INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2453 Cálculo Diferencial e Integral I (Escola Politécnica) Segunda Lista de Eercícios - Professor: Equipe de Professores EXERCÍCIOS. Calcule a derivada de cada uma das funções abaio: (a) f () = 2 (e + e ) (b) f () = 2 (e e ) (c) f () = e e (d) f () = e + e (e) f () = e /2 + e 2 (f) f () = ln(e + ) (g) f () = (ln ) 2 + ( ) (h) f () = ln ( ) (i) f () = π + π (j) f () = (k) f () = ln(arctg ) (l) f () = ( + cos 2 ) sen (m) f () = (e + 3) arcsen(2 ) (n) f () = (3 + cos ) tg (2 ) (o) f () = ln( ) 2 + e cos (p) f () = ( 2 + ) sen (5 ) + (q) f () = ln (r) f () = ( + arctg 2 ) /4 Observação 0.. As funções (a) e (b) são chamadas, respectivamente, de cosseno hiperbólico e de seno hiperbólico e são denotadas, respectivamente por cosh e sinh. Verifique que cosh 2 () sinh 2 () =, cosh () = sinh(), e sinh () = cosh(), para todo R. 2. Suponha que f : [0, ] R é contínua e que 0 f (), para todo [0, ]. Prove que eiste c [0, ] tal que f (c) = c. 3. Suponha f : [0, ] R contínua, f (0) = e f () um número racional para todo [0, ]. Prove que f () =, para todo [0, ]. 4. Achar os valores mínimo e máimo de: (a) f () = sen cos, [0, π] (b) f () = , 2 (c) f () = + ln, 2 4 (d) f () = , 2 (e) f () = 4 2 3, Seja f derivável em R e seja g dada por g() = f (), = 0. Suponha que 0 é ponto crítico de g. Prove que 0 f ( 0 ) f ( 0 ) = 0. Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 passa pela origem. 6. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades: (a) sen b sen a b a, para todos a, b R. (b) b b a a > a a (b a), para todos a, b R com a < b. (c) ln b b ln a a b a, para a < b e. a 2 7. Seja f uma função derivável no intervalo ], + [ tal que f (0) = 0 e 0 < f (), para todo > 0. Mostre que 0 < f (), para todos > Mostre que f () = ( + ) / é estritamente decrescente em ]0, + [. Conclua que 9. Prove as seguintes desigualdades: (a) tg b tg a > b a para 0 < a < b < π 2 ( + π) e < ( + e) π. (b) e π > π e (c) 2 arctg > ln( + 2 ), para > 0 (d) 3 3 < sen < 3! 3! + 5 5!, para > 0 0. Sejam f : R R derivável e a, b R tais que f (a) = f (b) = 0. Determine qual das alternativas abaio implica a eistência de um c entre a e b tal que f (c) = 0. a. f (a) > 0 e f (b) < 0. b. f (a) f (b) > 0. c. f (a) + f (b) > 0. d. f (a) + f (b) < 0.. Determine c para que a função f () = c tenha uma única raiz real.

2 2. Para que valores de k a equação = k tem três soluções reais distintas? 3. Prove que eiste um único c R tal que cos( cπ 2 ) = 2 3c. 4. Seja f () = 7 + π e +. Quantas soluções distintas tem a equação f () = 0? Mostre que a equação f () = 0 tem eatamente três soluções reais distintas. 5. Seja g um função contínua no intervalo [, 2] e derivável em ], 2[, que assume os valores g( ) = 0 g(0) = 4 g() = 2 g(2) = 2. Considere as afirmações: (I) A equação g() = 3 tem pelo menos uma solução no intervalo [, 0]. (II) A equação g() = 2 tem eatamente uma solução no intervalo [, 0]. (III) A função g admite um ponto crítico no intervalo ], 2[. Pode-se dizer com certeza que a. todas as afirmações são falsas. b. somente as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. c. somente as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. d. todas as afirmações são verdadeiras. e. somente a afirmação (I) é verdadeira. 6. Dentre as alternativas abaio, aquela que contém um polinômio que define uma função bijetora de R em R é: a b c d e Prove que se p é um polinômio, a equação e p() = 0 não pode ter infinitas soluções reais. 8. Seja f () um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de infleão, que é a média aritmética das três raízes. 9. Seja f : R R derivável e com um único ponto crítico 0. Prove que se 0 for ponto de mínimo (máimo) local de f, então 0 será o único ponto de mínimo (máimo) global de f. 20. Determine todos os números positivos a tais que a curva y = a corta a reta y =. 2. (Transferência Fuvest 202) Considere o polinômio p() = 3 + a 2 + b + c, em que a, b, c são números reais. Qual a alternativa verdadeira? a. se c > 0 então p() terá pelo menos uma raiz positiva. b. p() sempre terá pelo menos um ponto crítico. c. p() sempre terá eatamente um ponto de infleão. d. se a 2 < 3b então p() não será injetora. e. se a 2 < 3b então p() não será sobrejetora. 22. Determine, caso eista, a constante a para que f () = 2 + a tenha (a) um ponto de mínimo local em = 2. (b) um ponto de mínimo local em = 3. Mostre ainda que, para qualquer valor de a, a função f não terá um ponto de máimo local. 23. Seja f uma função cuja derivada tem o gráfico esboçado na figura abaio: y = f () (a) Em que intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Para quais valores de f tem um máimo ou mínimo local? (c) Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baio? (d) Ache os pontos de infleão de f. (e) Admitindo que f (0) = 0, faça um esboço do possível gráfico de f. MAT 2453 (209) 2 de 8

3 24. (Transferência Fuvest 203) Seja f () = a + b 2, em que a e b são números reais. Sabe-se que = é ponto de máimo local e que f () f ( ) = 3, Nessas condições, a + b vale a. 3. b.. c. 0. d.. e Seja f () = O ponto = 2 é ponto de a. máimo local mas não global. b. mínimo local mas não global. c. máimo global. d. mínimo global. e. infleão. 26. (Transferência Fuvest 2007) Seja f uma função derivável até segunda ordem e suponha que o gráfico da função derivada f seja representado pela figura abaio: y Pode-se afirmar que a única alternativa incorreta é a. f possui concavidade para cima no intervalo ], 2[. b. = é ponto de máimo local de f e = 3 é ponto de mínimo local de f. c. f possui concavidade para cima no intervalo ]3, 4[. d. f é crescente para < e também para > 3 e decrescente para < < 3. e. = 2 e = 4 são pontos de infleão de f. 27. (Transferência 207) Considere as funções deriváveis f e g cujos gráficos estão esboçados abaio: y y f g 3 Seja h = f g. Sabendo que = é ponto de mínimo local de g e que g() =, é correto afirmar que a. h () > 0. b. h () < 0. c. = é ponto de infleão de h. d. = é ponto de mínimo local de h. e. = é ponto de máimo local de h. 28. Seja f () = Prove que f tem eatamente um ponto de infleão e que esse ponto pertence ao intervalo ] 3, 2[. Esboce o gráfico de f. 29. No seu livro de Cálculo de 696, L Hôpital ilustrou sua regra com o limite da função 2a f () = 3 4 a 3 a 2 a 4 a 3 quando a, a > 0. O valor desse limite é: a. a. b. a 2. c. 3a/2. d. nenhuma das anteriores. MAT 2453 (209) 3 de 8

4 30. Calcule, caso eista ln( 2) (a) lim tg(π) 2 (d) lim + (g) lim 0 + tg(2 ) (j) lim 0 (e + 3) (b) lim 0 + ln cotg (c) lim (ln )( ) + ln e e 2 (e) lim (f) lim + e p ln, p > ( (h) lim 0 ln( + ) ) e (i) lim (sen )tg 0 + ( (k) lim 0 cos 2 ) ( ) 2 (l) lim ln (m)lim 0 ln( + 2 ) arctg (p) lim 0 ( + 5) 3 (s) (v) (n) lim (tg sec sin + 2 sec2 ) 2 (o) lim π + 0 e + e 2 2 (q) lim( + sen 2) sen (r) lim (sen ) ln lim ( + 3) arctg(2) (t) lim ( cos ) (u) ( ) 6 + ( lim (w) lim ln( + 3) +4 ln( + 2) +4) 6 + π lim (2 )tg( 2 ) () lim 0 arctg(2 2 ) ln( ) 3. Sejam a, b > 0. Mostre que lim + (a + b ) / = ma{a, b}. 32. Esboce o gráfico das funções abaio e dê as equações das assíntotas, quando eistirem. (a) f () = (b) f () = (d) f () = (g) f () = e 3 2 (e) f () = (c) f () = ( ) 2 (f) f () = ln (h) f () = 5 ln( + 2) (i) f () = arctg(ln ) (j) f () = 2 ln (k) f () = e / (l) f () = (3 6 )e 2 8 ln( + 3) (m) f () = ( + 3) 2 (n) f () = ln(2) ln( ) (o) f () = (p) f () = e e 3 (q) f () = 3 ( ) 2 (r) f () = 33. Seja f : ]0, [ R dada por f () = (2). Então: a. lim f () = e f é estritamente crescente. 0 + b. nenhuma das outras alternativas é correta. c. lim f () = 0 e f tem um ponto de mínimo local. 0 + d. lim 0 + e. lim 0 + f () = e f tem um ponto de mínimo local. f () = 0 e f é estritamente crescente. 34. A função f () = a2 + b + 4 possui y = como assíntota. Então, a + b vale + 3 a. 0. b.. c. 2. d. 3. e. 4. MAT 2453 (209) 4 de 8

5 35. (Transferência Fuvest 2002) Sabendo que a figura abaio é o esboço do gráfico de uma função f () = p(), em que p e q são polinômios, tem-se q() y a. grau p = grau q 2. b. grau p = grau q 2. c. grau p > grau q > 2. d. grau p > grau q = 2. e. grau p < grau q = Seja f : R R uma função derivável e seja a R fiado. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. (a) Se f () > 0, para todo > a, então lim f () = +. + (b) Se f é derivável até segunda ordem com f () > 0 e f () > 0, para todo > a, então lim f () = + +. (c) Se lim f () = 0 então lim f () = L R. + + (d) Se eiste uma assíntota para f (quando + ) com coeficiente angular m e se eiste lim f () = + L, então L = m. (e) Se lim f () = m R, m = 0 então f tem uma assíntota com coeficiente angular igual a m Seja f () = ( + 6)e /. Para quais valores de k a equação f () = k tem eatamente duas soluções reais? 38. Ache o ponto de mínimo de f () = e / no intervalo ]0, + [. Use isso para provar que ea+b e 2, ab para todos a > 0 e b > Esboce o gráfico de f () = 2 e e então determine, em função de k, o número de soluções reais da equação ke = Seja f () = a, > 0, onde a > 0. Ache o menor valor de a para o qual tem-se f () 28, para 5 todo > (P2, 206) Seja f () = e definida no intervalo fechado [ 5, ]. Se a é o valor máimo de f e se b é o valor mínimo de f, então o produto ab é a. e 27. b. e 4. c. e 2. d. e 27. e. e (Transferência Fuvest 202) Seja f () = 2. Então, o coeficiente angular máimo das retas tangentes ao gráfico de f é + 3 a. 4. b. 8. c. 0. d. 8. e (a) Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata? (b) Por que as latas encontradas no mercado não são, em geral, como em (a)? Tipicamente o metal é entregue em chapas retangulares. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada, e as sobras, são desprezadas (ou então recicladas). Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado. 44. Determine o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a 2. Determine o raio da esfera que maimiza e o que minimiza a soma de seus volumes. MAT 2453 (209) 5 de 8

6 46. Um triângulo isóceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando = 3R. 47. Um cilindro é obtido girando-se um retângulo ao redor do eio, onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y = 2. Qual é o maior volume que tal cilindro + pode ter? 48. (Transferência Fuvest 203) Dentre os cilindros circulares inscritos numa esfera de raio, seja h a altura daquele que tem volume máimo e seja h 2 a altura daquele que tem superfície lateral máima. Então, h h 2 é a b c d. 2. e Sejam a, b > 0. Determine, caso eista, o perímetro mínimo dos triângulos de base b e altura (relativa à base dada) a. 50. Para que pontos da circunferência 2 + y 2 = 25 a soma das distâncias a (2,0) e (-2,0) é mínima? 5. (P2, 206) Considere todos os triângulos retângulos formados pelos semi-eios positivos e por uma reta que passa pelo ponto (, 2). Dentre todos esses triângulos, aquele que possui área mínima tem a hipotenusa valendo a. 8. b. 20. c. 38. d. 24. e Um arame de comprimento L deve ser cortado em 2 pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos 2 pedaços seja (a) máima?; (b) mínima? Mostre que no caso (b) o lado do quadrado é 2/3 da altura do triângulo. 53. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máima. A a B C 54. Um reservatório tem fundo horizontal e seção transversal como se mostra na figura. Achar a inclinação dos lados com a vertical de modo a obter a máima capacidade. L θ θ L L 55. Um muro de 2 metros de altura está a metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas etremidades se apóiam uma na parede, e outra no chão do lado de fora do muro? 56. Seja k um número real. Prove que todas as funções deriváveis f : R R tais que f () = k f (), para todo R são da forma ce k, com c R. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 57. Sejam I um intervalo aberto e f : I R uma função derivável. (a) (Teorema de Darbou) Mostre que se a, b I, com a b, então para todo y entre f (a) e f (b), eiste [a, b] tal que f () = y. Observação 0.2. Não supomos f de classe C. Isso tornaria o eercício trivial. (b) Conclua que não eiste função f : R R, derivável, tal que f (0) = e f () = 0 para todo = 0. (c) Determine uma função f : R R, derivável em todo ponto, tal que f não seja contínua. MAT 2453 (209) 6 de 8

7 58. Deve-se construir uma estrada ligando uma fábrica A a uma ferrovia que passa por uma cidade B. Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilíneas, e que os custos de frete por unidade de distância sejam m vezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ângulo α a que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma m >. β α Ferrovia Rodovia 59. Um corpo de peso P apoiado sobre um plano horizontal deve ser deslocado horizontalmente pela aplicação de uma força de intensidade F. Qual o ângulo α com a horizontal deve formar a força para que a intensidade da mesma necessária para mover o corpo seja mínima, admitindo coeficiente de atrito µ > 0? F R α P Observação 0.3. Para cada α [0, π 2 ] fio, o valor mínimo da força F para movimentar o bloco é tal que a diferença entre a componente horizontal de F e a força de atrito R seja positiva, i.e. F cos α µ(p F sin α) 0, ou seja, F µp cos α+µ sin α. 60. Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina? 6. (LEI DE REFRAÇÃO DE SNELLIUS) O objetivo desta questão é demonstrar como a lei da refração de Snellius, da Óptica Geométrica, pode ser obtida como conseqüência do princípio de Fermat, segundo o qual a trajetória dos raios de luz é aquela que minimiza o tempo de percurso. Sejam P R 2 um ponto no semi-plano superior e Q R 2 um ponto no semi-plano inferior, fios (vide figura abaio). Uma partícula vai de P a um ponto M = (, 0) sobre o eio O com velocidade constante u e movimento retilíneo; em seguida, vai de M até Q com velocidade constante v, também em movimento retilíneo. Seja T : R R tal que, para todo R, T() é o tempo de percurso de P a Q. Mostre que T possui um único ponto de mínimo 0 R. Verifique que 0 (0, b) e que, se = 0, então sin α u = sin β v. Observação 0.4. A lei da refleão plana também pode ser obtida como conseqüência do mesmo princípio (verifique!). Q = (b, c) P = (0, a) P = (0, a) α M = (, 0) α β M = (, 0) β Q = (b, c) (A) Refração (B) Refleão MAT 2453 (209) 7 de 8

8 62. (CONSERVAÇÃO DE ENERGIA) Uma partícula de massa m desloca-se sobre uma reta real sob ação do campo de forças f, onde f é uma função contínua R R (isso significa que, para cada R, quando a partícula estiver no ponto de abscissa, a força que atua sobre ela é f ()). Seja V uma função derivável R R tal que, para todo R, V () = f () (diz-se que a força F deriva do potencial V ). Seja : I R a função horária da partícula, definida no intervalo I R (i.e. para cada instante t I, (t) R é a posição da partícula no referido instante). Assuma que o movimento da partícula é governado pela lei de Newton: m (t) = f ( (t) ). Demonstre que eiste uma constante E R tal que, para todo t I: RESPOSTAS 4. (a) ; 2 (b) ; (c) ; 4 + ln4 (d) 3 3; 0 (e) 0; b < k < 5 5. b. 6. a. 7. Dica: e se tivesse infinitas? 20. a e e 2. c. 22. (a) a = 6; (b) a = a. 25. d. 26. a. 27. e. 29. d. (a) 0 (b) 0 (c) (d) 0 (e) 0 (f) 0 (g) (h) (i) (j) e (k) 6 (l) + (m) (n) 2 (o) 3 (p) e 5 (q) e 2 (r) e (s) e 2 3 (t) (u) e π 2 (v) 3 e (w) () d. 34. d. 35. a. 36. Verdadeiras: (b) e (d) < k < 4e /2 ou k > 9 3 e 38. (a) 2 m (t) 2 + V ( (t) ) = E. 39. Não há soluções se k < 0; tem solução se k = 0 ou k > 4 ; tem 2 soluções se k = 4 ; tem 3 soluções se e 2 e 2 0 < k < 4. e a = c. 42. b. 43. (a) ; (b) 4 π 44. altura: 4; raio: π ; 2π + 2 π c. 49. b + b 2 + 4a (5, 0) e ( 5, 0) 5. b. 52. (a) Deve-se formar apenas um quadrado; (b) o lado do quadrado é 3L θ = π ( ) 3/2 60. (a 2/3 + b 2/3 ) 3/2 56. Dica: considere f ()e k. MAT 2453 (209) 8 de 8