MATEMÁTICA I FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1

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1 MATEMÁTICA I FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1

2 EMENTA Funções Reais de uma Variável Real Principais Funções Elementares e suas Aplicações Matrizes Livro Teto: Leithold, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Ed. Harbra, MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 2

3 CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Naturais: IN={0, 1, 2,...}. Conjunto dos Inteiros: Z={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos Racionais: E.: Q p = / p Z, q Z, q 0 q 2 3 Q, 3 = Q 5 1 MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 3

4 CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Irracionais: são os números que não podem ser escritos na forma p/q. 5 E. : 2 I, 3 I, π = 3,1415K Conjunto do Reais: IR= Q U I MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 4

5 INTERVALOS São subconjuntos de IR. Sejam a e b números reais tais que a<b. Definimos: Intervalo aberto: Intervalo fechado: ] a, b[ = ( a, b) = { R / a < < b} o o a b [ a, b] = { R / a b} a b MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 5

6 MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 6 Tipos de Intervalos Intervalo semi-aberto à direita: Intervalo semi-aberto à esquerda: [ [ [ ) { } b a R b a b a < = = /,, o b a ] ] ( ] { } b a R b a b a < = = /,, o a b

7 Tipos de Intervalos Intervalo aberto de a até infinito: ] a, [ = ( a, ) = { R / > a} o a Intervalo fechado de a até infinito: [ a, [ = [ a, ) = { R / a} a MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 7

8 Tipos de Intervalos Intervalo aberto de menos infinito até b: ], b [ = (, b) = { R / < b} Intervalo fechado de menos infinito até b: ], b[ = (, b] = { R / b} b O b MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 8

9 PRODUTO CARTESIANO Produto Cartesiano de A por B : É o conjunto formado pelos pares ordenados, dentro dos quais o primeiro elemento de cada par pertence ao conjunto A e o segundo elemento de cada par pertence ao conjunto B, sendo A e B conjuntos dados, não vazios. Este conjunto é denotado por A B MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 9

10 EXEMPLO E : A={0,1,2}, B={5,6}, AB={(0,5);(1,5);(2,5);(0,6);(1,6);(2,6)} Obs : A {}=B{}={}.Se A e B são não vazios, denotando o número de elementos de A por n(a) e o número de elementos de B por n(b), temos que o número de elementos de AB dado por n(ab) é dado pelo produto de n(a) por n(b), ou seja : n(ab) = n(a). n(b) No eemplo acima temos n(ab) = 3. 2 = 6. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 10

11 RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS Relação de um conjunto A com um conjunto B, dados A e B é um subconjunto qualquer de AB E : A = {0,1,2}, B = {5,6}, R = {(0,5);(1,6)}, R AB, logo é uma relação de A em B. Se diz neste eemplo que o elemento 0 A é relacionado com o elemento 5 B e o elemento 1 A é relacionado com o elemento 6 B. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 11

12 Representação Gráfica Quando os Conjuntos A e B são numéricos, as relações são formadas por pares ordenados de números. Um par ordenado de números reais pode ser representado geometricamente por meio de dois eios perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eio das abscissas, ou eio ; e o vertical, de eio das ordenadas ou eio y. Um par ordenado (a,b) pode ser representado colocando-se a no eio, e b no eio y, e traçandose uma vertical por a e uma horizontal por b. O ponto P de intersecção dessas duas retas é a representação do par (a,b). MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 12

13 Representação Gráfica Dessa forma, podemos representar geometricamente a relação R do eemplo anterior. y 6 (1,6) (0,5) 0 1 MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 13

14 Função Função de um conjunto A com um conjunto B é uma relação de A com B, com as seguintes propriedades (A e B são não vazios): 1. Todos os elementos de A são relacionados com elementos de B 2. Um elemento de A não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de B MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 14

15 Eemplos 1. A={4,7,8}; B={9,2,1,6} R = {(4,1);(7,9)}. R não é uma função, pois nem todos os elementos de A são relacionados com os elementos de B 2. A={4,7,8};B={9,2,1,6} R = {(4,9);(4,1);(7,6);(8,9)}. R não é uma função, pois apesar de todos os elementos de A estarem relacionados com B, temos que um elemento de A (o 4) está relacionado com dois elementos de B (9 e 1). MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 15

16 Eemplos 3. A = {4,7,8};B={9,2,1,6} R = {(4,9);(7,9);(8,6)}. R é uma função. Além de todos os elementos de A estarem relacionados com B, esses estão relacionados cada um com apenas um elemento de B. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 16

17 Representações de uma função Por uma letra minúscula qualquer seguida de dois pontos, seguida do conjunto A, de uma seta, e do conjunto B, sendo abaio colocadas as relações entre os elementos de A com os elementos de B. Por eemplo, tomando os conjuntos A e B como no eemplo anterior temos a seguinte representação: f: {4,7,8} {9,2,1,6} MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 17

18 Representações de uma função Por lei de associação. Quando eiste uma forma geral de associar os elementos de A com os de B, é utilizada esta representação. É utilizada uma letra minúscula (por eemplo g) seguida por outra letra minúscula (geralmente ) dentro de um parênteses, vindo após o sinal de igualdade com a lei de associação adequada. E : A={1,2,3}; B={6,7,8,9}, g() = +5, ou seja g: A B é tal que 1 é associado a 1+5=6, 2 é associado a 2+5=7 e 3 a 3+5=8. A letra é chamada de variável. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 18

19 Representações de uma função Por Diagrama de Venn (ou de flechas), onde as relações são dadas por setas A B MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 19

20 Domínio, contra domínio e imagem O conjunto A é chamado de domínio da função. O conjunto B é denominado de contra domínio da função. O conjunto formado pelos elementos de B relacionados aos elementos de A é definido como imagem da função. Neste eemplo, o domínio é dado por {1,7,8,6}, o contra domínio é definido por {5,4,3,9,13} e sua imagem é dada por {5,9,3}. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 20

21 FUNÇÕES REAIS UMA VARIÁVEL REAL São todas aquelas funções com domínio em A e contradomínio em B, onde tanto A como B são subconjuntos dos reais. f :[0, ) IR a y = 2 MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 21

22 Eercícios 1. Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja a quantidade vendida. a) Obtenha a função receita R(); b) Calcule R(40); c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,00? 2. O custo de fabricação de unidades de um produto é dado pela função C()= a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? b) Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades? 3. Resolva a questão anterior considerando a função custo C()=1/ MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 22

23 Eercícios 4. Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de produção dividido pela quantidade produzida. Indicando o custos médio correspondente a unidades produzidas por C me =C()/. O custo de fabricação de unidades de um produto é C()= a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que se aumenta? 5. Em determinado país o imposto de renda é igual a 10% da renda, para rendas até $ 900,00. Para rendas acima de $ 900,00, o imposto de renda é igual a $ 90,00 (10% de $ 900,00) mais 20% da parte de renda que ecede $ 900,00. a) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 600,00? b) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 1.200,00? c) Chamando de a renda e de y o imposto de renda, obtenha a epressão de y em função de. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 23

24 MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 24 Eercícios 6. Determine o domínio das seguintes funções: 2 ) 2 ) 1 3 ) ) ) ) 1 3 ) 2 1 ) 2 ) 7 2 ) + = = = = + = + = = = = + = y j y e y i y d y h y c y g y b y f y a

25 Funções Crescentes e Decrescente Dizemos que uma função f é crescente num intervalo [a,b] se para quaisquer valores 1 e 2 do intervalo, com 1 < 2 tivermos f( 1 ) < f( 2 ). Analogamente dizemos que f é decrescente num intervalo [a,b] se para quaisquer valores 1 e 2 do intervalo, com 1 < 2 tivermos f( 1 ) < f( 2 ). MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 25

26 Funções Crescentes e Decrescentes a b a b Crescente Decrescente MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 26

27 Funções Crescentes e Decrescentes 3 2 o o 1 o 1 2 a b Não-decrescente Não-crescente MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 27

28 Ponto de Máimo e de Mínimo Seja uma função definida num domínio D. Dizemos que o é um ponto de máimo relativo (ou simplesmente ponto de máimo) se eistir um intervalo aberto I, com centro em o tal que: f ( ) f ( 0 ) I D. Em outras palavras se as imagens de todos os valores de pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em o, forem menores ou iguais à imagem de o. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 28

29 Ponto de Máimo e de Mínimo Analogamente dizemos que o é um ponto de mínimo relativo (ou simplesmente ponto de mínimo) se eistir um intervalo aberto I, com centro em o, tal que: f ( ) f ( 0) I D. Em outras palavras se as imagens de todos os valores de pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em o, forem menores ou iguais à imagem de o. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 29

30 Ponto de Máimo e de Mínimo Dizemos que 0 é um ponto de máimo absoluto se f ( ) f ( 0) D. E 0 é um ponto de mínimo absoluto se f ( ) f ( 0) D. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 30

31 Ponto de Máimo e de Mínimo Pontos de máimo: a, 2, b. Pontos de mínimo: 1, 3. 2 é má. absoluto e 1 é min. absoluto. 1 3 a 2 b MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 31

32 Estudo do Sinal de uma Função Estudar o sinal de uma função significa obter os valores de para os quais y>0 ou y < 0 ou y = MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 32

33 Estudo do Sinal de uma Função No eemplo anterior temos na função definida no intervalo [1,6]: y > 0 para 1 < 3 ou para 5 < 6; y < 0 para 3< < 5; y = 0 para = 3 ou = 7. Obs.: =3 e =7 são denominados zeros ou raízes da função. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 33

34 Eercícios 1. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais ela é decrescente indicando pontos de máimo e de mínimo MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 34

35 Eercícios 2. Estude o sinal das seguintes funções: a) 3 e) 2 5 b) 4 f) c) 2 5 MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 35

36 Principais Funções Elementares Função Constante Seja c lr. Chamamos de função constante à função dada por: f : lr lr a y = f ( ) = c MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 36

37 Função Constante Observação: 1. Im f = {c}; 2. O gráfico de f é uma reta horizontal de ordenada c. y c f() = c MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 37

38 Função Linear a lr. Seja Chamamos de função linear à função dada por: f : lr lr a y Obs.: Se a 0, temos: 1. Im f = lr; ( ) 2. O gráfico de f é uma reta que passa pela origem (0,0) do plano cartesiano. = f = a MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 38

39 Função Linear y f() = a MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 39

40 Função Linear 3. A função linear f() = é chamada função identidade e contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes. y f() = 1 1 MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 40

41 Função do 1º Grau (ou Afim) a, b lr, Sejam com a 0. Chamamos de função afim ou do 1º grau à função dada por: f : lr lr y a y= f ( ) = a+ b Y = a + b b ὠ MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 41

42 Função do 1º Grau (ou Afim) Observações: 1. As funções lineares f() = a são casos particulares de funções afins f()=a +b, em que b = 0; 2. Im f = lr; 3. O gráfico de f é uma reta no plano cartesiano, inclinada em relação aos eios; 4. O número b édenominado coeficiente linear da reta e determina a ordenada em que esta reta intercepta o eio y (pois b= f(0)); 5. O número a é denominado coeficiente angular ou inclinação da reta (especifica a sua direção) a=tg ὠ. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 42

43 Função do 1º Grau (ou Afim) 5. Além disso, se: 1. a>0, então f()=a+b é crescente, isto é, 2 > 1 implica f( 2 )>f( 1 ) (isto significa que à medida que aumentam os valores de, aumentam os valores correspondentes y=f(); 2. a<0, então f()=a+b é decrescente, isto é, 2 > 1 implica f( 2 )<f( 1 ) (isto significa que à medida que aumentam Os valores de, diminuem os valores correspondentes y=f(). MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 43

44 Função do 1º Grau (ou Afim) y (a>0) y (a<0) f( 2 ) f( 1 ) f( 1 ) f( 2 ) Função crescente Função decrescente MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 44

45 Função do 1º Grau (ou Afim) 6. O estudo da variação de sinal da função f()=a+b pode ser dividido em dois casos: 1º caso: a>0: b b b = f ( ) = 0; > f ( ) > 0; < f ( ) < 0. a a a y (+) -b/a (-) MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 45

46 Função do 1º Grau (ou Afim) 6. 2º caso: a<0: b b b = f ( ) = 0; > f ( ) < 0; < f ( ) > a a a y 0. b (+) -b/a (-) MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 46

47 Eemplos 1. Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura abaio: Seja y=a.+b a função procurada. Então: b=1 (onde corta o eio y), assim y=a.+1; o ponto (1,3) pertence ao gráfico,logo: 3=a.1+1, sendo assim a=2; desta forma y=2+1. MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 47

48 Eemplos 2. Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura abaio: Seja y=a+b a função procurada. Pelo gráfico temos: 3 = a 2 + b 2 = a 1+ b MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 48

49 Eemplos Subtraindo membro a membro teremos: 3-2=2.a-1.a=a(2-1) 3 2 a = = Assim, y=+b. Novamente como o ponto (1,2) pertence ao gráfico, temos: 2=1+b o que acarreta b=1, logo: y=+1. De uma forma mais geral, conhecendo dois pontos P( 0,y 0 ) e Q( 1,y 1 ) de uma reta, o seu coeficiente angular a, é dado por: y1 y0 a = 1 0 MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 49

50 Eemplos Conhecendo um ponto P( 0,y 0 ) de uma reta e seu coeficiente angular a, a função correspondente é dada por: y-y 0 = a( 0 ) MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 50

51 Eercícios 1. Esboce os gráficos da funções: a) y=5; b)y=-3; c)y=3+2; d)y= Estude o sinal das seguintes funções: a)y=2-6; b)y=-3; c)y-2+8; d) y= Obtenha a equação da reta que passa por P e tem coeficiente angular a nos seguintes casos: a) P(1,3) e a=2; b) P(-1,4) e a=-1; c) P(-1,-2) e a=2. 4. Obtenha a equação da teta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: a)a(1,2) e B(2,3); b) A(-1,0); c) A(2,1) e B(0,4). MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 51

52 Aplicações Funções Custo, Receita e Lucro Seja a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de, e a relação entre eles chamamos de função custo e a indicamos por C. Obs.: Eistem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. Seja a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita ao produto de elo preço de venda e a indicamos por R. A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função Custo C. Assim, L()=R() C() MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 52

53 Eemplo Suponhamos que a função custo seja C()= e a função lucro seja L()=15. O ponto de nivelamento ou ponto crítico éo valor de tal que R()=C(). Ou seja, 15= , 5=5000, =1000. Assim, se >1000, o lucro será positivo, se <1000, o lucro será negativo (prejuízo). A função lucro é dada por: L()=R()-C() L()=15-( ) L()= MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 53

54 Eemplo R lucro positivo N C prejuízo 1000 ponto crítico MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 54

55 Eercícios 1. Determine o ponto de nivelamento e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso: a) R()=4 e C()= 50+2; b) R()=200 e C()= ; 2. Obtenha as funções lucro em cada caso do eercício anterior, esboce o seu gráfico e faça o estudo do sinal. 3. Uma editora vende certo livro por $60,00 a unidade. Seu custo fio é $10000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $40,00. Qual o ponto de nivelamento? 4. Em relação ao eercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de $8000,00? MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 55

56 Eercícios 5. O custo fio mensal de uma empresa é $30.000,00, o preço unitário de venda é $8,00 e o custo variável por unidade é $6,00. a) obtenha a função lucro mensal; b) obtenha a função lucro líquido mensal, sabendose que o imposto de renda é 30% do lucro. 6. Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será unidades por ano. Se o custo fio de fabricação for $ ,00 por ano, e o variável por unidade $20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo? MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 56

57 Aplicações Função Demanda e Oferta do 1º Grau A demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros). MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 57