Traçado do gráfico de uma função; otimização

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1 15 Traçado do gráfico de uma função; otimização Sumário 15.1 Traçado do gráco de uma função Problemas de otimização

2 Unidade 15 Traçado do gráfico de uma função 15.1 Traçado do gráco de uma função Estudamos até agora vários conceitos e métodos que dizem respeito a aspectos do comportamento de uma função e que podem ser utilizados para o esboço de seu gráco. Nesta seção iremos sistematizar o uso destas ferramentas e utilizá-las em vários eemplos. O seguinte roteiro reúne o que se deve conhecer de cada função para a qual queremos traçar o gráco: (i) domínio e continuidade da função; (ii) assíntotas verticais e horizontais; (iii) derivabilidade e intervalos de crescimento e decrescimento; (iv) valores de máimo e mínimo locais; (v) concavidade e pontos de ineão; (vi) esboço do gráco. É importante notar que nem todo item é relevante para toda função. Por eemplo, uma função pode não ter assíntotas. Por outro lado, para o esboço - nal do gráco pode ser interessante também determinar os pontos de interseção do gráco da função com os eios coordenados. No caso de haver assíntotas verticais ou horizontais, para melhor compreensão do gráco da função, é interessante desenhar as retas assintotas no gráco. Lembramos que uma função contínua f tem assíntota vertical na reta = a se lim a a f() = ± ou lim f() = ± + e que uma função contínua f tem assíntota horizontal na reta y = b se acima. lim f() = b ou lim f() = b. Faremos agora eemplos do esboço de gráco de função, seguindo o roteiro

3 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade 15 Esboce o gráco da função f() = + 1. Eemplo 1 (i) Domínio e continuidade de f. A função f está denida e é contínua para todo R. (ii) Assíntotas verticais e horizontais. lim + 1 = lim Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal = 0 e lim + 1 = lim = 0. (iii) Derivabilidade e intervalos de crescimento e decrescimento. A derivada da função é: ( ) f () = = ( + 1) () = ( + 1) ( + 1). Como ( + 1) > 0 para todo R, podemos considerar apenas os sinais de 1. Portanto, intervalo 1 sinal de f f < 1 decrescente 1 < < crescente > 1 decrescente f é decrescente em (, 1) (1, ) e f é crescente em ( 1, 1). (iv) Valores de máimo e mínimo locais. Os pontos críticos de f são: f () = 0 1 ( + 1) = 0 1 = 0 = 1 ou = 1. Observando os sinais de f, pelos teste da derivada primeira resulta que f tem mínimo local em = 1 e f tem máimo local em = 1. 3

4 Unidade 15 Traçado do gráfico de uma função (v) Concavidade e pontos de ineão. Derivando novamente a função: ( ) 1 f () = = ( + 1) (1 )..( + 1). ( + 1) ( + 1) 4 = ( + 1) ( ( + 1) (1 )) ( + 1) 4 = ( + 1)( 3) ( + 1) 4 = ( 3) ( + 1) 3. Como ( + 1) 3 é sempre positivo, podemos considerar apenas o sinal de ( 3). As raízes de 3 são = ± 3. O estudo de sinais está no quadro a seguir: intervalo 3 sinal de f concavidade < 3 + para baio 3 < < 0 + para cima 0 < < 3 + para baio > para cima Com relação aos pontos de ineão, há três mudanças de concavidade no domínio da função. os pontos = 3, = 0 e = 3 são todos pontos de ineão do gráco de f. (vi) Esboço do gráco. Usando as informações reunidas nos itens anteriores, esboçamos o gráco na Figura A interseção com o eio y é o ponto (0, f(0)) = (0, 0). marcamos no gráco os pontos de máimo e mínimo locais (em azul) e os pontos de ineão (em vermelho) Figura 15.1: f() = + 1 4

5 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade 15 Esboce o gráco da função f() = 1. Eemplo (i) Domínio e continuidade de f. A função f não está denida para 1 = 0 = ±1, portanto o domínio é D(f) = R \ {±1} = (, 1) ( 1, 1) (1, ). Esta separação do domínio em três intervalos é interessante porque teremos que investigar o comportamento da função quando se aproima dos etremos destes intervalos. (ii) Assíntotas verticais e horizontais. lim 1 = lim 1 1 = 0 e lim 1 = lim 1 1 = 0. Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal. Como lim 1 1 = 0, mas 1 > 0 se < 1 e 1 < 0 se 1 < < 1 então lim 1 1 = e lim =. Como lim 1 1 = 0, mas 1 > 0 se > 1 e 1 < 0 se 1 < < 1 então lim 1 1 = e lim =. Portanto, o gráco de f tem assíntotas verticais em = 1 e em = 1 e assíntota horizontal em y = 0. A informação sobre os limites innitos e limites no innito permite fazer o esboço prévio da Figura

6 Unidade 15 Traçado do gráfico de uma função Figura 15. (iii) Derivabilidade e intervalos de crescimento e decrescimento. A derivada da função é: ( ) f () = = ( 1) () = (1 + ) 1 ( 1) ( 1). Como ( 1) > 0 para todo ±1 e (1+ ) < 0 para todo, temos que f () < 0 em todo seu domínio. A função é sempre decrescente. (iv) Valores de máimo e mínimo local. A função f é derivável em todo seu domínio e a derivada f () = 1 + ( 1) nunca se anula, logo não há máimos ou mínimos locais. (v) Concavidade e pontos de ineão. Derivando f : ( ) (1 + f ) () = = ( 1) + ( + 1)..( 1). ( 1) ( 1) 4 = ( 1) ( 1 ( + 1)) ( 1) 4 = ( 1)( + 3) ( 1) 4. Como + 3 e ( 1) 4 são sempre positivos (para ±1), então podemos considerar apenas os sinais de ( 1). O estudo de sinais está no quadro a seguir: 6

7 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade 15 intervalo 1 sinal de f concavidade < 1 + para baio 1 < < 0 + para cima 0 < < 1 + para baio > para cima Com relação aos pontos de ineão, há várias mudanças de concavidade, mas = 1 e = 1 não estão no domínio da função. O ponto = 0 está no domínio de f e a concavidade muda em = 0, logo f tem ponto de ineão em = 0. (vi) Esboço do gráco. Usando as informações reunidas nos itens anteriores, esboçamos o gráco na Figura A interseção com o eio y é o ponto (0, f(0)) = (0, 0) que é também ponto de ineão da função Figura 15.3: f() = 4 1 7

8 Unidade 15 Traçado do gráfico de uma função Eemplo 3 Esboce o gráco da função f() = (i) Domínio e continuidade de f. A função f está denida e é contínua em R. (ii) Assíntotas verticais e horizontais. f é contínua então não possui assíntotas verticais. limites no innito, observamos que f() = Para encontrar os = 1 3 (1 + ). Logo, lim 1 3 = e lim (1 + ) = lim 1 3 (1 + ) =. lim 1 3 = e lim (1 + ) = lim 1 3 (1 + ) =. Portanto, o gráco de f não possui assíntotas horizontais. (iii) Derivabilidade e intervalos de crescimento e decrescimento. ( ) Temos que 4 3 = , logo 3 é derivável para todo R. Mas ( ) 1 3 = , o que mostra que 3 não é derivável em = 0. Portanto f() não é derivável em = 0 e para 0: f () = = ( ). Para o estudo de sinais de f observe que 1 3 > 0 se > 0 e 1 3 < 0 se < 0. Quanto aos sinais de 4+ 1, temos que 4+ 1 = 4+1. O numerador muda de sinal em = 1 e o denominador em = 0. 4 O estudo de sinais de f () está representado no quadro a seguir: intervalo sinal de f f < 1 4 decrescente 1 < < crescente > crescente 8

9 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade 15 Vemos que f é decrescente em (, 1) 4 e crescente em ( 1, 0) (0, ). 4 (iv) Valores de máimo e mínimo locais. f () = 0 1 ( ) = 0 = 0 ou = 1 4. Mas f não é derivável em = 0, logo f se anula apenas em = 1 4. O teste da derivada primeira (ver quadro anterior quanto aos sinais de f ) mostra que f tem mínimo local em = 1 e não tem nem máimo nem 4 mínimo local no ponto crítico = 0. (v) Concavidade e pontos de ineão. ( ( 1 f () = )) = 1 = = ( 1 ) = 4 ( ) ( 1 ) Como 3 > 0 para todo 0 então o sinal de f é o sinal de 1. Quanto aos sinais de 1 = 1 : intervalo 1 sinal de f concavidade < 0 + para cima 0 < < 1 + para baio > para cima Portanto, a função tem concavidade para cima em (, 0) ( 1, ) e concavidade para baio em (0, 1 ). Há uma mudança de concavidade em = 1 os pontos de ineão. e em = 0 que são, portanto, (vi) Esboço do gráco. Usando as informações reunidas nos itens anteriores, esboçamos o gráco na Figura O gráco de f corta o eio y no ponto (0, 0) e corta o eio em f() = 1 3 (1+) = 0 = 0 ou = 1. Representamos no gráco o ponto de mínimo em azul e os pontos de ineão em vermelho. 9

10 Unidade 15 Traçado do gráfico de uma função f() = Figura 15.4: f() = Eemplo 4 Esboce o gráco da função f() = sen + cos. (i) Domínio e continuidade de f. A função f está denida e é contínua em R. É interessante notar também que a função é periódica com período igual a π. (ii) Assíntotas verticais e horizontais. A função não possui assíntotas horizontais ou verticais. Não eistem os limites lim sen + cos e lim sen + cos. A função repete indenidamente o padrão que possui entre 0 e π. (iii) Derivabilidade e intervalos de crescimento e decrescimento. A função é derivável em todo ponto e f () = ( sen + cos ) = cos sen = (1 sen ) sen = ( sen 1)( sen + 1), em que usamos a relação trigonométrica cos = 1 sen. 10

11 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade 15 Para o estudo de sinais, dada a periodicidade da função, vamos nos restringir ao intervalo (0, π). Temos que f () = 0 sen +1 = 0 ou sen 1 = 0 sen = 1 ou sen = 1 Mas sen = 1 = 3π + kπ, k Z e sen = 1 = π + 6 kπ, k Z ou = 5π + kπ, k Z. 6 Portanto, os pontos críticos são os pontos = π 6, = 5π 6 e = 3π. sen para todo R e sen 1 será positiva para sen > 1 π 6 < < 5π 6. π π 5π 6 1 π cos < 0 sen > 1 cos > π 1 θ 1 4 θ 3π Figura 15.5 Reunindo as informações sobre os sinais de f () = ( sen + 1)( sen 1): intervalo ( sen + 1) sen 1 sinal de f f 0 < < π 6 + crescente π decrescente 5π 6 + crescente 3π < < π + crescente 11

12 Unidade 15 Traçado do gráfico de uma função (iv) Valores de máimo e mínimo locais. Pelo teste da derivada primeira, olhando o quadro acima, concluímos que = π 6 é máimo local, = 5π 6 é mínimo local e = 3π nem mínimo local. não é máimo (v) Concavidade e pontos de ineão. Derivando novamente a função, obtemos: f () = ( cos sen ) = 4 sen cos = cos (4 sen +1). Para o estudo dos sinais, observe que cos > 0 ( ) ( em 0, π 3π, π) e cos < 0 ( π em, ) 3π. Com relação ao fator 4 sen +1, há dois valores θ 1, θ no intervalo (0, π) cujo seno é 1 (Observe a gura 15.5). Segue que 4 sen + 1 > 0 4 sen > 1 4 ocorre para (0, θ 1) (θ, π) e 4 sen +1 < 0 sen < 1 4 para (θ 1, θ ). Portanto, intervalo cos 4 sen + 1 sinal de f concavidade 0 < < π + para baio π para cima θ 1 < < 3π + para baio 3π + para cima θ < < π + para baio Há mudança de concavidade nos pontos = π, = θ 1, = 3π e = θ, que são os pontos de ineão. (vi) Esboço do gráco. Basta fazer os esboço no intervalo [0, π] e usar o fato de que a função f() = sen + cos é periódica de período π, ou seja, basta fazer a translação do gráco de um valor π, à direita e à esquerda, indenidamente. Temos que f(0) = f(π) =, f ( ) π 6 = 3 3,6, f ( ) 5π 6 = 3 3,6 e f ( ) ( π = f 3π ) = 0. 1

13 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade 15 Segue o esboço do gráco. Os pontos de máimo e mínimo locais no intervalo (0, π) estão marcados em azul e os pontos de ineão no mesmo intervalo estão marcados em vermelho. ( π 6, 3 3 ) 3π π π 5π π π 3π 4π π 6 π 6 θ 1 3π θ 5π 7π 9π ( 5π 6, 3 3 Figura 15.6: f() = sen + cos ) 13

14 Unidade 15 Traçado do gráfico de uma função Eercícios Para cada uma das funções a seguir: (a) Encontre as assíntotas horizontais e verticais; (b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento; (c) Encontre os pontos de máimo e mínimo locais; (d) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baio e os pontos de ineão; (e) Esboce o gráco da função. 1. f() = 3.. f() = f() = f() = f() = f() = f() = ( + 1) f() = ( 1) f() = f() = f() = cos() cos(). 1. f() = sen (). 14

15 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade Problemas de otimização Uma das aplicações mais comuns do Cálculo são os problemas de otimização. Tratam-se de problemas que são modelados por uma função e buscamos obter os valores de máimo ou mínimo da função. Nesta seção, daremos vários eemplos de problemas de otimização, em várias áreas do conhecimento, mostrando como o Cálculo pode ser aplicado nos mais diversos campos do conhecimento humano. Para resolver um problema de otimização, usamos em geral o seguinte roteiro aproimado: (i) Identicamos as variáveis do problema, isto é, quais grandezas representam a situação descrita no problema. O desenho de grácos e diagramas pode ser útil para isso. (ii) Identicamos os intervalos de valores possíveis para as variáveis. São os valores para os quais o problema tem sentido físico. (iii) Descrevemos as relações entres estas variáveis por meio de uma ou mais equações. Em geral, uma destas equações dará a grandeza que queremos otimizar, isto é encontrar seu máimo ou mínimo. Se há mais de uma variável no problema, substituindo uma ou mais equações naquela principal permitirá descrever a grandeza que queremos otimizar em função de uma só variável. (iv) Usando a primeira e segunda derivada da função que queremos otimizar, encontramos seus pontos críticos e determinamos aquele(s) que resolve(m) o problema. Neste ponto é importante estar atento para o fato de que alguns dos pontos críticos da função podem estar fora do intervalo de valores possíveis para a variável (item ii) e devem ser desprezados. Vimos um primeiro problema de otimização: o Eemplo 6 da Unidade 8, que reproduzimos aqui. 15

16 Unidade 15 Problemas de otimização Eemplo 5 Uma caia retangular aberta deve ser fabricada com uma folha de papelão de cm, recortando quadrados nos quatro cantos e depois dobrando a folha nas linhas determinadas pelos cortes. Eiste alguma medida do corte que produza uma caia com volume máimo? Seja o lado do quadrado que é cortado nos cantos da caia. gura Veja a Figura 15.7 A caia terá como base um retângulo de lados 30 e 15 e altura. Seu volume é dado por V () = (30 )(15 ) = , observando que devemos ter 0 < < 15 retângulo. Derivando, temos: para que seja possível fazer o corte do V () = e V () = Os pontos críticos de V () são V () = = 0 = 15±5 3. São dois pontos críticos: 1 = ,8 e = ,. O primeiro valor deve ser desprezado por estar fora do intervalo (0, 15 ). Usando o teste da derivada segunda no ponto crítico, temos V ( ) = ,9 < 0, 16

17 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade 15 o que mostra que o ponto é de máimo. Portanto, obteremos uma caia de volume máimo para um corte quadrado de lado = ,. Encontre dois números não negativos cuja soma é 30 e tal que o produto de um dos números e o quadrado do outro é máimo. Eemplo 6 Sejam e y os números. Então +y = 30 e queremos maimizar P = y. Devemos ter 0 <, y < 30 para que os números sejam não negativos. Escrevendo y = 30, obtemos P () = (30 ) = As derivadas de P () são P () = e P () = Os pontos críticos são P () = = 0 = 10 ou = 30. Como a solução = 30 deve ser desprezada, resta = 10. Usando o teste da derivada segunda, P (10) = = 60 < 0, mostra que P = y é máimo para = 10. Um reservatório de água tem o formato de um cilindro sem a tampa superior e tem uma superfície total de 36π m. Encontre os valores da altura h e raio da base r que maimizam a capacidade do reservatório. Eemplo 7 O volume de um cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura. Logo, V = πr h. A superfície lateral do cilindro é S = πrh e a área da base é πr, logo o que resulta em πrh + πr = 36π h = 36 r r, V = V (r) = πr 36 r h = πr r = πr(36 r ). Derivando V (r), obtemos: V (r) = 3π (1 r ) e V (r) = 3πr. 17

18 Unidade 15 Problemas de otimização Os pontos críticos de V são V (r) = 0 3π (1 r ) = 0 r = 0 ou r = 3 ou r = 3. Como somente valores positivos de r fazem sentido para o problema, nosso único candidato a solução é r = 3. Como V (r) < 0 para r > 0, o teste da derivada segunda mostra que o volume é máimo para r = 3. Eemplo 8 Encontre o ponto (, y) do gráco da função f() = mais próimo do ponto (, 0). (,y) 1 d 1 3 Figura 15.8 A distância d entre o ponto (, y) do gráco de y = e o ponto (, 0) é d = ( ) + y = ( ) + = 3 + 4, em que substituímos y = na equação. Devemos ter > 0 para que o ponto (, y) esteja no gráco de y =. Derivando a função d = d(), obtemos: d () = e d () = 7 4( 3 + 4) 3. Há apenas um ponto crítico: d () = 0 3 = 0 = 3, e, como > 0 para todo R, então d () > 0 para todo R e o teste da derivada segunda mostra que = 3 é ponto de mínimo. 18

19 Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade 15 Eemplo 9 Uma fazenda produz laranjas e ocupa uma certa área com 50 laranjeiras. Cada laranjeira produz 600 laranjas por ano. Vericou-se que para cada nova laranjeira plantada nesta área a produção por árvore diminui de 10 laranjas. Quantas laranjas devem ser plantadas no pomar de forma a maimizar a produção? Para novas árvores plantadas, o número total de árvores passa a ser 50 +, mas a produção individual passa a ser de laranjas por árvore, totalizando uma produção de P () = (50 + )(600 10) = laranjas por ano na fazenda. Devemos ter > 0 (não se pode plantar um número negativo de árvores) e, como a produção não pode ser negativa, devemos ter > 0 < 60. Derivando P (), obtemos: P () = e P () = 0. Portanto, há um ponto crítico em = 0 = 5. Este ponto será de máimo, pois P () < 0 para todo R. Portanto, deve-se plantar 5 novas árvores para maimizar a produção. 19

20 Unidade 15 Problemas de otimização Eercícios 1. Divida o número 00 em duas partes de forma que o produto das partes seja máimo.. Se y = 48, encontre o valor mínimo de + y 3 para e y positivos. 3. Encontre o ponto do gráco de f() = mais próimo de (0, ). 4. Encontre o ponto no eio OX que minimiza a soma dos quadrados das distâncias aos pontos (0, 1) e (3, 4). 5. Prove que o retângulo de maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio ado é um quadrado. 6. Um carro B se encontra 30 km a leste de um carro A. Ao mesmo tempo, o carro A começa a se mover para o norte com uma velocidade de 60 km/h e o carro B para oeste com uma velocidade de 40 km/h. Encontre a distância mínima entre os carros. ¼ Ñ» ¼ Ñ» A ¼ Ñ Figura Uma lata cilíndrica deve ter a capacidade de 50π cm 3. O material do topo e base da caia custa R$ 5,00 por m, enquanto que o material com o qual os lados são feitos custa R$ 0,00 por m. Encontre o raio da base e a altura da lata que minimiza o custo da lata. 8. Encontre as dimensões do cone de máimo volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio 1. 0

21 ½ Ñ Traçado do gráfico de uma função; otimização Unidade Seja um triângulo isósceles cujos lados iguais têm uma medida ada. Qual ângulo entre estes lados resulta em um triângulo de área máima. θ l l Figura O material para a base de uma caia retangular com tampa aberta e base quadrada custa R$ 0,30 por cm, enquanto que o material para as faces custa R$ 0,0 por cm. Encontre as dimensões para a caia de maior volume que pode ser feita com R$ 100, Uma pessoa sai de um ponto A na margem de um rio de 1 km de largura. Ela deve atravessar o rio de canoa e então chegar o mais rápido possível até um ponto B situado a km de distância pela margem do rio. Se ela consegue remar a canoa a 6km/h e correr a 9km/h, a que distância de B ele deve terminar a travessia de canoa? Ê Ó ¾ Ñ Figura

22 Ì Ð Unidade 15 Problemas de otimização 1. Em um cinema a tela tem 4 metros de altura e está posicionada metros acima da linha horizontal que passa pelos seus olhos. A que distância da parede deve se situar uma pessoa para que seu ângulo de visão seja máimo? Observe a gura a seguir. Ñ θ ¾ Ñ Figura 15.1