3a. Lista de Exercícios. (3x + 1) 2 dx (3) x dx. x cos(nx)dx, n N (9) 2xe x dx. cos 2 θdθ (12) (x cos(x 2 + 2x) + 3x)dx (15) sen 4 θdθ (18)

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1 UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM4 - Cálculo I a. Lista de Eercícios Integrais definidas. Calcule as integrais definidas abaio: () (4) (7) () () (6) (9) () (5) (8) /4 ( e )d () + cos θ cos θ dθ (5) sen(n), n N (8) /4 /4 e d () (sen( 5 ) 7 7 cos + )d (4) tg θdθ (7) secθdθ () e d () + d (6) d (9) ( + ) d () + d (6) ( + 5)( + )d senθ dθ cos(n)d, n N (9) e d / / / cos θdθ () ( cos( + ) + )d (5) sen 4 θdθ (8) + d () / / / + cos d (4) d (7) 4 + d () sen θdθ e d. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h. cos 4 θdθ d e + e d sen( + )d (ln ) d. Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação + y = a e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano Oz são quadrados. ( 4. Calcule lim sen n n n + sen ) (n ) sen. n n 5. Calcule o comprimento do gráfico de f () = ln(cos ), para Calcule o comprimento da astróide + y = a. 7. Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y = ( + ). 8. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse a + y b =. 9. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio O do conjunto a) A = {(, y) R : y, + y 5 e > }. b) A = {(, y) R : y e ( ) + y }. c) A = {(, y) R : e e y e }. d) A = {(, y) R : >, y e / y 4/ }.

2 . Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = da região delimitada pelas parábolas y = e y =.. Seja A = {(, y) R : e ln( + ) + y e + 4}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y =.. O disco + y a é girado em torno da reta = b, com b > a, para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume.. Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, h a, de uma esfera de raio a. 4. Determine o comprimento da curva y = cosh, Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R. Primitivas 6. Calcule as integrais indefinidas abaio: d. e d. cos7 d 4. tg d 7 sen 5. d 6. tg sec d 7. d 8. tg d cos 9. tg d. d. d d. d d 4. sec d d + ln ln d 7. d 8. d (arcsen ) e. + e d sen. + cos d. e d. e sen + e d 4. d

3 sen. + cos d. e d. e sen + e d 4. d e arctg 5. d 6. ( + ) d 7. sen d 8. e cos d + 9. r ln d,r R. (ln ) d. e d. arctg d. arcsen d 4. sec d 5. cos d 6. sen cos d sen 7. sen cos d d 8. d 9. d 4. cos ( )( )( ) ( ) d 4. ( ) d 4. 8 d 44. d 45. e d 46. ln( + + d )d ln d sen(ln )d 5. d d 5. a + b d + d d 55. d d 56. a + b ( + ) cos 57. cos d 58. sen 5 5 ( d 59. sen d 6. sen ) ( cos 5 ) d d 6. sen 5 cos 6. sen 4 d 6. sen cos 5 d 64. sen cos 4 d cos 65. cos 6 d ()d 66. sen 6 d 67. sen cos d d arctg d 7. ( d ) d 7. d 4 + d ln( + ) 7. ( d )( + ) + e 75. d e d ( d 78. arctg + d ) d 8. cos ( + sen )d + + Funções definidas por integrais 7. Calcule g () onde (a) g () = sen cos e t dt (b) g () = 8. Esboce o gráfico das funções abaio: (a) f () = e t dt (b) f () = sen(t )dt (c) g () = sen t dt t / sen cos 9. Calcule d em termos de A = + cos ( + ) d.. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja y = y() = Prove que y + y = f () e y() = y () =, para todo I. sen( t)f (t)dt sen dt + t 4

4 4. Seja F () =. Calcule lim + t dt. Calcule cos(t )dt e t dt /. Mostre que f () = 4. Seja f () =. t + dt + dt, R. + t 4 (a) Mostre que f é crescente e ímpar. F ()d em termos de F (). t dt é constante em (, ). Qual o valor dessa constante? + (b) Mostre que f () f () +,. (Sugestão: Integre de a.) +t 4 t (c) Mostre que lim f () eiste e é um número real positivo. (d) Esboce o gráfico de f (), localizando seu ponto de infleão. 5. Seja f () = e t dt. Mostre que f () f () =, para todo R. 6. Seja F : [,+ [ R dada por F () = t dt. (a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre = e = 4. (b) Calcule lim F ( ) F (8) sen( ) Respostas () () e ; () 5; () /; (4) +/4; (5) ; (6) 4; (7) se n = e ( ) n+ /n se n > ; (8) se n é par e /n se n é ímpar; (9) e +/e; () e /e; () /4; () /4; () 6; (4) ; (5) (e 4 )/; (6) /4; (7) /8; (8) /8; (9) ln(+ ); () 6/5; () /6; () ; () 4 ; (4) ( + e ); (5) ln( +)+ ; (6) arcsen(/4) ; (7) ; (8) arctg(/) ; (9) ; () ln ln. () l h 8 ; () 5 a ; (4) ; (5) ln( + ); (6) 6a; (7) 4 5 ; (8) ab; (9) (a) 5 5 ; (b) 6 ; (c) (e e ) ; (d) 5 6. () ; () ( e + 4e (ln) + 4ln () (b)(a ); () h (a h ); (4) sinh4 + sinh. )

5 5 (6) () e +C () +C () 7sen7 +C (4) tg +C (5) 7ln +C (6) 4 tg 4 +C (7) cos ( 5 cos ) +C (8) ln cos +C (9) tg + ln cos +C () ln( + ) +C () arctg +C () arctg +C () ( ) +C (4) ln sec + tg +C (5) + ln +C (6) ( + ) 6 +C (7) ln( ) +C (8) (ln ) +C (9) ln arcsen +C () ln( + e ) +C () ln( + cos ) +C () e +C () 4 ( + e ) 4 +C (4) cos +C (5) e arctg +C (6) ( + ) ( + ) +C (7) cos + sen +C { r + + r (8) e r + ln +C, se r (sen + cos ) +C (9) (r +) (ln () (ln ) ( ln ) +C ) +C, se r = () ( )e +C () arctg + arctg +C () arcsen + +C (4) sec tg + lnsec + tg +C (5) ( + sen cos ) +C (6) sen 5 sen5 +C (7) 8 ( 4sen4) +C (8) ln + sen +C (9) 6ln 5ln + ln +C (4) 6 + arctg( ) +C 6 (4) ln + + 5ln +C (4) ln + ln( + ( ) ) + + arctg( ) +C 4 (4) arcsen +C (44) 8 ( ) + 8 arcsen +C (45) ( )e +C (46) ln( + + ) + +C (47) ln C (48) (ln ) +C (49) (sen(ln ) cos(ln )) +C (5) ln 4 +C (5) ln + ln( + + ) + arctg( + ) +C (5) a + b + a b b ln( a + a +b a ) +C (5) b b ln( a + a +b (55) + a ) +C (54) + + ln( + + ) +C + arcsen( + ) +C (56) arctg( (57) sen sen +C (58) cos + cos 5 cos5 +C (6) 4 cos8 ( ) cos6 ( ) +C (59) sen ln sen +C sen tg + ln tg tg (6) 8 4 sen() + sen(4) +C 4tg 4 +C (6) sen 5 sen5 + 7 sen7 +C (64) 6 64 sen(4) + 48 sen () +C (65) sen(6) + 64 sen() 44 sen (6) +C (66) cotg 5 cotg5 +C (67) tg + tg cotg() +C (68) arcsen + +C (69) ln 6 +C (7) 6 ln 6 ln( + 4) 64 arctg + 4 ( +4) +C (7) arctg + ln ln + +C (7) arcsen( ) ( ) + +C (7) ln + + ln( + ) + arctg( ) +C (74) ln( + e ) +C (75) ln(+) + ln ln( + ) +C (76) ( + )e +C (77) 4 ln 4 8 ln( + 4) 6 arctg( ) +C (78) ( + )arctg (79) ln( + + ) arctg( + ) +C (8) sen + sen sen sen 5 5 +C (7) (a) g () = e sen cos + e cos sen ; (b) g () = sen4 sen ; (c) g () = cos ; () ; () + +sen 4 /; (6) (a) 6/5; (b) 5.