Aplicações de Leis de Newton

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1 Aplicações de Leis de Newton Evandro Bastos dos Santos 22 de Maio de Introdução Na aula anterior vimos o conceito de massa inercial e enunciamos as leis de Newton. Nessa aula, nossa tarefa é aplicar os conceitos vistos em problemas específicos e gerais. Antes, porém, vamos ver um conceito muito importante, que é a força de atrito. 2 Força de Atrito O conceito de atrito advém diretamente do movimento dos corpos. Sendo ele um comportamento que depende de uma variedade de configurações. Suponha que você queira empurrar um bloco sobre uma superfície, mas a superfície tem rugosidades. Por mais lisa, que possa parecer a superfície, sempre há rugosidades a níveis microscópicos que criarão uma força oposta ao movimento, que tem como função retardar o movimento, ou como veremos mais à frente em nosso curso, dissipar energia. Figura 1: Força de atrito devido ao movimento A força de atrito tem uma natureza fenomenológica, portanto seu cálculo é por vezes complicado. De maneira aproximada simbolizamos que existe um determinado coeficiente de atrito que, associado à força de contato do objeto com a superfície resultará na força de atrito. 1

2 Figura 2: Coeficiente de atrito estático e cinético, com a iminência de movimento. Esse coeficiente tem duas classificações. O coeficiente de atrito estático que é considerado quando o objeto está em repouso. Nesse caso, a força de atrito tem o mesmo módulo da força de ação, F at = F, com sentido oposto. Esse coeficiente, portanto, varia linearmente com a força aplicada, e quando o objeto está na iminência de entrar em movimento seu valor diminui um pouco, e passa a ser considerado como coeficiente de atrito cinético. O coeficiente de atrito cinético é constante, pois quando o objeto estiver se movimento a força que se opõe ao movimento devido às rugosidades da superfície também é constante. Figura 3: Forças atuando sobre um objeto O cálculo da força de atrito é simples, conhecendo o coeficiente de atrito, simplesmente multiplicamos o mesmo pelo módulo da força normal, que é a força de contato do objeto com a superfície. F at = µn, (1) em que µ é o coeficiente de atrito, cinético ou estático. Exemplo: Um bloco de massa 2kg se move com velocidade de 5m/s sobre uma messa plana passa a sofrer a ação de uma força de 30N na direção perpendicular ao movimento. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é 0,7. Calcule a força de atrito e a aceleração do bloco. Solução: Para o cálculo da força de atrito, precisamos determinar o valor da força normal. Como a superfície é plana, podemos considerar que o valor da força normal tem o mesmo módulo do peso. Nesse caso Portanto a força de atrito será N = P = mg = 2 10 = 20N (2) 2

3 F at = µn (3) F at = = 14N. (4) Para determinação da aceleração, aplicaremos a segunda lei de Newton, portanto F R = ma (5) Como a força resultante é a soma vetorial da força de atrito com a força aplicada, temos que F R = F F at = = 16N (6) 16 = 2 a (7) a = 8m/s 2 (8) 3 Plano Inclinado A primeira aplicação que veremos, é o cálculo da aceleração para um objeto sujeito a um movimento em um plano inclinado, formando um ângulo θ com a horizontal, conforme a figura abaixo. Figura 4: Forças atuando sobre um objeto Para esse tipo de problema temos que fazer uma decomposição do movimento. Por simplicidade os eixos adotados são: Eixo x: Paralelo à superfície do plano. Eixo y: Perpendicular à superfície do plano. E então decompomos as forças. Observamos que a componente y, do peso, P y é oposta à força normal e a componente x, perpendicular. Por semelhança de triângulos, o ângulo entre a força peso e a componente P y é o mesmo θ. Portanto temos que P x = P sin θ (9) P y = P cos θ (10) 3

4 Observe que há uma inversão ao que usualmente temos com a decomposição de forças nas componentes x e y. Na ausência de força de força de atrito, temos que a força resultando é o próprio P x, portanto F R = ma (11) P x = ma (12) mg sin θ = ma (13) a = g sin θ (14) é a aceleração para esse movimento. Exemplo: Um bloco de massa 4Kg está sujeito a ação da força gravidade cai sobre um plano inclinada que faz um ângulo de 30 o com a horizontal. Se a altura inicial de queda é 1m, quanto tempo o bloco demora para atingir a parte inferior do plano inclinado. Vamos inicialmente determinar a aceleração do bloco. a = g sin 30 o = = 5m/s 2 (15) A distância percorrida ao longo do plano inclinado é a hipotenusa do triângulo retângulo, cujo catedo oposto ao ângulo 30 o é a altura de 1m. Portanto x = 1 sin 30 Podemos então utilizar a função horária do MRU = 2m. (16) x = x 0 + v 0 t at2 (17) 2 = 1 2 5t2 (18) t 2 = t = 5 (19) (20) 4 Cálculo de Aceleração de Sistemas Interagentes Considere dois blocos, de massas m 1 e m 2, em contato. Sobre um deles é aplicado uma força de intensidade F. Vamos então calcular a aceleração total desse sistema. Figura 5: Forças atuando sobre um objeto 4

5 Para cada um dos blocos temos que fazer um diagrama de forças. Figura 6: Forças atuando sobre um objeto Sobre o bloco m 1, atual as forças n 1 : Normal de contato entre o bloco 1 e a superfície. m 1 g: Peso do bloco 1. P 12 : Força de contato que o bloco 1 sofre devido ao bloco 2 F : Força de ação externa aplicada ao bloco 1 E sobre o bloco m 2, atuam as forças. n 2 : Normal de contato entre o bloco 2 e a superfície. m 2 g: Peso do bloco 2. P 21 : Força de contato que o bloco 2 sofre devido ao bloco 1. Pela segunda lei de Newton, vale que, para cada bloco, F R = m a (21) n 1 + m 1 g + P 12 + F = m 1 a (22) n 2 + m 2 g + P 21 = m 2 a (23) Como na vertical não há movimento, podemos considerar somente as forças horizontais, portanto P 12 + F = m 1 a (24) P 21 = m 2 a (25) Por ser um par de ação e reação, dado pela terceira lei de Newton, temos que P 12 = P 21. Como ambas equações dizem respeito ao mesmo sistema, podemos somá-las membro a membro, portanto: F = (m 1 + m 2 )a (26) F a =. m 1 + m 2 (27) 5

6 Observe que a aceleração é a mesma para o bloco 1 e 2 e só depende das massas e das forças aplicadas, a força de contato não contribui para o resultado final. A mesma metodologia se aplica a outros tantos exemplos, tais como força de tensão em cabos. Alguns exercícios abaixo ilustram muitas situações que podem surgir no cotidiano. Além dos exercícios motrados abaixo, também são indicados os exercícios do Halliday 8ed ou 9ed. Exercícios: 1. Um corpo de massa 25kg encontra-se em repouso numa superfície horizontal perfeitamente lisa. Num dado instante, passa a agir sobre ele uma força horizontal de intensidade 75N. Após um deslocamento de 96m, calcule a velocidade do corpo. 2. Na montagem a seguir, sabendo-se que a massa do corpo é de 20kg, calcule é a reação Normal que o plano exerce sobre o corpo? Figura 7: Exercício 2 3. Os blocos A e B têm massas m A = 5.0kg e m B = 2.0kg e estão apoiados num plano horizontal perfeitamente liso. Aplica-se ao corpo A uma força horizontal F, de módulo 21N. Figura 8: Exercício 3 Calcule o módulo da força de contato entre os blocos A e B. 4. Um corpo de massa 2.0kg é abandonado sobre um plano perfeitamente liso e inclinado de 37 o com a horizontal. Adotando g = 10m/s 2, sin 37 o = 0.60 e cos 37 o = 0.80, conclui-se que a aceleração com que o corpo desce o plano tem módulo, em m/s 2 : a) 4,0 b) 5,0 c) 6,0 d) 8,0 e) Os corpos A e B são puxados para cima, com aceleração de 2.0m/s 2, por meio da força F, conforme o esquema a seguir. Sendo m A = 4.0kg, m B = 3.0kg e g = 10m/s 2, a força de 6

7 tração na corda que une os corpos A e B tem módulo, em N, de : a) 14 b) 30 c) 32 d) 36 e) 42 Figura 9: Exercício 5 6. Em um spa, a balança para a medida do peso dos clientes é colocada dentro de um elevador. Podemos dizer que: a) A indicação da balança será sempre a mesma, tanto quando o elevador subir, como quando o elevador descer. b) Como a balança mede o peso do corpo, só a aceleração da gravidade influenciará a medida. c) O cliente ficará com massa maior quando o elevador estiver subindo acelerado. d) O cliente ficará feliz com a indicação da balança na descida do elevador. e) O cliente terá o seu peso aumentado na subida do elevador. 7. Uma pessoa, apoiando-se em uma bengala, encontra-se em cima de uma balança que marca 40 Kg. Se a pessoa empurrar fortemente a bengala contra a balança e, se durante essa ação, ele não tirar os pés da balança, mantendo o corpo numa posição rígida, como mostra a figura, podemos afirmar que: a) É a lei da Gravitação Universal que rege o funcionamento da balança. b) A balança marcará menos de 40 Kg. c) A balança marcará mais de 40 Kg. d) Nada se pode concluir, pois não sabemos o valor da força que a bengala faz sobre a balança. e) A balança marcará os mesmos 40 Kg. 8. Considere uma partícula maciça que desce uma superfície côncava e sem atrito, sob a influência da gravidade, como mostra a figura. Na direção do movimento da partícula, ocorre que: 7

8 Figura 10: Exercício 8 a) a velocidade e a aceleração crescem. b) a velocidade cresce e a aceleração decresce. c) a velocidade decresce e a aceleração cresce d) a velocidade e a aceleração decrescem. e) a velocidade e a aceleração permanecem constantes. 9. Um pêndulo, consistindo de um corpo de massa m preso à extremidade de um fio de massa desprezível, está pendurado no teto de um carro. Considere as seguintes afirmações: I. Quando o carro acelera para frente, o pêndulo se desloca para trás em relação ao motorista. II. Quando o carro acelera para frente, o pêndulo se desloca para frente em relação ao motorista. III. Quando o carro acelera para frente, o pêndulo não se desloca e continua na vertical. IV. Quando o carro faz uma curva à esquerda com módulo da velocidade constante, o pêndulo se desloca para a direita em relação ao motorista. V. Quando o carro faz uma curva à esquerda com módulo da velocidade constante, o pêndulo se desloca para a esquerda em relação ao motorista. Assinale a opção que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). a) I e IV b) II e V c) I d) III e) II e IV 8