Notas de Aulas 4 - Funções Elementares - Parte I Prof Carlos A S Soares

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1 Notas de Aulas 4 - Funções Elementares - Parte I Prof Carlos A S Soares Neste momento do curso de Elementos de Cálculo, estamos interessados em rever algumas funções já estudadas no Ensino Médio de forma a desenvolver os importantes conceitos de limites e continuidade. Começamos esboçando o gráfico de algumas funções, de forma a eplorar o significado da epressão lim 0 f() = l. (leia-se: limite de f() quando tende a 0 é igual a l.) O conceito geral de funções reais. Apresentação e Eemplos Conceito. Seja A um subconjunto não vazio de R. Uma função real de domínio A, indicada por f : A R, é uma regra que faz corresponder a cada elemento de A um único elemento de R. Eemplo. () f : [0, ] R dada por f() =. domínio=[0, ] () f : R R dada por f() = + 3 domínio=r (3) f : R \ {0} R dada por f() = domínio=r \ {0} Lembramos que quando somente a regra é dada, o domínio da função é o maior suconjunto de R onde a regra se torna função. Determinar o domínio de uma função, quando a regra é dada, significa determinar o maior subconjunto de R onde a regra se torna função. Eemplo.3 Determine o domínio da função f() =. Solução.4 É claro que a única restrição é que o denominador seja não nulo, isto é, devemos ter 0, ou ainda, /. Logo, o domínio é o conjunto R \ {/}. Eemplo.5 Determine o domínio da função f() =.

2 Solução.6 Neste caso temos duas restrições, quais sejam, 0 e 0, o que nos leva a e /. Portanto, o domínio de f é o conjunto [, [. Eemplo.7 Determine o domínio da função f() =. Solução.8 Neste caso, a restrição é > 0, isto é, devemos ter > 0. Logo, o domínio é o conjunto ]/, [= { R; > /}. Definição.9 Dadas funções f, g de mesmo domínio, podemos definir as funções f + g, f g, f.g e f/g como: ) (f + g)() = f() + g(), (f g)() = f() g() ) (f.g)() = f().g() ( ) f 3) () = f(). g g() 4) Se k R definimos, ainda, a função kf dada por (kf)() = kf() Salientamos que, em (), () e (4) acima, as funções possuem o mesmo domínio das funções f e g, já em (3) o domínio da função é o conjunto formado pelos números que estão no domínio da função g mas que não anulam g, isto é, aqueles números no domínio de g tais que g() 0. Eemplo.0 Considerando as funções f() = e g() = +, determine as funções f + g, f g, fg e f g. Solução. Pela definição acima, teremos, (f + g)() = f() + g() = + + = (f g)() = ( + ) = = (fg)() = f()g() = ( )( + ) = ( f f() )() = = g g() + desde que + 0, isto é,. Observação. Enfatizamos que duas funções reais f e g são iguais se, e somente se, possuem o mesmo domínio e f() = g() para todo número no domínio. Eemplo.3 Considere as funções f() = e g() =. Note que f e g não são iguais pois o domínio de f é R e o domínio de g é R \ {0}.. Zeros e estudo do sinal de funções Dada uma função f, determinar os zeros ou raízes de f é determinar os números reais no domínio de f tais que f() = 0. Logo, as raízes de f são as abscissas dos pontos onde o gráfico de f corta(ou toca ) o eio.

3 Eemplo.4 Determine as raízes da função f() =. Solução.5 Devemos ter = 0, o que nos leva a = ±. Eemplo.6 Determine as raízes da função f() =. Solução.7 Devemos ter = 0, o que nos leva a = ± mas, observando que o domínio de f são os números maiores que, teremos que a função não possui zeros. Recordemos que estudar o sinal de uma função f é determinar os números no domínio de f tais que f() > 0, os números tais que f() < 0 e os zeros de f. Eemplo.8 Estudar o sinal da função f() = 5 +. Solução.9 Devemos determinar os números tais que 5 > 0, os números tais que 5 + < 0 e os números tais que 5 + = 0. Teremos, então, f() > > 0 > /5 e f() < < 0 < /5. Portanto, f() > 0 se > /5, f() < 0 se < /5 e f() = 0 se = /5. Eemplo.0 Estudar o sinal da função f() = ( )( ). Solução. Inicialmente, lembremos que o produto de dois números é positivo se, e somente se, os dois números são positivos ou os dois números são negativos. Neste caso, então, teremos f() > 0 ( > e > 0) ou ( < e < 0). Logo, f() > 0 ( > / e > ) ou ( < / e < ) > ou < /. Logo, f() > 0 ], /[ ], [. (É bom ter em mente que o e sempre resultará em interseção e o ou em união!) De maneira análoga, teremos, f() < 0 ]/, [. Note que os zeros da função são = / e =..3 Eercícios. Qual o domínio da função f() = 5 +? Justifique!. Considere as funções f() = e g() = + +. Responda, justificando: (a) Qual o domínio da função f? (b) Qual o domíno da função g? (c) As funções f e g são iguais? 3. Quais os zeros da função f() = 6 + 0? Justifique! 4. Estude o sinal e determine os zeros da função f() = ( )( ). Qual o domínio de f? Justifique! 3

4 Funções do Primeiro Grau e Funções Constantes. Funções do Primeiro Grau Definição. Uma função f : R R será dita uma função do primeiro grau se eistem a e b números reais, com a 0, tais que f() = a + b R. Eemplo. Esboçar o gráfico da função f() =. Lembramos que o gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta e, portanto, para esboçá-lo basta escolhermos dois pontos nesta reta. Solução.3 Note que f() = 0 e f(0) =, isto é, o gráfico de f passa pelos pontos (, 0) e (0, ). Segue o esboço do gráfico - Eemplo.4 Determine, se eistir, uma função do primeiro grau tal que f(0) = e f() =. Determine os zeros e faça um esboço do gráfico da função encontrada. Solução.5 Devemos determinar uma função do tipo f() = a + b tal que f(0) = e f() =, isto é, os números a e b devem satisfazer o sistema { a.0 + b =. a. + b = Resolvendo, encontramos b = e a = 3, logo a função é f() = 3. Para determinar os zeros, fazemos 3 = 0 e encontramos = /3. Segue um esboço do gráfico 4

5 - Eemplo.6 Estudar o sinal da função f() = Solução.7 Lembramos que estudar o sinal de uma função f é determinar os números do domínio de f tais que f() > 0, os números tais que f() < 0 e os números tais que f() = 0. No caso de uma função do primeiro grau, como neste eemplo, isto pode ser feito muito facilmente. Vejamos: f() > 0 > 0 >. Da mesma forma temos f() < 0 <. Logo, f() > 0 > /, f() < 0 < / e f() = 0 = /. Eemplo.8 Estudar o sinal da função f() = + 4 Solução.9 A única diferença neste caso é que devemos ter cuidado ao lidarmos com o coeficiente negativo de. Logo, temos f() > > 0 > 4 < 4 <. Novamente, de maneira análoga, teremos, f() < < 0 < 4 > 4 > É claro que f() = 0 =. Portanto f() > 0 <, f() < 0 >, f() = 0 =. Eemplo.0 Resolver a inequação + 3 Solução. Temos (+) 3( ) Logo, o conjunto solução é igual a S =], ] = { R; }. Eemplo. Resolver a inequação (3 )( ) > 0. Solução.3 Este tipo de inequação é comumente chamada de inequação produto. Sua solução pode ser obtida facilmente lembrando, como já o fizemos anteriormente, que o produto de dois números é positivo se, e somente se, os dois números são positivos ou os dois são negativos. Devemos, então, estudar o sinal de 3 e. Mas, claramente, temos 5

6 3 > 0 > /3 e 3 < 0 < /3. Temos, ainda, que > 0 > e < 0 <. Logo os dois serão positivos > e os dois são negativos < /3. Logo a solução será S =], /3[ ], [. A representação abaio é muito usada para resolvermos este tipo de inequação. Na primeira reta temos o sinal de, na segunda o sinal de 3 e na terceira o produto dos sinais. Observe! (-)(-3) _ + /3 /3 + + _ + Eemplo.4 Resolver a inequação 3 + < Solução.5 Neste tipo de inequação devemos encontrar todos os valores de que satisfazem 3 + < + 3 e Mas 3 + < + 3 < /4 e /. Logo, o conjunto solução será S = { R; / < /4} = [ /, /4[. Eemplo.6 Resolver a inequação + 0. Solução.7 Neste caso, temos uma inequação quociente, que pode ser resolvida tal como fizemos com a inequação produto em.. Observe o estudo do sinal na figura a seguir. 6

7 _ - (-+)/(-) / + / _ + Logo, não eistem números tais que + < 0 e, portanto, a solução será S = {}. Observação.8 O significado geométrico dos números a e b na função f() = a + b já foi suficientemente abordado no estudo da reta. Manteremos a mesma denominação, isto é, a será dito a declividade da função e b seu coeficiente linear. Uma função f : A R será dita crescente se para quaisquer < em A, tivermos f( ) < f( ). De maneira análoga, uma função f : A R será dita decrescente se para quaisquer < em A, tivermos f( ) > f( ). De maneira informal, dizer que uma função é crescente significa que ao percorremos o gráfico no sentido positivo do eio seu gráfico irá subir. Dizer que uma função é decrescente significa que ao percorremos o gráfico no sentido positivo do eio seu gráfico irá descer. Não é difícil perceber que uma função f() = a + b, com a 0, será crescente ou decrescente conforme a > 0 ou a < 0, respectivamente. Observe a figura a seguir. a>0 a<0 Eemplo.9 A função f() = é crescente. Já a função f() = é decrescente.. Função Constante Definição.0 Uma função será dita uma função constante se eiste um número real k tal que f() = k R. Lembramos que o gráfico de uma função constante é sempre uma reta horizontal! 7

8 Eemplo. Esboçar o gráfico da função f() =. Solução. Segue o esboço do gráfico. - Eemplo.3 Determine uma função constante tal que f(0) = /. Solução.4 Devemos buscar a equação de uma reta horizontal que passe pelo ponto (0, /). É claro que tal reta tem equação = / e esta é a função, isto é, f() = /..3 Funções definidas por duas ou mais sentenças Muitas vezes, nosso interesse recairá sobre funções que são restrições de funções conhecidas, isto é, funções que em parte do domínio coincidem com uma função f e em outra parte coincidem com uma outra função g. Vejamos alguns eemplos. Eemplo.5 Esboçar o gráfico da função { +, se 0 f() =, se > 0 Solução.6 Note que o gráfico de tal função será o da reta = + se 0 e o da reta = se > 0. Segue o esboço do gráfico da função. - Eemplo.7 Esboçar o gráfico da função { +, se 0 f() =, se > 0 8

9 Solução.8 Neste caso, o gráfico da função é o gráfico da reta = + se 0( note a inclusão de 0, assinalada no gráfico pelo uso do círculo cheio! ) e da reta = se > ( círculo vazio pois ecluímos 0 ). Veja o gráfico acima. Eemplo.9 Esboçar o gráfico da função +, se 0 f() =, se 0 < <, se Solução.30 Tal como no eemplo anterior temos o gráfico a seguir. Note que naqueles pontos onde teríamos círculo cheio e vazio, prevalece o cheio!.4 Eercícios. Estude os sinais das funções abaio. (a)f() = + 3 (b) = 3 + (c) = 4 (d) = 5 + (e)f() = 3 (g) = 4 3 (f)f() = (h) =. Para quais valores de a função f() = /3 / é negativa? justifique! 9

10 3. Considere as funções f() = + 3, g() = 3 e h() = 4. Para quais números reais teremos: (a)f() g() (b)g() < h() (c)f() h() 4. Resolver as inequações: (a) < 3 < 4 (b) 4 < 4 3 (c) 3 < 3 < (d) < (e)3 + 4 < 5 < 6 (f) < 3 + < Resolver as inequações: (a)(3 + 3)(5 3) > 0 (b)(4 )(5 + ) < 0 (c)(5 + )( )(4 + 3) > 0 (d)(3 + )( 3 + 4)( 6) < 0 (e)(6 )( + 7) 0 (f)(5 )( 7 ) 0 (g)(3 )(4 + )(5 + 3) 0 (h)(5 3)(7 )( 4) 0 6. Resolver as inequações: (a) + + (b) > 0 (b) 3 3 < 0 0 (d) Resolver as inequações: (a) > (c) + 5 (b) < (d) Resolver as inequações: (a) ( )(3+4) (3+) > 0 (b) < 0 (4 ) (+5)(5+3) (c) (5+4)(4+) (d) (5 )(3 ) 0 9. Especifique qual função abaio é crescente e qual é decrescente. (a) = + 5 (c)f() = + (e) = (b)f() = 3 (d) = 3 (f)f() = 3 0. Para cada função abaio determine os valores de m que a faça crescente ou decrescente. (a)f() = (m + ) 3 (b) = (4 m) + (c) = 4 (m + 3) (d)f() = m( ) + 3. Esboce o gráfico de cada função abaio: (a) = / { (b)f() = {, se +, se (c)f() = (d)f() =, se >, se >, se {, se (e)f() =, se < 3 (f) =, se > 4, se > 3 0

11 3 Função Quadrática ou Função do Segundo Grau 3. Conceito, zeros e gráfico Definição 3. Uma função f : R R será dita função quadrática ou do segundo grau se eistem números reais a, b e c, com a 0, tais que f() = a + b + c, R. Eemplo 3. )f() = (b)f() = + (c)f() = ( ) Observação 3.3 () Tal como visto anteriormente, o gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola de diretriz horizontal e vértice dado por V ( b a, 4a ) onde = b 4ac, com concavidade voltada para cima se a > 0 e para baio se a < 0. () Para esboçarmos o gráfico de uma função do segundo grau, muitas vezes, é conveniente determinarmos os zeros da função, isto é, os números tais que f() = 0. Lembramos que tais números eistem se, e somente se, = b 4ac 0. Neste caso, os zeros serão dados por = b ±. a Eemplo 3.4 Para a função f() = pede-se: (a) Determine seus zeros (b) Determine seu vértice (c) Esboce seu gráfico assinalando o vértice e os zeros. Solução 3.5 (a) Inicialmente, note que a =, b = 5 e c = 6. Logo, os zeros serão dados por = b± a = ( 5)± ( 5) = 5± =, = 3. (b) Tal como observado acima o vértice será dado por ( ( 5), ) = (5/, /4).. 4. (c) Abaio temos o esboço do gráfico 3 V Zeros: = e =3 Vertice(5/,-/4)

12 Eemplo 3.6 Faça um esboço do gráfico da função + 3, se f() =, se < 3, se > Solução 3.7 Note que até, inclusive, teremos o gráfico da reta = +3. Entre (eclusive) e (inclusive), teremos o gráfico da parábola = e, após =, temos a reta horizontal = 3. Segue o esboço do gráfico Estudo do sinal Iniciemos o estudo do sinal das funções do segundo grau através de um eemplo. Eemplo 3.8 Estudar o sinal da função f() = Solução 3.9 Já sabemos que os zeros desta função são e 3 e que seu gráfico é uma parábola voltada para cima. Logo, é simples concluir que f() > 0 < ou > 3 e f() < 0 < < 3. No caso geral, pensando no gráfico, é simples concluir que para uma função do tipo f() = a + b + c, com a 0, teremos: ) Se > 0, isto é, se f possui duas raízes, então f assume o mesmo sinal de a fora das raízes e sinal contrário entre as raízes. ) Se = 0, isto é, se f possui uma única raíz, então f assume o mesmo sinal de a em todos os números, eceto, é claro, na raíz. 3) Se < 0, isto é, se f não possui raíz, então f assume o mesmo sinal de a em todos os números. Vide figuras a seguir.

13 >0 a>0 >0 a< _ =0 a>0 =0 a< _ <0 a>0 <0 a< _ Eemplo 3.0 Estudar o sinal da função f() = 4 + Solução 3. Facilmente calculamos as raízes de f encontrando = 6 e =. Como a = < 0, usando () acima, teremos f() > 0 6 < <, f() < 0 < 6 ou >, f() = 0 = 6 ou =. Eemplo 3. Estudar o sinal da função f() = Solução 3.3 Facilmente calculamos = 0, raíz=5/ e, sendo a = 4 > 0, teremos, usando () acima, f() > 0 5/ e f() = 0 = 5/. 3

14 Eemplo 3.4 Estudar o sinal da função f() = Solução 3.5 Neste caso, temos = 9 < 0 e, sendo a = < 0, teremos, usando (3) acima, f() < 0 R. Eemplo 3.6 Resolver a inequação Solução 3.7 Inicialmente, deveríamos estudar o sinal da função, estudo este já feito acima. Logo, temos S = { R; 6 ou } =], 6] [, [. 3.3 Eercícios. Esboce o gráfico das funções abaio; (a)f() = 3 (b) = (c) = + + (d)f() = (e) = (f)f() = (g) = + (h) = 3. Estude o sinal de cada função do item anterior. 3. Resolver as inequações: (a) 3 + > 0 (b) > 0 (c) (d) (e) (f)4 4 + > 0 (g) (h) (i) > 0 (j) < 0 (k) < 0 (l) 3 + > Resolva as inequações: (a)( 4 )( + 3) > 0 (b)( 7 + 6)( 7 + 5) 0 (c)( 6)( + ) > 0 (d)( + 6)( + 3) 0 5. Resolver as inequações: (a) > 0 (b) (c) (d) 3 +3 < 0 (e) Resolver as inequações: (f) < (a)4 < 4 (b) + < 3 5 (c) (d)7 + < (e)0 < + + < (f) < <

15 7. Determine m para que o gráfico da função quadrática definida por f() = (m 4) + + m tenha concavidade voltada para cima. 8. Determine m para que a função quadrática definida por f() = 3 6 m tenha duas raízes distintas. 9. Determine m para que a função quadrática definida por f() = m + + tenha uma única raíz. 0. Seja a função + 3 se f() = se < 3 se > Pede-se: (a) Determine os zeros de f (b) Faça um esboço do gráfico de f 4 A Função Módulo 4. Apresentação Definição 4. Chamamos função módulo ou função modular a função f : R R dada por {, se 0 f() = =, se < 0 Eemplo 4. () Como > 0, temos = () Como < 0, temos = ( ) = Observação 4.3 () Note que 0 é o único número satisfazendo = 0. Sendo a > 0, eistem dois números tais que = a, quais sejam, a e a. Já se a < 0 não eiste número tal que = a. () É simples notar que =. (3) Um erro frequente é fazer = independente de, mas isto só é verdade se 0. No caso geral, isto é, para qualquer número, o correto é =. (4) Enfatizamos que 0 e qualquer que seja o número. 4. Equações simples envolvendo módulo Não pretendemos fazer um estudo pormenorizado de equações envolvendo módulos, tão somente abordaremos equações de três tipos bem simples. Tipo : Equações do tipo f() = a Neste caso a equação só terá solução se a 0 e, sendo assim, a solução será encontrada fazendo f() = a ou f() = a. Vejamos alguns eemplos. 5

16 Eemplo 4.4 Resolver a equação 3 = Solução 4.5 Como > 0, fazemos 3 = ou 3 =, obtendo assim, =, = /3. Eemplo 4.6 Resolver a equação = 0. Solução 4.7 Neste caso basta fazer = 0, encontrando = ±. Eemplo 4.8 Resolver a equação + =. Solução 4.9 Como < 0, teremos S =. Tipo : Equações do tipo f() = g() Obtemos as soluções para equações deste tipo fazendo f() = g() ou f() = g(). Eemplo 4.0 Resolva a equação 3 = 4. Solução 4. Tal como mencionado, teremos 3 = 4 3 = 4 ou 3 = (4 ). Resolvendo, encontramos = /3 ou = 4/5, isto é, S = { /3, 4/5}. Tipo 3: Equações do tipo f() = g(). Neste caso devemos eigir que g() 0 e, sendo assim, fazemos f() = g() ou f() = g() Eemplo 4. Resolver a equação =. Solução 4.3 Devemos eigir que 0, isto é,. Agora, fazemos = = ou = ( ) = ou = 5. Como os dois números satisfazem a condição teremos S = {, 5}. Eemplo 4.4 Resolver a equação = Solução 4.5 Devemos eigir que , isto é, 3/5. Agora, fazemos = = ou = (5 + 3) = 4/3 ou = /7. Note que 4/3 < 3/5, não satisfazendo a condição 3/5. Logo, temos, S = { /7}. Algumas equações, ainda que não se enquadrem nos tipos acima, podem ser resolvidas facilmente através de uma mudança de variável. Vejamos um eemplo. Eemplo 4.6 Resolver a equação 3 8 = 0. Solução 4.7 No início desta seção observamos que = e, portanto, a equação proposta é equivalente a 3 8 = 0. Fazendo =, teremos a equação 3 8 = 0, que resolvida resulta em = 7 e = 4. Retornando, agora, para obter os valores de, teremos = 7 ou = 4, o que nos leva à solução S = {±7}. 6

17 4.3 Eercícios. Resolva as equações: (a) 8 = 9 (f)4 5 = (b) = 7 (g) 4 = 6 (c)3 4 9 = 0 (h) 3 5.(4 ) = 0 (d)4 3 = 3 (i) 3 4 = 6 (e) 5 = 4 + (j) = 0. Resolva as equações: (a)3 0 8 = 0 (b)( 3) + 3 = 0 3. Resolva as equações: (a) 3 = 6 + (b) = 3 (c) 6 = 4. Resolva o sistema { = =. 4.4 Zeros e gráficos {, se 0 Como =, se < 0 temos o gráfico desta função. temos que o único zero da função f() = é = 0. A seguir - Vejamos alguns eemplos de gráficos de algumas funções simples envolvendo módulo. Eemplo 4.8 Determine os zeros e esboce o gráfico da função f() =. Solução 4.9 Os zeros podem ser obtidos facilmente fazendo = 0, o que nos leva a = 0, ou ainda, =. Para esboçar o gráfico, o ideal é escrevermos f como uma função de duas ou mais sentenças. Neste caso, note que {, se = ( ), se <. Logo, devemos fazer o gráfico da função {, se f() = +, se <. 7

18 Abaio temos o gráfico =-+ =- Eemplo 4.0 Determine os zeros e esboce o gráfico da função f() =. Solução 4. Novamente, os zeros podem ser obtidos facilmente fazendo = 0, o que nos leva a = 0, ou ainda, = ±. Para esboçar o gráfico, novamente, escrevemos f como uma função de duas ou mais sentenças. Neste caso, note que { =, se 0 ( ), se < 0. Estudando o sinal da função, chegamos à conclusão de que devemos fazer o gráfico da função { f() =, se ou. +, se < < Abaio temos o gráfico =^- =^- =-^+ - Observação 4. Podemos poupar um pouco de trabalho ao fazermos gráficos de funções do tipo acima, isto é, funções do tipo f(). Se conhecemos o gráfico de uma função f(), então podemos obter facilmente o gráfico de f() bastando, para isto, refletir em torno do eio a parte do gráfico que estiver abaio do eio e manter inalterada a parte que já está cima do eio. 8

19 A seguir temos três eemplos, lado a lado, dos gráficos de uma função f() e a respectiva função f(). =+ = f()=^--3 4 f()= ^ V f()=-^+4 4 f()= -^ Vale ressaltar que a observação acima só é válida para o gráfico de uma função do tipo f(). Veja os eemplos abaio. Eemplo 4.3 Esboçar o gráfico da função f() = + +. Solução 4.4 Inicialmente, note que Logo, teremos, + = { +, se + 0 ( + ), se + < 0 = f() = { + ( + ), se + ( ), se <. 9 { +, se, se <.

20 ou ainda Logo, segue o esboço do gráfico f() = { +, se, se <. =+ + =+ - =- - Eemplo 4.5 Esboçar o gráfico da função f() = +. Solução 4.6 Novamente, note que = {, se +, se < e, portanto, teremos Segue o gráfico f() = { +, se +, se < =^-+ =^+- Eemplo 4.7 Esboçar o gráfico da função f() = +. 0

21 Solução 4.8 Neste caso, observamos que { =, se ou +, se < < Logo, A seguir temos o gráfico { f() =, se ou +, se < < =^ =^ =-^ Eercícios. Esboce o gráfico da função. Esboçar o gráfico da função 3. Esboçar o gráfico da função 4. Esboçar o gráfico da função 5. Esboçar o gráfico da função f() = 5 +. f() = + =. = +. f() =. 6. Esboçar o gráfico da função f() = Esboçar o gráfico da função f() = 4 3.

22 8. Esboçar o gráfico da função f() = + ( ). 9. Esboçar o gráfico da função f() = ( ) 0. Esboçar o gráfico da função f() = 4.. Esboçar o gráfico da função f() = ( )( + ).