19. h z 3 e z dz 20. h x tg 2 xdx. xe 2x (1 2x) h dx 22. h (arcsen x) 2 dx 1/ h 0. x cos px dx 24. h h 1. r3 ln r dr 28.

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1 7. Eercícios Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e dv indicadas.. y ln ; u ln, dv. y cos d; u, dv cos d 6 Calcule a integral.. h cos 5 4. h e 5. h re r/ dr 6. h t sen t dt 7. h ( ) cos 8. h t sen bt dt 9. h ln 0. h sen. h arctg 4tdt. h p 5 ln p dp. h t sec t dt 4. h s s ds 5. h (ln ) 6. h t senh mt dt 7. h e u sen u du 8. h e u cos u du 9. h z e z dz 0. h tg. h. h (arcsen ). h 0 / cos p 4. h 0 ( ) e 5. h 0 t cosh t dt 6. h h r ln r dr 8. h 0 p t sen t dt 9. h 0 y e y e ( ) dy dy 0. h arctg (/) dr. h 0 / cos. h. h cos ln(sen ) 4. h 0 ln y y (ln ) 5. h 4 (ln ) 6. h 0 t es sen(t s) ds r 4 r dr ; É necessário uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

2 CÁLCULO ; 7 4 Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. 7. h cos 8. h t e t dt 9. h p p/ u cos(u ) du 40. h 0 p e cos t sen t dt 4. h ln( ) 4. h sen(ln ) 4 46 Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, usando o gráfico da função e de sua primitiva (tome C 0). 4. h e 44. h / ln 45. h 46. h sen 47. (a) Use a fórmula de redução no Eemplo 6 para mostrar que sen h sen C 4 Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular hsen (a) Demonstre a fórmula de redução n n n h cos n cos n sen h cos n Use a parte (a) para calcular hcos. (c) Use as partes (a) e para calcular hcos (a) Use a fórmula de redução no Eemplo 6 para mostrar que p/ n p/ h senn 0 h 0 sen n n onde n é um inteiro. Use a parte (a) para calcular h 0 p/ sen e h 0 p/ sen 5. (c) Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno, p/ 4 6 h 0 sen n... n (n ) 50. Demonstre que, para as potências pares de seno, p/ 5 7 h 0 sen n... (n ) p n 5 54 Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução. 5. h (ln ) n (ln ) n n h (ln ) n 5. h n e n e n h n e tg n n 5. h tg n h tg n MM(n ) 54. h sec n h sec n MM(n ) 55. Use o Eercício 5 para encontrar h (ln ). 56. Use o Eercício 5 para encontrar h 4 e Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas. 57. y ln,my 4 ln 58. y e,my e tg sec n n n n ; Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproimadas dos pontos de intersecção das curvas dadas. A seguir, ache (aproimadamente) a área da região delimitada pelas curvas. 59. y arcsen ( ),MMy 60. y ln ( ),MMy 6 6 Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eio especificado. 6. y cos(p/),my 0,M0 ;Mem torno do eio y 6. y e,my e,m ;Mem torno do eio y 6. y e,my 0,M,M 0;Mem torno de 64. Calcule o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y ln, y 0 e em torno de cada eio. (a) o eio y o eio 65. Calcule o valor médio de f () sec no intervalo [0, p/4]. 66. Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo seu combustível) seja m, o combustível seja consumido a uma taa r, e os gases de eaustão sejam ejetados a uma velocidade constante v e (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete no instante t é dado pela seguinte equação m rt v(t) tt v e ln, m onde t é a aceleração da gravidade e t não é muito grande. Se t 9,8 m/s, m kg, r 60 kg/s e v e.000 m/s, encontre a altitude do foguete minuto após o lançamento. 67. Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem velocidade igual a v(t) t e t metros por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante os primeiros t segundos? 68. Se f (0) t(0) 0 e f e t forem contínuas, mostre que h 0 a f ()t() f (a)t(a) f (a)t(a) h 0 a f ()t(). 69. Suponha que f (), f (4) 7, f () 5, f (4) e f seja contínua. Encontre o valor de h 4 f (). 70. (a) Use integração por partes para mostrar que h f () f () h f () Se f e t forem funções inversas e ƒ for contínua, demonstre que h a b f () bf af (a) h f (a) f t(y) dy [Dica: Use a parte (a) e faça a substituição de y f ().] (c) No caso em que f e t forem funções positivas e b a 0, desenhe um diagrama para dar uma interpretação geométrica à parte. e (d) Use a parte para calcular h ln.

3 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7. Chegamos à Fórmula 6.., V h a b p f (), utilizando cascas cilíndricas, mas agora podemos usar integração por partes para demonstrá-la usando o método das fatias da Seção 6., ao menos para o caso em que f for injetora e, portanto, tiver uma função inversa t. Use a figura para mostrar que V pb d pa c h c d p[t(y)] dy Faça a substituição y f () e então use integração por partes na integral resultante para demostrar que y d V h a b p f () t(y) y ƒ() c b a 0 a b e deduzir que lim n m I n/i n. (d) Use a parte (c) e os Eercícios 49 e 50 para mostrar que lim... n n p n m n n Essa fórmula geralmente é escrita como um produto infinito: p que é chamado produto de Wallis. (e) Construímos retângulos como a seguir. Comece com um quadrado de área e coloque retângulos de área alternadamente ao lado ou no topo do retângulo anterior (veja a figura). Encontre o limite da relação largura/altura desses retângulos. p/ 7. Seja I n h 0 sen n. (a) Mostre que I n I n I n. Use o Eercício 50 para mostrar que I n n In n (c) Use as partes (a) e para mostrar que n n I n In

4 7.4 Eercícios 6 Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Eemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes (a) (4 )( 5) 5. (a) 4. (a) 5 4 ( 9) 4 4. (a) h 4 6. h 0 4y 7y y(y )(y ) 7. h dy 8. h 5 6 ( )( ) ( )( ) 9. h 0. h 4 4. h. h 0 ( )( 9) 6. h 4. h ds s (s ) 6 5. (a) 4 4 ( )( ) 4 5. h 6. h ( ) t 6 6. (a) 5 t 6 t ( )( 4 ) 7 8 Calcule a integral. 7. h 8. h dr 6 9. h 0. h dt. h. h 0 0 a. h 4. h b 9 ( 5)( ) r r 4 (t 4)(t ) ( a)( b) 7. h 8. h ( )( ) 9. h 0. h 4 5. h. h 0. h 4. h ( ) ( ) ( 4) h 6. h 7 ( 4 6) ( ) 7. h 8. h 4 ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

5 CÁLCULO 9 5 Faça uma substituição para epressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. 9. h 40. h 4. h 44. h / 45. h MMM[Dica: Substitua u 6.] 46. h 4. h 4. h h 48. h 49. h dt 50. h e e e 5. h 5. h dt e sec t tg t tg t 5 54 Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral. 5. h ln( ) 54. h tg 56. Calcule h k considerando diversos casos para a constante k Calcule a integral completando o quadrado e usando a Fórmula h 58. h sen 59. O matemático alemão Karl Weierstrass (85-897) observou que a substituição t tg(/) converte qualquer função racional de sen e cos em uma função racional ordinária de t. (a) Se t tg(/), p p, esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que cos ( ) ( ) MMMeMMMsen t t t Mostre que t t cos MMMeMMMsen t t e cos cos (e )(e ) cosh t sen t senh 4 t ; 55. Use um gráfico de f () /( ) para decidir se h 0 f () é positiva ou negativa. Utilize o gráfico para dar uma estimativa aproimada do valor da integral e então use frações parciais para encontrar o valor eato. 4 7 SCA SCA (c) Mostre que 60 6 Use a substituição do Eercício 59 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral. cos 60. h 6. h 6. h p/ p/ sen 6. h p/ 0 sen cos cos Encontre a área da região sob a curva dada de até. 64. y 65. y 66. Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva y /( ) de 0 a for girada em torno do: (a) eio e eio y. 67. Um método de retardar o crescimento de uma população de insetos sem usar pesticidas é introduzir na população um número de machos estéreis que cruzam com fêmeas férteis, mas não produzem filhotes. Se P representar o número de fêmeas na população de insetos, S, o número de machos estéreis introduzidos a cada geração e r, a taa de crescimento populacional natural, então a população de fêmeas está relacionada com o instante t através de P S t h dp P[(r )P S] Suponha que uma população de insetos com fêmeas cresça a uma taa de r 0,0 e que 900 machos estéreis sejam adicionados. Calcule a integral para dar uma equação relacionando a população de fêmeas com o tempo. (Observe que a equação resultante não pode ser resolvida eplicitamente para P.) 68. Fatore 4 como uma diferença de quadrados adicionando e subtraindo a mesma quantidade. Use essa fatoração para calcularh ( 4 ). 69. (a) Use um sistema de computação algébrica para encontrar a decomposição em frações parciais da função f () Use parte (a) para encontrar hf () (manualmente) e compare com o resultado se for usado um SCA para integrar f diretamente. Comente qualquer discrepância. 70. (a) Encontre a decomposição em frações parciais da função f () Use a parte (a) para encontrar h f () e trace os gráficos de f e de sua integral indefinida na mesma tela. (c) Use o gráfico de f para descobrir as principais características do gráfico de h f (). 7. Suponha que F, G e Q sejam polinômios e F() Q() t dt G() Q() sen 4 cos

6 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO para todo eceto quando Q() 0. Demonstre que F() G () para todo. [Dica: Use a continuidade.] 7. Se f for uma função quadrática tal que f (0) e h f () ( ) for uma função racional, encontre o valor de f (0). 7. Se a 0 e n for um inteiro positivo, encontre a decomposição em frações parciais de f () n ( a) Dica: Primeiro encontre o coeficiente de / ( a). Então subtraia o termo resultante e simplifique o que restou. Tabela de Fórmulas de Integração As constantes de integração foram omitidas. n. y n n. n. y e e y sen cos 6. y ln y a a ln a y cos sen 7. y sec tg 8. y cossec cotg 9. y sec tg sec 0. y sec ln sec tg.. y tg ln sec. 4. y cossec cotg cossec y cossec ln cossec cotg y cotg ln sen 5. y senh cosh 6. y cosh senh tg sen 7. y 8. y sa a a a a *9. y *0. y a a ln a a s a ln s a

7 CAPÍTULO 7 EXERCÍCIOS 7.. ln 9 C. 5 sen 5 5 cos 5 C 5. r e r C 7. ( ) sen ( ) cos sen C 9. ln s C. t arctg 4t 8 ln 6t C. t tg t 4 lnsec t C 5. ln ln C 7. e u sen u cos u C 9. z e z z e z 6ze z 6e z C e.. 4( ) C p p 8 5. e 7. 4 ln e. 6 ( 6 s). sen ln sen C 5. 5 ln 64 5 ln s sen s cos s C ln 4 4 C 4. e 4e C C _ F f cos sen 8 6 sen C 49., [ln ln 6ln 6] C ln ,759;,70;, e 65. (/p) ln 67. e t t t m _4 f F EXERCÍCIOS 7.4 A. (a) 4 B A 5 B C 5 A. (a) B C D E 4 5. (a) A B A B C D E F 7. 6ln 6 C 9. ln 5 ln C. ln 7. a ln b C 5. 6 ln ln 9 5 ln (ou 9 5 ln 8 ) 9. 0 ln 9ln 5 C. ln 4 tg C. ln ln 9 tg C 5. ln ln( ) tg C 7. ln (s ) tg 9. ln 5 tg (s ) C C. A B ( ) C D ( ) ln 6 ln tg C s s 6 ln ln 4.. ln s tg s C 9. s ln(s ) lns C 4. lns lns C s C 45. s s 6s 6 6lns 6 C 8( 4) C 47. ln e e C 49. ln tg t ln tg t C 5. ln(e ) C 5. ( ) ln s7 tan C s7 55. ln 0,55 tg 57. ln 6. C 5 ln tg C 6. 4ln 65. ln 67. t ln P 9 ln0,9p 900 C, onde C 0, (a) ln ln ln 5 tg C s9 s ln 7 O SCA omite os sinais do valor absoluto e a constante de integração. 7. an ( a) a n... a n a n