Matemática Exercícios

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1 03/0 DIFERENCIAÇÃO EM R Matemática Eercícios A. Regras de Derivação Calcular a derivada de f( considerando que toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f( tem significado:. f ( f '( f ( f ( f '( f ( 3/ 5 ( 5. f ( e ( f ( e ( f ( e f ( ep 3 f ( 3 ln( 3 f ( e ln( f ( f ( 3 ln(3 8 f ( 3ln(3 3 Eercícios de Matemática Ano letivo - 03/0 C.C. Pag.

2 03/0.. f ( ln( f ( ln(ln( f '( ( ln( f ( ln f f ( e ln( '( ( ( 5. f ( ln( ln( f ( 3 ln( ln( ln( f ( e log( log( f ( f ( e 5 e 9. f ( 5cos 5 f '( sen 0. f ( cos( 3 f ( cos( sen(.. f sen sen ( ( ( f ( sen( e '( f e ( cos( e Eercícios de Matemática Ano letivo - 03/0 C.C. Pag.

3 03/0 3.. f ( ln( tg( f ( tg( f ( tg( ln sec ( 5. f ( sec( log( f ( sec( tg( f ( sec( cosec( f 3 ( tg( f ( log(cos( tg(log( f sen tg 3 ( ( ( 30. f ( cos( sen ( f ( sen( sen( cos( tg f ( (sen f ( tg( e 5sec( tg f ( ( sen( cos ( tg( f ( ( sen( ( sec ( ln( sen( tg( ln(sen( f ( e Eercícios de Matemática Ano letivo - 03/0 C.C. Pag. 3

4 03/0 35. ( f ( [ ln( ] f ( ln( ln(ln( ln( 36. ( ln( f ( sec( 3 ( ln( ln(sec( 3 ln( sec( tg( f ( sec( 3 sec( 3 B. Derivação da função inversa Usando o conceito de derivada da inversa de uma função calcule a derivada das funções: ( ( ( ( (( ( ( (( ( ( 3.. f ( arcsen arctg( f ( f ( ( ( 5. ( f arctg 7 ( ( Eercícios de Matemática Ano letivo - 03/0 C.C. Pag.

5 03/ ( ( ( arctg f ( cos f ( log arctg f ( arcsec(ln f ( arccosec( sen( sen( sen( f ( cos( sen( sen cos( sen cos 50. ( ( 3 f ( arctg C. Gráficos de funções Traçar o gráfico de cada uma das seguintes funções:.. 3. f ( 3sec( f ( cos( f ( arctg(. f ( f ( cosec( f ( cotg( Eercícios de Matemática Ano letivo - 03/0 C.C. Pag. 5

6 03/0 Matemática Eercícios D. Derivada da função composta (regra da cadeia: eercícios de aplicação a O volume de um cubo cresce à razão de 300 cm 3 /min no instante em que a aresta é 0 cm. Qual a razão de variação da aresta nesse instante? ( 0.5cm/min b Um pequeno balão esférico está a ser cheio de gás à razão de m 3 /s. Qual a razão de crescimento do diâmetro, s depois da operação começar. ( 3 m/s. Qual a velocidade de crescimento da área superficial do balão? ( 3 m /s c Verte-se água num tanque cónico invertido (vértice para baio à razão de cm 3 /s. Qual a razão de variação do nível de água quando ela atinge metade do cone? d No topo de um poste com 0 m de altura está instalado um foco de luz. Uma bola é largada de 0 m de altura a uma distância de 5 m do poste. Calcular a velocidade de deslocamento da sombra da bola no solo quando decorreu 0,5 s após a largada. (Obs.: considerar que a queda da bola se faz de acordo com a seguinte lei de espaços: s 0.5 g t. e Uma escada de 5 m de altura está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 5m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede quando a base se encontra a 3 m desta? ( 3.75m/s f Um menino soltando um papagaio liberta a corda a 0. m/s quando o papagaio se move horizontalmente a uma altura de 0 m. Supondo a corda tensa determine a velocidade do papagaio quando a corda está com.5 m. ( /3 m/s g Enche-se um recipiente de água, à razão de 00 cm 3 /s. O recipiente tem 3 m de comprimento e a secção perpendicular a esta dimensão é trapezoidal, de altura 50cm, de base inferior 5 cm e base superior m. A que velocidade sobe o nível da água quando a profundidade da água é de 5 cm. ( cm/s Eercícios de Matemática Ano letivo - 03/0 C.C. Pag. 6

7 h Se y é uma função de u e u função de e se eiste d y dy d u du d y que: d du d d du d y d Matemática 03/0, então prove i Se y é uma função diferenciável de u, u uma função diferenciável de v e v uma função diferenciável de, então prove que: dy d dy du du dv dv d j Seja f ( se 0, e seja g( f (. Calcular f '( e g '(. E. Outros eercícios de aplicações de derivadas a Em que pontos o gráfico de f ( tem recta tangente horizontal? b Ao vender unidades de um produto obtém-se um lucro dado por P ( , para Qual a taa de variação de P relativamente a, quando 900 ou 600? c Determinar as equações das duas rectas que são tangentes simultaneamente aos gráficos das funções y e y 6 5. Faça um esboço destes gráficos. d Achar a equação da recta tangente ao gráfico de y 6 0. y e que é paralela à recta e Determinar as equações das rectas tangentes ao gráfico de y e que passam pelo ponto (,5. f Analisar se eiste algum valor de em [ 0,[ tal que a taa de variação de y sec e de y cosec são iguais. g Verifique que a função y ln satisfaz a equação y ' y ( y ln. h Determinar o ângulo entre as curvas y e 3 y em cada ponto de intersecção. Eercícios de Matemática Ano letivo - 03/0 C.C. Pag. 7