Notas de Aulas 2 - Retas e Circunferências Prof Carlos A S Soares

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1 Notas de Aulas - Retas e Circunferências Prof Carlos A S Soares Preliminares O Plano Cartesiano e o Ponto Você certamente está familiarizado com o plano cartesiano desde o término do seu ensino fundamental Neste início do curso de Elementos de Cálculo I, estaremos interessados em estudar conjuntos de pontos no plano cartesiano e suas respectivas representações gráficas Observe abaio a representação de um sistema de eios onde estão assinalados a escala e alguns pontos de coordenadas inteiras Figura A seguir temos a representação de um sistema de eios, onde a escala é oriunda do sistema anterior, mas no eio estão assinalados alguns pontos onde a abscissa é múltipla de π/ Este tipo de representação é muito usada quando estamos trabalhando com funções trigonométricas

2 F igura π/ π π/ π/ π π/ Observação (O número π) Ainda que seja redundante, lembramos que o número π é um número irracional, isto é, sua representação decimal é infinita e não periódica Na prática, quando desejamos trabalhar com este número, devemos aproimá-lo por um número real de representação decimal finita, por eemplo, uma aproimação seria π 59 Como falado no início, nosso objetivo é estudar conjuntos de pontos no plano e suas representações Com certeza, os conjuntos mais simples são aqueles formados por uma único ponto Vejamos alguns Eemplo Seja Γ = {(, )} Ainda que você não tenha dúvidas de como representar tal conjunto no plano, segue abaio sua representaão F igura 5 5 Recordamos que, para um ponto P (, ), teremos (abscissa) indicando a distância do ponto ao eio e (ordenada) indicando a distância do ponto ao eio Um ponto P (, ) pertence ou está no: Primeiro quadrante se, e somente se, > 0 e > 0 Segundo quadrante se, e somente se, < 0 e > 0

3 Terceiro quadrante se, e somente se, < 0 e < 0 Quarto quadrante se, e somente se, > 0 e < 0 Abaio temos os pontos P, Q, M e N respectivamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes Figura Q P M N Eemplo Seja β o conjunto β = {(, + ), N} É claro que β = {(0, ), (, ), (, ), } e, daí, podemos fazer somente representações de β plotando uma quantidade finita de pontos Quantos pontos plotar, dependerá do objetivo Geralmente, marcamos pontos que de alguma forma evidencie o conjunto estudado, neste caso, β F igura5 5 5

4 Distância entre dois pontos Considere dois pontos P (a, b) e Q(c, b) no plano Como determinar a distância entre estes dois pontos? È simples, utilizando o teorema de Pitágoras e observando a figura a seguir, verificar que tal distância (D) será dada por P Q = D = (a c) + (b d) Figura b P D d Q c a Vejamos alguns eemplos Eemplo Determine a distância entre os pontos P (, ) e Q(, 0) Solução 5 Em sala! Eemplo 6 Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são (, ), (5, ) e (, 6) Solução 7 Em sala! Eemplo 8 Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes pares que é equidistante dos pontos A(, ) e B(, ) Solução 9 Em sala! Eercícios ) Mostrar que o triângulo cujos vértices são (-,-), (,) e (5,-) é isósceles e calcular sua área ) Mostrar que o triângulo cujos vértices são (-8,), (,-) e (5,) é retângulo e calcular sua área

5 ) Mostrar que os pontos (0,), (,5), (7,) e (,-) são os vértices de um quadrado ) Sendo A( 5, k ), B(5, 5) e C(, ), determine k de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B 5) Os pontos A(, ) e B(5, ) são vértices consecutivos de um quadrado Determine as coordenadas dos outros vértices 6) Dados A(a, ), B(, ) e C(5, ), determine o valor de a de modo que o ponto A seja equidistante de B e B 7) Determine os pontos do eio, cujas distâncias ao ponto A(, ) são iguais a 5 Retas e Funções do Primeiro Graus As equações geral e reduzidas da reta O próimo conjunto estará mais próimo do objetivo do nosso curso, qual seja, estudar conjuntos que, na sua maioria, tem suas variáveis variando em R O eemplo falará por si Eemplo 0 Represente no plano cartesinao o conjunto C dado por C = {(, + ); R} Façamos uma discussão um tanto pormenorizada deste eemplo, visando minimizar maiores transtornos no futuro Comecemos verificando a diferença entre C e o conjunto β do eemplo anterior No conjunto β a variável percorria o conjunto N, o que nos permitiu escrever os elementos de β como uma lista de pontos No caso em questão, o conjunto C, a variável está em R e portanto não temos como escrever este conjunto como uma lista de pontos ( Pense um pouco sobre isto! ) Como então traçarmos um esboço de C no plano cartesiano? Uma forma que muitas vezes nos será muito útil é verificar se o conjunto estudado não é parte do gráfico de um função conhecida Se este for o caso, nosso problema se resumirá em traçar o gráfico de tal função No eemplo estudado, podemos descrever o conjunto C de uma outra forma, qual seja, C = {(, ); = +,, R} Ressaltamos que ao invés de escrevermos, R poderíamos descrever C da seguinte forma C = {(, ) R ; = + } Sobre a última forma de anotar o conjunto C é útil ter em mente que o ponto e vírgula colocados após R são entendidos como tal que A epressão (, ) R já nos diz que tanto quanto estão em R, isto é, são números reais Desta breve discussão, o que obtemos é que o conjunto C é formado por todos os pontos do plano tais que = +, isto é, C se resume ao gráfico da função = +, gráfico este que sabemos ser uma reta e, portanto, para representar C basta marcarmos dois pontos e uní-los definindo assim nossa reta Faça você o esboço de tal reta Escolha quaisquer dois valores para, determine os valores de correspondente, marque os dois pontos encontrados no plano e dai obtenha sua reta Segue abaio o gráfico da função ou a representação gráfica de C 5

6 F igura6 5 5 Observação (IMPORTANTE!) (Sobre funções do primeiro grau)a função utilizada para esboçarmos o conjunto C acima foi uma função do primeiro grau Lembramos que uma função do primeiro grau é uma função do tipo = m + n ou ainda f() = m + n onde m 0 e b são números reais que definem a função O gráfico de uma função deste tipo é sempre uma reta e portanto para esboçarmos seu gráfico necessitamos somente de dois pontos através dos quais esta reta passa Isto pode ser obtido escolhendo-se dois valores arbitrários para e determinando os valores correspondentes de O número m é chamado coeficiente angular e n coeficiente linear Vejamos a interpretação geométrica de tais números m e n Considere abaio uma reta que passa pelos pontos P e Q representando o gráfico de uma função do primeiro grau d P b Q a a c É claro que o número n é obtido após substituírmos = 0 na equação que define a função e, daí, temos que n é eatamente a ordenada do ponto onde a reta toca o eio 6

7 Observando, na figura, o triângulo OP Q, vemos que tan α = c a d b Temos, ainda, { b = ma + n d = mc + n Subtraindo estas equações obtemos, isto é, d b = m(c a), tan α = m Logo, no caso de uma reta que não seja vertical temos que m é a tangente do ângulo que a reta faz com o eio tomado no sentido anti-horário Na observação anterior ficou evidenciado que o gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta Gostaríamos de responder à seguinte pergunta: Se desenharmos uma reta no plano cartesiano, esta reta será o gráfico de uma função do primeiro grau? Bem entendido! Sabemos que ao esboçarmos o gráfico de uma função do primeiro grau teremos uma reta Nossa pergunta tenta investigar se a recíproca é verdadeira, isto é, qualquer reta no plano é o gráfico de uma função do primeiro grau? Comecemos com o seguinte eemplo Eemplo Eiste uma função do primeiro grau cujo gráfico seja a reta abaio? F igura7 5 5 Podemos colocar nosso problema de outra forma: Eistem números reais a e b tais que a função = a + b tem como gráfico a reta acima? 7

8 Note que a reta dada passa pelos pontos (, ) e (, ) Logo, se a função eiste, quando = devemos ter = e quando = devemos ter = Isto nos indica que na função procurada = a + b se substituirmos por - e devemos obter igual a - e, respectivamente, ou seja, devemos verificar se o sistema abaio possui solução { a + b = a( ) + b = ou ainda, devemos resolver o sistema { a + b = a + b = É simples encontrar como solução a = e b = Logo, a função procurada eiste e é dada por = + O procedimento acima nos mostra claramente como devemos proceder se desejamos determinar a epressão de uma função que passa por dois pontos dados Eemplo Eiste uma função do primeiro grau cujo gráfico seja a reta abaio paralela ao eio? F igura8 5 5 Neste caso, observemos que estamos buscando uma função do primeiro grau tal que independente de, seja sempre igual a Então, para quaisquer dois valores arbitrários de devemos ter = Escolhendo, por eemplo, = e =, devemos ter = e daí o sistema a resolver será { a + b = a + b = Novamente não temos problema em perceber que a solução para este sistema será dada por a = 0 e b =, isto é, nossa função será =, mas esta não é uma função do primeiro grau já que a = 0 Portanto não eiste uma função do primeiro grau tal que seu gráfico seja a reta dada acima 8

9 Observação Funções, tal como encontrada acima, são ditas funções constantes, isto é, qualquer função do tipo = b ou ainda f() = b onde b é um número real que define a função É simples, tal como acima, observar que o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eio Eemplo 5 Eiste uma função do primeiro grau cujo gráfico seja a reta abaio paralela ao eio? F igura9 5 5 Observe que neste caso, para um mesmo valor de = temos vários valores de Lembramos que uma curva para ser gráfico de alguma função, qualquer reta paralela ao eio só pode tocar esta curva no máimo em um ponto, isto é, para cada valor de podemos ter no máimo uma valor de correspondente Enfatizamos que, em uma função, dois ou mais valores de podem levar ao mesmo, mas um valor de não pode nos conduzir a mais de um valor de Logo, não eiste nenhuma função, inclusive do primeiro grau, cujo gráfico seja a reta esboçada acima Vimos que a reta do último eemplo não é gráfico de nenhuma função, mas de qualquer forma representa um conjunto de pontos C que pode ser caracterizado por C = {(, ) R ; =, qualquer} ou ainda C = {(, ); R} Um outra forma de descrever o conjunto seria ainda C = {(, ) R ; + 0 = } Logo uma equação que caracteriza os pontos de C é + 0 = De todas estas discussões percebemos que: Uma reta é horizontal(paralela ao eio ) se, e somente se, é o gráfico de uma função constante Neste caso seus pontos serão caracterizados por uma equção do tipo = b Uma reta é vertical(paralela ao eio ) se, e somente se, seus pontos são caracterizados por uma equção do tipo = b Neste caso, a reta não representa gráfico de nenhuma função 9

10 Uma reta é oblíqua (nâo paralela ao eio ou ) se, e somente se, é o gráfico de uma função do primeiro grau Neste caso seus pontos serão caracterizados por uma equação do tipo = a + b Resumindo, temos o seguinte teorema Teorema 6 Um conjunto de pontos no plano será uma reta se, e somene se, seus pontos podem ser caracterizados por uma equação do tipo A + B = C ou ainda A + B + C = 0, onde A, B e C são números reais que caracterizam tal reta, com A e B não simultâneamente nulos Observação 7 A equação do tipo A + B + C = 0 é denominada equação geral da reta Se nesta equação b é um número não nulo, então podemos isolar, obtendo = A B C, que pode ser escrita na forma = m + n Quando uma reta não é vertical sempre B podemos escrever sua equação na forma anterior e, neste caso, a equação = m + n será dita equação reduzida da reta e os números m e n serão ditos, tal como no caso de função do primeiro grau, coeficiente angular e linear respectivamente, com as mesmas interpretações geométricas já vistas Note que, no caso de uma reta vertical, não tem sentido nos referirmos aos seus coeficientes angular ou linear Vale ressaltar que, no caso do estudo de retas, o termo declividade também é usado para se referir ao coeficiente angular Condição para três pontos estarem alinhados Definição 8 Três pontos serão ditos alinhados se eiste uma reta l que os contenha, isto é, se estão sobre uma mesma reta l Considere uma reta l de equação = m + n e P (a, b) e Q(c, d) dois pontos desta reta Sabemos que m = c d a b Logo, três pontos P (a, b), Q(c, d) e R(s, t) estarão sobre uma mesma reta ou alinhados se, e somente se, c d a b = d t c s Eemplo 9 Em sala! Eemplo 0 Em sala! Posição relativa de retas A proposição abaio, ainda que admitida sem demonstração nos será muito útil Proposição Sejam l e m duas retas de equações = a +b e = a +b respectivamente Então, teremos: l e m serão perpendiculares se, e somente e, a a = l e m serão paralelas se, e somente e, a = a 0

11 Observe que para utilizar o teorema acima, devemos trabalhar com as equações reduzidas das retas! Eemplo Em sala! A equação segmentária da reta Consideremos uma reta oblíqua que não passa pela origem Necessariamente esta reta cortará os eios e, conforrme, por eemplo, a figura abaio l b a A equação desta reta l pode ser determinada, facilmente, verificando que a reta passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) e, daí, sua equação será b + a ab = 0 ou ainda b + a = ab Dividindo todos os termos por ab teremos a equação escrita na forma a + b = Nos referimos a esta equação como equação segmentária da reta l Eemplo Determine a equação segmentária da reta cuja equação geral é = 0 Solução Em sala! Eemplo 5 Determine a equação segmentária da reta cuja equação geral é = 0 Solução 6 Em sala! 5 Distância de Ponto a Reta Seja uma reta l de equação A + BY + C = 0 e um ponto P ( 0, 0 ) É possível mostrar que a distância(d) entre l e P é dada por d = A 0 + b 0 + C A + B Poderíamos mostrar este resultado facilmente, determinando a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta l A seguir, determinamos o ponto Q de interseção das reta l e s e, por fim, calculamos a distância entre P e Q(tente fazê-lo!)

12 Eemplo 7 Considere o triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(, ), B(, ) e C(, ) Determine a altura deste triângulo relativa ao lado BC Solução 8 Em sala! 6 Eercícios ) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (, ) e (0, ) Qual o ângulo que a reta encontrada faz com o semi eio positivo? ) Determine a equação da reta de coeficiente angular e que paasa pelo ponto (, ) Determine outros dois pontos pelos quais a reta encontrada passa ) a) Mostre que se (, ) e (, ) são dois pontos sobre a reta de equação = a + b então a = = b) Qual o coefifiente angular da reta que passa pelos pontos (/, ) e (, 0)? ) (a) Determine a equação geral da reta paralela à reta de equação = e que paasa pelo ponto (, ) (b) Determine a equação geral da reta perpendicular à reta de equação = e que paasa pelo ponto (, ) (c) Faça um esboço das retas no plano d) Qual a intereseção da reta inicial com a reta encontrada no item (b)? 5) Determine uma função do primeiro grau f tal que f() = e f(0) = 5 6) Os gráficos das funções f() = e g() = possuem interseção não vazia? Justifique! 7) Esboce o gráfico da função f() = π + 8) Qual a função constante que passa pelo ponto (, )? Justifique! 9) Fazer o gráfico da função f() = {, 0, > 0 0) Fazer o gráfico da função f() = {, +, >

13 ) Fazer o gráfico da função f() = {,, > ) Uma reta passa pelos pontos (-,-) e (,) Calcular a ordenada de um ponto situado sobre esta reta e cuja abscissa é 0 ) Mostrar que os pontos (,), (5,), (8,0) e (,-) são os vértices de um paralelogramo ) A reta que passa pelos pontos (-,5) e (,) é perpendicular à reta que passa pelos pontos (-,) e (,7)? Justifique! 5) A reta l passa pelos pontos (,) e (-,-6) e a reta l passa pelo ponto (-7,) e pelo ponto A de ordenada -6 Determine a abscissa do ponto A sendo l perpendicular a l 6) As interseções de uma reta sobre os eios X e Y são, respectivamente, e - Determine sua equação 7) Determine a equação da reta cula declividade é - e cuja interseção sobre o eio Y é - 8) Os pontos (-5,), (,) e (,5) são colineares? Justifique! 9) Determine a área do triângulo retângulo formado pelos eios coordenados e pela reta cuja equação é = 0 0) Determine k se a reta k + (k ) 8 = 0 deve ser paralela à reta = 0 )Determine k se a reta k +(k+)+ = 0 deve ser perpendicular à reta = 0 ) Determine a e b se as equações a+( b) = 0 e (a )+b +5 = 0 repesentam retas que passam pelo ponto (,-) ) Determine k se a reta k = 0 deve formar com os eios coordenados um triângulo retângulo de área,5 ) Determine a distância da reta = 0 ao ponto (,-) 5) Os vértices de um triângulo são os pontos A(-,), B(-,) e C(,-) Determine o comprimento da altura relativa ao lado BC e a área do triângulo Circunferência Seja C(a,b) um ponto e r > 0 um número real Chamaremos circunferência de centro C e raio r o conjunto de todos os pontos P(,) tais que a distância entre C e P é igual r

14 Eemplo 9 Determine a equação da circunferência de centro (-,) e raio Solução em sala! Observação 0 É simples verificar que a equação de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada por ( a) + ( b) = r () A equação acima, geralmente, é referida como equação padrão da circunferência de centro (a,b) e raio r Ao desenvolvermos a equação (), obtemos que pode ser escrita na forma + a b + a + b r = A + B + C = 0 () onde A = a, B = b e C = a + b r Segue-se, portanto, que a equa aão de qualquer circunferência pode ser escrita da forma (), denominada equação geral da circunferência A questão que naturalmente surge é, ao contrário, saber se cada equação da forma () representa uma circunferência Para responder tal pergunta, usaremos um procedimento conhecido como completar quadrados Vejamos um eemplo Eemplo Verifique se cada equação abaio representa uma circunferência Se este for o caso, determine seu centro e raio (a) = 0 (b) = 0 (c) = 0 (d) = 0 (e) = 0 Solução em sala! No caso geral, sendo + + A + B + C = 0 a equação da circunferência, faremos e, somando A + B donde ( + A) + ( + B) = C a ambos os membros, obteremos ( + A + A ) + ( + B + B ) = A + B C ( + A ) + ( + B ) = A + B C Temos três possíveis casos a considerar: ) Se A + B C > 0, a equação representa uma circunferência de centro ( A/, B/) e raio igual a A + B C/ ) Se A + B C = 0, a equação representa o ponto ( A/, B/) ) Se A + B C < 0, teremos o conjunto vazio

15 Observação Quando estivermos buscando determinar a equação de uma circunferência, em alguns casos pode ser mais conveniente tentar encontrar uma equação da forma (), já em outros da forma () É muito importante lembrarmos, e quando necessário usarmos, as propriedades de circunferẽncia conhecidas da geometria plana Vejamos alguns eemplos Eemplo ) Determine o valor de k de modo que o ponto (k, ) esteja sobre a circunferência de centro (5,-) e raio 85 ) Determine a equação da circunferência de centro (-,7) e que passa pelo ponto (,-) ) Determine a equação da circunferência cujo centro se encontra sobre a reta +7+ = 0 e que passa pelos dosi pontos (6,) e (8,0) ) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (0,), (7,-5) e (6,-6) 5) Determine a equação da circunferência de raio 5 e que passa por (,) e (7,-) 6) Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem = 9 7) Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem ( ) + ( ) Soluções a serem encaminhadas em sala de aula! Observação Considere uma circunferência de centro C e raio P Diremos que um ponto P está: ) No interior da circunferência, se a distância entre C e P é menor que r; ) No eterior da circunferência, se a distância entre C e P é maior que r; ) Sobre a circunferência, se a distância entre C e P é igual a r Diremos ainda, que uma reta l e a circunferência são: ) Secantes, se possuem dois pontos comuns; ) Tangente, se possuem um ponto comun; ) Eteriores, se não possuem pontos comuns Eemplo 5 Verifique a posição relativa da reta 8 6 = 0 e a circunferência = 0 Verificar a posição relativa significa decidir se são secantes, eteriores ou tangentes Solução 6 Em sala! Eercícios ) Escreva a equação de cada circunferência cujos centros e raio são dados abaio: (a) C(5,) e r= (b) C(/,) e r= (c) C(0,0) e r=8 (d) C(-,0) e r= ) Encontre o centro e o raio das circunferências dadas abaio: (a)( ) + ( ) = 9 (b)( ) + ( ) + 0 = 9 (c) + = 6 (d) = 0 (e) = 0 (f) = 0 5

16 ) Para quais valores de k a equação representa uma circunferência? Justifique! + + k = 0 )Sendo k e m números reais, determine as condições para que a equação + + k + m = 0 represente uma circunferência que passa pelo ponto (,5) 5) Represente no plano cartesiano as figuras correspondentes às equções: (a) = (b) = 6 5 (c) = 6 (d)( ) + ( ) = 6) Qual a equação da circunferência de centro C(-,) e que passa pelo ponto A(,-7) 7)Os pontos (-,) e (,) são vértices consecutivos de um quadrado Determine as equações das circunferências circunscrita e inscrita ao quadrado 8) Uma circunferência passa pelos pontos A(,) e B(,0) e seu centro está sobre o eio das ordenadas Calcule o raio dessa circunferência e escreva sua equação 9) Determine a equação da circunferência de raio e que passa pelos pontos A(,) e B(,-) 0) Determine, se eistir, a equação da circunferência que passa pelos pontos (-5,), (,) e (,5) Justifique! ) Determine a equação da circunferência inscrita ao triângulo de vértices (,9), (,8) e (5,) ) Verifique se os pontos dados abaio estão no interior, no eterior ou sobre a circunferência de equação = 0 (a)(,-) (b)(-,) (c)(-,-) (d)(,) 6