Assíntotas. 1.Assíntotas verticais e limites infinitos 2.Assíntotas horizontais e limites no infinito 3.Assíntotas inclinadas

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Assíntotas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Assíntotas 1.Assíntotas verticais e limites infinitos.assíntotas horizontais e limites no infinito 3.Assíntotas inclinadas

3 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Recorde que, a função f(x) = 3/(x ) é não-limitada quando x. Descrevemos esse tipo de comportamento dizendo que a reta x = é uma assíntota vertical do gráfico de f. O tipo de limite em que f(x) (ou - ) quando x c pela esquerda ou pela direita é um limite infinito. 3

4 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Os limites infinitos para a função f(x) = 3/(x ) podem escrever-se como lim 3 3 = e lim = x x + x x 4

5 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Um dos casos mais comuns de assíntota vertical é o gráfico de uma função racional isto é, uma função da forma f(x) = p(x)/q(x), onde p(x) e q(x) são polinômios. Se c é um número real tal que q(c) = 0 e p(c) 0, então o gráfico de f tem uma assíntota vertical em x = c. 5

6 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Exemplo 1: Determinação de limites infinitos Limite à esquerda 1 lim = x 1 x 1 1 Limite à direita 1 lim = + x x 1 6

7 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Exemplo 1: Determinação de limites infinitos Limite à esquerda 1 lim = x 1 x 1 1 Limite à direita 1 lim = + x x 1 7

8 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Exemplo 1: Determinação de limites infinitos Limite à esquerda lim 1 = x 1 ( x 1) Limite à direita lim 1 = + x 1 ( x 1) 8

9 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Exemplo 1: Determinação de limites infinitos Limite à esquerda lim 1 = x 1 ( x 1) Limite à direita lim 1 = + x 1 ( x 1) 9

10 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Cada um dos gráficos do Exemplo 1 tem apenas uma assíntota vertical. Porém, o gráfico de uma função racional pode ter mais de uma assíntota vertical. 10

11 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Exemplo : Determine as assíntotas x + x x verticais do gráfico de. f ( x) = As assíntotas verticais correspondem aos valores de x para os quais o denominador é zero. x x = 0 x ( x ) = 0 x = 0 e x = 11

12 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Como o numerador de f(x) não se anula em nenhum desses valores, concluímos que o gráfico de f tem duas assíntotas verticais uma em x = 0 e uma em x =. 1

13 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Exemplo 3: Determine as assíntotas verticais do gráfico de f ( x) =. Fatore primeiro o numerador e o denominador, e cancele os fatores comuns. x + x 8 x 4 f ( x) x + x 8 ( x + 4) ( x ) ( x + 4) ( x ) = = = x 4 ( x + ) ( x ) ( x + ) ( x ) ( x + 4) =, x ( x + ) 13

14 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Para todos os valores de x, o gráfico desta função simplificada é o mesmo que o gráfico de f. Podemos, assim, concluir que o gráfico de f tem apenas uma assíntota vertical, que ocorre em x = -. 14

15 1. Assíntotas verticais e limites infinitos Exemplo 4: Ache os limites lim x 3x x 3x e lim x 1 x 1 + x 1 x 1 Como o denominador é zero quando x = 1, mas o numerador não o é, decorre que o gráfico da função tem uma assíntota vertical em x = 1. Isto implica que cada um dos limites dados é + ou -. lim x 3x x 3x = + e lim = x 1 x 1 + x 1 x 1 15

16 . Assíntotas horizontais e limites no infinito Outro tipo de limite, chamado limite no infinito, dá um valor finito para o qual tende uma função quando x aumenta (ou diminui) sem limite. Definição de assíntota horizontal Se f é uma função e L 1 e L são números reais, as afirmações lim f ( x) = L e lim f ( x) = L x 1 x denotam limites no infinito. As retas y = L 1 e y = L, são assíntotas horizontais do gráfico de f. 16

17 . Assíntotas horizontais e limites no infinito A figura ao lado mostra duas maneiras como o gráfico de uma função pode tender para uma ou mais assíntotas horizontais. Note que o gráfico de uma função pode cortar suas assíntotas horizontais. Ao determinar assíntotas horizontais, podemos utilizar a propriedade 1 1 lim = 0, r > 0 e lim = 0, r > 0 x r x r x x 17

18 . Assíntotas horizontais e limites no infinito Exemplo 5: Ache o limite: lim 5 x x 1 lim 5 lim 5 lim lim 5 lim x = = = = x x x x x x x Note que o gráfico tem y = 5 como assíntota horizontal à direita. Calculando o limite de f(x) quando x -, vê-se que esta reta também é assíntota horizontal à esquerda. 18

19 . Assíntotas horizontais e limites no infinito Há uma forma fácil de determinar se o gráfico de uma função racional tem assíntota horizontal. Esse processo prático se baseia em uma comparação dos graus do numerador e do denominador da função racional. 19

20 . Assíntotas horizontais e limites no infinito Assíntotas horizontais de funções racionais Seja f(x) = p(x)/q(x) uma função racional. 1. Se o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, então y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f (à esquerda e à direita).. Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, então y = a/b é assíntota horizontal do gráfico de f (à esquerda e à direita); a e b são os coeficientes dos termos de maior grau de p(x) e q(x), respectivamente. 3. Se o grau do numerador é superior ao grau do denominador, então o gráfico de f não tem assíntota 0 horizontal.

21 . Assíntotas horizontais e limites no infinito Exemplo 6: Ache as assíntotas horizontais dos gráficos das funções a. y = x + 3 3x + 1 b. y = + x 3 3x + 1 c. y = + 3 x 3 3x + 1 Como o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, y = 0 é assíntota horizontal. 1

22 . Assíntotas horizontais e limites no infinito Exemplo 6: Ache as assíntotas horizontais dos gráficos das funções a. y = x + 3 3x + 1 b. y = + x 3 3x + 1 c. y = + 3 x 3 3x + 1 Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, a reta y = -/3 é assíntota horizontal.

23 . Assíntotas horizontais e limites no infinito Exemplo 6: Ache as assíntotas horizontais dos gráficos das funções a. y = x + 3 3x + 1 b. y = + x 3 3x + 1 c. y = + 3 x 3 3x + 1 Como o grau do numerador é superior ao grau do denominador, o gráfico não tem assíntota horizontal. 3

24 3. Assíntotas inclinadas Algumas curvas têm assíntotas que são oblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais. Se lim f ( x) ( mx + b) = 0 x então a reta y = mx + b é chamada de assíntota inclinada, pois a distância vertical entre a curva y = f(x) e a reta y = mx + b tende a 0, como na figura seguinte. (Uma situação análoga existe quando fazemos x -.) 4

25 3. Assíntotas inclinadas 5

26 3. Assíntotas inclinadas Para as funções racionais, as assíntotas inclinadas ocorrem quando a diferença entre os graus do numerador e do denominador é 1. Nesse caso a equação da assíntota inclinada pode ser encontrada por divisão de polinômios, como no exemplo a seguir. 6

27 3. Assíntotas inclinadas Exemplo 7: Ache a assíntota inclinada da função f ( x) = x x A divisão de polinômios fornece: f ( x) ( x 1) 3 x x + x x = = = x x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 7

28 3. Assíntotas inclinadas Assim sendo ( ) lim f ( x) mx + b = 0 x x 1 0 lim = lim = lim = lim = = x x quando x ± x x x x x x x x 1 x x x x + 1 x 1+ Logo, a reta y = x é uma assíntota inclinada. 8

29 3. Assíntotas inclinadas Derivada primeira: ( ) 3 x + 1 3x x x 3x + 3x x f ( x) = = Pontos críticos: x = 0 ( ) ( x + 1 x + 1) ( ) ( ) 4 4 ( x + 3) x + 3x x x + 3x x f ( x) = = = x + 1 x + 1 x + 1 ( ) 9

30 3. Assíntotas inclinadas Derivada segunda: f ( x) = f ( x) = f ( x) = f ( x) = ( x + 1) ( 4 x x) x ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x + 1) 4 3 ( x + 1) x ( x + 3) 4x ( x + 3) 3 ( x + 1) x ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 3) 3 ( x + 1) x 4 x 4 x + 3x + x + 3 x 6x x 3 x f ( x) = 3 3 x + 1 x + 1 ( ) ( ) ( ) 30

31 3. Assíntotas inclinadas Pontos de inflexão: x = 0 x = 0 3 x = 0 x = ± 3 Os pontos de inflexão são: ;,( 0, 0 ) e 3;

32 3. Assíntotas inclinadas Intervalo f(x) f (x) f (x) (, 3 ) x = 3 ( 3, 0) x = 0 ( 0, 3 ) Forma do gráfico + + Cresc.; CC + 0 PI + - Cresc.; CB 0 0 PI + + Cresc.; CC x = 3 ( 3, + ) PI + - Cresc.; CB 3

33 3. Assíntotas inclinadas 33