Gabarito Primeira Prova Unificada de Cálculo /2. Engenharia e Engenharia Química. ), (1c) lim 12 x 3 x
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- Leandro Palma Casado
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1 MUniversidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Gabarito Primeira Prova Unificada de Cálculo - 0/ a Questão: Calcule: (a Engenharia e Engenharia Química 4 (, (b + 54 ( sen, (c 0 ln. (d f (, se f( + ln ( +, > 0. (a Para einar a indeterminação, multiplicamos e dividimos numerador e denominador pelos respectivos conjugados. Então: (b Analogamente, ( (c Consideremos as funções ( sen f( ln e g(. Como a função y ln( é contínua, temos sen 0 ( sen ln 0 Logo, podemos aplicar a Regra de L Hôpital: Calculando as derivas de f e g, temos: f ( ( ln 0 f( 0 g( f ( 0 g (. cos sen sen e g (. sen ln( 0.
2 Então, aplicando a Regra de L Hôpital, obtemos, se os ites eistirem, ( sen ( ( cos sen 0 ln 0 sen 0. Observe que o segundo ite no lado direito da epressão acima fornece a indeterminação 0/0. Assim, aplicando novamente a Regra de L Hôpital neste ite, obtemos ( sen 0 ln 0 ( sen 0 ( sen 0 0. (d Pela regra da cadeia, temos: ( ( + ln + f ( + ln ( / + ( + + ln ( + 4 ( + + ln ( +. a Questão: Considere a função f(, cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente, f ( Determinar quando aplicável: e f ( (9. ( 4 9 ( 7 a o domínio máimo de f; b as assíntotas verticais e horizontais de f; c as regiões de crescimento e decrescimento de f; d os pontos de máimo e de mínimo local e global de f; e as regiões de concavidade para cima, para baio e os pontos de infleão de f; f esboçar o gráfico de f. (a O domínio máimo de f é o subconjuntos de R para os quais f( R. Como a epressão que define a função está bem definida para todos os números reais diferentes de e, temos: D(f R \ {, }.
3 (b Analisemos as assíntotas verticiais: +, , f( +, + 0 f( 0 +, Logo a função tem duas assíntotas verticais; as retas verticais que passam pelos pontos e. Analisemos as assítotas horizontais: Assim, / ( / /. f( + +, + f( Logo, a função não possui assíntotas horizontais.. (c Como o denominador ( 4 0, para todo R, o sinal de f ( é dado pelo sinal do numerador. Logo, f ( 0 0 ou. Logo, a função cresce nos intervalos (, ] e [, +. Por outro lado, f ( 0 0 e {, } [, (, (, ]. Logo, a função decresce nos intervalos [,, (, e (, ]. (d Como f( tende a ± em (idem, a função não possui pontos de máimo e mínimo globais. Por outro lado, possui máimo e mínimo locais nos pontos onde muda o comportamento de crescimento. Assim, é ponto de mínimo local e é ponto de máimo local. (e Para facilitar os estudo do sinal de f (, vamos analisar o sinal do numerador e denominador, usando a tabela de sinais abaio. (, (, (,0 0 (0, (, (, f (
4 Vê-se que a função é: convea (concavidade para cima nos intervalos (,, (, 0 e (, ; côncava (concavidade para baio nos intervalos (,, (0, e (, +. e os pontos de infleão são:, 0 e. (f Esboço do gráfico: a Questão: Uma cisterna tem 0 m de largura, 0 m de comprimentro, m de pro-fundidade nas etremidades e m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados (veja figura. Despeja-se água na cisterna a uma taa de 0, m /min. Seja h a altura do nível da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade (em metros por minuto h estará subindo no instante em que h m? 0m m m h Quando o nível da água está a uma latura h do ponto mais profundo, a sua superfície forma um retângulo de largura 0 m e comprimento metros. Por semelhança de triângulos, temos Então, o volume de água é: h 0 0 0h. V 0h 00h 50h.
5 Sabemos que a água entra na cisterna a uma taa constante Logo, em todo instante t, temos dv dt 0, m /min. 0 dv dt 00hdh dt. No instante particular em que h, obtemos dh dt 0, 00 m/min. a Questão: Seja f uma função contínua em R tal que f(0 e f(, e seja g( + +. A função composta h( f(g( possui duas raízes negativas distintas. Determine intervalos abertos disjuntos contendo cada uma dessas raízes. Observe inicialmente que Assim, g( 0 ou ; g( 0 ou. h(0 f(g(0 f(, h( f(g( f(0. Como a composta de funções conínuas é uma função contínua, segue do Teorema do Valor Intermediário, que eiste 0 (, 0 tal que h( 0 0. Observe agora que h( f(g( f(0, h( f(g( f(. Logo, eiste (, tal que h( 0. Assim, os intervalos (, e (, 0 são disjuntos e contêm respectivamente as raízes e 0.
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