Demonstração. Sabemos que o volume de um cone reto com base circular de raio r e altura h é dado por

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - PARTE Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. Questão 1. Calcule os ites a) (1.0 pt) e 1/x ln x b) (1.0 pt) x 0 + Demonstração. a) Pela Regra de L Hôpital x x1/x ln x e 1/x ln x x 0 + x 0 + e1/x x 0 + ln x e1/x x x ( ) e 1/x 1x ( ) x e 1/x 1x x x e 1/x 1 x pois e 1/x e 1/x quando x 0 + b) Ponha y x 1/x. Então ln y ln x 1/x 1 x ln x. Note que ln y ln x x x x Pela Regra de L Hôpital x e 1/x 1 x que é do tipo ln x x x 1/x x 1 1 x x 0 Além disso, x 1/x e ln x1/x x x1/x E pela continuidade de e x, segue que x x1/x x ln x1/x e e x1/x eln x

2 Questão. (.0 pt) Uma esteira transportadora está descarregando soja a uma taxa de m /h, formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido estará crescendo a altura da pilha quando a pilha possuir 1 metro de altura? Demonstração. Sabemos que o volume de um cone reto com base circular de raio r e altura h é dado por V r h O problema diz que o diâmetro da base e a altura são sempre iguais, isto é, d h r h r h/. Portanto V (t) r(t) h(t) dv (t) h(t) dh(t) 1 dh(t) dv (t) h(t) ( ) h(t) h(t) h(t) 1 h(t) Logo, no instante t tal que h(t ) 1, temos dh(t ) dh(t) h(t ) dv (t ) 1 1 m/h Questão. (.0 pt) Uma pista de atletismo de comprimento total de 00m, consiste de dois semicírculos de raio r e um retângulo de lados a e r. Determine as dimensões de a e r de tal maneira que a área retangular demarcada pela pista seja máxima.

3 Demonstração. O perímetro da pista (parte vermelha) é composto pelo perímetro do semicírculo esquerdo + perímetro do meio + perímetro do semicírculo direito. Em termos de equações P P esquerda + P meio + P direita 00 ( r) + (a) + ( r) r + a [ r + a 00 [ r + a 00 r + a a 00 r Por outro [ lado, queremos maximizar a área do quadrado dada por A r a r 00 r Ou seja, maximizar a função [ A(r) r 00 r Para que o problema faça sentido, temos que ter r > 0 e a > 0 00 r > 0 r < 00 (. Portanto, D(A) 0, 00 ). Encontrando os pontos críticos de A [ A(r) r 00 r r + 00r A (r) r + 00 r + 00 A (r) r r 00 r 100 Assim, r 100 é o único ponto crítico, pois a derivada de A está definida em todo ponto do domínio A (r) r Tabela 1: Intervalos de crescimento e decrescimento de A Observando a Tabela 1, pelo Teste da Derivada Primeira para Valores Extremos Globais, segue que r max 100 é máximo global de A. Substituindo r max em a 00 r obtemos a max Por fim r max 100 metros e a max 100 metros

4 Questão. Dada a função f(x) x + 1, determine: a) (0.5 pt) O domínio de f b) (0.5 pt) Interseção com os eixos c) (0.5 pt) Assíntotas horizontais e d) (0.5 pt) Pontos críticos e intervalos verticais de crescimento e decrescimento e) (0.5 pt) Máximos e mínimos locais f) (0.5 pt) Intervalos de concavidade g) (0.5 pt) Pontos de inflexão h) (0.5 pt) Esboço Demonstração. a) D(f) {x R x 1} b) Eixo x: y f(x) 0 x + 1 x Porém, observe que x 0 x Ou seja, não existe x tal que x e portanto não existe interseção com o eixo x. Eixo y: f(0) (0 1) ( 1) Portanto, a função f toca o eixo y em y 1. c) Horizontais: f(x) x x x x + 1 x x x + 1 é do tipo x x x 1 Por outro lado f(x) x + 1 x + 1 é do tipo x x 1 e ainda é do tipo é do tipo

5 Ou seja f(x) 1 f(x) x e assim y 1 é assíntota horizontal Verticais: De posse que x + 1 f(x) x 1 x x + 1 f(x) x 1 + x vemos que x 1 é assíntota vertical. d) Pontos críticos: [ x (x + 1) f (x) [ x (x + 1) [ (x x) (x + 1) ( x 1) (x + 1) 0 x x 1 Como x 1 D(f) e f ( 1) 0, x 1 é ponto crítico de f. Apesar de f (1) não existir, 1 D(f). Ou seja, 1 é o único ponto crítico de f. Intervalos de crescimento e decrescimento: 1 1 x f (x) + Tabela : Intervalos de crescimento e decrescimento de f Da Tabela, concluímos que i) f < 0 em (, 1) e (1, ) f é decrescente em (, 1) e (1, ) ii) f > 0 em ( 1, 1) f é crescente em ( 1, 1) e) Da Tabela, pelo Teste da Derivada Primeira, x 1 é mínimo global e não há máximo local. Além disso, f( 1) ( 1) + 1 (( 1) 1) ( ) 1 é o valor mínimo local associado à 1. 5

6 f) Calculando f (x): 1 (x + 1) [ f (x) [ 6 (x + 1) 6 x (x + ) 0 x + 0 x Montando a tabela dos intervalos de concavidade de f: Da Tabela, concluímos que 1 1 (x + ) f (x) Tabela : Intervalos de concavidade de f i) f < 0 em (, ) f é côncava para baixo em (, ) ii) f > 0 em (, 1) e (1, ) f é côncava para cima em (, 1) e (1, ) g) Da Tabela, vemos que f troca de concavidade em x e como D(f), então é ponto de inflexão e h) é seu valor associado. f( ) ( ) + 1 (( ) 1) + 1 ( ) 5 9 6

7 Figura 1: Esboço de f(x) x + 1 7