LISTA COMPLEMENTAR DE FUNÇÕES E LIMITES
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- Margarida Branco Lacerda
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1 LISTA COMPLEMENTAR DE FUNÇÕES E LIMITES Autor: Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eng. APLICAÇÃO DE LIMITES EM CONSTRUÇÕES GRÁFICAS ) Dada as funções: (I) f ( ) ;(II) f ( ) ; (III) 3 f ( ) ; (IV) 5 f ( ) 4 ; (V) ( ) ( ) ( ) f ; (VI) f ( ) ( ) ( ) ( 3) ; (VII) ( ) ( ) ( ) e e f ;(VIII) f ( ) ; (IX) (XII), se > 0 f ( ), se 0 ; (X) f ( ) ( ) ( 4) ( 6) ( ) ( ) (a) O domínio dessa função. Resposta: f ; (XI) f ( ) 3 ; ; pede-se: (b) Calcule os ites laterais que forem necessários. 4 ( ) (c) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função dada. (d) Calcule os ites da função dada para e. (e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) dessa função. (f) A função f é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos de descontinuidade e por quê. (g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os ites calculados nos itens anteriores. (h) Determine a imagem dessa função. (i) Apresente uma informação que julgar importante sobre esta função e que não foi solicitado nos itens anteriores. ) Dada a função f ( ), 4, se 3, se < se >, pede-se: a) Dom(f) b) f () c) f() d) f() e) f( ) f) f é contínua em? Justifique. g) f ( ) h) f() i) Gráfico de f j) Im(f) 3) Dada a função a) f () b) f ( ) 5 0, se < 4 f ( ) 3, se, pede-se: 0 0, se > 4 c) f ( ) d) f ( ) e) f é contínua em? Justifique.
2 4) Dada a função f ( ) cot g, pede-se: a) Determine o domínio dessa função. Resposta: { R / k π, k Z} b) Destaque cinco pontos de descontinuidade dessa função. Resposta: π, π, 0, π, π c) Calcule os ites que julgar necessário para o esboço do gráfico dessa função. d) Faça um esboço do gráfico dessa função. e) Determine a imagem da função. Resposta: R > plot(cot(),-7..7,y-5..5); 5) Dada a função f ( ) cot g, pede-se: k π a) Determine o domínio dessa função. Resposta: R /, k Z b) Destaque 4 pontos de descontinuidade dessa função. Resposta: π, π /, π/, π c) Calcule os ites necessários para o esboço do gráfico dessa função. d) Faça um esboço do gráfico dessa função. e) Determine a imagem da função. Resposta: R > plot(cot(*),-4..4,y-0..0); 6) Dada a função f ( ) cossec, pede-se: a) Determine o domínio dessa função. Resposta: { R / k π, k Z} b) Destaque cinco pontos de descontinuidade dessa função. Resposta: π, π, 0, π, π c) Calcule os ites que julgar necessário para o esboço do gráfico dessa função. d) Faça um esboço do gráfico dessa função. e) Determine a imagem da função. Resposta: ] -, ] [, [
3 > plot(csc(),-0..0,y-3..3); 7) Um capital (C) aplicado à uma taa de juros compostos (i) durante um período de tempo (t) produz um montante (M), dado por: M C. ( i) t. Neste conteto, determine em quanto tempo (anos, meses e dias) um capital triplica se for aplicado a uma de % ao mês. Resposta: 0, m 9 anos meses e 3 dias. 8) Sabendo que um capital (C) aplicado à uma taa de juros compostos (i) durante um período de n M tempo (n) produz um montante (M), dado por: M C ( i). Mostre que: i n. Nesse C mesmo conteto, determine o tempo necessário para que um capital duplique se for aplicado a,50% ao ano. Resposta: 6, a 6 anos 4 meses e 3 dias. 9) Sabendo que um capital (C) aplicado à uma taa de juros compostos (i) durante um período de M ln t C tempo (t) produz um montante (M), dado por: M C ( i). Mostre que: t. ln i ( ) 0) Deve-se construir uma caia de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 5 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caia de volume máimo. (Desprezar a espessura da cartolina.). Use duas casas decimais, com arredondamentos. Determine também o domínio da função volume. > restart: > # Sabemos que o volume de um prisma reto é dado por: V Abase*altura a*b*c > a:50-*; a : 50 > b:76-*; b : 76 > c:; c : > Va*b*c; V ( 50 ) ( 76 ) > Vepand(a*b*c); V ) Dom(f)? se f ( ). ) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que meses a partir 30 de agora, o preço de um certo modelo seja de P ( ) 40 unidades monetárias (u. m.). (a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) $ 45. (b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) $. (c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P() 43 > Daqui a 9 meses. (d) O que acontecerá com o preço a longo prazo ( )? Resposta: P() $ 40 quando. 3
4 3) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de 6 P( t) 0 milhares. t (a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? (b) De quanto a população crescerá durante o 9 0 ano? (c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: (a) P(9) 94/0 9,4 milhares. (b) P(9) P(8) 94/0-58/3 (/5) milhares 67 habitantes. (c) A população aproimar-se-á de 0 mil habitantes. Nota: É importante ter em mente que o ite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual pode-se aproimar tanto quanto se desejar. 4) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas v n(t) e v e(t) da figura abaio fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de ites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias. 5) Seja T f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A figura abaio mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a temperatura ambiente. Pergunta-se: (a) Qual é o significado físico de f ( t)? (b) Qual é o significado físico de f ( t)? t 0 t 6) Sabe-se que sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é função da pressão a que o mesmo está submetido. E a lei dessa função é dada pelo gráfico da figura a seguir; K Representada por V, onde K é uma constante que depende da massa e da temperatura do gás. P 4
5 K (a) Com respeito à função V, P > 0 (não tem sentido físico considerar a pressão P nula ou P negativa), o que se pode dizer de V quando P diminuir, tendendo para zero? Resposta: Aumenta, tendendo a mais infinito. (b) Para a mesma função, o que acontece com o volume V quando a pressão P cresce, tornando-se muito grande, isto é, quando P tende para infinito? Resposta: Diminui, tendendo a zero. 7) Seja i a corrente variando em função do tempo t, num circuito elétrico onde temos a descarga de um capacitor C e uma resistência R. t C R Sabe-se que: i I 0 e. (a) Determine a corrente inicial para t 0. (b) Estude a variação da corrente quando t cresce indefinidamente. (c) Faça um esboço da corrente em função do tempo. Solução: t C R > restart: > i:t->i0*ep(-t/(c*r)); i : t I0 e > ii(0); i I0 > C:00;R:/0; # SEM VALOR NUMÉRICO, NÃO CALCULA C : 00 R : 0 > Limit(I0*ep(-t/(C*R)),tinfinity)it(I0*ep(-t/(C*R)),tinfinity); I0 e ( / 0 t ) 0 t 8) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, f > 0 ). Seja e o eio principal dessa lente. Seja P um objeto situado em e e P a imagem correspondente. As abscissas p e p de P e P respectivamente, tomadas em relação ao centro ótico o da lente, se f p relacionam através da equação de Gauss:, dessa equação tiramos que: p', p p' f p f onde f é uma constante que depende da lente. Construa o gráfico de p em função de p. 5
6 9) Resolva a seguinte inequação: 3 < 3 4 Resposta: S { R / / < / 4} Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, versão, temos: > 0) Calcule os seguintes ites: a) > Limit((^(/3)-7^(/3))/(-7),7) it((^(/3)-7^(/3))/(-7),7); 7 ( / 3 ) 7 ( / 3 ) 7 7( / 3 ) 9 b) 8 Dica: Utilize o conjugado > Limit((^-9)/(sqrt(^7)-4),3)it((^-9)/(sqrt(^7)-4),3); c) /,5 Dica: Utilize o conjugado > Limit(sqrt(^65*^3)-^3,infinity)it(sqrt(^65*^3)-^3,infinity); cos sec d) 0... / / Dica: Utilize o conjugado > Limit((-cos())/^(sec()-)/^,0)it((-cos())/^(sec()-)/^,0); ( ) sec( ) 0 cos π e) Dica: Utilize mudança de variável 0 > Limit((Pi^-)/,0)it((Pi^-)/,0); π ln( π ) f) g) Mostre que: ( sin( ) ) e 0 sin( ) > Limit((sin())^(/sin()),0)it((sin())^(/sin()),0); 6
7 e k h) Mostre que k. Sugestão: use mudança de variável. 0 e ( k ) > Limit((ep(k*)-)/,0)it((ep(k*)-)/,0); k π i) Mostre que e, usando o ite fundamental eponencial e. 0 π Sugestão: use mudança de variável. > Limit((/Pi)^(/),0,right)it((/Pi)^(/),0,right); e 0 π CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 007) Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos físicos. Por eemplo, a Figura é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t t 0 (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y unidades quando o estoque cai para y 0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento. π 0 Figura Figura 7
8 QUESTÕES QUE NÃO QUEREM CALAR ) O fato de uma função ser definida em um ponto de abscissa a é uma condição suficiente para afirmar que essa função é contínua em a? Justifique sua resposta. Além disso, ilustre geometricamente a sua conclusão. ) O fato de uma função possuir ite para a é uma condição suficiente para afirmar que essa função é contínua em a? Justifique sua resposta. Além disso, ilustre geometricamente a sua conclusão. 3) O fato de uma função ser definida em um ponto de abscissa a e possuir ite para a é uma condição suficiente para afirmar que essa função é contínua em a? Justifique sua resposta. Além disso, ilustre geometricamente a sua conclusão. 4) Diante das questões anteriores, diga então quais condições devem ser satisfeitas para afirmar que uma função é contínua em a. 5) Em que condições uma descontinuidade, digamos em a, pode ser removida? 6) Escreva com suas palavras o que significa afirmar que uma função tem ite quando a? 8
para: (a) f(x) = 3 (b) f(x) = c, c
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2. Em cada caso abaio calcule o ite de f ), quando a. a) f ) = 2 + 5; a = 7 b) f ) = c) f ) = 2 + 3 0 + 5 e) f ) = 3 3 + + ; a = 0 ; a = 5 d) f ) = 2 4 3 + 2 2 ; a = 2 2 + 8 3 ; a = + 3 h) f ) = 9 ; a
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