1 Formam-se n triângulos com palitos conforme mostram as figuras. Qual o número de palitos usados para construir n triângulos?

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1 Resolução do capítulo 7 - Progressão Aritmética 1 Formam-se n triângulos com palitos conforme mostram as figuras. Qual o número de palitos usados para construir n triângulos? Sendo n o número de triângulos formados, podemos perceber que: Para n = 1 temos 3 palitos. Para n = 2 temos 5 = 3+2 palitos. Para n = 3 temos 7 = 5+2palitos. Daí, podemos [juntamente com o aluno] inferir que: Para n = 4 teremos 9 = 7+2 palitos. Para n = 5 teremos 11 = 9+2 palitos. Ou seja, a quando aumentamos em uma unidade o número de triângulos, temos que somar dois palitos. Portanto, podemos imaginar neste exemplo como sendo uma P.A. de primeiro termo sendo 3 e de razão sendo 2. Agora basta expressarmos a fórmula do n-ésimo termo, que será justamente a quantidade de palitos usados para formar n triângulos. an = a1+(n-1)r an = 3+(n-1)2 = 3+2n-2 = 2n+1 Resposta: 2n+1 OBS: Indico para o tutor do 0800 que após encontrar a expressão, verifique com o aluno que ela é válida para n = 1, n = 2. Assim temos mais garantias de que houve o entendimento da utilidade da fórmula além de esclarecer quem representa o que dentro da expressão. 2 Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em progressão aritmética. Determine o ângulo mediano. Temos uma progressão aritmética de 5 termos, em que se soubermos os seus respectivos valores, resolvemos o problema. Mas, através da geometria, sabemos calcular a soma dos ângulos internos de um pentágono: S = (n-2)180º S = (5-2)180º = 3x180º = 540º A partir de agora, temos uma P.A. cuja soma dos termos é 540º e que possui 5 termos. Utilizando a fórmula da Soma de n termos de uma P.A. temos: Sn = [(a1+an)n]/2 (Substituindo os respectivos valores) 540º = [(a1+a5)5]/2 (Passando o 5 para o primeiro membro dividindo) 108º = (a1+a5)/2

2 Como o termo mediano é a média dos termos equidistantes dos extremos, já temos o que queríamos. Resposta: O termo mediano é 108º. 3 (Onde estiver escrito r(a) leia "raíz quadrada de a".) Se 3-x,-x,r(9- x),... é uma progressão aritmética, determine x e calcule o quinto termo. Vamos representar a razão desta progressão aritmética pela letra R. Se (3-x,-x,r(9-x),...) é uma PA então sabemos que: -x-(3-x) = R e [r(9-x)]-(-x) = R, daí... [r(9-x)]-(-x) = -x-(3-x) [r(9-x)]+x = -x-3+x r(9-x) = -x-3 (Elevando ambos membros ao quadrado) 9-x = x²+6x+9 x²+7x = 0 x(x+7) = 0 x = 0 ou x = -7 Mas, substituindo 0 (zero) na PA, ela fica descaracterizada, portanto é válida a outra solução, daí... x = -7 Então a PA fica: (10,7,4,...). Onde podemos facilmente perceber que a razão é -3 e que o quinto termo é -2. Resposta: O valor de x é -7 e o quinto termo é Calcule a soma dos termos da progressão aritmética 2,5,8,11,... desde o 25º até o 41º termo, inclusive. Resolução; Primeiramente percebemos que é uma PA de primeiro termo a1 = 2 e de razão r = 3. Para calcular a soma, precisamos do 25º termo e do 41º termo, vamos então calculá-los primeiramente. a25 = a1+24r a25 = 2+24x3 a25 = 2+72 = 74 a41 = a1+40r a41 = 2+40x3 a41 = = 122

3 Agora estamos aptos para calcular a soma, lembrando que será a soma de (41-25)+1 = 17 termos. S = [(a25+a41)x17]/2 S = [(74+122)x17]/2 S = [(196)x17]/2 S = [3332]/2 S = 1666 Resposta: A soma vale OBS: É comum que o aluno tenha dificuldade em compreender o porquê de estarmos utilizando o n = 17, mas normalmente esta dificuldade é superada quando prestamos atenção em explicar que o n da fórmula da soma é a quantidade de termos que estamos somando, que neste caso específico não é equivalente à quantidade de termos da PA. E, se houver falta de compreensão do porquê desta quantidade ser 17 (ou seja, o aluno não entender a expressão (41-25)+1, dê exemplos menores, por exemplo se fossem 5 termos e quiséssemos somar do terceiro até o 5. Se fizermos a diferença 5-3 = 2, temos supostamente 2 termos para somar, mas na realidade temos um a mais, por isso somamos o 1. 5 Calcule a soma de todos os inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos entre 200 e 400. O menor inteiro maior que 200 que deixa resto 7 na divisão por 11 é 205 (podemos descobrir isso por tentativa e erro mesmo, não tem problema). O maior inteiro menor que 400 que deixa resto 7 na divisão por 11 é o 392. Como, necessariamente depois de 205, o próximo inteiro que deixa resto 7 na divisão por 11 é justamente = 216, e assim por diante (os inteiros vão de 11 em 11), podemos imaginar a seguinte PA: (205,216,...,392) Onde seu primeiro termo a1 = 205 e sua razão r = 11. Para calcularmos a soma dos termos de 205 até 392, precisamos saber quantos termos temos, ou seja, encontrar o índice do termo an = 392. Para tanto podemos utilizar a fórmula do termo geral da PA. an = a1+(n-1)r 392 = 205+(n-1) = n = 11n 198 = 11n 18 = n (ou seja, do 205 até o 392 temos 18 termos) Agora estamos aptos para calcular a soma dos termos. Sn = [(a1+an)xn]/2 S18 = [( )x18]/2 S18 = [597x18]/2 S18 = [10746]/2 S18 = 5373 Resposta: A soma de todos os inteiros, nestas condições, é: 5373

4 6 Um bem, cujo valor hoje é de R$ 8 000,00, desvalorizou-se de tal forma que seu valor daqui a 4 anos será de R$ 2 000,00. Supondo constante a desvalorização anual, qual será o valor do bem daqui a 3 anos? Podemos pensar neste problema como uma PA, onde cada termo representa o valor do bem em um respectivo ano. Por exemplo o valor do bem no ano inicial é representado pelo primeiro termo, o valor do bem após passar o primeiro ano é representado pelo segundo termo, o valor do bem após passar o segundo ano é o terceiro termo, o valor do bem após passar o terceiro ano é o QUARTO TERMO, e assim por diante. Então podemos dizer que; a1 = 8000 e a5 = 2000 Queremos descobrir quanto vale a3. Porém, para descobrirmos isso, precisamos saber quanto vale a razão. Vamos encontrar a razão através da fórmula do termo geral da PA. a5 = a1+4r (onde r é a razão) 2000 = r = 4r = 4r r = Ou seja, anualmente o valor do bem vai decrescendo (ênfase na razão negativa) exatamente 1500 reais. Portanto, podemos montar a PA: (8000,6500,5000,3500,2000), em que o QUARTO TERMO é Como havíamos combinado no início, o quarto termo corresponde ao valor que o bem terá daqui a três anos. Resposta: Daqui a 3 anos o valor do bem será R$ 3 500,00. OBS: Se for possível, é bom que aproveitemos para observar bem que o fato da razão ser negativa faz com que o valor dos termos vá caindo conforme "andamos" na PA no sentido da esquerda para a direita. 7 Determine o primeiro termo e a razão da progressão aritmética na qual a soma dos n primeiros termos é, para todo n: a)sn = 2n²+n Para n = 1 temos que o primeiro termo vale: S1 = (2x1²)+1 = 2+1 = 3 Para n = 2 temos que a soma do primeiro com o segundo termo vale: S2 = (2x2²)+2 = (2x4)+2 = 8+2 = 10 Então, supondo que isto seja uma P.A. necessariamente o primeiro termo é 3 e o segundo termo é 10-3 = 7. Portanto a razão vale 4. Daí, a soma dos termos é: Sn = [(a1+an)xn]/2 Sn = [(3+an)xn]/2 [como an = 3 + (n-1)x4] Sn = [(3+3+(n-1)4)xn]/2

5 Sn = [(4n+2)xn]/2 Sn = 2n²+n Como tudo confere... Resposta: O primeiro termo é 3 e a razão é 4. b)sn = n²+n+1 Para n = 1 temos que o primeiro termo vale: S1= 1²+1+1 = 3 Para n = 2, a soma do primeiro termo com o segundo termo vale: S2 = 2²+2+1 = 4+3 = 7 Então, supondo que isto seja uma P.A. necessariamente o primeiro termo é 3 e o segundo termo é 4 = 7-3. Portanto a sua razão vale 1. Daí a soma dos termos é: Sn = [(a1+an)xn]/2 Sn = [(3+an)xn]/2 Sn = [(3+3+(n-1))xn]/2 Sn = [(5+n)xn]/2 Sn = (n²+5n)/2 Porém, por exemplo, para n = 4 a fórmula cedida no enunciado dá Sn = 21 e a fórmula encontrada na resolução dá Sn = 12. Portanto, necessariamente as fórmulas não são equivalentes. Resposta: Não existe tal P.A. 8 No turno do campeonato brasileiro de futebol que é disputado por 22 clubes, quaisquer dois times jogam entre si uma única vez. Quantos jogos há? Primeira maneira: Usando P.A. Se tivermos 1 time, não é possível haver partidas. Se tivermos 2 times, 1 partida é possível. Se tivermos 3 times, 3 partidas são possíveis. Se tivermos 4 times, 6 partidas são possíveis. Se tivermos 5 times, 10 partidas serão possíveis... Ou seja, ao adicionarmos um time ele adiciona o número de times anterior ao número de partidas. Fica melhor explicado no esquema abaixo: times & partida 1 & 0 2 & 1 = & 3 = (0+1)+2 4 & 6 = ((0+1)+2)+3 5 & 10 = 6+4 = (((0+1)+2)+3)+4 6 & 15 = ((((0+1)+2)+3)+4)+5

6 7 & 21 = 15+6 = (((((0+1)+2)+3)+4)+5)+6 Notemos que a quantidade de partidas é quase uma PA, só não é pois a razão desta sequência aumenta de 1 em 1. Mas, como podemos ver, esta sequência é justamente o valor da soma dos termos de uma PA em cada quantidade de termos. Notemos também que a soma pára sempre no termo anterior da quantidade de times que queremos calcular. Portanto, para calcular a soma no caso de 22 times paramos no = Sn = [(1+21)x21]/2 = 231 Segunda maneira: Usando geometria. Podemos pensar em cada time como um ponto e cada partida como um segmento que liga estes dois pontos. É claro que com dois times temos apenas um segmento possível, ou seja, uma partida possível. Com 22 times, podemos pensar em 22 pontos, onde cada segmento possível de se formar é uma partida. Oras, temos então um polígono de 22 lados onde todos os seus lados e suas diagonais vão representar uma partida. Quantas diagonais tem um polígono de 22 lados? D = [(n-3)xn]/2 = [(22-3)x22]/2 = 19x11 = 209 Mas, 209 são somente as diagonais, temos que somar os lados que são 22. Daí temos = 231, que será a quantidade de segmentos possíveis ou no caso, a quantidade de partidas. Terceira maneira: Usando combinatória. Podemos pensar que para que ocorra uma partida devemos escolher 2 times dentre 22, caso em que a ordem da escolha não importa. Temos então uma combinação simples de 22 elementos tomados de 2 em 2. C(22,2) = (22!)/[(22-2)!x2!] = (22!)/[20!x2!] = (22x21)/2 = 462/2 = 231 Resposta: Há 231 jogos. 9 Uma bobina de papel tem raio interno 5cm, raio externo 10cm e a espessura do papel é 0,01cm. Qual é o comprimento da bobina desenrolada? OBS: Esta questão não é tão simples para o aluno compreender, principalmente à distância. Daí, temos que dar bastante ênfase ao desenvolvimento da questão. Vamos analisar a situação. Temos uma bobina em que o papel está enrolado, começando com o raio de 5cm. Na medida que enrolamos o papel o raio vai aumentando de 0,01cm em 0,01cm até chegar em 10cm de raio. Ou seja, podemos pensar em uma PA onde o primeiro termo é a1 = 5, o último termo é an = 10 e a razão é r = 0,01 [tudo na unidade de centímetros]. O enunciado nos pergunta qual é o comprimento da bobina desenrolada. Temos que concordar que este comprimento é aproximadamente o

7 comprimento de cada volta que a bobina possui somado, ou seja, é cada comprimento de circunferência cujo raio é um dos termos da PA, somado. Podemos então escrever: Ct = C1+C2+C3+...+Cn Onde Ct é o comprimento total que queremos calcular. C1 é o comprimento da circunferência cujo raio é o primeiro termo da PA. C2 é o comprimento da circunferência cujo raio é o segundo termo da PA. Cn é o comprimento da circunferência cujo raio é o último termo da PA. Ct = 2x(pi)x5 + 2x(pi)xC x(pi)10 Ct = 2x(pi)x[5 + C2 + C ] Mas, dentro dos colchetes temos a soma dos termos da nossa PA. Portanto basta calculá-la, só que para isso precisamos primeiramente saber o número n de termos, para resolver este problema vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA, aplicada no último termo. an = a1+(n-1)xr 10 = 5+(n-1)x(0,01) 10 = 5+(0,01)n-(0,01) 10 = (0,01)n+(4,99) 10-4,99 = (0,01)n 5,01 = (0,01)n n = 501 Sn = [(a1+an)xn]/2 S501 = [(5+10)x501]/2 S501 = [15x501]/2 S501 = 7515/2 = 3757,5 Ct = 2x(pi)x(3757,5) [Fazendo pi = 3,14(lembre-se que é uma aproximação!)] Ct = 2x(3,14)x(3757,5) = 23597,1cm = 235,971m Resposta: Aproximadamente 236m. 10 Qual é o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano? OBS: Nessa questão é importante darmos ênfase à busca por alguma regularidade na sequência encontrada. Seja n o número de retas. Se n = 0 temos apenas 1 região no plano. Se n = 1 o plano necessariamente fica dividido em duas partes. Se n = 2, no máximo o plano fica dividido em 4 partes Se n = 3, no máximo o plano fica dividido em 7 partes. Se n = 4, no máximo o plano fica dividido em 11 partes. Com isso, podemos notar algumas regularidades na sequência: 2,4,7,11,..

8 1 = = = 2+2 = (1+1)+2 7 = 3+4 = [(1+1)+2]+3 11 = 4+7 = {[(1+1)+2]+3} n = 1 + Sn [onde Sn é a soma dos termos da PA: (1,2,3,4,5,...,n).] 1+Sn = 1+[(1+n)xn]/2 = 1+[n²+n]/2 = (n²+n+2)/2 Daí, quando o número de retas for n, no máximo poderemos dividir o plano em (n²+n+2)/2