s: damasceno.

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1 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino - Derivadas Considere um carro se movendo de acordo com o gráico abaio, onde a posição, y, é medida em quilômetros e o tempo,, é medido em horas: y y y9 y y7 - A posição inicial do carro é o km ; - A cada intervalo de hora, o carro se desloca km. - Podemos encontrar a posição y em unção do tempo : y y Qual a taa de variação do espaço percorrido por unidade de tempo? Ou ainda: qual a velocidade do carro? y Para dois instantes quaisquer, digamos e teremos as posições correspondentes y9 e y. Portanto, y y 9 mede a taa de variação do espaço percorrido por unidade de tempo ou ainda, a velocidade do carro.. - Taa média de variação Seja y uma unção deinida num conjunto D e e dois pontos de D. Quando a variável passa do valor para o valor sorendo uma variação, o correspondente valor da unção passa de para o valor sorendo, portanto, uma variação y -.

2 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino y - O quociente y recebe o nome de taa média de variação da unção y quando passa do valor para o valor. Eemplo: Seja, com real. Calcule a taa de variação média de em relação a no intervalo: a [, ] b [,,] c [,,] d [,,] Eemplo: Seja, com real. Calcule a taa de variação média de em relação a no intervalo: a [, ] b [,,] c [,,] d [,,] Eemplo: Seja, com real. Calcule a taa de variação média de em relação a no intervalo: a [, ] b [,,] c [,,] d [,,] Eemplo: Seja, com real. Calcule a taa de variação média de em relação a no intervalo: a [-, ] b [-, -,] c [-, -,] d [-, -,]. - Derivada de uma unção num ponto por: A taa de variação instantânea do espaço percorrido é a velocidade instantânea, dada y - y O ite, y quando eiste, recebe o nome de derivada da unção no ponto. Eemplo: Seja, com real. Calcule a taa de variação instantânea de em relação a no ponto: a - b c - d Eemplo: 6 Seja, com real. Calcule a taa de variação instantânea de em relação a no ponto: a - b c - d Eemplo: 7 Seja, com real. Calcule a taa de variação instantânea de em relação a no ponto: a - b c - d

3 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino Eemplo: 8 Seja, com real. Calcule a taa de variação instantânea de em relação a no ponto: a - b c - d Eemplo: 9 Seja, com real. Calcule a taa de variação instantânea de em relação a num ponto genérico. Eemplo: Seja, com real. Calcule a taa de variação instantânea de em relação a num ponto genérico.. - Função derivada por Seja uma unção derivável em todo ponto de um intervalo aberto I. A unção deinida y é chamada de derivada da unção no ponto.. Interpretação geométrica Notações para a unção derivada y dy d D y y Regras de derivação Função simples Derivada k k k

4 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino n n n-

5 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino α α α- 6 e e 7 ln 8 a a lna 9 sen cos cos - sen tg sec Eemplo: Calcular a unção derivada de a y b y c y d y e y y g y 6 h y i y 8 j y k y, l y Eemplo: Calcule a derivada das seguintes unções nos pontos sugeridos:. para e., para nos pontos, e 6, para > Se uma unção é contínua em um ponto, isso não implica dizer que ela tem derivada nesse ponto. Se uma unção tem derivada em um ponto, isso implica em dizer que a unção é contínua nesse ponto. Função composta Derivada u v u v u v u v

6 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino 6 u. v u v u v k. u k. u 6 u v u. v u. v v Eercícios: Calcular a derivada de cada uma das unções seguintes, nos pontos indicados.,, -, - -,, 6 -, 7 Seja,, com real. Ache a taa de variação instantânea de y em relação a para: a b - 8 Seja,, com real. Ache a taa de variação instantânea de y em relação a num ponto genérico. 9 Dada a unção, com real. a Ache a inclinação da reta tangente a curva ao gráico num ponto genérico. b Use o resultado da parte a para achar a inclinação da reta tangente a curva no ponto,. Dada a unção,, com real. a Ache a inclinação da reta tangente a curva ao gráico num ponto,. b Achar a inclinação da reta tangente a curva num ponto genérico. Dada a unção, com real, ache a equação da reta tangente a curva ao gráico no ponto, 6. Ache a derivada em relação a da unção.

7 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino 7 Ache a derivada em relação a da unção. Ache a derivada em relação a da unção,. Ache a derivada em relação a da unção. 6 Ache a derivada em relação a da unção. Eercícios: Calcular a derivada de cada uma das unções seguintes e e - 7 ln 8 sen - cos 9 sen cos sen cos e sen ln cos e sen ln cos

8 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino 8 8 sen cos sen cos 7 sen cos 8 cos sen e sen ln cos cos e , 6,.,8 e ln ln e ln ln e cos sen ln Regra da cadeia: Se e g são unções dierenciáveis, então a derivada da unção composta g h é dada pela órmula Se z y e y h, então: g h h dz d dz dy dy d

9 Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno s: damasceno.ino 9 Eercícios: Calcular a derivada das seguintes unções:. e sen 8 sen sen 9 e sen sen e sen ln 9 dz Use a regra da cadeia para calcular, quando: dt a z y, sendo t e y t ; b z cost sin y, sendo /t e y t; c z e y, sendo t / e y t.