1ª Avaliação. lim lim lim. Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2), teremos c 3 e

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1 1ª Avaliação 1) Determine os limites abaio: a) lim lim lim lim b) 4 16 lim lim lim lim lim ) Determine os valores das constantes c e k que tornam a função abaio contínua em,. se 1 f c k se 1 4 se 4 lim f lim f 1 1 c k 1... (1) lim f lim f 4 4 4ck 8... () Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (), teremos c e k 4. ) Utilizando a definição de limite, determine a derivada de f. f f f lim 0 f lim 0 f lim 0 Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 1 de 4

2 f lim 0 f lim 0 f lim 0 1 f lim 0 1 f 1 f 4) Determine os valores de a e b tais que f seja derivável em se: a b f se 1 se lim f lim f ab 1 ab 7... (1) f a 4a 8 Se a 8b ) Dada a função f 8, para que valores de 1 sua derivada segunda é positiva? 1 f 1 1 f 8 f A derivada segunda será positiva nos intervalos, e 1,. Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página de 4

3 6) Ache as equações das retas tangentes à curva inclinação 1. y 4 que têm m y As raízes são 1 e 6. Para 1 5 y e para y 4 Equação 1: Equação : y y m 0 ( 0) y y0 m y y y y y y y y y 7 0 y 9 0 7) Ache a derivada de y y y y. d dy y y y d d dy dy y y y d d dy dy 4 y y y d d 4 4 y dy 4y 4y dy y dy d d d 4 y dy 4y dy y dy 4 4y d d d y dy y dy y dy y d d d dy y y 1 1 y d Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página de 4

4 dy 1 y d y 1 y Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 4 de 4

5 ª Avaliação - Gabarito 1) O custo anual (em milhões de dólares) para um departamento do governo apreender p % de uma droga ilegal é: 58p C 0 p < p O objetivo do departamento é aumentar p de 5% por ano. Determine a taa de variação do custo quando p 0%. dp dp ( 100 p) 58 58p ( 1 dc ) dt dt dt ( 100 p) dc dt dc dt dp ( 100 p) p dt dp dt ( 100 p) [ p + 58p] ( 100 p) dp dc dt dt ( 100 p) dc dc dc 5,88 dt dt dt dc dt ( 100 0) 5,88 milhões de dólares por ano ) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas de 40 cm de lado. Depois que recebeu as placas verificou que os lados da placa tinham 1 cm a mais. Usando diferencial, encontrar o aumento aproimado da porcentagem de tinta a ser usada. Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 1 de 5

6 A 50 A 100 da 00d da ,5 da cm A 100 A A cm da da da 0,05,5% A A A ) Uma caia sem tampo, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja.500 m. O material da base vai custar R$ 1.00,00 por m e o material dos lados R$ 980,00 por m. Encontra as dimensões da caia de modo que o custo do material seja mínimo. C + y 1.00, ,00 C y +... (1) () V y.500 y y Substituindo () em (1), teremos: C C Calculamos a derivada da função custo, obtendo: C 400 Resolvendo a equação abaio, obteremos: Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página de 5

7 , 15,98 m Para 15 m C < 0 Para 16 m C > 0 Portanto 15,98 m é o ponto crítico que nos interessa. y y 9,786 m 15,98 são As dimensões da caia de modo a obter o menor custo possível 15,98 m e y 9,786 m. 4) Esboce o gráfico da função y + 1. a) Intercepto y: 0 y 6 b) Intercepto : y 0 c) Assíntota vertical: 0 d) Assíntota horizontal: Não há e) Assíntota inclinada: + 1 ( ) ( + ) é o quociente da divisão polinomial. Portanto, a reta y + é a assíntota inclinada. Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página de 5

8 f) Etremos relativos: y 1 ( 1) (1) + y + ( ) y y ( ) ( ) ( 6) ( + ) y ( ) Pontos críticos em 6 e. g) Pontos de infleão: 4 1 ( ) ( 4) ( 4 1) ( ) y y 4 ( ) ( ) y ( ) ( 4) ( ) ( 8 4) 4 ( ) y y ( ) ( ) Não eistem pontos de infleão. h) Quadro-Resumo: f() f () f () Forma do gráfico (-, -) + - Cresc. e Conc. p/ Baio X Máimo relativo (-, ) - - Decresc. e Conc. p/ Baio X??? Assíntota vertical (, 6) - + Decresc. e Conc. p/ Cima X Mínimo relativo (6, + ) + + Cresc. e Conc. p/ Cima Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 4 de 5

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10 ª Avaliação - Gabarito 1) Mostre que o valor mínimo de a, b e k são constantes. k k y ae be + é igual a ab, onde k k y ae + be dy k k ae k + be k d k k k ae k be 0 ae ae k k k be 0 be k 0 k k y ae + be y y k ae + k ae + b e k b e k b a y a + b a b e e e k k k k ( e ) e k b a b a 1 1 b a y a + b a b y a b + b a b y ab + ab a b y ab a ) Determine a derivada primeira da função y ln( y ) y ln + y dy 1 d + y d + y d dy 1 dy y + d + y d dy dy y + d + y d +. Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 1 de 5

11 dy y dy + d + y + y d dy y dy d + y d + y y dy 1 + y d + y + y y dy d + y dy + y d + y y g + sen g e g (1) 0, determine g '(1). ) Se g + sen g g + cos g g + sen g 1 g (1) + 1 cos g(1) g (1) + sen g(1) 1 1 g g (1) + 1 cos 0 (1) + sen 0 1 g (1) + g (1) g (1) g (1) 1 4) Calcule: a lim 0 b. d a b a b ln ln lim lim d a a b b lim lim ( a lna b lnb ) 0 0 d [ ] d ln ln ln ln ln a b 0 0 a a b b a b Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página de 5

12 5) A equação y + y y sen é chamada equação diferencial, pois envolve a equação desconhecida y e suas derivadas y e y. Encontre as constantes A e B tal que sua função y Asen + B cos satisfaça essa equação. y Asen + B cos y Acos Bsen y Asen B cos Asen Bcos + Acos Bsen Asen + B cos sen Asen B cos + Acos Bsen Asen B cos sen Acos Bsen Asen B cos sen A B cos + A B sen 1 sen + 0 cos A B 1 1 A e B A B ) Se um projétil é lançado de O, o seu alcance R sobre um plano que em O faz com o plano horizontal um ângulo igual a α é R v cos sen ( ) θ θ α g cos α onde v e g são constantes e θ é o ângulo de elevação. Calcular o valor de θ que dá o máimo alcance. R v cos sen ( ) θ θ α g cos α v R cos θ sen ( θ α ) g cos α v R senθ sen ( θ α ) cosθ cos( θ α ) g cos α + Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página de 5

13 v R cos ( θ + θ α ) g cos α v R cos ( θ α ) g cos α Portanto: ( θ α ) cos 0 π θ α π θ α + α π θ + 4 7) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da equação y sec + 1 no ponto de coordenadas 1 ( ) 1 π,. d m sec 1 ( + 1) d 1 m m m m ( ) ( ) ( + 1) 4( + ) m m ( 1) + + Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 4 de 5

14 m y y m 0 0 π 1 y π y 6 6y π 6y + π 0 8) A população de uma cidade decresce a uma taa proporcional a seu tamanho. Em 1975 ela era de e em 1985, Qual a população esperada em 1995? y Ce kt Para t 0 y k Ce C Para t 10 y e 10k 44 e 50 5 e 5 0k 10k y e y y 8.70 habitantes 5 0k Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 5 de 5