Cálculo Diferencial e Integral 1

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1 NOTAS DE AULA Cálculo Dierencial e Integral Funções Proessor: Luiz Fernando Nunes, Dr 09/Sem_0

2 Cálculo ii Índice Funções Intervalos Deinição de unção Classiicação de unções 6 4 Função composta 8 5 Função Inversa 9 6 Exercícios propostos Reerências Bibliográicas 4

3 Funções Intervalos Notações ( a, b) = ] a, b[ = { x/ a x b} [ a, b] = { x/ a x b} [ a, b) = [ a, b[ = { x/ a x b} ( a, b] = ] a, b] = { x/ a x b} ( a, + ) = ] a, + [ = { x/ x a} [ a, + ) = [ a, +] = { x/ x a} (, b) = ], b[ = { x/ x b} (, b] = ], b] = { x/ x b} (, +) = ], + [ = { x / x} Operações com intervalos Exemplos: ) Sejam A = [0,] e B = [,4 [, ache B A e A B Respostas: A B = [, ] e A B = [0,4[ ) Sejam A = [,0[ e B = ], ], ache A B e A B, 4 Respostas: A B = [, ] e A B =],0[ 4

4 9 ) Sejam A = [, +[ e B = [,[, ache A B e A B 9 Respostas: A B = [,[ e A B = [, +[ Deinição de unção Dizemos que é uma unção de A em B, se e somente se, para todo x A, existe um único y B, tal que y = ( Notação: : A B O conjunto A é chamado de domínio da unção, denotado por D ( ) O conjunto B é chamado de contradomínio da unção, denotado por CD ( ) x é a variável independente y é a variável dependente Chamamos de imagem da unção, denotada Im ( ), ao conjunto: Im ( ) = { y B / x A; y = } Dizemos que y = ( é a imagem de x pela unção e a expressão que deine y = ( é chamada de regra ou lei da unção Exemplos: ) Para cada caso, obtenha o maior conjunto A, tal que as regras que seguem deinem unções : A (Em outras palavras, ache todos os valores de x que possuem imagens reais) a) x = b) = x x 6 c) = ( x + )( x + ) x + x + 8 d) = e) = (5x )(x + 6) (4 6 x x a) Condição: 0 ( x + )( x + ) 6

5 Resposta: D ( ) = { x/ x ou x } b) Condição: x x 6 0 Resposta: D ( ) = { x/ x ou x } c) Condição: x + 0 x + 0 x Resposta: D ( ) = { x / x } d) Condição: x 0 x Resposta: D ( ) = { x/ x } 8 6 e) Condição: (5x )(x + 6) (4 6 0 (Figura ora de escala) Resposta: D ( ) = { x / x ou x = } 5 ) Construa o gráico da unção :, tal que Qual é a imagem desta unção?, se x 0 y = = x +, se 0 x, se x

6 4 Resposta: Im ( ) = [, ] Figura: O gráico da unção cuja regra é y = ( ) Construa o gráico da unção :, tal que Qual é a imagem desta unção? x, se x y = = x, se x Resposta: Im ( ) = [, +[ Figura: O gráico da unção cuja regra é y = ( Função modular Uma unção : recebe o nome de unção modular, quando a cada x, associa o módulo de x x se x 0 Assim, a regra desta unção é = x = x se x 0 = x = max x, x Podemos também representar esta regra por

7 5 Figura: O gráico da unção cuja regra é Observações: x é chamado de módulo de x ou valor absoluto de x = x ( x ) = x Convém lembrarmos algumas desigualdades que envolvem o valor absoluto de números reais ( a 0 ): (i) x a a x a (ii) (iii) x a x a ou x a x + y x + y (Desigualdade triangular) Exemplos: ) Construa o gráico da unção :, tal que y = = x + Qual é a imagem desta unção? x, se x 0 x x = x +, se x 0 x x + se x x + Logo, = = x + + se x x + se x se x Resposta: Im ( ) = [, +[ Figura: O gráico da unção cuja regra é = x +

8 6 ) Construa o gráico da unção :, tal que y = = x + + x imagem desta unção? x +, se x + 0 x x + = x, se x + 0 x x, se x 0 x x = x +, se x 0 x Assim, devemos considerar casos: ) Quando x, temos: x + + x = x x + = x ) Quando x, temos: x + + x = x + x + = x + ) Quando x, temos: x + + x = x + + x = x Logo, x, y = = x + + x = x +, x, se x se x se x Qual é a Resposta: Im ( ) = [, +[ Classiicação de unções Figura: O gráico da unção cuja regra é = x + + x Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras é sobrejetora, se e somente se, Im ( ) = B é injetora, se e somente se, ( x ), sempre que x x

9 é bijetora, se e somente se, é sobrejetora e injetora simultaneamente Observação: Uma unção poderá não pertencer a nenhuma destas categorias 7 Funções pares e unções ímpares Uma unção é par, se e somente se, x D( ), ( = Uma unção é ímpar, se e somente se, x D( ), ( = Assim, sendo :, as unções = cos(, = x, = x ( são exemplos de unções pares Do mesmo modo, as unções: = sen(, = x, = x, são exemplos de unções ímpares, Observações: Uma unção poderá não ser par, nem ímpar Exemplo: = x x + A unção = 0 é a única unção par e ímpar ao mesmo tempo Exemplos: ) Prove que toda unção : I pode ser escrita como a soma de uma unção par com uma unção ímpar Considere a unção, tal que : I Considere ainda duas unções g e h, também deinidas de I em tais que: ( ) ( + ( g x = e ( ) ( ( h x = Como ( ) ( t) + ( t) g t = = g( t), concluímos que g é uma unção par Como ( ) ( t) ( t) h t = = h( t), concluímos que h é uma unção ímpar Logo, se escrevermos = g( + h( (veriique que de ato esta igualdade é verdadeira), estaremos escrevendo a unção como a soma de uma unção par (g) com uma unção ímpar (h) Resposta: = g( + h( com ( ) ( + ( g x = e ( ) ( ( h x = ) Mostre que a única unção : I, que é par e ímpar ao mesmo tempo, é a unção constante = 0 Se é par, então temos que ( = = ( Se é ímpar, então temos que ( = = ( Somando membro a membro as igualdades = ( e = (, obtemos: = 0 = 0, que é a unção constante nula Resposta: : I, tal que = 0 Funções crescentes e unções decrescentes Uma unção : A B é crescente no conjunto A A, se para dois valores x e x pertencentes a A, com x x, tivermos ( x )

10 8 Figura: O gráico de uma unção crescente Uma unção : A B é decrescente no conjunto A A, se para dois valores x e x pertencentes a A, com x x, tivermos ( x ) 4 Função composta Figura: O gráico de uma unção decrescente Dadas duas unções e g, então, a unção composta g, é a unção cuja regra é: ( g)( = ( g( ) O domínio de g é o conjunto de todos os valores x do domínio de g, tais que g ( estejam no domínio de Exemplos: ) Se as regras das unções e g são dadas por = x e g( = x, obtenha as regras das unções: a) g b) g c) d) g g a) ( g)( = ( g( ) = x = 4 x b) ( g )( = g( ) = x c) 4 ( )( = ( ) = x = x

11 9 d) ( g g)( = g( g( ) = x Respostas: a) ( g)( = 4 x b) ( g )( = x 4 c) ( )( = x d) ( g g)( = x ) Sejam as unções e g, tais que: x 4x + se x = e g ( = x +, obter: x se x a) ( g)( = ( g( ) b) ( g )( = g( ) (x + ) 4(x + ) + se (x + ) a) ( g)( = ( g( ) = (x + ) se (x + ) 4x + 4x se x ( g)( = ( g( ) = 4x + se x ( x 4x + ) + se x b) ( g )( = g( ) = (x ) + se x x 8x + 9 se x ( g )( = g( ) = 4x se x 4x + 4x se x Respostas: ( g)( = x 8x + 9 se x e ( g )( = 4x + se x 4x se x 5 Função Inversa Se : A B é uma unção bijetora, cuja regra é y = (, então chamamos de inversa de, a unção denotada por : Observação: Os gráicos de ímpares B A, tal que x = ( y ) e 5 Regra prática para se obter a unção inversa de : ) Na regra de dada por ( são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes y = trocamos x por y e y por x; ) Isolamos a variável y, obtendo a regra de Exemplos: ) Seja :, deinida por y = x x = y y = x y = x Encontre a unção inversa de

12 0 Figura: Os gráicos de e, mostrando a simetria que existe em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares Resposta: :, deinida por y = x ) Seja : {} { }, deinida por x y x + y = x = y = x y x + x y = Encontre a unção inversa de x Figura: Os gráicos de e Resposta: : { } {}, deinida por, mostrando a simetria que existe em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares x + y = x + ) Considere a unção :], ] [0, +[, deinida por y = = x Encontre a unção inversa de y = x x = y y = x

13 Figura: Os gráicos de e, mostrando a simetria que existe em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares Resposta: :[0, +[ ], ], deinida por y = x 4) Considere a unção inversa de é a unção + :, deinida por y = ) = g : +, cuja regra é y = g( = ln x x ( x e Veriique que a unção Figura: Os gráicos de e, mostrando a simetria que existe em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares 5) Considere a unção inversa de é a unção + :, deinida por y ) g : +, cuja regra é y = g( = log / x x = = (, Veriique que a unção

14 Figura: Os gráicos de e, mostrando a simetria que existe em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares x, se x 0 6) Seja :, deinida por y = = Encontre a unção inversa de x, se x 0 Se x 0 y = = x y e se x 0 y = = x y Assim, a unção é: y = x se x 0 e y e y = x se x 0 e y Aplicando a regra prática: ) Permutando x por y e y por x; x = y se y 0 e x e x = y se y 0 e x ) Isolando y, temos: y = x + se y 0 e x e y = x + se y 0 e x Resposta: :, deinida por 6 Exercícios propostos x + se ( = x + se 4 ) Sejam A =], ] e B =], ], ache A B e A B, Respostas: A B =], ] e A B =], ] x x ) Para cada caso, obtenha o maior conjunto A, tal que as regras que seguem deinem unções : A (Em outras palavras, ache todos os valores de x que possuem imagens reais) x a) = 4 b) = x + x + c) = ( x + )( d) x Respostas: 4 = ( ( (5 7 ) e) x = x x + + x 4 + x

15 a) D ( ) = { x/ x ou x } b) D ( ) = { x} 5 c) D ( ) = { } = d) D ( ) = { x / x ou x = } 7 e) D ( ) = { x/ x e x ou x } ) Construa o gráico da unção :, tal que Qual é a imagem desta unção? Resposta: Im ( ) = [, +[ ou { }, se x y = = x +, se x x, se x 4) Construa o gráico da unção :, tal que y = = x 4 Qual é a imagem desta unção? Resposta: x 6, se x y = = e Im ( ) = [ 4, +[ x, se x 5) Se as regras das unções e g são dadas por = x e g ( = x, obtenha as regras das unções: a) g b) g c) d) g g Respostas: a) ( g)( = x b) ( g )( = x 4 c) ( )( = x d) 6) Sejam as unções e g, tais que: 4 ( g g)( = x x x + se x = se x e g( = x, obter: x 4 x se x a) ( g)( = ( g( ) b) ( g )( = g( ) Respostas: 9x x + 6 se x x 4 x 7 a) ( g)( = se x b) ( g )( = x x 9x + x se x x 0 se se se x x x 7) Sejam as unções reais = x 5 e ( g)( = x, determinar a lei da unção g Resposta: g ( = x + 8) Sejam as unções reais g ( = x e ( g)( = 9x x +, determinar a lei da unção Resposta: = x + x + 5 9) Ache a inversa da unção : { } { }, tal que 5x + = x

16 5 x + Resposta: : { } { }, tal que = x 5 x + se x 0) Ache a inversa da unção = x + se x x se x 7 Resposta: = x se x 7 Reerências Bibliográicas 4 Flemming, D M e Gonçalves, M B Cálculo A Funções, limite, derivação e integração 6a Edição São Paulo: Pearson Prentice Hall, 006 Iezzi, G e Murakami, C Fundamentos de Matemática Elementar Volume 6a Edição São Paulo: Atual Editora, 985 Iezzi, G et al Fundamentos de Matemática Elementar Volume 8 6a Edição São Paulo: Atual Editora, Lima, E L et al A Matemática do Ensino Médio Volume 6a Edição Rio de Janeiro: Coleção do Proessor de Matemática Sociedade Brasileira de Matemática, 00 5 Stewart, J Cálculo 6a Edição São Paulo: Cengage Learning, 0