Módulo 4 Ajuste de Curvas

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1 Módulo 4 Ajuste de Curvas 4.1 Intr odução Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações onde conhecemos uma tabela de pontos (x; y), com y obtido experimentalmente e deseja se obter uma expressão analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos. Por exemplo, no departamento de uma empresa podemos obter uma tabela com valores do custo total CT de um produto em função da quantidade q de produção, como mostra a tabela abaixo: Quantidade (q) Custo Total (CT) Fazendo a representação gráfica dos pontos da tabela abaixo, temos: Custo Total X Quantidade Custo Total em R$ Quantidade em unidades 1

2 Observe no gráfico acima que não passa uma reta por todos os pontos, então podemos fazer as seguintes perguntas: 1) Qual a curva que melhor se adapta para o conjunto de pontos, isto é, qual expressão analítica ou a função que melhor se ajusta para os pontos (x; y)? ) Qual a previsão do custo total para 10 unidades do produto? Existem vários modelos matemáticos e estatísticos que resolvem este problema, particularmente nesta unidade vamos estudar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) que descreveremos a seguir. 4. Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) O método dos mínimos quadrados é um dos mais simples e poderoso método da análise de regressão. Utilizamos este método quando temos uma distribuição de pontos e queremos ajustar a melhor curva a este conjunto de dados Regressão linear Inicialmente, vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função linear: y = ax + b, cujo gráfico é uma reta. A equação da reta ou a função que aproxima o conjunto de pontos é dada por: y = Ax + B A = x. y n. x. y x n ( x ) e B = y A x

3 Onde: n = número de pontos observados x = soma dos valores de x (abcissas) y = soma dos valores de y (ordenadas) x. y = soma dos produtos entre x e y x = soma dos quadrados dos valores de x x = x n e y = y n (Médias Aritméticas) Vamos aplicar o modelo para responder as duas perguntas do problema inicialmente proposto na unidade. Para facilitar os cálculos construímos a tabela e calculamos os elementos da fórmula do Método dos Mínimos Quadrados, onde y representa o custo total CT e x representa a quantidade q. x y x.y x Soma=

4 x = x 15 = = 3 n 5 y = y 1700 = = 340 n 5 A = = = 81, 6 B = , 6. 3 = 95, 0 Substituindo os valores de A e B, a equação da reta que aproxima os pontos da tabela é: y = 81, 6 x + 95, 0 isto é, CT = 81, 6 q + 95, 0 e a previsão para a quantidade q = 10 unidades é dada por: q = 10 CT = 81, ,0 = 911,0 Assim, o custo total para 10 unidades é de R$ 911,0. Graficamente, 4

5 Custo Total em R$ Custo Total X Quantidade y = 81,6x + 95, Quantidade em unidades Box: O símbolo é a representação de um somatório. 4.. Regressão Quadrática Em muitos problemas de Matemática Aplicada, é comum ocorrerem situações onde a curva de ajuste não é uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva cujo gráfico é uma função quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função quadrática: y = ax + b.x + c. O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por: y = Ax + Bx + C onde: A, B e C é uma solução do sistema de equações lineares abaixo: A A A 4 x + B 3 x + B x + B 3 x + C x + C x + C. n = x = x = y x y xy Exemplo: A tabela a seguir apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os preços de venda correspondentes em determinado período: Preço de venda

6 Quantidade vendida Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preço de venda igual a R$ 10,00. Solução: Inicialmente marcamos os pontos num gráfico para verificar se os pontos tendem mesmo a uma parábola. Quantidade X Preço de venda Quantidade em (unidades) Preço de Venda (R$) Para facilitar os cálculos construímos uma tabela e calculamos os elementos da fórmula do ajuste da parábola, onde y representa a quantidade e x o preço de venda e na última linha os somatórios das colunas. x y x.y x x 3 x 4 x. y Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema de equações e resolvendo, obtemos: A = 0,098 B = 3,3416 e C = 105,95 6

7 A equação que aproxima os pontos da tabela é: y = 0,098x + 3,3416x + 105,95 isto é, q = 0,098 p + 3,3416 p + 105,95 onde: q representa a quantidade demandada e p o preço de venda. Calculando a projeção da quantidade para o preço de venda igual a R$ 10,00 temos; p = 10 q = 0,098. (10) + 3, ,95 = 77,8 Assim, a quantidade demandada para o preço de R$ 10,00 é de 77,8 unidades. Graficamente, Quantidade X Preço de venda Quantidade em (unidades) y = 0,098x + 3,3416x + 105, Preço de Venda (R$) Box: O estudo das Regressões é muito aplicado em problemas de Estatística. 4.3 Ajuste de Curvas no Microsoft Excel No exemplo de regressão quadrática percebemos a dificuldade em resolver o sistema linear com os coeficientes calculados na tabela, podemos utilizar o Microsoft Excel para determinar a curva de ajuste e também escrever sua respectiva equação. Os passos a 7

8 seguir podem ser usados para aproximar curvas para o caso linear, quadrática, polinomiais, exponenciais e logaritmicas. Sejam os pares ordenados (x; y), valores retirados de uma tabela, por exemplo: demanda e oferta em função do preço ou custo total, receita total e lucro total em função da quantidade. Para achar a equação da curva que ajusta os pontos da tabela, seguir os seguintes passos: 1. Selecionar os pares ordenados da tabela;. Na barra de ferramentas do Microsoft Excel, clicar em assistente gráfico; Tipo de gráfico: use dispersão (X;Y); Subtipo de gráfico: use dispersão com pontos de dados conectados por linhas; Tipos personalizados: use linhas em eixos; Concluir 3. Clicar sobre a linha formada pelos pares ordenados; 4. Na barra de ferramentas do Microsoft Excel, clicar em Assistente gráfico; Selecione: Adicionar linha de tendência; Tipo, marcar: Linear (Função do 1º grau) ou Polinomial Ordem (Função do grau); Opções, selecionar: Exibir equação no gráfico; OK O gráfico feito mostra a linha de tendência (ajuste) dos pontos e a equação da curva que foi ajustada conforme o aspecto dos pontos inicialmente marcados com a escolha da função apropriada, como por exemplo: linear, polinomial de grau, exponencial ou logaritmica. 8