Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas-CCE Departamento de Matemática

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1 Monitor: Renno Santos Guedes Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas-CCE Departamento de Matemática MAT 40-CÁLCULO Lista de Eercícios. Para a função g(), encontrar os seguintes limites ou eplicar porque não eiste. g() g() g(). Calcule os seguintes limites s 8s6 4 s 9s+4 y +8 y+ y 9 y +7y+ g) lim + 0 h) lim h+ 0 h , 0 s) lim 4 t) lim 0 sin sin cos t 0 t cos 0 sin tan 0 sin 4 ) lim 0 y) lim 0 sin 9 sin7 z) lim 0 y sin y. Faça o esboço do gráfico e ache o limite indicado, se eistir; se não eistir, indique a razão disto., se <, t + 4, se t 4, c) f(t) = a) f() =, se = 4 t, se t > 4., se >. lim b) f() = f(), lim f(), lim f() +, se < 0,, se f(), 0 f(), 0 f() 4. Dada a função f definida por f() =. Calcule os limites laterais, onde f é dada por: lim f(t), t 4 + d) f() = lim f(s), s + lim f(t), lim t 4 t 4 f(t) s +, se s, s, se s >. lim f(s), lim s s f(s) para todo R, calcule lim f() e lim f(). Eiste lim f()? o + o o a) f() = + + definida em R } b) f() = definida em R } 6. Dada a função f definida por:, se >, a) f() =, se = a, se <. 4 +, se, b) f() = + a, se >. Determine a R para que eista Determine a R para que eista lim f() lim f() 7. Complete:

2 ( ) + 8. Verificar se a função f é contínua no ponto especificado. 4 log e ln a) f() = 4 +, se, 4, se =., no ponto =-. b) f() =, se,, se =., no ponto =. 9. Faça o esboço do gráfico de h. Em seguida encontre cada um dos seguintes limites, se eistirem: lim h(), lim h() + e lim h() 4 h() =, se, +., se >. 0. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. justifique. a) f() = 4, se, L, se =. em p=. b) f() =, se 0, L, se = 0. em p=0.. Calcule os seguintes limites. + [ + + ] + [ ] g) lim + ++ h) lim Calcule g) lim 0 + h) lim [ + ] + [ + + ] s) lim + (4 + ) t) lim + ( 4 + ) ( + + ) + ( + ) s) lim + 0 t) lim Ache a(s) assíntota(s) vertical(is) e horizontal(is) das funções abaio. a) f() = + b) f() = c) f() = 4 4. Calcule f (p), pela definição, sendo dados. a) f() = + e p = b) f() = e p = 4 c) f() = e p = d) f() = e p = e) f() = e p = f) f() = e p = g) f() = e p = h) f() = e p =

3 . Seja f() = Qual o valor que você espera para f (p)? 6. Calcule as derivadas das funções abaio. a) f() = + b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = f) f() = g) f() = + h) f() = 7. Verifique se as funções abaio são derivável no pontos p. Em caso afirmativo calcule f (p). + ( < ) a) f() = + 4 ( ), em p = b) f() = + ( < ) + ( ), em p = ( 0) c) f() = + ( < 0), em p = 0 + ( < ) 8. Seja f() = + ( ), f é contínua em? Por que? f derivável em? Por quê? ( 0) 9. Seja f() = ( > 0), f é derivável em 0? Justifique. f é contínua em 0? Justifique. 0. Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função definida por y = + 4 no ponto (, y ). Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados. a) f() = e p = b) f() = e p = 9 c) f() = e p =. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f() = tangente. no ponto de abscissa. Esboce o gráfico de f e da reta. Encontre uma equação da reta normal à curva dada. a) y = + ; (,4) b) y = 6 ;(,) 4. Considere a função y = a a) Determine f () usando a definição de derivada b) Calcule f (a) e use o resultado para encontrar a equação da reta tangente à parábola no ponto de abscissa a.. Ache dy d para as funções abaio. a) y = c) y = an + n + k b) y = + 8 d) b +a 4 = y, a, b R 6. Sejam f, g e h funções deriváveis.calcule: [f()g()h()] e [ f()g() ] h() 7. Derive utilizando as regras de derivação. a) f() = + + cos() + sin() b) f() = c) f() = ln() + ln() d) f() = sin() + 0 cos() e) f() = tan() + cot() f) f() = cos(40) g) f() = cos() h) f() = sin() + cos() i) f() = 4 sec() csc() j) f() = sin() + cos() k) f() = sin() tan() l) f() = sin() cos() sec() m) f() = cos() + n) f() = + cos() o) f() = tan() cos()4 p) f() = +sin() sin() q) f() = sin() cos()+ 8. Ache f (a) para as seguintes funções. a) f() = cos(); a = 0

4 b) f() = sin()(cos() ); a = π 9. Sabendo que log a = ln() ln(a), com a > 0 e a. Calcule a derivadas das funções abaio. a) f() = log () b) f() = log () log 4 () RESPOSTAS. Os limites da a) e c) não eistem, pois limites laterais são diferentes, enquanto que na b) os limites laterais são iguais.. a) 4 b) -6 c) 6 7 d) e) 6 f) f) g) 4 h) i) j) 7 k) l) m) 8 n) 4 o) p) q) r) 4 s) t) u) 0 v) 0. f() =, lim f() =, O limite não eiste, pois os limites laterais são diferentes. + f() =, lim f() = 8, lim 4 + f() =, O limite não eiste, pois lim 4 f() = 0, O limite não eiste,pois lim 4. lim 0 + f() = e lim 0 f() =. Não eiste lim 0 f(). a) e b) o mesmo da questão anterior; 6. a) a=-0, b)a= 7. a) 9; b) ; c) 0 ; d) e 4 ; e) log ; f) f() lim f() f() lim f() a) f não é contínua, pois lim f(); b) f é contínua, pois lim f() 9. lim h() = e lim + h() = 0. a) L=4, pois lim 4 = L, b)l=-, pois lim 0 w) ) 4 y) 9 7 z) = L, caso contrário as funções não serão contínuas.. a) 0 b) 0 c) e) f) g) i) 0 j) 0 k) m) n) o) 0 q) 0 r) 0 s) + u) v) + d) h) 4 l) 0 p) 0 t) w) 6. a) e) + i) + m) + q) + u) b) c) + f) g) j) k) + n) + o) r) s) v) + d) h) + l) + p) + t) + w) +. a) y =, = b) y =, = 0 c) y = 0, =, = 4. a) b) 4 c) d) - e) f) 4 g) 4 h) 4. Para todos o valos de p, f (p) = a) + b) c) d) e) f) 0 g) h) (+) 7. A funções b) e c) são deriváveis em p, mas a a) não é derivável em p,pois a derivada a direita e a esquerda são diferentes. 8. Não é contínua em, pois não eiste o limite de f quando tende a. A função f também não é derivável, pois as derivadas no ponto a direita e esquerda são difetentes. 9. f é derivável em 0 pois f (0) = f (0) +.Logo é também contínua, pois derivabilidade implica continuidade. 0. y ( ) = ( ). a) y = 4 4 b) 6y + 9 = 0 c) y =. y = 4 +. a)y = +4 e b)y = 4. a)y = lim a(+h) a h 0 h = lim h 0 a + ah = a b)f (a) = a ; y = a a 4

5 . a) dy d = b) dy d = c) dy d = ann + (n ) n + k d) dy = d (b + a ) b +a 4 6. [f()g()h()] = f ()g()h() + f()g ()h() + f()g()h () [ f()g() h() ] = f ()g()h()+f()g ()h()f()g()h () (h() ) 7. a) + sin() + cos() b) c) ln() (ln()) + ln() d) cos() 0 sin() e) sec () csc () f) cos(40) g) cos() sin() h) sin() + cos() sin() i) 4 sec() tan() + csc() cot() j) sin() + cos() + cos() sin() k) sin() + sin() sec () l) cos() m) n) sin()(+) cos() (+) cos()+(+) sin() 4 sin () o) sec ()(cos()4)+tan() sin() (cos()4) p) cos() (sin()) q) +cos()sin() (cos()+) 8. a) e b) 9. a), b)0 ln()