Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

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1 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Eatas Departamento de Matemática 3 a Lista MAT Cálculo Diferencial e Integral 016/I Professores: Filipe, Juliana, Bulmer 1. Estude a variação de sinal das funções abaio. (a) h() = ( 3)( + 3) (c) f() = + (e) g() = 4 (b) f() = (d) h() = ( 1) ( + 3) ( 3)( + 1) 3 (f) f() = 1 4. Determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os etremos relativos, caso eistam. (a) f() = (d) g() = e + e (g) h() = ea + e a (b) f() = (c) f() = ( 1) 3 (3 + 7) (e) h() = ln(1 + ) (h) f() = ln( ) (f) f() = e3 7 (i) f() = Determine os pontos de infleão e os intervalos de concavidade, caso eistam. (a) f() = (c) f() = (e) f() = (b) f() = (d) f() = (f) f() = Determine a área do maior triangulo isósceles cujo perímetro é 18cm. 5. Determine dois números positivos cujo produto é 3 e cuja diferença é a maior possível. 6. Determine dois números positivos a e b tais que a + b é mínimo, sabendo que a + b = 4.

2 1. Estude a variação de sinal das funções abaio. (a) f() = (d) f() = 4 (g) f() = 5 (b) f() = (e) h() = (h) f() = ( + 3)( 4) + ( 4)( + 1) ( + 4) (c) g() = (f) h() = ln( 1) (i) g() = ln( 1) ln( + 1) + ln(3 7). Determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, e etremos relativos, caso eistam. (a) f() = 5 e 3 (d) f() = arccos( ) a + b (h) f() = arctan( + 3 ) (b) f() = + 1 (e) f() = ln 16 () (i) f() = 1 (4 ) (c) f() = 3 ( a ) [ ] ( 1)(3 7) (f) f() = ln + 1 (j) f() = arcsec( 1) 3. Determine os pontos de infleão e os intervalos de concavidade, caso eistam. (a) f() = 1 (b) f() = ( + ) (c) f() = arctan( 1) (d) f() = ln (e) f() = (f) f() = e 4. Determine, caso eistam, as assintotas ao gráfico das seguintes funções. (a) f() = 1 (c) f() = ln( 5) (e) f() = 3 a 3 a (b) f() = ab ( a)( b) (d) f() = (f) f() = Um retângulo tem área igual a 64cm. Determine as dimensões deste retângulo de tal forma que a distância de qualquer vértice ao ponto médio do lado não adjacente seja mínima. 6. Determine os pontos sobre a hipérbole de equação y = 1 mais próimos do ponto (0, 1). 7. Determine a área do retângulo máimo, com base no eio X e os outros vértices localizados sobre a parábola y = 1.

3 3 1. Esboce o gráfico das funções abaio. (a) f() = ( + 4) 3 (e) h() = (i) g() = cos() cos () (b) g() = + ln (f) f() = (j) h() = ln(e + 1 ) (c) f() = ( 1) ( + 1) 3 (g) g() = + sin (k) h() = arctan(ln ) (d) f() = ln( + 1 1) (h) g() = e cos() (l) h() = arcsen(1 3 ). Determine as constantes a, b para que f() = 3 + a + b tenha um etremo relativo no ponto (, 3). 3. Determine a, b, c tais que o f() = a + b + c tenha valor máimo igual a 7 em = 1 e cujo gráfico passe pelo ponto (, ). 4. Determine a, b, cd para que a curva y = a 3 + b + c + d seja tangente ao eio X no ponto (, 0) e tenha ponto de infleão em (0, 4). 5. Seja f() = a 3 + b + c + d com a 0 e a, b, c, d R. Mostre que f possui um ponto de máimo e um ponto de mínimo se b 3ac > Sabendo que f() = + a possui ponto de infleão no ponto de abcissa = 1. Determine o valor de a. 7. Seja f contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Defina g() = f()(b a) (f(b) f(a)). Se aplica o teorema de Rolle para g? 8. Seja f uma função contínua em [a, b], com primeira derivada contínua e f derivável até duas vezes no intervalo (a, b). Defina g : [a, b] R por g() = f(b) f() f K(b ) ()(b ). Determine K para que seja possível aplicar o teorema de Rolle para g. 9. Mostre que sin(a) sin(b) a b para todo a, b R. 10. Mostre que b a cos tan(b) tan(a) b a (a) cos (b), para 0 < a b < π. 11. Mostre que ln( + 1) < para todo Se f() = Mostre que a equação = 0 possui pelo menos uma raiz real no intervalo (0, 1). 13. Mostre que a equação = 0 possui eatamente uma raiz real no intervalo (0, 1). 14. Se g() = 4 sin(4), para [ π 8, π 8 ]. Eiste algum c ( π 8, π 8 ) tal que g (c) = ( π 8 )3? 15. Se f() = ( 3)( + ) 3, [, 3]. Determinar c (, 3), caso eista, para satisfazer o teorema de Rolle. 16. Determine c ( 4, 5) tal que a função f() = satisfaça o teorema do valor médio em [ 4, 5].

4 4 Problemas 1. Com uma quantidade A de material dado deve-se construir um depósito de base quadrada e paredes verticais. Determinar as dimensões que dão o volume máimo.. Considere a reta + y = 8. Determinar as dimensões do retângulo de área máima tal que dois de seus vértices estão sobre a reta dada e os outros dois estão sobre os semieios positivos X e Y. 3. Um dos lados de um retângulo esta contido na reta = 9 e os outros dois vértices pertencem à parábola + 4y = y + 7. Determinar as dimensões deste retângulo de área máima e a sua área. 4. Determinar um ponto sobre a parábola y = 4 de tal forma que a reta tangente neste ponto, no segundo quadrante, determine um triângulo de área mínima. 5. Encontrar as dimensões de um cone circular reto de menor volume que pode ser circunscrito a um cilindro circular reto de raio R e altura H. 6. Um veiculo deve de percorrer 300km em uma rodovia à velocidade constante de km/h. As leis de transito estabelecem que os limites O litro de combustível custa 3 reais; o veiculo consome litros por hora. Se o motorista cobra P reais por hora e se obedece as leis de transito, determinar a velocidade mais econômica para o proprietário do veiculo nos casos em que P = 0; P = 5, P = Determine o ponto da curva y = (1 ) situado a menor distância da origem. 8. Determine o ponto sobre o eio X cuja soma das distancias a (4, 5) e (, 3) é mínima. 9. Uma estátua de 6m de altura tem sua base a m acima do nível dos olhos de um observador. Qual a distancia que o observador deve de colocar-se para que o ângulo de observação ao topo da estatua seja máimo? 10. Um gráfica imprimirá panfletos ou menos a razão de 60 reais por cada mil panfletos. O preço cairá em 15 reais a cada mil panfletos adicionais impressos. Qual o número de panfletos que maimizará o valor do trabalho das impressões? 11. Determinar a distancia mínima e máima do ponto (4, 3) à circunferencia + y = Uma janela tem formato retangular com um semicírculo no topo. Determinar as dimensões da janela de área máima, se o perímetro é de 1m. 13. Uma janela tem formato retangular, arrematada por um triangulo equilátero no topo. Sabendo que o perímetro é igual a 4m, determine as dimensões do retângulo que proporciona área máima para a janela. 14. Um fabricante pode ter lucro de 0 dólares por cada produto que produz se a produção semanal não ultrapassa 800 produtos. O lucro por produto decresce em centavos por produto que ultrapasse os 800. Qual a quantidade de produtos que deve de produzir-se por semana para se ter lucro máimo? 15. Se um depósito cilíndrico (fechado em ambos os etremos) deve de ter V como volume, encontrar as dimensões que requeiram usar o mínimo de material. 16. Inscreve-se um cilindro dentro de um cone circular reto de raio R. Determinar o raio do cilindro que proporcione: (a) volume máimo e (b) área lateral máima. 17. Desejamos construir um jardim no formato de setor circular. Se o perímetro deve de ser 30m, quais as medidas deste jardim de área máima?

5 5 18. Cinqüenta animais ameaçados de etinção são colocados em uma reserva. Decorridos t anos, a população desses animais é estimada por (t) = 50 t + 6t + 30 t. Em que instante essa população animal atinge seu + 30 máimo? Quanto ele vale? 19. Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375? cm 3. O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 0,15 por cm e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,05 por cm. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para construí-lo. 0. Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. A pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação horas após as 17h é f() = 1 ( ) 8 (a) Em que instante, entre 17h e meia-noite, eistem mais ouvintes sintonizados na estação? porcentagem de ouvintes neste momento? Qual é a (b) Em que instante, entre 17h e meia-noite, eistem menos ouvintes sintonizados na estação? Qual é a porcentagem de ouvintes neste momento? 1. Uma pesquisa de opinião revela que meses após anunciar sua candidatura, certo político terá o apoio de S() = 1 ( ) % dos eleitores, sendo 0 1. Se a eleição estiver marcada para 9 novembro, qual o melhor mês para anunciar a candidatura? Se o político necessita de pelo menos 50% dos votos para vencer, quais são as chances de ser eleito?. Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères atravessa o circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo I = E r + R e P = I R Supondo que r seja constante, qual o valor de R para o qual a potência dissipada é máima? 3. Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000m e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra? 4. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio,.000m a oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto que em terra custa R$ 31,00 por metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? 5. A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade é proporcional ao produto do número de pessoas que já ouviram o boato pelo número de pessoas que ainda não o ouviram. Mostre que a rapidez é máima no instante em que metade das pessoas ainda não ouviu o boato.