01)(UFF-2009) O decaimento de isótopos radioativos pode ser usado para medir a idade de fósseis. A

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1 0)(UFF-009) O decaimento de isótopos radioativos pode ser usado para medir a idade de fósseis. A t equação que rege o processo é a seguinte: N= N0 e λ, sendo N 0 > 0 o número inicial de núcleos radioativos, N o número de núcleos radioativos no tempo t e λ > 0 a taxa de decaimento. O intervalo de tempo necessário para que o número de núcleos radioativos seja reduzido à metade é denominado tempo de meia-vida. Pode-se afirmar que o tempo de meia-vida: (A) é igual a ln() λ (B) é igual a (C) é igual a ln() (D) é igual a λ (E) depende de N0 Resolução: Devemos ter em um tempo t a seguinte situação: N = N 0 N e 0 λ t = N e λt 0 = Aplicando o logaritmo de base e (logaritmo neperiano) em ambos os membros, temos: λt n logee = log e ; (loga a = n) λ t = ln ; (loge x = ln x, e,7...) λ t = ln λ t = ln ln t = λ

2 0) Na década de 940, o estatístico P. H. Leslie propôs um modelo usando matrizes para o estudo da evolução de uma população ao longo do tempo. Se, por exemplo, x(t) e y(t) representam a distribuição de indivíduos no ano t em duas faixas etárias, no modelo de Leslie, a distribuição de indivíduos x(t + ) e y(t + ) no ano t +, nessas mesmas duas faixas etárias, é dada por x(t + ) a b x(t) y(t ) = p 0 y(t) + x(t + ) ax(t) + by(t) y(t ) = px(t) 0y(t) + + x(t + ) 0x(t) + 0y(t) y(t ) = 0, x(t) 0y(t) + + x(t + ) a b x(t) = y(t + ) p 0 y(t) As constantes a e b representam as fertilidades em cada faixa etária e a constante p representa a taxa de sobrevivência da primeira faixa etária. Se a = 0 ; b = 0 ; p = 0,; e sabendo que x(0) = 000 e y(0) = 00; então, a distribuição de indivíduos no ano t = 0 é dada por: (A) x(0) = e y(0) = 000 (B) x(0) = 000 e y(0) = 00 (C) x(0) = e y(0) = (D) x(0) = e y(0) = (E) x(0) = e y(0) = Resolução: Vamos substituir os valores de a, b e p no segundo membro da equação e logo a seguir desenvolver o produto entre as matrizes: Da igualdade de matrizes, podemos escrever x(t + ) = 0x(t) + 0y(t) x(t + ) = 0y(t), substituindo t =0,teremos x(0+ ) = 0y(0) x() = 0 00 x() = 000 e y( t+ ) = 0, x(t) + oy(t) y( t+ ) = 0, x(t), substituindo t =0,teremos y( 0+ ) = 0, x(0) y() = 0, 000 y() = 00

3 Se tomarmos t =, t =,..., t= 0 nas equações acima iremos concluir que x(0) = x() = x() =... = x(0) = 000 e que y(0) = y() = y() =... = y(0) = 00 03) A equação do tempo é a função que mede a diferença, ao longo de um ano, entre os tempos lidos a partir de um relógio de sol e de um relógio convencional. Ela pode ser aproximada pela função ( ) y = f(b) = 9,87 sen( B) 7,53 cos(b),5 sen(b) π n 8 sendo B = e n o número do dia, isto é, n = para de janeiro, n = 364 para de janeiro, e assim por diante. É correto afirmar que: (A) f(b) = 9,87 sen( B) 7,53 cos(b) 0,75 sen( B) (B) f(b) = 9,74 sen(b) 7,53 cos(b),5 sen(b) (C) f(b) = [9,74 sen(b) 7,53] cos(b),5 sen(b) (D) f(b) = 9,87 [ (cos(b)) ],5 sen(b) 7,53 cos(b) (E) f(b) = 8,37 sen( B) 7,53 cos(b) Resolução: Lembrando que sen(b) = senb cos B, vamos desenvolver a expressão y = f (B) = 9,87sen(B) 7,5cos(B),5sen(B) ( ) f (B) = 9,87 sen(b) cos(b) 7,5cos(B),5sen(B) f(b) = 9,74 sen(b) cos(b) 7,5cos(B),5sen(B) evidenciando cos(b), teremos: f (B) = (9,74 sen(b) 7,5)cos(B),5sen(B)

4 04)(UFF-009)Embora não compreendam plenamente as bases físicas da vida, os cientistas são capazes de fazer previsões surpreendentes. Freeman J. Dyson, por exemplo, concluiu que a vida eterna é de fato possível. Afirma que, no entanto, para que tal fato se concretize o organismo inteligente precisaria reduzir a sua temperatura interna e a sua velocidade de processamento de informações. Considerando-se v a velocidade cognitiva (em pensamentos por segundo) e T a temperatura do organismo (em graus Kelvin), Dyson explicitou a relação entre as variáveis x = log0 T e y = log0 v por meio do gráfico abaixo: ( ) B= ( 5, 7) 0 Sabendo-se que o gráfico da figura está contido 5 em uma reta que passa pelos pontos A =,0 e B= 5, 7, assinale a alternativa que contém a equação que descreve a relação entre x e y. 5 y A =,0 x (A) (B) (C) y= x (D) y= x y= x (E) y= x y= x 30 5 Resolução: Basta determinarmos a lei de formação da função do 0 grau cujo gráfico é apresentado. Sendo 5 A =,0 eb=( 5, 7) y= ax+ b, temos: y a = = = = x e assim 34 y= +b. Basta substituir um ponto da reta para obtermos b A =,0 y= x+ b, então 0 = 35 Portanto 34 7 y= x b b=

5 05) (UFF 009) Desde a Antigüidade, a humanidade tem inventado vários mecanismos para medir o tempo. Clepsidras são relógios que utilizam água para o seu funcionamento. Apesar dos vários modelos e estruturas, o princípio básico é a transferência de água de um recipiente para outro. A figura ao lado ilustra uma clepsidra romana que emprega um cone circular reto K e um cilindro circular reto C. Sabendo-se que K e C possuem bases circulares congruentes e que o volume de C é dez vezes o volume de K, pode-se afirmar que a razão entre a altura do cilindro e a altura do cone é igual a: (A) 0 7 (B) 0 (C) 3 (D) 0 3 (E) 3 Resolução: Desejamos h H. Como V cilindro = 0V cone, então V cilindro = 0V cone Abase h = 0 Abase H 3 0 πr h = πr H 3 h 0 = H 3 H R h R 06)(UFF 009) A Terra demora aproximadamente 365,4 dias para dar uma volta completa ao redor do Sol, enquanto o ano-calendário comum (por convenção) tem 365 dias solares. As horas excedentes são somadas e adicionadas ao calendário na forma inteira de um dia (4 6h = dia). Assim, surge a idéia de se criar, para efeito de correção, o ano bissexto. No calendário Juliano, o ano bissexto ocorria de três em três anos, tendo passado a ocorrer de quatro em quatro anos no calendário Augustiano. Já a regra atual (no calendário Gregoriano) é dada da seguinte forma: São bissextos todos os anos múltiplos de 4 e não múltiplos de 00; Também são bissextos todos os anos múltiplos de 400; Não são bissextos todos os demais anos. Sabendo que o ano de 600 é bissexto, pode-se afirmar que entre 60 e 007 ocorreram: (A) 97 anos bissextos (B) 98 anos bissextos (C) 99 anos bissextos (D) 00 anos bissextos

6 (E) 0 anos bissextos Resolução: Trata-se de uma PA de razão 4 onde os números não podem ser múltiplos de 00, exceto no caso em que for múltiplo de 400. Tomemos a = 604 ( 0 ano bissexto após 600) e vamos descobrir o último número, anterior a 007, que é múltiplo de 4: = 50 com resto da divisão 3, portanto o maior múltiplo de 4 antes do 007 é = 004. Com esses dados vamos determinar a quantidade de termos da PA (604, 608,..., 004): a = a + n r n ( ) ( ) 004 = n = 4n = 4n n = 0 Dos quais iremos retirar 700, 800 e 900, múltiplos de 00 e não múltiplos de 400. Portanto o total de anos bissextos entre 60 e 007 é dado por 0 3 = ) (UFF-009) The Internet Archive ( é uma organização sem fins lucrativos com o objetivo de catalogar e armazenar todas as páginas WEB da Internet, desde 996. Atualmente, o sistema é gerenciado por cerca de 800 computadores pessoais e ele dispõe de aproximadamente 3 petabytes de memória para armazenamento. Cada petabyte equivale a 0 gigabytes. Admitindo-se que um DVD comum é capaz de armazenar 4 gigabytes (na verdade, ele armazena um pouco mais), então o número de DVDs necessários para se armazenar 3 petabytes é: (A) menor que 7 e maior que 6 (B) maior que 0 (C) menor que 9 e maior que 8 (D) menor que 8 e maior que 7 (E) menor que 0 e maior que 9 Resolução: Como cada petabyte equivale a 0 gigabytes, então 3 petabytes 0 equivalem a 3. Para determinarmos o número de DVDs devemos efetuar a divisão n = = = 3. 4, então sendo n o número de DVDs, teremos: Como = e = 4, então 9 0 < n <.

7 08) (UFF-009)No período da Revolução Científica, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli (56 57), matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos. Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta. (A) o conjugado de ( + i) é ( - i) (B) + i = (C) ( + i) é raiz da equação (D) ( ) + i = i (E) ( ) + i = i z z+ =0 Resolução :A alternativa incorreta é ( ) + i = i, pois calculando ( + i), teremos: + = + i i = + i i i i i = = = = i i + ( i) 09) Em ciências atuariais, uma tábua da vida é uma tabela, construída a partir de censos populacionais, que mostra a probabilidade de morte de um indivíduo em uma certa faixa etária. Tábuas da vida são usadas em planos de previdência e seguros de vida. A tábua da vida abaixo indica, por exemplo, que um indivíduo entre ano (inclusive) e anos (exclusive) tem 0,05% de chance de morrer. Faixa Etária [x, x + ) [0, ) [, ) [, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, 0) Probabilidade de morrer em % ,05 0,03 0,03 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Fonte: National Vital Statistics Reports, Vol. 54, No. 4, 006. Supondo-se que existe um grupo de pessoas que acabaram de completar anos, segundo esta tabela, o número de pessoas deste grupo que farão aniversário de 3 anos é igual a: (A) (B)

8 (C) (D) (E) Resolução: As pessoas com chance de morrer antes de completar 3 anos pertencem ao intervalo [,3[, portanto os que farão aniversário 0,03 de 3 anos são = =