determine 3 os intervalos onde f é crescente e decrescente. Encontre também seus pontos críticos, classificando-os em ponto de máximo ou mínimo local. Problema 13. Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 256 cm 3 de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material. Problema 14. Um industrial deseja construir uma caixa aberta de base quadrada e área de superfície de 108 cm 2. Que dimensões fornecem uma caixa de volume máximo? planificação

4 Problema 15. Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375 cm 3. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm 2 e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm 2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. planificação Problema 16. De uma folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrandose as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? 30 cm Problema 17. Deve-se fazer uma caixa aberta com uma peça quadrada de material de 6 polegadas cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Ache o volume da maior caixa que pode ser construída desta maneira. Problema 18. Deve-se construir uma caixa retangular sem tampa de 972 cm 3 de volume e comprimento da base igual ao dobro da largura. Determine as dimensões que minimizem a área total de sua superfície. 2x x

5 GABARITO PARCIAL 02. a) 80 m x 80 m b) 80 m x 160 m cm x 40 cm x 10 cm 06. r = 2h/ m x 2 m x 4/3 m 11. = /3 12. f é crescente para x < - 3, decrescente para -3 < x < 3 e crescente para x > 3. (-3, 20) é ponto de máximo local e (3, -16) é ponto de mínimo local cm x 8 cm x 4 cm cm x 6 cm x 3 cm 15. r = 5 cm e h = 15 cm 16. x = 7,5 cm 17. V = 16 u.v cm x 18 cm x 6 cm