FGV 1 a Fase maio/2002

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1 FGV 1 a Fase maio/00 Matemática Questão 01 Uma cesta básica de produtos contém kg de arroz, 1 kg de feijão e kg de farinha. No período de 1 ano, o preço do quilograma de arroz subiu 10%, o do feijão subiu 6% e o da farinha aumentou 1%. O aumento porcentual do preço da cesta básica, no período, foi de aproimadamente: a) 0,4% b) 19,% c) 18,6% d) 17,7% e) 16,8% Admitindo que, e z são, respectivamente, os preços de 1 kg de arroz, feijão e farinha, temos: Preço inicial da cesta básica: P 1 = + + z Preço da cesta básica após os aumentos: P =. (1,10) +. (1,6) + z. (1,1) P A razão depende dos valores de, e z, que não P1 foram fornecidos no enunciado. Portanto, é impossível calcular o porcentual de aumento. Obs.: A partir do gabarito oficial da FGV (E), subentendemos que os preços, por kg, dos três produtos são iguais (o que não consta no enunciado). A FGV considerou correta a alternativa E. Questão 0 Uma fábrica de camisas tem um custo mensal dado por C = , onde é o número de camisas produzidas por mês. Cada camisa é vendida por R$,00. Atualmente, o lucro mensal é de R$ 000,00. Para dobrar esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender mensalmente: a) o dobro do que produz e vende. b) 100 unidades a mais do que produz e vende. c) 00 unidades a mais do que produz e vende. d) 00 unidades a mais do que produz e vende. e) 0% a mais do que produz e vende. A receita total (R) para a venda de camisas é a soma do custo e do lucro: R = C = = lucro Sendo cada camisa vendida por R$,00, temos: = , de onde: = 700. Para dobrar o lucro, deve-se ter: R = C = , de onde resulta = 900. Portanto, deve-se aumentar em 00 a quantidade de camisas produzidas e vendidas mensalmente. Questão 0 No plano cartesiano, a reta de equação = k tangencia a circunferência de equação ( ) + ( ) = 1. Os valores de k são: a) ou 0 b) 1 ou 1 c) 0 ou d) 1 ou e) ou 4 1

2 FGV 6/0/00 CPV - o cursinho que mais aprova na GV ( ) + ( ) = 1 Centro da circunferência: C (; ) Raio: R = 1 R = 1 Logo, k = + 1 ou k = 1, ou seja, k = ou k = 1. Questão 04 No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 4 = mais próimo da origem tem coordenadas cuja soma vale: a) d) 1 1 O ponto da reta (r) mais próimo da origem é o ponto P, que é a intersecção da reta (r) com a reta (s), traçada por O, e perpendicular à reta (r). = k = 1 = k = b) 1 e) R=1 (, ) c) 0 Como a equação da reta (s) é: (s) 4 + = 0 o ponto P é dado pelo sistema: de onde obtemos: ou seja: 4 P,. 4 = 4 + = 0 = 4 = A soma das coordenadas de P é igual a 1. Alternativa B Questão 0 Se o polinômio P () = k for divisível por ( 1), ele também será divisível por: a) + 1 b) + c) d) + + e) + Temos P (1) = 1 k = 6 k Como P (1) = 0, devemos ter k = 6 e assim o (s) O / (r) polinômio é: P () = P () = ( 1) 6 ( 1) P () = ( 1). ( ) P () = ( 1). ( + 1) /4 P isto é, P () também é divisível por + 1. Alternativa A FGV00M0

3 CPV - o cursinho que mais aprova na GV FGV 6/0/00 Questão 06 Quantos números inteiros satisfazem a inequação 10 < 16? a) b) 4 c) d) 6 e) 7 Temos que 10 < < 0 logo No conjunto Z dos inteiros, temos S = {, 4,, 6, 7}, portanto números satisfazem a equação. Questão 07 O valor de que satisfaz a equação log ( + 7) = log + log 7 é um número: a) menor que 1/. b) entre 1/ e 1. c) entre 1 e /. d) entre / e. e) maior que. Considerando-se, como condição de eistência, que > 0 e resolvendo-se a equação logarítmica, temos: log ( + 7) = log + log 7 log ( + 7) = log (. 7) + 7 = 14 1 = 7 = 7 1 O valor encontrado para está entre 1/ e 1. Alternativa B Questão 08 Um capital aplicado a juros simples, à taa de,% ao mês, triplica em: a) 7 meses. b) 80 meses. c) 8 meses. d) 90 meses. e) 9 meses. Para que o capital triplique, o valor dos juros deve ser igual ao dobro do valor do capital, isto é, J =. C. Como J = C. i. t. C = C., 100. t t = 80 meses Alternativa B Questão 09 No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas = cos t e = sen t com t IR é: a) uma senóide. b) uma cossenóide. c) uma hipérbole. d) uma circunferência. e) uma elipse. Resolvendo o sistema formado pelas equações paramétricas, temos: = cost = cos t (I) = sen t = sen t (II) Substituindo as relações (I) e (II) na relacão fundamental da trigonometria, obtemos: cos t + sen t = 1 + = 1 + = 1 que é a equação de uma elipse. 4 Alternativa E FGV01M0

4 4 FGV 6/0/00 CPV - o cursinho que mais aprova na GV Questão 10 Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 brancas. Três bolas são sucessivamente sorteadas, sem reposição. A probabilidade de observarmos bolas brancas é: a) 1/1 b) 1/0 c) 1/ d) 1/0 e) 1/ Probabilidade: 1 a bola a bola a bola branca branca branca Assim: P = = 1 0 Questão 11 A função f () = 16 (sen ) (cos ) assume valor máimo igual a: a) 16 b) 1 c) 10 d) 8 e) 4 f () = 16 (sen ) (cos ) f () = 8. ( sen. cos ) f () = 8. sen Como o máimo valor de sen é 1, o máimo valor de f () é 8. 8 Questão 1 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( + ) é igual a: a) 81 b) 18 c) 4 d) 1 e) 79 Para obtermos a soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( + ), basta substituir os valores = 1 e = 1, resultando ( ) = = 4. Questão 1 A soma das raízes da equação ( + ) ( ) = 0 vale: a) 0 b) c) d) 6 e) 6 A equação dada equivale à união das equações: + = 0 ou = 0 cujas raízes têm somas respectivamente iguais a e. Portanto, a soma de todas as raízes é. FGV00M0

5 CPV - o cursinho que mais aprova na GV FGV 6/0/00 Questão 14 =1 Se o sistema linear = 19 for resolvido pela Regra de Cramer, o valor de será dado por uma fração cujo denominador vale: a) 41 b) 179 c) 179 d) 9 e) 9 D Pela Regra de Cramer, temos = D, onde o denominador D é o determinante da matriz incompleta. Então, D = 4 7 = 41. Alternativa A Questão 1 Resolvendo o sistema abaio, obtém-se para z o valor: No sistema fazendo obtemos: e fazendo + + z = 0 (a) z = 1 (b) 6 + z = 1 (c) (a). ( ) + (b) 4z = 1 (d) 6 + z = 1 (e) (d). + (e) obtemos: z = 10. Portanto, z =. COMENTÁRIO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA As questões da FGV maio/00 apresentaram nível médio de dificuldade, o que permite obter um retrato fiel do conhecimento dos candidatos. Quanto aos assuntos, poucos não foram abordados. Podemos citar Geometria Plana, Números Compleos e Progressões como os principais temas ausentes desta prova. Lamentamos a falha eistente na questão nº 1, cujo enunciado não permite qualquer conclusão. DISTRIBUIÇÃO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA a) b) c) 0 d) e) ++z=0 z=1 6 + z = 1 Probabilidades Logaritmos Polinômios Binômio de Newton Equações Trigonometria Sistemas Lineares 1,% Porcentagem e Juros 1,% Funções 1,% Geometria Analítica 19,9% FGV01M0