Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

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1 Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3 - Pré-cálculo a lista complementar de eercícios (6//7 a 7//7) Diga quais dos conjuntos abaio representam uma função com domínio A = N e contradomínio B = N Nos casos que são funções, determine o conjunto imagem {(t, t + ) t N} {(, + ) Z} {(, ) N} {(, ( ) ) N} {(, ), (, ), (, 4), (3, 9), (4, 6), } {(, ) N } Em cada um dos itens abaio, calcule o que se pede f : R R dada por f() = 3 + Calcule f( ), f(), f(), f( ), f(, ) 3 f : R { } R dada por f() = + Calcule f(), f( ), f( ), f( ), f, f(a ), f( ) f : R R dada por f(t) = t + t Calcule f(), f( ), f(), f( ), f() f : R R dada por f() = Calcule f(), f(), f( ), f( + ), f( ), f( ) f : R R dada por f() = Calcule f( ), f(), f( ), f( + ), f() f : R R dada por f() = Calcule f( 3), f( ), f(), f(3), f( 3455), f( ) 3 Em cada um dos eemplos abaio, escreva matematicamente a função representada pelo teto, conforme eemplo no item Em todos os itens, utilize R como contradomínio A função que a cada número real associa o seu quadrado Solução f : R R dada por f() = A função que a cada número inteiro associa o seu módulo mais 3 A função que a cada número natural associa a raiz quadrada do seu módulo A função que, a cada número real, adiciona 3 e, em seguida, eleva ao quadrado A função que, a cada número real, eleva ao quadrado e, em seguida, adiciona 3 A função que, a cada número real não negativo, etrai a raiz quadrada, adiciona 8 e multiplica por /3

2 4 Faça o caminho inverso do eercício anterior, conforme eemplo do item f : R R dada por f() = + Solução A função que, a cada número real, eleva ao quadrado e adiciona f : R R dada por f() = ( + ) f : {,, } R dada por f() = f : R R dada por f() = ( ) 3 5 Em cada um dos itens abaio, diga quais estão ou não bem definidos (ver enunciado da questão 8 da lista de eercícios ) f : R R dada por f() = f : [5/3, ) R dada por f() = f : [4, ) R dada por f() = f : [5/3, ) [ 3, ) dada por f() = f : R R dada por f() = + 6 Para cada um dos itens do eercício anterior que não estão bem definidos, corrija a definição (ver enunciado da questão 9 da lista de eercícios ) 7 Em cada um dos itens abaio, encontre o domínio das funções f() = f() = + f() = 3 f() = f() = + f() = 3 + f() = 3 4 (g) 3 (h) f() = ( 3)( (i) f() = 5 f() = + 8) (j) ( 3)( f() = 5 + 8) (k) Sugestão Para os três últimos, relembre o eercício 9 da lista de eercícios 9 8 Sejam f : A B e g : C D funções Dizemos que f e g são iguais se A = C, B = D e f() = g() para todo no domínio Em outras palavras, duas funções são iguais quando possuem o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma regra de formação Dizemos que f é uma restrição de g (ou que g é uma etensão de f) se A C, B = D e f() = g() para todo A Em outras palavras, f é uma restrição de g se possui domínio contido no domínio de g e coincide com g em seu domínio Dizemos que f é uma correstrição de g (ou que g é uma coetensão de f) se A = C, B D e f() = g() para todo no domínio Em outras palavras, f é uma correstrição de g se possuem o mesmo domínio, coincidem em todo o domínio e o contradomínio de f está contido no contradomínio de g

3 Eemplos A função f : {,, } R dada por f() = é igual à função g : {,, } R dada por g() = 3, pois possuem mesmo domínio, mesmo contradomínio e coincidem em todos os elementos do domínio (note que 3 = se {,, }) A função f : R R dada por f() = é uma etensão da função g : R + R dada por g() = A função f : R R + dada por f() = é uma correstrição da função g : R R dada por g() = A função f : R + R dada por f() = é uma restrição e coetensão da função g : R R + dada por g() = As funções f : R R dada por f() = e g : R R dada por g() = não são comparáveis sob nenhuma das classificações acima Em cada um dos itens abaio, digas as relações entre as funções apresentadas (se houver) (g) (h) (i) (j) f : {,, } R dada por f() = e g : {,, } R dada por g() = f : {,, } R dada por f() = e g : {,, } R dada por g() = f : {,, } R dada por f() = e g : {, } R dada por g() = f : {, } R dada por f() = e g : {, } R dada por g() = f : {,, } R + dada por f() = e g : {, } R dada por g() = f : R R dada por f() = + e g : R {} R dada por g() = f : R R dada por f() = e g : R R dada por g() = f : R R dada por f() = e g : R R + dada por g() = f : [, ] R dada por f() = 3 e g : [4, 8] R dada por g() = 3 f : R R dada por f() = 3 e g : R {4} R dada por g() = É possível que duas funções diferentes possuam eatamente o mesmo gráfico? Justifique Qual informação de uma função não é possível descobrir a partir do seu gráfico? Faça o gráfico das funções abaio, encontrando alguns dos pontos pertencentes ao gráfico e tentando deduzir o restante O objetivo aqui é mostrar que eiste uma forma de fazer o gráfico de qualquer função, basta encontrarmos diversos pontos pertencentes ao seu gráfico Obviamente, esse método é entediante, mas é importante utilizá-lo uma vez na vida Ao longo desse curso, aprenderemos técnicas para encontrar o gráfico de certas funções sem precisar recorrer ao método desse eercício Futuramente, em Cálculo, você aprenderá mais técnicas para traçar o gráfico de funções f : R R dada por f() = + 3 f() = 4 4 Observação Quando o domínio não é mencionado, a convenção utilizada é a do eercício 7 (g) f() = f() = f() = + f() = f() = 3

4 Para cada uma das funções abaio, calcule e simplifique (se possível) o quociente Considere a, a + h Dom e h Observe o eemplo no item f(a + h) f h f() = 3 + Solução Note que f = 3a + e que f(a + h) = 3(a + h) + Assim, f(a + h) f h = 3(a + h) + (3a + ) h = 3h h = 3 f() = + f() = 5 f() = + f() = + f() = (g) f() = (h) f() = (i) f() = 3 3 Para as mesmas funções do eercício anterior, calcule e simplifique (se possível) o quociente Considere, a Dom e a Observe o eemplo no item f() = 3 + Solução Note que f() = 3 + e que f = 3a + Assim, f() f a f() f a = 3 + (3a + ) a = 3( a) a = 3 4 Faça o gráfico das funções abaio (a partir daqui, você pode usar seus conhecimentos sobre as funções para fazer o gráfico) f() = f() = f : [, ) (, 3) {4} R dada por f() = 5 Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaio f() = f() = + f() = + f() = 4 3 f : (, ) R dada por f() = f : [, ) R dada por f() = + (g) f : [, ] R dada por f() = + 6 Para as funções do item anterior, determine os pontos do eio das abscissas e do eio das ordenadas que pertencem ao gráfico 7 Encontre um equação para a reta que passa pelos pontos abaio (3, ) e (, 3) (, ) e (, ) 8 Seja f uma função afim, isto é, f() = a + b Sabe-se que f( ) = 3 e que f() = Determine f(3) 9 Determine uma equação para a reta com coeficiente angular igual a e que passa pelo ponto ( 3, ) Determine uma equação para a que passa pelo ponto (, ) e tem coeficiente linear igual a 4 4

5 Encontre a regra de formação das funções representadas nos gráficos abaio 5

6 Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaio Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eios coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por eemplo, um vértice de uma parábola) f() = f() = f() = f() = + f() = + 7 f() = (g) f : (, ) R dada por f() = (h) f : [, ) R dada por f() = + (i) f : ( 3, /] R dada por f() = Determine a função quadrática f que satisfaz f() = 4, f() = e f(3) = 4 Determine os valores de m para que a função quadrática f() = (m ) + (m + 3) + m possua duas raízes reais distintas 5 Determine os valores de m para que a função quadrática f() = (m ) + (m + 3) + (m ) não possua raízes reais 6 Para cada uma das funções abaio, determine o domínio, calcule f() (se pertencer ao domínio), faça o gráfico e determine o conjunto imagem { {, se, se < f() = f() =, se > 3, se, se { 9 f() =, se < 3 3, se 3 < f() = 3, se > 3 e 4 4, se < 3, se = 4 7 A toda equação, é possível associar um conjunto solução No caso de a equação possuir duas variáveis, esse conjunto solução é um subconjunto de R Por eemplo, o conjunto solução da equação = consiste de todos os pares ordenados em que a primeira entrada é igual à segunda Este conjunto de pares pode ou não determinar uma função (como nos eercícios?? e ) Neste eemplo da equação =, o conjunto solução determina uma função e, quando isso acontece, dizemos que pode ser escrito como função de Nas equações abaio, diga se a variável pode ser escrita como função de + = = = + ( ) = 4 + = 9 + = 9 (g) + = (h) + = (i) + = (j) + = (k) = 3 (l) = 4 8 Logo após aprendermos os números, fomos apresentados às operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação e divisão Com o passar do tempo, aprendemos novos objetos matemáticos, como matrizes, por eemplo Após isso, ensinaram-nos a fazer operações com matrizes De uma forma geral, toda vez que um novo objeto matemático é estudado, operações são definidas entre estes objetos Acabamos de aprender funções, então seria natural fazer operações com funções também Uma operação pode ser interpretada da seguinte forma: ela recebe dois objetos e dá como resposta um terceiro objeto Por eemplo, a adição de números recebe dois números e o resultado é um novo número Em matrizes, a adição recebe duas matrizes e o resultado é uma nova matriz Com isso em mente, criaremos operações entre funções que, de modo geral, recebem duas funções e dão como resposta uma nova função Neste eercício definiremos cinco operações com funções: adição, subtração, multiplicação, divisão e multiplicação por escalar Eplicaremos cada uma delas abaio Fiemos, nas eplicações 6

7 abaio, as seguintes funções: f : {,,,, 3} R dada por f() =, g : {,,, 3, 4} R dada por g() =, h() = e k() = 4 Adição de funções A adição de funções é feita a partir das tabelas das funções envolvidas na operação Por eemplo, vamos efetuar a soma entre as funções f e g As tabelas correspondentes são: função f e função g A soma dessas funções é dada pela tabela função f + g + ( ) = função f + g A tabela foi construída usando apenas as linhas correspondentes aos elementos que estão na intersecção dos domínios de f e g e o lado direito nada mais é do que a soma das imagens de f e g Note que os resultados dessa tabela obedecem à regra f() + g() = + = 3 Com isso, podemos dizer que a soma das funções f e g é a função f + g : {,,, 3} R dada por f + g () = 3 (aqui, f + g é o nome da nova função criada e o que essa função faz em é f + g (); às vezes utilizase (f + g)() ou [f + g]()) Como outro eemplo, façamos a soma h + k Como ambas possuem domínio igual a R, então o domínio da soma também será R Assim, h + k : R R é dada por (h + k)() = + 4 Curiosidade Quando tentamos definir a adição de funções de forma abstrata, a definição fica (f + g)() = f() + g() Para quem lê isso, parece que não há nada de útil escrito Porém, a epressão (f + g)() = f() + g() está correta e possui a seguinte interpretação: o valor da função f + g em (que é o que está do lado esquerdo) é definido como a soma do valor de f em com o valor de g em (que é o lado direito) Subtração de funções A subtração é feita de forma análoga à adição, substituindo apenas a soma das regras pela diferença das regras das funções Para as funções acima, f g : {,,, 3} R é dada por (f g)() = f() g() = ( ) = e h k : R R é dada por (h k)() = h() k() = ( 4) = + 4 Multiplicação de funções Segue a mesma lógica acima O nome dado à função obtida pela multiplicação de f e g é fg Para as funções acima, fg : {,,, 3} R é dada por (fg)() = f()g() = ( )( ) = 3 + e hk : R R é dada por (hk)() = h()k() = ( 4) = 3 4 Divisão de funções Também segue a mesma lógica acima Há, apenas, um cuidado adicional que devemos ter com a divisão de funções, pois não faz sentido dividir f() por g() quando g() = Assim, serão ecluídos do domínio de f/g os elementos para os quais g() = Para as funções acima, f/g : {,, 3} R é dada por (f/g)() = f()/g() = e h/k : R {} R é dada por (h/k)() = h()/k() = 4 Multiplicação por escalar Esta é uma operação que envolve um número e uma função (e não duas funções como nos casos anteriores) Por eemplo, a função 3f é a função que, quando avaliada em, tem como resultado o valor f() multiplicado por 3 Usando a função f acima, temos que 3f : {,,,, 3} R é dada por (3f)() = 3f() = 3( ) = 6 3 Como outro eemplo, k : R R é dada por ( k)() = k() = ( 4) = Comentário A palavra 7

8 escalar é um sinônimo para número em alguns contetos matemáticos Quando estamos falando de funções (ou de matrizes), um escalar representa um número Agora que aprendemos essas cinco operações, vamos praticar um pouco! Para as funções f e g abaio, determine as funções f + g, f g, fg, f/g e f e encontre seus domínios f() = + e g() = 3 f() = 9 e g() = 4 f() = + e g() = Considere as funções f() = 3 5 e g() = Calcule o que se pede: g(f( )); f(f()); (g) f(f( )); g(g()) g(g()); f( ); g(f()); 3 Há mais uma operação entre funções que devemos aprender: a composição de funções Esta operação é melhor compreendida quando representamos as funções envolvidas na forma de diagrama de Venn Para eemplificar, considere as funções g : C D e f : A B dadas pelos diagramas g f C D A B e Podemos pensar que a função f oferece caminhos para partir de um elemento de A e chegar a um elemento de B, assim como g faz o mesmo para os conjuntos C e D Nosso objetivo é encontrar caminhos que saem de C e terminam em B Para isso, interpretaremos os conjuntos A e D como partes de um conjunto maior e mesclaremos os dois diagramas acima, obtendo C D A B Note que há, eatamente, dois caminhos possíveis partindo de C e chegando a B: um deles parte de e chega a 6 (passando por ) e o outro parte de e chega a 6 (passando por ) Estes dois caminhos compõem uma nova função, denotada por f g e denominada composição de f com g O diagrama de Venn desta função é E f g B

9 Observe que o domínio de f g é um novo conjunto E = {, } e o contradomínio é o mesmo da função f Além disso, note também que (f g)() = 6 e que (f g)() = 6 Nosso objetivo agora é descobrir tudo sobre a função f g usando apenas as informações sobre f e g Para isso, vamos analisar uma versão genérica do eemplo acima, ilustrada no diagrama f g C D A B g f (f g)() = g() f() = f(g()) O caminho direto de C para B é feito pela função f g, isto é, um elemento é mandado em (f g)() Este mesmo caminho pode ser feito partindo de, aplicando g e, em sequência, aplicando f Nesse processo, concluímos que é mandado em f(g()) Como os dois caminhos terminam no mesmo elemento, concluímos que (f g)() = f(g()) Dessa forma, deduzimos a regra de formação da função f g: o valor da função f g em é igual ao valor de f em g() Por fim, resta determinar para quais valores de faz sentido calcular (f g)() Notemos que ao aplicar g em, o valor obtido g() deve estar no domínio de f para que faça sentido calcular f neste valor Assim, o domínio de f g é formado pelos elementos do domínio de g cujas imagens estão do domínio de f (compare com o eemplo anterior para se convencer disso) Vamos aplicar esse raciocínio a um eemplo Considere as funções f() = e g() = A regra de formação da função f g é dada por (f g)() = f(g()) = f( ) = Falta determinar o domínio de f g Para isso, devemos descobrir quais são os elementos em Dom(g) = R cujas imagens estão em Dom = R + Isso equivale a encontrar R tal que g() R +, isto é, os valores de R tais que Isso nos diz que [, ) e, portanto, Dom(f g) = [, ) Façamos um outro eemplo Sejam f() = e g() = e calculemos a função f g A regra de formação é dada por (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) = Para determinar o domínio, devemos encontrar Dom(g) = R + tal que g() Dom = R Isso nos diz que Dom(f g) = R + Como resposta final para o eercício, podemos escrever f g : R + R dada por (f g)() = Hora de praticar! Nos itens abaio, determine as funções f g, g f, f f e g g e seus domínios f() = 6 5 e g() = f() = 3 + e g() = 3 f() = e g() = + 3 f() = + e g() = Nos itens abaio, determine a regra de formação da função f g h (não é necessário encontrar o domínio) f() =, g() = e h() = f() =, g() = 3 e h() = + f() = 4 +, g() = 5 e h() = f() =, g() = e h() = 3 9

10 3 Epresse as funções abaio como f g h F () = 3 ( 4) F () = ( ) 9 F () = (3 + 3 ) 6 33 Encontre uma função I tal que g I = g para qualquer outra função g (considere g uma função com domínio e contradomínio subconjuntos de R) 34 Encontre uma função I tal que I g = g para qualquer outra função g (considere g uma função com domínio e contradomínio subconjuntos de R) Lista de eercícios parcialmente retirada e adaptada de [] G Iezzi, C Murakami Fundamentos de Matemática Elementar 7 a ed, Atual Editora, São Paulo, 4 [] J Stewart, L Redlin, S Watson Precalculus, Mathematics for Calculus 6 a ed, Brooks/Cole Cengage Learning, Belmont, 4