Métodos Matemáticos para Gestão da Informação

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1 Métodos Matemáticos para Gestão da Informação Aula 04 Taxas de variação e função lineares II Dalton Martins dmartins@gmail.com Bacharelado em Gestão da Informação Faculdade de Informação e Comunicação Universidade Federal de Goiás

2 Funções lineares: quando as taxas de variação são constantes Em muitos de nossos exemplos até agora, a taxa média de variação era diferente dependendo da escolha dos pontos extremos do intervalo; Agora examinaremos o caso especial em que a taxa média de variação permanece constante

3 Exemplo Na aula anterior, vimos a taxa média de variação da população norte-americana entre 1790 e 1800 como igual a 0,14 milhão de pessoas/ano. Vimos que a taxa média de variação foi diferente para décadas diferentes E se a taxa média de variação tivesse permanecido constante?

4 Exemplo

5 Função linear Qualquer função que tenha a mesma taxa de variação em todos os intervalos tem um gráfico que é uma linha reta; A função é chamada de linear; Este exemplo hipotético representa uma função linear; Quanto a taxa média de variação é constante, podemos eliminar a palavra média e dizer apenas taxa de variação.

6 Exemplo Você gasta US$ 1200 em um computador e para efeitos fiscais você escolhe depreciá-lo (ou supor que ele perde valor) até US$ 0 a uma taxa constante ao longo de um período de 5 anos. Calcule a taxa de variação do valor do equipamento com depreciação ao longo dos 5 anos. Quais são as unidades? Crie uma tabela e um gráfico mostrando o valor do equipamento ao longo de 5 anos; Crie uma função para o valor do computador ao longo do tempo em anos. Por que esta função linear? Qual é o domínio apropriado para esta função? E a imagem?

7 Exemplo

8 Equação geral para uma função linear As equações podem ser reescritas em termos da saída (variável dependente) e entrada (variável independente) Saída = valor inicial + taxa de variação * entrada Saída = y Valor inicial = b Taxa de variação = m Entrada = x y = b + m * x m = variação em y / variação em x

9 Modelo de gráfico da função linear

10 Lista 5

11 Visualizando funções lineares Os valores de b e de m na forma geral da equação linear y=b+m*x trazem informações sobre o gráfico da função; O valor de b nos diz onde amarrar a reta sobre o eixo y; O valor de m nos diz se a reta do gráfico é inclinada para cima ou para baixo e o quão íngreme ela é.

12 O efeito de b Na equação y = b + m* x, o valor de b é a intersecção vertical, de modo que a reta fica ancorada no ponto (0,b)

13 O efeito de m O sinal de m: O sinal de m na equação y=b+m*x determina se a reta sobe (se inclina para cima) ou desce (se inclina para baixo) ao nos movermos da esquerda para a direita no gráfico; Se m for positivo, a reta sobe da esquerda para a direita (quando x aumenta, y cresce) Se m for negativo, a reta desce da esquerda para a direita (quando x aumenta, y diminui)

14 O efeito de m

15 exercício Associe cada gráfico com uma equação correspondente

16 O efeito de m O módulo de m O módulo (valor absoluto) de m determina a inclinação da reta

17 Lista 6

18 Construindo gráficos e equações de funções lineares Existem muitas estratégias diferentes para se determinar as equações e os gráficos de funções lineares; Para os gráficos, há as formas a seguir: Quando é dada a equação Quando são dadas a intersecção da reta com o eixo vertical e a declividade Quando são dados um ponto fora do eixo y e a declividade Quando é dada uma descrição geral.

19 Quando é dada equação Esboce o gráfico de D(y) = 1+0,13*Y

20 Quando são dadas a intersecção da reta com o eixo vertical e a declividade A velocidade máxima com que um veículo limpador de neve pode trafegar sobre uma pista seca é de 40 milhas por hora, que diminui em 0,8 milha por hora para cada polegada de neve sobre a estrada.

21 Quando são dados um ponto fora do eixo y e a declividade Dado o ponto (2,3) e uma declividade m=-5/4, como fazemos para encontrar o gráfico.

22 Quando é dada uma descrição geral

23 Determinando equações Para determinarmos a equação de qualquer função linear y=b+m*x em particular, precisamos apenas determinar os valores específicos para a declividade, m, e para a intersecção com a vertical, b. Há também várias técnicas para se determinar equações: Quando é dado um gráfico Quando são dados dois pontos Quando é dada uma tabela

24 Quando é dado um gráfico

25 Quando são dados dois pontos Os gráficos de crescimento utilizados pelos pediatras sugerem uma relação linear entre a idade (em anos) e a altura mediana (em centímetros) para crianças entre 2 e 12 anos. Crianças de 2 anos têm uma altura mediana de 89cm; Crianças de 12 anos têm uma altura mediana de 152cm.

26 Quando é dada uma tabela Temos antes de avaliar se a taxa média de variação é constante ou ela apresenta variação: Estamos numa relação linear?

27 Lista 7

28 Casos especiais Proporcionalidade direta A relação mais simples entre duas variáveis ocorre quando uma variável é igual a um múltiplo constante da outra; y = m*x Retas horizontais e retas verticais A declividade m de qualquer reta horizontal é igual a 0, teremos portanto y = b; A declividade m de qualquer reta vertical é indefinida, a equação se torna x = constante. Y aqui não é uma função de X.

29 Proporcionalidade direta

30 Retas horizontais e retas verticais

31 Lista 8