Funções. Conceitos Básicos. Unidade C. Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

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1 34 Unidade C Funções Conceitos Básicos Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

2 35 Funções A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por eemplo, como escrevemos o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado dependendo do tempo? E se o móvel está em movimento retilíneo uniformemente variado? Como representar o número de habitantes de uma cidade em função do tempo? E a quantidade de calor transferido entre duas superfícies com temperaturas diferentes? Podemos relacionar essas grandezas na forma de funções, o que nos permitirão traçar e analisar gráficos, aprofundando o conhecimento sobre as grandezas que se relacionam e como se relacionam. Estudaremos apenas as funções que relacionam duas variáveis, geralmente usaremos e y. Em que a variável é chamada de independente e y de dependente.. Definição de função. Duas grandezas, e y, em que A e y B, A e B conjuntos não vazios, se relacionam como uma função se: I Todo se relaciona com algum y B. II Cada se relaciona com eatamente um y B. O conjunto A chamamos de domínio da função, B contradomínio e se eistir uma epressão que relacione y a, chamamos de lei da função. Notação: f: A B y = f() Eemplos:. Seja A o conjunto dos triângulos no plano e B o conjunto dos números reais. Se f relaciona o triângulo com a sua área, f: A B é função? I Todo triângulo tem área. II Cada triângulo possui apenas UMA área. Essa área é um número real (B = R). Logo é uma função! 2. Seja A o conjunto das mulheres e B o conjunto dos homens. Se f associa a mulher com quem possui relacionamento romântico, f: A B é função? I Nem toda mulher está num relacionamento romântico. Não satisfaz a primeira condição, não é função. II Cada mulher pode ter mais de um relacionamento romântico. Não satisfaz a segunda condição, logo não é função. Basta não satisfazer algum dos critérios para não ser função. 3. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais. Se f associa cada pessoa com sua idade em anos, f: A B é uma função? I Toda pessoa tem idade. Mesmo considerando o que as pessoas responderiam ao serem questionadas, apenas a parte inteira de suas idades, teríamos problemas com alguns elementos do conjunto A. Se considerarmos bebês, cujas idades são contadas em meses, não teríamos um número natural para associar a eles. Por eemplo, um bebê de seis meses, em anos sua idade seria 0,5, mas o conjunto B = N. Nesse sentido nem todas as pessoas tem idade associada a um número natural. II Cada pessoa possui apenas um número que representa a sua idade num momento definido. Logo esse eemplo não é função, pois falha o primeiro critério. Poderíamos torna-lo em uma função se apenas alterássemos o conjunto B para B = R. 4. Seja A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números reais. Se f associa cada equação com suas soluções, f: A B é uma função? I Toda equação possui solução? Como B = R, a resposta é não. Por eemplo, as equações 2 + = 0 e = 0 não possuiu soluções reais. Por isso esse eemplo, não é uma função. II Cada equação possui UMA solução? A resposta também é não, pois além das equações sem soluções nos reais, há aquelas que possuem duas soluções, ou seja, um mesmo estaria associado a dois valores de y. Como, por eemplo, a equação 2 6 = 0, com as soluções = 0 e = 6! A parte complementar nessa unidade tem o objetivo de aprofundar os conceitos abordados. Assim, os conteúdos não deiarão de ser cobrados, pois serão vistos em aula, embora não tão aprofundado.

3 36 Observação: - O conjunto dos y B, tais que eistem algum relacionado a eles chama-se conjunto imagem. 2. Nosso objeto, nessa disciplina, é estudar funções cujo domínio e contradomínio são conjuntos numéricos. Eemplo:. Determine o conjunto imagem das funções entre os itens a 4, anteriores? Eemplo : Área de triângulos. Qualquer número real positivo está associado a área de algum triângulo. Por eemplo, eiste triângulos de área A = 2, basta considerarmos um triângulo de base b = 2 2 e altura h =. Na verdade só não eistem triângulos com áreas negativas ou nulas. Logo Im = R +. Eemplo 2: Não é função. Eemplo 3: Se considerarmos a adequação em que B = R, então basta considerarmos que não eistiriam idades negativas, até aqui podemos considerar idades nulas, idades dos bebês no instante em que nascem, logo Im = R +. Eemplo 4: Não é função. 2. Considere A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números inteiros. Se f relaciona cada equação de segundo grau com o número de soluções reais, f: A B é função? Caso afirmativo determine o conjunto imagem. Agora o eemplo se difere do eemplo 4 anterior. Agora cada equação está associada com o número de soluções que pode ter. Como a equação é de segundo grau sabemos que: pode não ter solução nos reais, podemos considerar que a equação possui zero soluções, pote ter uma solução, ou duas. Inclusive, sabemos o número de soluções de uma equação sem resolvê-la. Sabemos que o número de soluções é zero se < 0, um se = 0 e duas se > 0. Cada equação possui apenas um desse tipo de. Logo, em qualquer caso: I Toda equação possui um número inteiro de soluções. II Cada equação tem definido apenas um número de soluções. Esse eemplo é uma função e Im = {0,, 2}. 3. Defina a função que relaciona a área de um quadrado com o seu lado. Determine o conjunto imagem da função. 4. Defina a função que relaciona cada número real com o seu dobro. Determine o conjunto imagem. 5. Defina a função que relaciona a ordenada com a abscissa dos pontos do plano que pertencem à reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45º com o sentido positivo do eio. Determine o conjunto imagem da função.

4 37 2. Gráficos de funções. Nesta disciplina estudaremos o gráfico de algumas funções especiais. Não esboçaremos gráficos de outras funções. Aqui o objetivo é reconhecer o gráfico de uma função e reconhecer quando temos gráficos que não são de funções. Também poderemos definir domínio e imagem a partir do gráfico. (a) (b) (c) (d)

5 38 (e) (f) Observação: Passaremos a estudar funções específicas focando um maior número de detalhes. Geralmente se nada for dito, assume-se que o domínio e contradomínio da função são os reais. 3. Domínio de uma função. Se conhecemos apenas a lei de uma função podemos definir o domínio da mesma, pensando qual o maior subconjunto dos reais que torna a epressão uma função. Lembramos aqui a definição de uma função, se para algum elemento do A não eistir elemento y associado a ele não eiste função. De maneira geral ecluímos do conjunto dos números reais aqueles que seria impossível calcular y, sobrando aqueles valores de que estão relacionados a apenas um valor de y. Eemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) f: A R y y

6 39 Se pensarmos em domínios como subconjuntos dos números reais só eistem duas restrições: I Divisão por zero; II Radicando negativo em raiz de índice par. Podemos ter combinações dessas restrições. Eemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) g: A R y 2 y ² (c) f: A R y (d) h: A R y 3 5 (e) f: A R (f) g: A R y 3 ² 2 y 2 Observação: Após estudar as funções básicas voltaremos a determinar domínios com outras combinações destas restrições.