CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas Definir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas; Enunciar suas principais propriedades e reconhecer o gráfico dessas funções. A ideia de função está relacionada em estabelecermos uma relação biunívoca entre dois conjuntos, de forma que os elementos do primeiro conjunto tenham uma única correspondência no segundo conjunto. Na aula de hoje, definiremos uma função de uma forma diferente da que estamos acostumados, em que dizemos explicitamente os conjuntos domínio e contradomínio, que é a função logarítmica natural e a partir dela definiremos a função exponencial e as funções hiperbólicas. Função Logarítmica Natural Seja x > 0. Definimos a função logarítmica natural como sendo a função dada pela medida da área abaixo da hipérbole y =, entre t = e t = x. Graficamente, essa área é dada como abaixo: t Então podemos escrever que f : R + R Figura : O Logaritmo Natural de x x f(x) = ln x = Área abaixo da função g(t) = entre as retas t = e t = x t Durante nosso estudo, definiremos mais precisamente como calcular essa área, contudo a ideia que deve ficar presente em nossas mentes é que a relação que acabamos de definir é uma função, pois a cada

2 x tomado, temos uma região correspondente a esse x; e a essa região temos um único número real que corresponde a sua área. Por exemplo, para x =, temos que o valor de ln é o valor da área da região Para x =, Figura : Região cuja área corresponde a ln Figura 3: Região cuja área corresponde a ln Observação. Essa função está bem definida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com x > 0. Observação. A princípio, definiremos que se x > então f(x) > 0 e se 0 < x < então f(x) < 0, contudo essa afirmação será provada nas aulas seguintes. Definição. Definimos o número e como sendo o número tal que f(e) = ln e =. A seguir, enunciaremos algumas propriedades da função logarítmica natural que serão demonstradas nas aulas seguintes: Proposição. Sejam a, b > 0, então (i) ln(a.b) = ln a + ln b; ( a ) (ii) ln = ln a ln b; b (iii) ln(a c ) = c ln a, c R Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida

3 O Gráfico de f(x) = ln x é: Figura 4: Gráfico da função f(x) = ln x Função Exponencial Natural Observando o gráfico de f(x) = ln x, podemos notar que f é injetora, uma vez que verifica o teste da reta horizontal; e também é sobrejetora, pois Im f = R. Logo, a função logarítmica natural é bijetora e portanto, inversível. Desse modo, podemos definir uma função g : R R +, denotada por g(x) = exp(x) tal que g(x) = f (x). Utilizando as propriedades de função inversa e função composta, temos que Logo, f(g(x)) = x, x R e g(f(x)) = x, x R + exp() = exp(ln e) = e exp(0) = exp(ln ) = Se x for qualquer número real, então a propriedade do logaritmo da potência nos dá: Portanto, Logo, e ln(e x ) = x ln(e) = x. exp(x) = e x. e x = exp(x) Em outras palavras, definimos e x como a função inversa de ln x: Pelas propriedades de função composta: e x = y ln y = x. () e ln x = x x > 0 () ln(e x ) = x x. (3) Supondo que as propriedades dos logaritmos são verdadeiras, podemos mostrar o seguinte teorema Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Teorema. Se x e y forem números reais, então. e x+y = e x.e y. e x y = ex e y 3. (e x ) y = e xy Demonstração De fato, note que: ln(e x.e y ) = ln(e x ) + ln(e y ) = x + y = ln(e x+y ) Como a função logarítmica natural é injetora, segue que e x.e y = e x+y. Analogamente, ( ) e x ln = ln(e x ) ln(e y ) = x y = ln(e x y ) e y Como a função logarítmica natural é injetora, segue que e x y = ex. Finalmente, temos: ey ln(e xy ) = xy. ln(e) = xy = y. ln(e x ) = ln((e x ) y ). Como a função logarítmica natural é injetora, segue que (e x ) y = e xy. Agora, utilizando a propriedade gráfica da função inversa, obtemos que o gráfico da função exponencial natural é 3 Funções Logarítmicas e Exponenciais Gerais Definição. Se a > 0 e x são números reais, então: a x = (e ln a ) x = e x ln a. Portanto, definimos a x = e x ln a (4) A função f(x) = a x é chamada função exponencial com base a. Observe que a x é positivo para todo x, pois e x é positivo para todo x. A Definição nos permite estender uma das propriedades de logaritmos. Já sabemos que ln(a x ) = x. ln a, logo: ln a x = ln(e x ln a ) = x. ln a x R As propriedades gerais dos expoentes seguem da Definição com as propriedades do expoentes para e x. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Teorema. Se x e y forem números reais e a, b > 0, então:. a x+y = a x.a y. a x y = ax a y 3. (a x ) y = a xy 4. (ab) x = a x.b x A demonstração desse resultado decorre do teorema. Observação 3. Se a >, então ln a > 0, logo a x. ln a > 0, o que mostra que y = a x é crescente. Analogamente, se 0 < a <, então ln a < 0 e, portanto, y = a x é decrescente. Definiremos agora a função logarítmica geral. Se a > 0 e a, então f(x) = a x é uma função injetora. Sua função inversa é chamada função logarítmica de base a e é denotada por f(x) = log a x. Logo: Em particular: E as propriedades de ln x se estendem a log a x. 4 Funções Hiperbólicas log a x = y a y = x (5) log e x = ln x. Nessa seção apresentaremos as funções hiperbólicas, que são funções obtidas por combinação das funções e x e e x. Elas são: Função Seno Hiperbólico é a função f : R R dada por f(x) = senh (x) = ex e x. O seu gráfico é Figura 5: Gráfico da Função f(x) = senh x Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Função Cosseno Hiperbólico é a função g : R R +, dada por g(x) = cosh(x) = ex + e x, e seu gráfico é: Figura 6: Gráfico da Função f(x) = cosh x A partir dessas duas funções podemos definir as outras que seguem abaixo: Função Tangente Hiperbólica é a função f : R (, ) dada por f(x) = tgh (x) = senh x cosh x = e x e x e x, o seu gráfico é o seguinte: + e x Figura 7: Gráfico da Função f(x) = tgh x Função Secante Hiperbólica é a função g(x) = cosh(x) e cujo gráfico é: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Figura 8: Gráfico da Função f(x) = sech x Função Cossecante Hiperbólica é a função f(x) = senh(x) e cujo gráfico é: Figura 9: Gráfico da Função f(x) = cossech x Função Cotangente Hiperbólica é a função g(x) = tgh(x) = cosh(x) senh x e cujo gráfico é: Figura 0: Gráfico da Função f(x) = cotgh x Vejamos alguns exemplos de cálculos simples: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 Exemplo. Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0 (c) tgh (d) senh (ln ) (e) sech 0 (f) cotgh (ln 3) (g) cossech (ln ) Solução: (a) senh 0 = e0 e 0 (b) cosh 0 = e0 + e 0 = 0 = 0 = = (c) tgh = senh cosh = e e e e e = + e e + e ( ) (d) senh (ln ) = eln e ln = = (e) sech 0 = cosh 0 = = (f) cotgh (ln 3) = cosh ln 3 senh ln 3 = e ln 3 + e ln 3 e ln 3 e ln 3 3 = 3 4 (g) cossech (ln ) = senh x = e ln e ln = = eln 3 + e ln e ln 3 e ln 3 = A utilização das funções hiperbólicas na ciência e na engenharia ocorre sempre que uma entidade como a luz, a velocidade, a eletricidade ou a radioatividade, é gradualmente absorvida ou extinta, sendo esse decaimento representado por esse tipo de função. Uma outra aplicação é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a forma de um fio dependurado entre duas hastes, como por exemplo o fio elétrico entre dois postes. Em geral, esse fio assume a forma de uma catenária, que é uma curva cuja equação é y = c + a cosh ( x a). Também podemos utilizar as funções hiperbólicas na descrição das ondas do mar. A velocidade de uma onda aquática com comprimento L se movimentando por uma massa de água com profundidade d é modelada pela função: = 3 ( ) gl πd v = π tgh L onde g é a aceleração da gravidade. A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções hiperbólicas: Proposição. Sejam x R. Então: (i) senh ( x) = senh x = 4 3 = = 5 4 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 (ii) cosh( x) = cosh x (iii) cosh x senh x = (iv) tgh x = sech x (v) senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x (vi) cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh xsenh y DemonstraçãoProvaremos os itens (iii) e (iv) e os outros ficam como exercício. (iii) Note que ( e cosh x senh x + e x ) ( e x e x ) x = ( e x + e x e x + e x ) ( e x e x e x + e x ) = 4 4 = e x + + e x e x + e x 4 = 4 4 = (iv) Observe que Resumo tgh x = senh x cosh x = cosh x senh x cosh x = cosh x = sech x Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 48 53, 55 6 e no Apêndice G do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 53,54, 64,65,66 e os exercícios do Apêndice G do livro texto. Dica importante Os conceitos de função, função composta e função inversa são necessários para o bom entendimento das funções exponencial e logarítmica. Por isso, se esses conceitos não estão bem firmados em sua mente, relembre a aula 0 e faça os exercícios lá indicados. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9

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