Biomatemática - Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital (ICBS UFAL) - Material disponível no endereço

Transcrição

1 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB-3 Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital 1. Uma função linear especial Absorção de potássio. - Para começarmos a compreender as funções, vamos partir das versões mais simples, as funções lineares; e, para manter as coisas ainda mais simples, vamos partir de um caso particular de função linear que é ainda mais simples. Vamos começar com um exemplo biológico, para logo depois generalizar. - O nosso exemplo trata de um experimento de absorção de potássio (K) por milho, no qual a quantidade de potássio nas folhas do milho (em micro moles por unidade de peso da folha) foi medida em relação ao tempo (em horas). - Pensar em uma função para descrever o fenômeno de absorção de potássio ao longo do tempo é o mesmo que tentar estabelecer uma relação matemática entre estas duas variáveis. Neste caso, a quantidade de potássio depende do tempo, então a primeira é nossa variável dependente, e a segunda nossa variável independente. - Podemos fazer uma descrição verbal do modelo (já o resultado do experimento que mediu a quantidade de potássio nas folhas em relação ao tempo), dizendo que, nas primeiras quatro horas de experimento, uma folha absorve 4 micro moles de potássio. Vamos desdobrar esta informação na nossa função. - Primeiro, a informação de que esta relação ocorre nas quatro primeiras horas é o que estabelece nosso domínio. Isto quer dizer que temos uma função válida apenas para o domínio, mas que não necessariamente serve para descrever o sistema em períodos de tempos maiores. - Nosso domínio é: { t t 4 }. - Agora, vamos definir a relação entre as variáveis, válida para o domínio descrito acima. Se a cada hora são absorvidos 4 micro moles, então: - k = 4 t - Onde k é a quantidade de potássio e t é a medida de tempo.

2 K absorvido Potássio absorvido - Graficamente, nossa função ficaria assim: Tempo - Estamos prestes a poder criar um modelo geral de relação linear. Para facilitar este processo, vamos imaginar a absorção de potássio em outra situação: com plantas na ausência de luz. - Se isto ocorre, a absorção ocorre em uma taxa menor, de 1,8 micro moles por hora. Ou seja: - k = 1,8 t - Comparando as duas funções graficamente: escuro 5 claro Tempo (horas) - No que estas duas funções são diferentes? Sabemos que, matematicamente, a única diferença está no fator multiplicativo. Graficamente, estamos vendo uma diferença de inclinação. - Podemos, então, pensar de maneira mais geral.

3 K absorvido 1.2. A função linear especial. - Generalizando, podemos pensar em uma função linear com o formato: - y = a x - Onde y é a variável dependente, x a variável independente e a é uma constante que determina a inclinação da reta (e estabelece a força do efeito da variável independente sobre a dependente). - Note que podemos encontrar o valor de a se dividirmos um valor de x pelo seu y correspondente. - Se a =, então temos uma reta que coincide com o eixo x. Se a >, a reta é ascendente, e se a <, então a reta é descendente. - Perceba que o ângulo de inclinação também é dependente da escala dos valores no eixo y! Veja o mesmo gráfico em outra escala: escuro 8 claro Tempo (horas) - No caso desta função especial, estamos simplesmente tratando de um caso especial de função linear que sempre parte da origem; ou seja, o valor de y = quando o valor de x =. - Agora, então, podemos generalizar um pouco mais, e pensar em casos nos quais o valor de y é diferente de zero quando o x =.

4 2. Função linear geral - A única diferença prática entre a função anterior e a função linear geral é um parâmetro que chamaremos de b. - y = ax + b - O valor de b determina em que ponto em que a reta cruza o eixo y. Ou seja, a interseção com y é a coordenada (, b). - O valor de a continua a determinar a inclinação de reta e, quando o b for igual a zero, temos o caso particular da função linear que apresentamos no tópico anterior. - Vamos tentar compreender um pouco melhor os parâmetros que encontramos na nossa equação. - Se definirmos um ponto fixo e arbitrário de coordenadas (x, y) e um ponto variável (na mesma linha) de coordenadas (x, y), chamamos Δx e Δy de incrementos de x e y. - Δx = x - x, e Δy = y - y - Para um Δx : a = Δy / Δx b = y - ax - Em outras palavras: estamos dizendo que, dado dois pares de coordenadas de x e y, podemos encontrar os valores de a e de b! - Basta dividir o intervalo de variação de y pelo intervalo de variação de x para obter o valor de a. - E basta substituir um par de valores de y e x juntamente com o valor de a para encontrarmos o valor de b. - Podemos, então, encontrar todos os parâmetros de uma função linear geral a partir de dois pares de dados. - Mas como, a partir da função, podemos traçar um gráfico?

5 3. Plotando (OBS.: Neologismo que vem do inglês plot, e significa reduzir um conjunto de informações a um gráfico) - Traçar (ou plotar ) um gráfico de um função linear é bem simples,e basta seguir alguns passos. - A partir de uma função linear qualquer, começamos por marcar um ponto inicial. Como sabemos que o valor de b é o ponto de interseção com o eixo y, então ele é o melhor ponto de partida. - A partir do b, trace um segmento de comprimento Δx = 1 para a direita, e um segmento de valor a para cima (ou para baixo, se a for negativo), determinando um novo ponto de referência. Exercício 1 - Agora é só ligar os pontos, e temos a reta! - O caminho contrário (ou seja, de um gráfico para uma equação) é simples: - O b é o ponto de interseção, então basta identificá-lo. - O a pode ser determinado pela equação a = Δy / Δx O tamanho da população de uma libélula em um lago depende da quantidade de sapos predadores de maneira linear. Quando não há sapos, são encontradas 234 libélulas; quando o lago tem 11 sapos, são encontradas 135 libélulas Qual a equação que descreve o número de libélulas em função do número de sapos? Como o enunciado já nos informa que a relação é linear, sabemos que ela deve seguir a equação geral: y = ax + b. Perceba que é dito que a população de libélula depende da quantidade de sapos; isto quer dizer que o número de libélulas é nossa variável dependente (o y da equação), e o número de sapos a nossa variável independente (o x da equação). O nosso trabalho, então, é encontrar os valores das constantes da equação: a e b. Encontrar o valor de b é bem direto: ele representa o intercepto, o ponto no qual a reta da equação toca o eixo y. Em outras palavras, ele representa o valor de y quando o x é igual a zero. O enunciado nos diz que quando não há sapos (ou seja, quando o x = ), encontramos 234 libélulas (ou seja, y = 234). Bom, se a equação é y = ax + b, então quando x =, y = b. Ou seja, b = 234.

6 Já o valor de a pode ser encontrado pela fórmula. Para calcular os valores de Δy e Δx, precisamos estabelecer um par de valores de y e um par de valores de x; como os únicos valores que temos disponíveis são os do enunciado, ficaremos com eles: quando x =, y = 234 e quando x = 11, y = 135. Jogando na fórmula: a = y = x 11 = = 9 Então finalmente chegamos à nossa equação: y = 234 9x A ordem ficou invertida (o b aparecendo antes do ax) apenas para facilitar a leitura, já que o valor de a é negativo Esboce o gráfico desta função, considerando o domínio D = {x x 17}. Para traçar um gráfico de uma função linear, precisamos apenas determinar dois pontos e depois ligá-los com uma reta. O ponto de partida mais simples é o intercepto, que já vimos ali em cima (o valor de b). No caso deste exercício, como temos o domínio estabelecido, o mais prático seria escolher o último ponto como o valor máximo de x, que é 17. Para saber o valor de y correspondente, basta substituir na equação: y = 234 9x = = 81 Agora é só localizar os dois pontos no gráfico e traçá-lo. Ele deve ficar mais ou menos assim: Exercício Um pesquisador interessado em medir o efeito de um adubo na altura média de uma determinada planta realizou um experimento e chegou aos seguintes resultados: a altura média das plantas era de 55 cm na ausência de adubo; a aplicação de 5 kg de adubo em um canteiro gerou plantas com uma altura média de 78 cm. Assuma que a relação entre a quantidade de adubo e a altura das plantas seja linear.

7 2.1. Qual a equação que descreve o tamanho médio das plantas em função da quantidade de adubo? Se a relação é linear (como foi dito no enunciado), então ela seguirá a forma geral da função linear: y = ax + b. Como o enunciado já deixa claro que o tamanho das plantas varia em função da quantidade de adubo, então sabemos que o tamanho é nossa variável dependente (ou seja, o y) e a quantidade de adubo é nossa variável independente (ou seja, o x). Em outras palavras: estamos dizendo que o tamanho das plantas depende da quantidade de adubo. Para descrevermos a equação, então, basta encontramos os valores das constantes a e b e substituí-las na fórmula. Encontrar o valor de b é sempre bem simples: ele representa o valor de y quando x é igual a zero. Em outras palavras: ele representa o tamanho das plantas quando não aplicamos adubo. Isto é uma informação dada no enunciado, então sabemos que o valor de b é 55. Agora falta descobrir o valor de a, que em nossa equação medirá a força do efeito do adubo, definindo a inclinação da reta que pode ser traçada a partir da nossa equação. Sabemos a = Δy / Δx, então basta termos em mãos um par de valores de x e y e poderemos calculá-lo. E, novamente, a informação está no enunciado da questão: como já vimos, y = 55 quando x = ; e o enunciado também nos diz que y = 78 quando x = 5. Então: a = y = x 5 = 23 5 = 4,6 Chegamos, então, na equação: y = 4,6x Esboce o gráfico da função acima, para o domínio D = {x x 5}. Como a função é linear, basta calcular dois pontos e traçar a reta entre eles. O primeiro ponto pode ser o próprio valor de b, que representará o ponto no qual a reta toca o eixo y (pois o x é xero). O outro ponto pode muito bem ser o que já foi descrito no enunciado: o valor de y = 78 quando x = 5. Ficaria assim: Usando a equação que você descreveu, qual deveria ser a altura média das plantas se aplicássemos 7 kg de adubo? A partir do momento que temos em mãos a equação que descreve a relação entre as duas variáveis, qualquer pergunta como esta pode ser respondida facilmente substituindo valores. Ou seja, só precisamos calcular: y = 4, = 87,2

8 Número de estudantes cochilando E pronto! Exercício 3 O gráfico a seguir mostra a relação do número de estudantes cochilando em sala de aula em resposta ao número de horas ininterruptas de aula de um professor de matemática Tempo (em horas) 3.1. Determine a equação da função descrita no gráfico. Agora temos que fazer o caminho contrário do que foi feito nas outras questões: chegar à equação a partir do gráfico. Desta vez o enunciado não diz que a função é linear, mas podemos deduzir isto pelo fato do gráfico ser uma reta. Então, novamente estamos lidando com o formato geral y = ax + b. Primeiro, vamos começar pelo valor de b, por ser facilmente encontrado. Como já vimos antes, b representa o ponto no qual a reta toca o eixo y, o que é facilmente visualizado no gráfico. Neste caso, o valor de b é 3; isto quer dizer que, mesmo antes da aula começar, já temos três estudantes dormindo! Agora temos que encontrar o valor de a. Novamente, basta aplicar a fórmula, e a única diferença é que temos que escolher um par de coordenadas a partir do gráfico. Ou

9 seja, o trabalho é ainda mais fácil, pois podemos escolher quaisquer pares de valores que desejarmos. Vamos, para resolver este exemplo, escolher o primeiro e o último valor de x que o gráfico mostra: e 1; seus equivalentes em y são, respctivamente, 3 e 33. Ou seja: a = y x = = 3 1 = 3 Mas lembrem-se que qualquer outra escolha de valores de x e y deve gerar exatamente o mesmo resultado. Exercício 4 Por fim, podemos escrever nossa equação: y = 3x + 3 O tamanho da população de uma espécie de peixe em um conjunto de lagos depende da quantidade de cágados predadores. Em lagos onde não há cágados, são encontrados em média 1 peixes; em lagos com 8 cágados, são encontrados em média 6 peixes. Assumindo que a relação do número de peixes com o número de cágados é linear: 4.1. Qual a equação que descreve o número de peixes em função do número de cágados? A equação é linear, e obedece ao formato y = ax + b A variável dependente (y) é o número de peixes (que depende do número de cágados), e a variável independente (x) é o número de cágados. O valor de b vai, então, determinar o número de peixes em um lago sem cágados (x = ); isto já foi dado no enunciado, então sabemos que b = 1. O valor de a deve ser determinado pela equação: a = Δy 6 1 = Δx 8 = 5 Ou seja, a equação é: y = 1 5x 4.2. Esboce o gráfico desta função, considerando o domínio D = {x x 16}. De posse da equação, esboçar o gráfico é fácil: bastam dois pontos. O primeiro pode ser o próprio b (valor de y quando x = ), que sabemos ser 1. Este será o ponto de partida da reta, então. Como o domínio vai até x = 16, então este é a escolha óbvia para o último ponto; basta substituir este valor de x na equação: y = 1 5x y = y = 1 8 y = 2 O gráfico, então, fica assim:

10 Camarões Peixes Exercício Cágados Em um determinado sistema de tanques de criação de camarões de água doce, cada tanque pode manter em média 5 camarões, desde que o tanque esteja livre da presença de peixes predadores. Em tanques com sete peixes, a população média de camarões foi de 325 indivíduos. Assumindo que a relação da quantidade média de camarões em função da quantidade média de peixes é linear: 5.1. Qual a equação descreve o número de camarões em função do número de peixes? A função é linear, y = ax + b O valor de b é 5, já que é o número de camarões (y) quando o número de peixes (x)é zero. O valor de a é: a = Δy = = 25 Δx 7 Então a equação é: y = 25a Esboce o gráfico da função descrita para o domínio D = {x x 1} Basta substituir os valores na equação. Lembrando que a função é linear, então basta substituir o valor de x = 1 para traçar o gráfico dentro do domínio pedido Peixes

11 Abundância Exercício 6 O gráfico a seguir mostra o efeito da temperatura ambiental sobre o tamanho da população de uma espécie de inseto: Determine a equação da função apresentada no gráfico. Aqui não temos o valor de b imediatamente, pois a reta do gráfico não toca o eixo y. Vamos começar pelo valor de a, então, pegando dois pontos do gráfico no qual podemos ver os valores. Na temperatura de 25 graus podemos ver que a abundância é de 55 insetos, e na temperatura de 3 graus temos 65 insetos. Então: A equação, então, é y = 2x + b a = y = x 3 25 = 1 5 = 2 Substituindo um par qualquer de valores de y e x (como o 25 e 55 que observamos acima, por exemplo), temos que: A nossa equação, então é: Temperatura 55 = b b = 5 y = 2x + 5

12 Peso dos frutos Exercício 7 Um pesquisador realizou um estudo para medir o efeito da polinização sobre a produtividade de frutas em pomares de pequenas propriedades rurais. Ao final de seu estudo, ele constatou que existia uma relação linear entre o número de colmeias e a produção de frutas em quilos: pomares sem colmeias eram produzidos 2 Kg de frutas, enquanto em pomares com 7 colmeias eram produzidos 35 Kg Qual a equação descreve o peso de frutos produzidos em função do número de colmeias? A função linear segue a forma geral y = ax + b O enunciado já deixa claro qual o valor de b: 2 Para o a, basta resolver: Então a equação é: y = 15x + 2 a = y 35 2 = = 15 x 7 7 = Esboce o gráfico desta função para o domínio D = {x x 1} Número de colméias