17.1 multiplicidade de um ponto da curva

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1 Aula 17 multiplicidades de interseção (Anterior: C é fecho algébrico de R ) Voltamos ao estudo de curvas planas O assunto agora diz respeito à compreensão das multiplicidades O exemplo modelo bem conhecido de todos nós é a afirmação de que todo polinômio de grau n em uma variável admite exatamente n raízes, contadas com multiplicidades Nesse contexto, é claro que nos permitimos buscar raízes numa extensão algébrica do corpo original, ou mesmo já supô-lo algebricamente fechado A afirmação em tela significa simplesmente escrever cada f(x) K[x] não constante como produto f(x) = c (x α i ) m i, onde c, α i K e m i = deg f 171 multiplicidade de um ponto da curva Passando a curvas, primeiro vamos conceituar a noção intuitiva do número de vezes que uma curva passa por um dado ponto Veja os exemplos 1) A lemniscata (X 2 +Y 2 ) 2 = X 2 Y 2 passa duas vezes pela origem, formando

2 2 multiplicidades de interseção um nó As retas Y = ±X são tangentes figura 171 2) A cissóide, X 2 Y (Y 2 + X 2 ) = 0, também passa duas vezes pela origem, mas tão rapidamente que só vemos um bico, chamado cúspide, com tangente vertical X = 0 3) Rosácea de 3 pétalas: (X 2 + Y 2 ) 2 = Y 3 3X 2 Y A origem é um ponto triplo ordinário As 3 retas Y = 0 e Y = ± 3X são tangentes à rosácea figura 172 figura 173

3 171 multiplicidade de um ponto da curva 3 Por outro lado, é claro que qualquer reta, ou uma parábola, ou o círculo passam todas uma só vez por cada um de seus pontos Qual aspecto da equação determina essa diferença de comportamento? Seja f(x, y) K[x, y] (a equação de) uma curva algébrica Seja P = (a, b) K 2, um ponto da curva, ie, f(a, b) = translações No que segue, será conveniente fazer uma translação de eixos de maneira que P se situe na origem Em termos algébricos, consideramos o K isomorfismo t P : K[x, y] K[x, y] definido por t P (g(x, y)) = g(x + a, y + b) É claro que f(a, b) = 0 (t P f)(0, 0) = 0 1 exercícios 1 Mostre que t P é de fato um isomorfismo Ache (t P ) 1 Ou seja, substituindo f(x, y) por f(x + a, y + b), podemos supor que a curva passa pela origem dos eixos coordenados, ie, f(0, 0) = 0 Escrevamos f = f 0 + f f d, soma das partes homogêneas Como estamos supondo que f(0, 0) = 0, o termo constante f 0 = f(0, 0) = 0 Pode ocorrer que f 1 também seja nulo, como por exemplo, se f = y 2 x 3 2 exercícios 2 Esboce esta última curva Compare com o exemplo 2 3 Definição Seja f = f f d uma curva de grau d passando pela origem Se f 1 0, dizemos que o ponto P é não singular A reta de equação f 1 (x, y) = αx + βy = 0, é naturalmente chamada de reta tangente à curva f no ponto P Note que os coeficientes da equação da reta tangente são dados por α = f f (P ), α = (P ) x y Se P = (a, b) não estiver necessariamente na origem, a reta tangente tem equação

4 4 multiplicidades de interseção α(x a) + β(y b) = 0, com os coeficientes calculados igualmente pelas derivadas parciais como acima Supondo ainda P = O, chamamos de multiplicidade de f no ponto P ao menor inteiro positivo m tal que f m 0 Por exemplo, y 2 x 3 tem multiplicidade 2 na origem Se P é um ponto qualquer, a multiplicidade de P em f é definida pela multiplicidade de t P (f) na origem 4 exercícios 3 Quais as multiplicidades na origem das curvas esboçadas acima? Estudemos as interseções da curva f = y 2 x 3 com cada reta que passa pela origem, y = tx Substituindo, temos a equação t 2 x 2 x 3 = 0 para as abscissas dos pontos de interseção Claramente, se t 0 há 2 soluções, x = 0 (com multiplicidade 2) e x = t 2 Para t = 0, há uma só solução, com multiplicidade 3 Ficou fora dessa análise a reta vertical x = 0, que intercepta a curva f só na origem, com multiplicidade também 2, já que a equação y 2 = 0 (obtida substituindo x = 0 em f) tem uma raiz dupla Em geral, se uma curva f = f m + f m f d tem multiplicidade m na origem, as interseções com y = tx se calculam olhando para f(x, tx) = x m f m (1, t) + x m+1 f m+1 (1, t) + + x d f d (1, t) = 0 Enquanto o coeficiente f m (1, t) de x m for 0, vemos que a raiz x = 0 tem multiplicidade m Note que f m (1, t) é um polinômio de grau m A desigualdade pode ser estrita, dependendo da potência de x que divide f m No exemplo f = y 2 x 3, achamos f 2 (1, t) = t 2 ; mas se agora f = xy + f 3 + grau maior, então f(x, tx) = x 2 (t + xf 3 (1, t) + ), caso em que f 2 (1, t) = t É claro, em todo caso, que f m (1, t) só se anula para um número finito de valores de t Para esses valores especiais, vemos que a raiz x = 0 tem multiplicidade > m no polinômio f(x, tx) Lembremos que o polinômio homogêneo f m (x, y) de grau m se fatora na forma f m = (α i x + β i y) m i, com α i, β i K Nesta escritura estamos supondo que os fatores lineares α i x+β i y são 2 a dois não proporcionais, ie, são equações de retas 2 a 2 distintas Cada uma dessas retas é chamada uma reta tangente O expoente m i é a multiplicidade da reta tangente Observe que f m (x, tx) = (α i x+β i tx) m i = x m (α i +tβ i ) Logo, o coeficiente de x m em f(x, tx) se anula somente quando algum fator α i + tβ i = 0 Se um dado β i é nao nulo, significando que a reta correspondente não é vertical, podemos

5 171 multiplicidade de um ponto da curva 5 tomar t = α i /β i e concluir que x = 0 é uma raiz de multiplicidade m + 1 em f(x, tx) Se β i = 0, a reta vertical x = 0 intercepta a curva nos pontos com ordenada y que são raízes de f(0, y) = 0 Percebemos que, também nesse caso, a raiz y = 0 aparece com multiplicidade m + 1 em f(0, y) O resumo dessas observações é o seguinte A multiplicidade m de uma curva na origem é a multiplicidade mínima da raiz x = 0 na equação f(x, tx) = 0 para t geral Isso é interpretado dizendo que um ponto de multiplicidade m absorve no mínimo m pontos da interseção da curva com uma reta geral passando pela origem Por outro lado, existem exatamente m retas especiais contadas com multiplicidade, para as quais a origem contribui pelo menos m + 1 vezes na interseção com a curva A análise para um ponto arbitrário P = (a, b) se reduz ao caso da origem, mediante uma translação de eixos 5 exercícios 4 Esboce cada uma das curvas seguintes e determine suas retas tangentes e multiplicidades na origem (1) x 2 + y 2 2x = 0; (2) y 2 = x 2 + x 3 ; (3) y 2 = x 2 + y 3 5 Ache a multiplicidade da raiz x = 0 na resultante de cada par de curvas da questão anterior É fato que nenhum de nós sabe lá grande coisa e que, quase todos, chegaremos ao fim de nossos dias sem jamais ter compreendido em todos os seus detalhes e sua beleza as maravilhas já desvendadas em um ramo qualquer da Ciência A maioria nem ao menos conhece entre suas relações uma pessoa com tanto saber Mas embora estejamos certos quanto a impossibilidade de tudo aprender, se é provável que saibamos tão pouco, nós podemos, ao menos, tentar adquirir algum conhecimento e, de fato, com um pouco de sorte e m u i t a dedicação, descobrir coisas até então ignoradas Esta possibilidade, nova para o ser humano em geral, representa hoje uma grande e precisa esperança, embora não ainda uma realidade Próximo: índice de interseção