Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Log/Exp/Teo. Num.

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1 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num.. (Ita 05) Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a epansão decimal de é infinita e periódica, então é um número racional. II.. n n0( ) III. ln e log log 9 é um número racional. 4 É (são) verdadeira(s): a) nenhuma. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) I, II e III.. (Unicamp 05) Considere a função f() 0 0, definida para todo número real. a) Mostre que f(log 0( )) é um número inteiro. b) Sabendo que log0 0,, encontre os valores de para os quais f() 5.. (Fgv 05) Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taa de juro composto de % ao mês. Neste problema, desprezando qualquer tipo de correção monetária devido à inflação, responda as perguntas a seguir. a) Neste investimento, após meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.00,00. Calcule o valor inicialmente aplicado. b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 9, meses. Caso o cálculo fosse feito adotando-se log 0,0 e log0,05, que são logaritmos com apenas casas decimais de aproimação, seria obtido um valor aproimado de t anos. Chamando de E t 9, ao erro cometido no cálculo devido ao uso de apenas casas decimais de aproimação nos logaritmos indicados, calcule E. 4. (Fuvest 05) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é a) R$ 0,85 b) R$,5 c) R$,45 d) R$,50 e) R$,80 5. (Ita 04) Considere a equação A(t) X B (t), t, em que t t e e t e A(t), X y e B(t). z 0 valores de, y e z são, respectivamente, a), 0,. Sabendo que det A(t) e t 0, os Página de

2 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. b), 0,. c) 0,,. d) 0,,. e),, (Espm 04) Se a) 7 b) 4 c) 4 d) e) 7 4 6, o valor de é: 7. (Ita 04) Determine as soluções reais da equação em, 4 log0 6 log4 log4 0. log (Fgv 04) Um biólogo inicia o cultivo de três populações de bactérias (A, B e C) no mesmo dia. Os gráficos seguintes mostram a evolução do número de bactérias ao longo dos dias. Página de

3 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. A partir da informação dos gráficos, responda: a) Em que dia o número de bactérias da população C ultrapassou o da população A? b) Qual foi a porcentagem de aumento da população de bactérias B, entre o final do dia e o final do dia 6? c) Qual foi a porcentagem de aumento da população total de bactérias (colônias A, B e C somadas) entre o final do dia e o final do dia 5? 9. (Espce (Aman) 04) Na figura abaio, está representado o gráfico da função y = Iog. Página de

4 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: a) Iog + Iog + Iog5 b) log0 c) + Iog0 d) + log5 e) + Iog (Fuvest 04) Sobre a equação ( ) log 0, é correto afirmar que a) ela não possui raízes reais. b) sua única raiz real é. c) duas de suas raízes reais são e. d) suas únicas raízes reais são, 0 e. e) ela possui cinco raízes reais distintas.. (Espm 04) Se a) 0 b) 0, c) 00 d) 0,0 e) 4 log log log log 0, o valor de é:. (Fgv 04) Considere a aproimação: log 0,. É correto afirmar que a soma das raízes da equação é: a) 7 b) c) 5 d) 4 e). (Ita 04) A soma 4 n log / n log 8 é igual a / a) 8. 9 b) 4. 5 c) 5. 6 Página 4 de

5 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. d) 7. 8 e). 4. (Fgv 04) Em uma competição de Matemática, a prova é do tipo múltipla escolha com 5 questões. A pontuação de cada competidor é feita de tal maneira que cada questão - respondida corretamente vale 6 pontos; - não respondida vale,5 ponto; - respondida erradamente vale 0 (zero) ponto. a) É possível um competidor fazer eatamente 00 pontos? Se a resposta for afirmativa, mostre uma maneira; se não for, justifique a impossibilidade. b) Márcia fez mais de 00 pontos. Quantas questões, no mínimo, ela respondeu corretamente? 5. (Espm 04) As moedas de 0 e 5 centavos de real tem, praticamente, a mesma espessura. 6 moedas de 0 centavos e 90 moedas de 5 centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. O menor número possível de pilhas é: a) b) c) 4 d) 5 e) 6 6. (Enem 04) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado y z pela epressão 5 7, na qual, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 0 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é a) y z b) ( ) (y ) c) y z d) ( ) (y ) z e) ( ) (y ) (z) 7. (Unicamp 04) Um investidor dispõe de R$ 00,00 por mês para adquirir o maior número possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No segundo mês houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve a) lucro de R$ 6,00. b) nem lucro nem prejuízo. c) prejuízo de R$ 6,00. d) lucro de R$ 6,50. Página 5 de

6 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. Gabarito: Resposta da questão : [D] [I] Verdadeira, pois toda dízima periódica admite uma fração geratriz. [II] Falsa. A soma indicada representa uma P.G infinita com a Daí, n n0 e a razão q. [III] Verdadeira. log 9 5 ln e log log4 9 lne log log (racional) Resposta da questão : a) Com efeito, temos f() Logo, sabendo que loga b a b, com a e b reais positivos e a, vem log 0( ) f(log 0( )) 00 log 0( ) Portanto, segue que f(log 0( )) 40. b) Tem-se que f() log0 5 ou log0 5. Dado que log0 0,, vem 0 log0 5 log0 log0 0 log0 0, 0,7. Página 6 de

7 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. Portanto, os valores de para os quais f() 5 são 0,7 e 0,7. Resposta da questão : a) Seja C o valor inicialmente aplicado. Tem-se que C ( 0,0) C,00 C R$.940,79 b) Para M 4C, vem t t 4C C ( 0,0) (,0) log t log(,0) 0 log t log 00 t (log0 log0 ) log t (log0 log log0) log 0,0 t,05 0,0 0,0 t 0,00 t 50,5. Portanto, temos E 50,5 9,, meses. Resposta da questão 4: [B] Sejam t, m e n, respectivamente, o total gasto, o número de viagens simples e o número de viagens de integração. Logo, devemos calcular o valor mínimo de t que satisfaça t m 4,65 n e t,5. Observando que 4,65,5, basta tomarmos n e um valor conveniente de m para obtermos o resultado desejado. Com efeito, vejamos: se n e m 0, temos t 4,65,95; se n e m, temos t 4,65 5,0; se n e m, temos t 4,65,65; se n 0 e m 5, temos t 5 5,00. Portanto, segue que o menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é,65,5 R$,5. Resposta da questão 5: [B] Como det A(t), temos Página 7 de

8 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. t e t e t t t t 4e e e e Porém, t 0 implica em t t e e 0 4t t e e 0 t t e ou e. t e e, portanto, A(t)X B(t) y. z 0 Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, vem ' L L L ' L L L '' ' ' L ( 5) L L Por conseguinte,, y 0 e z. Resposta da questão 6: [B] Como 4 4 (4 ) ( ) 0, segue-se que 4. Resposta da questão 7: log4 6 log 6 log 0 log00 6 log4 6 log4 6 log4 log Calculando, inicialmente, o valor de 4 Página 8 de

9 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. Substituindo o resultado acima na equação pedida, temos: 4 log4 log4 log4 0 log4 4log4 6 log4 0 log4 7log4 6 0 Fazendo log4 y, temos: y 7y 6 0 y y 6y 6 0 y(y ) 6(y ) 0 y(y )(y ) 6(y ) 0 (y )(y y 6) 0 y ou y ou y. Logo: log4 4 log4 6 log4 64 S,, Resposta da questão 8: a) O número de bactérias da população C cresce com o tempo. Logo, do gráfico sabemos que a população C de bactérias atingiu indivíduos, superando, portanto, a 4 população A no quarto dia, com eatamente indivíduos. b) A variação percentual pedida é dada por % 500%. 6 c) O resultado é igual a (00 0 ) % ,0%. Resposta da questão 9: [D] A A A log log log5 log log log5 log 5 log 5 5 log0 log5 log5. Resposta da questão 0: [E] Como 9 0 para todo real, vem Página 9 de

10 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. 9 ( ) log 0 ( )log 0 0 ou ou ou ou. ( ou ) ou ( 0 ou ) Portanto, a equação dada possui 5 raízes reais distintas. Resposta da questão : [D] Sabendo que b loga b loga, para todo a real positivo, vem 4 log log log log 0 0 log 0 log 0 0,0. Resposta da questão : [A] Completando os quadrados, obtemos ( ) 4 log5 0 ou. log Daí, como 0 log5 log log0 log 0, 0,7, segue-se que log5 0,7 7. log 0, Portanto, a soma das raízes da equação é 7. Resposta da questão : [D] 5 4 n 4 n log/ log/ n n (n) (n ) n (n ) log/ 8 log/ Resposta da questão 4: a) Sejam a, b e c, respectivamente, o número de questões respondidas corretamente, o Página 0 de

11 Eercícios de Aprofundamento 05 Mat Log/Ep/Teo. Num. número de questões não respondidas e o número de questões respondidas erradamente. Tem-se que a b c 5 a b c 5. 6a,5b 00 (4a b) 00 Daí, sendo a e b inteiros não negativos, segue-se que 4a b é um inteiro e, portanto, (4a b) é um múltiplo de. Por outro lado, como 00 não é um múltiplo de, segue-se que é impossível um competidor fazer eatamente 00 pontos. b) Se Márcia fez mais de 00 pontos, então a b c 5 b 5 a c 6a,5b 00 a (5 a c) 00 b 5 a c 5 c. a 9 Portanto, sendo c um inteiro não negativo, o valor mínimo de a é o menor inteiro positivo que supera 5,89, 9 ou seja, amín 4. Resposta da questão 5: [C] 4 Sendo 6 e pedido é dado por Resposta da questão 6: [E] 90 5, temos mdc(6, 90) 8. Desse modo, o resultado O número de divisores positivos de N, diferentes de N, é dado por ( )(y )(z ), com 0, y 0 e z 0. Observação: Considerando o enunciado rigorosamente, a resposta seria ( ) (y ), com e y. Resposta da questão 7: [A] a Seja b o quociente da divisão de a por b, com a, b e a. b Nos dois primeiros meses, o investidor comprou ações, ao custo total de R$ 94,00. Portanto, vendendo essas ações ao preço unitário de R$ 8,00, segue-se que o investidor teve um lucro de R$ 6,00. Observação: Note que é indiferente o fato do investidor comprar ou não ações no terceiro mês. Página de