Complemento Matemático 02 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO 2º GRAU Física - Ensino Médio Material do aluno

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João Lucas de Sá Batista
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1 A relação existente entre equações e fenômenos físicos Leia atentamente a afirmação abaixo: Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU Uma equação é uma descrição matemática de um fenômeno físico. A aplicação da Matemática na explicação e previsão dos fenômenos naturais iniciou-se com a Física e estendeu-se logo para a Química e Biologia. Hoje em dia, perspectivas sem precedentes para o avanço científico estão sendo delineadas pelo uso sistemático da Matemática nessas áreas. Mas, de que forma fazemos a conexão entre um fenômeno do mundo real e a Matemática? Por exemplo, a queda de um corpo (um pára-quedista!) pode ser representada como a relação entre a posição do corpo (que chamaremos de Y e o tempo (t) de queda. Essa relação além de reproduzir os dados possivelmente observados deve também possibilitar a fazer previsões sobre o comportamento do fenômeno no futuro ou em condições diversas. Ou seja, utilizando uma equação podemos determinar em que altura o corpo estará depois de alguns segundos. Como podemos escrever a relação existente entre as posições ocupadas pelo corpo ao longo da queda e tempo t? Considere que na figura ao lado fotografamos a queda do corpo em intervalos de 1s. Na tabela abaixo como vimos no Complemento Matemático 1 relacionamos as posições e o tempo, teremos: A B C 0 5 m 0 m Posição (Y) Tempo (t) m 1 s 0 m s 5 m 3 s 90 m s D 5 m Observando a tabela poderíamos procurar uma relação matemática entre as posições e o tempo. Observe abaixo que: 5 = 5.(1) 0 = 5.() 5 = 5.(3) 90 = 5.() Nas igualdades acima conseguimos relacionar os valores de tempo (1s, s, 3s e s) com as posições (5, 0, 5 e 90). Observe que elevando o tempo ao quadrado e multiplicando por um valor (no nosso caso, 5) obtemos o valor da posição. Então, generalizando, podemos escrever que: a posição Y é igual ao tempo ao quadrado multiplicado por cinco. E 90 m

2 Em linguagem matemática podemos escrever na seguinte forma: Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU Y = 5.(t) Por estar elevada ao quadrado (t ) a equação anterior é denominada equação do segundo grau. Definição de equação do º grau Toda equação da forma ax + bx + c = 0, com a, b, e c R, com a 0 completa do º grau. é chamada de equação Em toda equação do º grau, devemos sempre identificar cada termo de sua estrutura. Exemplo: ax + bx + c = 0, onde: a é o coeficiente de x b é o coeficiente de x c é chamado de termo independente Obs.: Existe também outros dois tipos de equações do º grau, são as chamadas equações incompletas, expressas por: 1º TIPO ax + c = 0, onde b = 0; exemplo: x + 6 = 0 (a = e c = 6) º TIPO ax + bx = 0, onde c = 0; exemplo: 3x + 6x = 0 (a = 3 e b = 6) Resolução da Equação do º Grau 1) Nas equações completas usamos a fórmula de Bhaskara, que é expressa por: b x a onde = b.a.c O termo = b.a.c é conhecido como discriminante da equação. A expressão é utilizada para determinarmos as chamadas, raízes da equação, ou seja, x e x (também escritas como x 1 e x ).

3 Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU ) Nas equações incompletas, não existe a necessidade de utilizarmos a fórmula de Bhaskara, pois temos dois tipos a estudar: 1º TIPO: ax + bx = 0, utilizamos a colocação do fator comum em evidência. º TIPO: ax + c = 0, utilizamos a relação do fator comum em evidência. Exemplos de resolução Equações completas Resolver a equação do º grau x 5x + 6 = 0 Resolução: Devemos inicialmente identificar os termos da equação: a = 1; b = - 5 ; c = 6 = b.a.c = (-5).a.c = 5 = 1 x = b a x = x = ( 5) x = x = 5 1 x' 5 1 x' ' 6 x' x' ' 3 São as raízes da equação Dessa a solução é S = {, 3}. Equações Incompletas 1º TIPO Resolver a equação x + x = 0 Resolução: Observar que c = 0, estão temos: x + x = 0 x é o fator comum, então:

4 Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU x. (x + ) = 0 1º fator º fator x = 0 e x + = 0 x = A solução é S = {0, } º TIPO: Resolver a equação x 8 = 0 Resolução: Observar que b = 0, então temos: x 8 0 x 8 x x x 8 x Relação fundamental dos radicais. onde x = e x = + A solução é S = {-, +} Exercícios 01. Um ciclista se movimenta de acordo com a equação das posições mostrada abaixo: X = t + 5t + 10 ( onde X em metros e t em segundos) Em que instante t o ciclista estará na posição X = 85m?

5 Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU 0. Um veículo se movimenta numa estrada reta segundo a função horária abaixo: - 15 X = 15.t + t 0 X (m) Em que instante o móvel passa pela origem das posições? 03. Um helicóptero está subindo verticalmente com velocidade de 0m/s e encontra-se a 105m acima do solo, quando dele se solta uma pedra. Um aluno do telecurso montou a equação que mostra a posição da pedra (Y), em função do tempo, durante a queda. Y = 5t 0t Determine o tempo gasto para a pedra percorrer a distância de 105m e atingir o solo quando. Sugestão: Faça Y = 105 e resolva a equação do segundo grau.

6 Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU Resolução dos exercícios 01. Substituindo o valor X = 85 na equação fornecida teremos: 85 = t + 5t + 10 Reagrupando os termos da equação ficamos com: 0 = t + 5t = t + 5t 75 t + 5t 75 = 0 Agora utilizando a expressão de Bhaskara para a resolução da equação do º grau teremos: onde a b 5 c 75 b b ac a. 5 (5)..( 75) ' t " 7,5 Por se tratar da determinação de uma grandeza Física tomaremos como resposta somente o resultado positivo, t = 5 s.

7 Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU Exercício 0 Em que instante o móvel passa pela origem das posições? A origem das posições corresponde à posição X = 0. Substituindo esse valor na equação fornecida teremos: X = 15 t + t 0 = 15 t + t Reagrupando os termos da equação ficamos com: t t 15 = 0 Agora utilizando a expressão de Bhaskara para a resolução da equação do º grau teremos: onde a 1 b c 15 b b ac a.1 60 ( ) ( ).1.( 15) 6 8 ' t " 3 Novamente só utilizaremos o valor referente a t = 5 s.

8 Complemento Matemático 0 Ciências da Natureza I EQUAÇÃO DO º GRAU Exercício 03 Resolvendo a equação 105 = 5t 0t, teremos: 5t 0t 105 = 0 onde a 5 b 0 c 105 b b ac a.5 ( 0) ( 0).5.( 105) ' t " O tempo gasto para a pedra percorrer a distância total de 105 m será de 7 s.

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