Assíntotas. Assíntotas. Os limites infinitos para a função f(x) = 3/(x 2) podem escrever-se como

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Assíntotas Os limites para a função f() /( ) podem escrever-se como lim e lim Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Assíntotas.Assíntotas verticais e limites.assíntotas horizontais e.assíntotas inclinadas Um dos casos mais comuns de assíntota vertical é o gráfico de uma função racional isto é, uma função da forma f() p()/q(), onde p() e q() são polinômios. Se c é um número real tal que q(c) 0 e p(c) 0, então o gráfico de f tem uma assíntota vertical em c. 5 Recorde que, a função f() /( ) é não-limitada quando. Descrevemos esse tipo de comportamento dizendo que a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f. O tipo de limite em que f() (ou - ) quando c pela esquerda ou pela direita é um limite infinito. Eemplo : Determinação de limites lim lim 6

2 Eemplo : Determinação de limites lim lim Cada um dos gráficos do Eemplo tem apenas uma assíntota vertical. Porém, o gráfico de uma função racional pode ter mais de uma assíntota vertical. 7 0 Eemplo : Determinação de limites lim ( lim ) ( ) Eemplo : Determine as assíntotas verticais do gráfico de f. As assíntotas verticais correspondem aos valores de para os quais o denominador é zero. 0 ( ) 0 0 e 8 Eemplo : Determinação de limites lim ( ) lim ( ) Como o numerador de f() não se anula em nenhum desses valores, concluímos que o gráfico de f tem duas assíntotas verticais uma em 0 e uma em. 9

3 . Assíntotas horizontais e Eemplo : Determine as assíntotas 8 verticais do gráfico de f. 4 Fatore primeiro o numerador e o denominador, e cancele os fatores comuns. 8 ( 4) ( ) ( 4) ( ) ( 4) f, 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Outro tipo de limite, chamado limite no infinito, dá um valor finito para o qual tende uma função quando aumenta (ou diminui) sem limite. Definição de assíntota horizontal Se f é uma função e L e L são números reais, as afirmações lim f L e lim f L denotam. As retas L e L, são assíntotas horizontais do gráfico de f. 6. Assíntotas horizontais e Para todos os valores de, o gráfico desta função simplificada é o mesmo que o gráfico de f. Podemos, assim, concluir que o gráfico de f tem apenas uma assíntota vertical, que ocorre em -. 4 A figura ao lado mostra duas maneiras como o gráfico de uma função pode tender para uma ou mais assíntotas horizontais. Note que o gráfico de uma função pode cortar suas assíntotas horizontais. Ao determinar assíntotas horizontais, podemos utilizar a propriedade lim 0, r > 0 e lim 0, r > 0 r r 7. Assíntotas horizontais e Eemplo 4: Ache os limites lim e lim Como o denominador é zero quando, mas o numerador não o é, decorre que o gráfico da função tem uma assíntota vertical em. Isto implica que cada um dos limites dados é ou -. lim e lim 5 Eemplo 5: Ache o limite: lim 5 lim 5 lim 5 lim lim 5 lim Note que o gráfico tem 5 como assíntota horizontal à direita. Calculando o limite de f() quando -, vê-se que esta reta também é assíntota horizontal à esquerda. 8

4 . Assíntotas horizontais e. Assíntotas horizontais e Há uma forma fácil de determinar se o gráfico de uma função racional tem assíntota horizontal. Esse processo prático se baseia em uma comparação dos graus do numerador e do denominador da função racional. Eemplo 6: Ache as assíntotas horizontais dos gráficos das funções a. b. c. Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, a reta -/ é assíntota horizontal. 9. Assíntotas horizontais e. Assíntotas horizontais e Assíntotas horizontais de funções racionais Seja f() p()/q() uma função racional.. Se o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, então 0 é assíntota horizontal do gráfico de f (à esquerda e à direita).. Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, então a/b é assíntota horizontal do gráfico de f (à esquerda e à direita); a e b são os coeficientes dos termos de maior grau de p() e q(), respectivamente.. Se o grau do numerador é superior ao grau do denominador, então o gráfico de f não tem assíntota 0 horizontal. Eemplo 6: Ache as assíntotas horizontais dos gráficos das funções a. b. c. Como o grau do numerador é superior ao grau do denominador, o gráfico não tem assíntota horizontal.. Assíntotas horizontais e. Assíntotas inclinadas Eemplo 6: Ache as assíntotas horizontais dos gráficos das funções a. b. c. Como o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, 0 é assíntota horizontal. Algumas curvas têm assíntotas que são oblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais. Se lim f m b 0 então a reta m b é chamada de assíntota inclinada, pois a distância vertical entre a curva f() e a reta m b tende a 0, como na figura seguinte. (Uma situação análoga eiste quando fazemos -.) 4 4

5 . Assíntotas inclinadas. Assíntotas inclinadas Assim sendo lim f m b 0 0 lim lim lim lim 0 quando ± Logo, a reta é uma assíntota inclinada Assíntotas inclinadas. Assíntotas inclinadas Para as funções racionais, as assíntotas inclinadas ocorrem quando a diferença entre os graus do numerador e do denominador é. Nesse caso a equação da assíntota inclinada pode ser encontrada por divisão de polinômios, como no eemplo a seguir. Derivada primeira: ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f Pontos críticos: Assíntotas inclinadas. Assíntotas inclinadas Eemplo 7: Ache a assíntota inclinada da função f A divisão de polinômios fornece: ( ) f 7 Derivada segunda: f f f ( ) ( 4 6 ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f 0 5

6 . Assíntotas inclinadas Pontos de infleão: ± Os pontos de infleão são: ;,( 0, 0 ) e ; 4 4. Assíntotas inclinadas Intervalo f() f () f () (, ) (, 0) 0 ( 0, ) (, ) Forma do gráfico Cresc.; CC 0 PI - Cresc.; CB 0 0 PI Cresc.; CC 0 PI - Cresc.; CB. Assíntotas inclinadas 6