MAT 140 (Cálculo I) 2017/I Lista de Derivadas e Aplicações

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática MAT 140 (Cálculo I) 2017/I Lista de Derivadas e Aplicações 1) Determine a função derivada de f definida por: a) ( ) 4 b) ( ) e c) ( 2 + 4) 2 d) sec (6) e) cot(10) f) cos( ) 2) Determine d d. a) = 1 b) 2 2 = g) h) i) 3 2 j) e k) ln( 2 + 2) l) tg(ln()) c) = 4 2 d) = 5 3) Determine uma equação da reta tangente à curva = 32 no ponto (1, 2). 4) Determine f n (), em que:

2 a) f() = , n = 3. ( ) 2 1 b) f() =, n = 2. c) f() = cos(), n = 3. d) f() = sen(2), n = 50. 5) Seja f : R R derivável e seja g(t) = f(t 2 +1). Supondo f (2) = 5, calcule g (1). 6) Resolva os seguintes problemas de taas relacionadas: a) Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4 m do solo? b) Dois carros, um dirigindo-se para o leste à taa de 72 km/h e o outro para o sul à taa de 54 km/h estão viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. A que taa os carros se aproimam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a 400 m e o segundo estiver a 300 m do cruzamento? c) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. Determine a taa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm. d) Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de 1 m/min. Determine a taa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20 m. e) Uma luz está no alto de um poste de 5 m. Um menino de 1,6 m se afasta do poste à razão 1,2 m/s. A que taa aumenta o com-

3 primento de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taa se move a ponta de sua sombra? f) A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15 cm/min, determine a velocidade com que a areia está escoando quando a altura da pilha é 25 cm. g) Suponha que uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taa de 8 dm 3 /min. Determine a taa a qual o raio é aumentado quando a bola de neve tem 4 dm de diâmetro. h) As etremidades de um cocho horizontal de 8 m de comprimento são trapézios isósceles de bases de 2 m e 1 m. A altura do cocho é de 0,6 m. Se o nível da água está subindo à razão de 0,1 cm/min, quando a profundidade da água é de 0,3 m com que velocidade a água está entrando no cocho? i) Às 8 h o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste a uma velocidade de 16 km/h e o navio B está navegando para o sul a 20 km/h, determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min. j) Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60 m de P, o ponto mais próimo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 150 m de P. 7) Calcule as derivadas das seguintes funções

4 a) = arc sen b) = (1 + arc cos 3) 3 c) = ln(arc tg 2 ) arc sen 3 d) = 3 arc tg e) (tg ) 8) Assuma em função de e determine por derivação implícita. a) = sen b) e cos = e c) 2 + arc sen = e 9) Determine os pontos críticos da função f. a) f() = b) f() = c) g() = d) f(t) = (t 2 4) 2 3 e) h() = f) f() = 2 9 g) f() = sen 2 (3) h) g() = ( 2) 3 ( + 1) 2 10) Determine os valores de máimos e mínimos (locais e globais) de f no intervalo indicado. a) f() = em [ 2, 3]. b) g() = em [ 2, 1]. 11) Determine máimos e mínimos locais e globais de f.

5 a) f() = b) f() = ) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f. a) f() = b) f() = ) Ache os máimos e mínimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de infleão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baio. a) f() = b) f() = ) Resolva os seguintes problema de otimização: a) Um fabricante de caias de papelão de base quadrada deseja fazer caias abertas de pedaços de papelão de 12 m de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caia cujo volume seja o maior possível. b) Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se eige cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa R$ 2,00 por metro para os etremos e R$ 3,00 por metro para o lado paralelo ao rio, encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo de R$ 480,00.

6 c) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 3km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km rio abaio, de B. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por km de cabo é 25% mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia? d) Se uma lata fechada de estanho, de volume específico, deve ter a forma de um cilindro circular reto, encontre o quociente da altura pelo raio da base se em sua fabricação será usada a menor quantidade de material possível. e) Um laranjal produz 600 laranjas por ano se não mais de 20 laranjeiras forem plantadas por acre. Para cada laranjeira plantada a mais por acre, a produção por laranjeira diminui em 15 laranjas. Quantas laranjeiras por acre devem ser plantadas a fim de se obter o maior número de laranjas? f) Uma folha de papel para um cartaz tem 1 metro quadrado de área. As margens superior e inferior valem 10 cm e as margens laterais 5 cm. Determine as dimensões da folha, sabendo que a área impressa é máima. g) Uma ilha está situada no ponto A, 8 km de distância da praia medidos a partir do ponto B mais próimo num trecho reto de litoral. Uma mulher na ilha deseja ir ao ponto C, 9 km praia abaio a contar do ponto B. A mulher pode alugar um barco por R$ 1,00 o quilômetro e viajar por mar até um ponto P situado entre B e C, e daí tomar um tái a R$ 0,6 o quilômetro e viajar por uma estrada retilínea de P a C. Calcule a rota menos

7 dispendiosa do ponto A ao ponto C. h) Um chalé tem a forma de um triângulo isósceles de 12 m de altura e 9 m de base. A iluminação na parede dos fundos é feita através de uma única janela retangular que vai até o chão. Ache as dimensões para que a área da janela seja a maior possível. i) Deve-se construir um canteiro com a forma de um setor circular. Qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior possível? Sabendo que dispomos de 360 m de fio para cercá-lo com três voltas? Qual é essa área máima? j) Qual é o comprimento do menor caminho entre os pontos A = (0, 1) e B = (3, 2), passando pelo eio? k) Uma pessoa se acha em um bote a 2 km de distância do ponto mais próimo em uma praia retilínea e deseja-se atingir uma casa a 6 km praia abaio. Se a pessoa pode remar a razão de 3 km/h e andar a razão de 5 km/h determine o tempo mínimo que levará para atingir a casa. l) Uma pessoa deseja construir e cercar um jardim retangular com 400 m 2. Ela necessita saber a largura do terreno de tal forma que a quantidade de material para cercá-lo seja mínimo. m) De todos os retângulos com área m 2, qual o de menor perímetro? n) De todas as latas cilíndricas de volume 300 m 3, qual a que pode ser fabricada com menor quantidade de material? o) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 metros de largura a um con-

8 p) junto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaio da central. O custo da obra através do rio é de R$640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? À 1 hora da tarde o navio A está a 30 km ao Sul do navio B e navega rumo ao Norte a 15 km/h.se o navio B navega para Oeste a 10 km/h, determine o instante em que a distância entre os dois navios é mínima. q) Dois postes verticais de 2 m e 2,5 m de altura distam 3 m um do outro. Determine o comprimento do menor cabo que, partindo do topo de um poste, toque o solo e termine no topo do outro poste. r) Uma imobiliária possui 180 apartamentos tipo econômico, que estão todos alugados por R$ 300,00 mensais. A imobiliária estima que, para cada R$ 10,00 de aumento no aluguel, 5 apartamentos ficarão vazios. Qual o aluguel que deve ser cobrado para se obter renda mensal máima? 15) Faça o esboço do gráfico das funções abaio. a) f() = 3 2 b) f() = 2 4 c) f() = e 2 d) f() = ) Esboce o gráfico de f, sabendo-se que:

9 a) D(f) = R, f(0) = 0 Ponto(s) crítico(s): { 1, 1} Crescente: [ 1, 1] Decrescente: (, 1] [1, + ) Ponto de máimo: (1, 2) Ponto de mínimo: ( 1, 2) Convea: [ 2, 0] [2, + ) Côncava: (, 2] [0, 2] Ponto(s) de infleão: {( 2, 1), (0, 0), (2, 1)} Assíntota Vertical: não tem Assíntota Horizontal: = 0 Côncava: ( 1, 1) Ponto(s) de infleão: não tem Assíntotas Verticais: = 1 e = 1 Assíntota Horizontal: não tem c) D(f) = R, f(0) = 0 Ponto(s) crítico(s): {1} Crescente: (, 1] Decrescente: [1, + ) Ponto de máimo: (1, 1) Ponto de mínimo: não tem Convea: [2, + ) Côncava: (, 2] Ponto(s) de infleão: b) D(f) = R { 1, 1}, f(0) = 0 Ponto(s) crítico(s): {0} Crescente: (, 0] Decrescente: [0, + ) Ponto de máimo: (0, 0) Ponto de mínimo: não tem Convea: (, 1) (1, + ) {(2, 1/2) Assíntota Vertical: não tem Assíntota Horizontal: = 0 d) D(f) = R { 1, 1}, f(0) = 0 Ponto(s) crítico(s): { 2, 0, 2}

10 Crescente: (, 2] [2, + ) Decrescente: [ 2, 2] Ponto de máimo: ( 2, 3) Ponto de mínimo: (2, 3) Convea: ( 1, 0] (1, + ) Côncava: (, 1) [0, 1) Ponto(s) de infleão: {(0, 0)} Assíntotas Verticais: = 1 e = 1 Assíntota Horizontal: não tem 17) Dado o gráfico de f e sabendo-se que f(0) = 0, f(1) = 5, f( 1) = 6, f(3) = 6, f( 1/2) = 4, f(2) = 0, e que os etremos de f ocorrem em = 1/2 e em = 2, determine: a) os pontos críticos de f. b) os intervalos de crescimento e decrescimento de f. c) os intervalos em que f é côncava os intervalos em que f é convea. d) o gráfico de f f 18) Uma função real f tem as seguintes características: D(f) = R {2}, f(3) = 2, lim 2 2 f() = + e lim f() = + ; lim + Os gráficos de f e de f são dados abaio: f() = lim f() = + 2 f

11 2 3 f Determine: a) intervalos onde f é crescente e os etremos relativos de f, se eistirem. b) intervalo onde f é côncava para cima e pontos de infleão, se eistirem. c) as assíntotas horizontal e vertical, se eistirem. d) o gráfico de f. 19) Para cada uma das funções abaio determine: O domínio de f. Os pontos críticos de f. O(s) intervalo(s) em que f é crescente e o(s) intervalo(s) em que f é decrescente. Os etremos relativos de f, se eistirem. O(s) intervalo(s) em que f é côncava para cima e o(s) intervalo(s) em que f é côncava para baio. Os pontos de infleão do gráfico de f, se eistirem.

12 As assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f, se eistirem. Um esboço do gráfico de f. a) f() = b) f() = 1 c) f() = 2 1 d) f() = e) f() = f) f() = e g) f() = 3 2 h) f() = ( + 1)( 1) 3 Gabarito 1) a) 4( ) 3 (2 + 4) b) e( ) e 1 ( ) c) 2( 2 + 4) 3 (2) d) 6sec (6)tg (6) e) 10 csc(10) f) 6sen ( ) 2) a) d d = 2 2 b) d d = g) h) 4( ) 1 2 i) 2 3 (2) 2 3 j) e k) l) 1 sec 2 (ln()) c) d d = ) = )

13 a) f () = 48 b) f () = 6 4 c) f () = sen () d) f (50) () = 2 50 sen(2) 5) g (1) = 10 6) a) m/s b) 90 Km/h c) 15π cm 2 /min d) 40π m 2 /min e) 1, 764 m/s 0, 564m/s f) 9375π cm 3 /min g) 0.5π dm/min h) 0, 84 dm/min i) Km/h j) 3480π m/min 7) a) b) (1 + arc cos 3) c) 2 (1 + 4 )arc tg 2 d) 3 ln 3 2 arc sen ( e) (tg ) arc tg cot sec arc tg + sen 8) a) 1 cos b) e cos e e sen + e ) ln(tg ) 1 + 2

14 c) 9) a) 5, (e arc sen 2) b) 3, 1, 1 c) 0, 2 d) 2, 0, 2 e 1 2 e) não tem f) não tem g) 1 6kπ, k Z h) 1, 1/5, 2 10) a) f( 2) = 7 valor máimo; f(3) = 87 4 valor mínimo b) f( 2) = 27 valor mín.; f(1) = 0 valor máimo. 11) a) (1, f(1)) é ponto máimo global; ( 1, f( 1)) é ponto de mínimo global. b) (0, f(0)) e (2, f(2)) ponto de mínimos globais; (1, f(1)) é ponto de máimo local. 12) a) estritamente crescente em ], ] e [ 1 3, + [ estritamente decrescente em [ 1, 1 3 ] b) estritamente crescente em ], ] e [1, + [ estritamente decrescente [ 1, 0[ e ]0, 1]. 13) a) mínimo relativo: ( 1 3, 2 3 ); côncavo em todo domínio. b) máimo relativo: ( 3 2, 81 4 ), mínimo relativo: ( 1, 11); ponto de infleão: ( 1 4, 37 8 ) conveo em (, 1 4 ); côncavo em (1 4, ) 14) a) O lado paralelo ao rio deve ser de 80m e os outros dois de 60m.

15 b) 5km por água e 2 km por terra. c) h = 2r=diâmetro d) 30 laranjeiras. e) cm e 50 2 cm f) Ir 10 km de barco e 3 km de tái. g) 9 2 m e 6 m. h) r = 30 m e A = 900 m 2 i) j) h k) largura de 20 m. l) Quadrado de lado 100 m. m) Área de raio 5 3 π m altura 12 3 π. n) Tubulação de 65 4 m em terra. o) h após às 13 h. p) m q) Aluguel deve ser de R$ 330,00. r) 3 2 s) 4 + π t) 33 2 π 15)

16 (c) (b) (a) (d) ) a) c) b) d) 17) D(f) = R, f(0) = 0 Crescente: [ 1, 1] [3, + ) Ponto(s) crítico(s): { 1, 1, 3} Decrescente: (, 1] [1, 3]

17 Ponto de máimo: (2, 0) Ponto de mínimo: ( 1/2, 4) Convea: (, 1/2] [2, + ) Côncava: [ 1/2, 2] 18) a) Crescente: [3, + ) Ponto de mínimo (3, 2) b) Convea: (, 0] [2, + ) Ponto de infleão: (0, 0) c) Assíntota horizontal em = 0. 19) a) f() = D(f) = R {(1, 2)} Ponto(s) crítico(s): {0, 2} Crescente: (, 0] [2, + ) Assíntota Vertical: não tem Assíntota Horizontal: não tem Decrescente: [0, 2]) Ponto de máimo: (0, 0) Ponto de mínimo: (2, 4) Convea: [1, + ) Côncava: (, 1] Ponto(s) de infleão:

18 3 b) f() = 1 D(f) = R {1} Ponto(s) crítico(s): não tem Decrescente: R {1} Não tem pontos etremos Convea: (1, + ) Côncava: (, 1) 1 1 Ponto(s) de infleão: não tem Assíntota Vertical: = 1 Assíntota Horizontal: = 1 c) f() = 2 1 D(f) = R { 1, 1} Ponto(s) crítico(s): não tem Crescente: Decrescente: R { 1, 1}

19 Ponto de máimo: não tem Ponto de mínimo: não tem Convea: ( 1, 0] (1, + ) Côncava: (, 1) [0, 1) Ponto(s) de infleão: {(0, 0)} Assíntota Vertical: = 1 e = 1 Assíntota Horizontal: = d) f() = D(f) = R Ponto(s) crítico(s): { 1, 1} Assíntota Vertical: não tem Assíntota Horizontal: = 0 Crescente: [ 1, 1] Decrescente: (, 1] [1, + ) Ponto de máimo: (1, 1/2) Ponto de mínimo: ( 1, 1/2) Convea: ( 3, 0] [ 3, + ) Côncava: [0, 3] (, 3] Ponto(s) de infleão: {( 3, 3 4 ), (0, 0), ( 3, 3 4 )}

20 e) f() = D(f) = R { 1, 1} Ponto(s) crítico(s): {0} Crescente: (, 1) ( 1, 0] Decrescente: [0, 1) (1, + ) Ponto de máimo: (0, 0) Ponto de mínimo: não tem Convea: (, 1) (1, + ) Côncava: ( 1, 1) Ponto(s) de infleão: não tem Assíntota Vertical: = 1 e = 1 Assíntota Horizontal: = f) f() = e

21 D(f) = R Ponto(s) crítico(s): {1} Crescente:(, 1] Decrescente: [1, + ) Ponto de máimo: (1, 1/e) Ponto de mínimo: não tem Convea: [2, + ) Côncava: (, 2] Ponto(s) de infleão: {(2, 1/e 2 )} Assíntota Vertical: não tem Assíntota Horizontal: = 0 g) f() = 3 2 D(f) = R Ponto(s) crítico(s): {2} Não tem assíntota Vertical ou Horizontal Crescente: R Decrescente: Ponto de máimo: não tem Ponto de mínimo: não tem Convea: (, 2] Côncava: [2, + ) Ponto(s) de infleão: {(2, 0)}

22 2 h) f() = ( + 1)( 1) 3 D(f) = R Ponto(s) crítico(s): { 1/2, 0} Crescente: [ 1/2, + ) Decrescente: (, 2]) Ponto de máimo: não tem Ponto de mínimo: ( 1/2, 27/16) Convea: (, 0] [1, + ) Côncava: [0, 1] Ponto(s) de infleão: {(0, 1), (1, 0)} Não tem assíntota Vertical ou Horizontal