Múltiplos e Divisores Questões Extras

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1 Múltiplos e Divisores Questões Extras x 1. O número possui exatamente 96 divisores inteiros positivos quando x é um número natural igual a a) 20. b) 14. c) 16 d) 18. e) Um ferreiro dispõe de duas barras de ferro de comprimentos 1,20 m e 1,80 m. Serrando essas barras, quantas barras menores e de máximo tamanho possível ele obterá ao final do processo? a) 10 barras de 30 cm. b) 20 barras de 30 cm. c) 5 barras de 60 cm. d) 10 barras de 60 cm. e) 5 barras de 360 cm. 3. Durante uma aula de matemática, uma professora lançou um desafio para seus alunos. Eles deveriam descobrir o menor de três números naturais usando apenas as seguintes informações: - A soma dos números é A soma dos dois números menores menos o maior número é Os números divididos, respectivamente, o menor por 5, o intermediário por 7 e o maior por 9 deixam os mesmos restos e quocientes. Determine o menor dos três números: a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) Os números nas seis faces de um cubo são seis múltiplos consecutivos de 3. Além disso, as somas dos números em faces opostas são todas iguais. A figura, a seguir, mostra três faces com os números 18, 24 e 27. A soma dos três números que estão nas faces ocultas do cubo é a) 66. b) 72. c) 84. d) 36. e) Em uma loja existem três relógios cucos desregulados. O primeiro toca o cuco a cada 12min, o segundo a cada 22min e o terceiro a cada 39 min. Se os três cucos tocaram juntos às quinze horas da tarde, é CORRETO afirmar que eles tocarão juntos novamente: a) Às 19 horas e 32 minutos do mesmo dia. b) Somente às 4 horas e 28 minutos do dia seguinte. c) Às 16 horas e 32 minutos do mesmo dia. d) Somente às 2 horas e 44 minutos do dia seguinte. e) Somente às 19h e 36 minutos do dia seguinte. 6. Um grupo de 216 mulheres e 180 homens inscreveram-se como voluntários para visitar pessoas doentes em hospitais de uma cidade. Todas as pessoas inscritas serão divididas em grupos segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas, e em cada grupo só haverá pessoas do mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar hospitais distintos, o menor número de hospitais a serem visitados é um número: a) par. b) divisível por 6. c) quadrado perfeito. d) primo. 7. Em um dos lados de um parque em formato retangular de uma cidade, existem 19 árvores plantadas em linha reta e igualmente espaçadas umas das outras. Se a distância entre a terceira e a sexta árvore é de 750 metros, qual a distância entre a primeira e a última árvore? a) metros b) metros. c) metros. d) metros. e) metros 8. Com relação ao movimento dos cometas no universo, sabemos que muitos deles passam pelo planeta Terra em períodos de anos definidos. Os cometas A e B passam de 20 em 20 anos e 35 em 35 anos respectivamente, e suas últimas aparições na Terra ocorreram em A próxima passagem dos dois pela Terra ocorrerá no ano de: a) 2072 b) c) d) e) Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês para adquirir o maior número possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No segundo mês houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve a) lucro de R$ 6,00. b) nem lucro nem prejuízo. c) prejuízo de R$ 6,00. d) lucro de R$ 6,50.

2 10. Uma lavadeira costuma estender os lençóis no varal utilizando os pegadores da seguinte forma: Se ela dispõe de 10 varais que comportam 9 lençóis cada, quantos pegadores ela deverá utilizar para estender 84 lençóis? a) 253 b) 262 c) 274 d) 256 e) O dia 04 de julho de um certo ano ocorreu numa sexta-feira. Então, 06 de fevereiro do ano seguinte foi: a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sexta-feira 12. Em um campeonato esportivo, todos os jogos iniciarão em 15 de março de Os jogos de futebol acontecerão a cada 30 dias, os de basquete a cada 45 dias e os de vôlei, a cada 60 dias. Após o início das competições, o primeiro mês em que os jogos das três modalidades voltarão a coincidir é a) agosto. b) setembro. c) novembro. d) dezembro. 13. Em um corredor, existem 100 armários, numerados de 1 a 100. Inicialmente, todos estão fechados. A pessoa de número 1 passa e inverte a posição de todos os armários múltiplos de 1, isto é, abre os armários múltiplos de 1. Em seguida, a pessoa de número 2 passa e inverte a posição de todos os armários múltiplos de 2 (os armários que estão abertos ela fecha e os que estão fechados ela abre). Esse processo se repete até a pessoa de número 100. A quantidade de armários que ficarão abertos, no final desse processo, será a) 3. b) 5. c) 7. d) 9. e) Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis possíveis brindes disponíveis, conforme sua ordem de chegada na loja. Os brindes a serem distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um refrigerante, um sorvete e um CD, nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um chaveiro, o terceiro recebe uma caneta, o quarto recebe um refrigerante, o quinto recebe um sorvete, o sexto recebe um CD, o sétimo recebe uma bola, o oitavo recebe um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos brindes. O milésimo cliente receberá de brinde um(a) a) bola. b) caneta. c) refrigerante. d) sorvete. e) CD. 15. Uma parede retangular pode ser totalmente revestida com ladrilhos retangulares de 30 cm por 40 cm ou com ladrilhos quadrados de 50 cm de lado, inteiros, sem que haja espaço ou superposição entre eles. A menor área que essa parede pode ter é igual a: a) 4,5 m 2 b) 2,5 m 2 c) 3,0 m 2 d) 4,0 m 2 e) 3,5 m Júnior deseja gastar a quantia exata de R$ 7,40 na compra de canetas e cadernos. Se cada caneta custa R$ 0,50, e cada caderno custa R$ 0,70, qual o número máximo de canetas que Júnior poderá comprar? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) O menor número inteiro e positivo que deve ser multiplicado por para que o resultado obtido seja um cubo perfeito é a) b) c) d) e) Pretende-se decorar uma parede retangular com quadrados pretos e brancos, formando um padrão quadriculado semelhante ao de um tabuleiro de xadrez e preenchendo toda a parede de maneira exata (sem sobrar espaços ou cortar quadrados). A figura a seguir ilustra uma parte desse padrão quadriculado. Considerando-se que a parede mede 8,80 m por 5,50 m, o número mínimo de quadrados que se pode colocar na parede é: a) 40 b) 55 c) 70 d) 95 e) Três vendedores viajam a serviço para uma empresa. O primeiro viaja de 12 em 12 dias, o segundo de 16 em 16 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Se todos viajarem hoje, calcule daqui quantos dias eles voltarão a viajar no mesmo dia. a) 220 dias. b) 120 dias. c) 240 dias. d) 250 dias. e) 180 dias. 20. Certo dia, a sirene de uma fábrica e as badaladas do sino de uma igreja tocaram juntos às 8 horas, às 13 horas e às 18 horas. Sabendo-se que a igreja toca o sino de uma em uma hora e a sirene da fábrica toca a cada x minutos,

3 então, o valor mínimo de x, maior que uma hora, é a) 72. b) 75. c) 84. d) 96. e) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a: a) 3. b) 4. c) 6. d) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi a) 4. b) 6. c) 8. d) O número natural n é o máximo divisor comum dos números 756 e Então, a soma dos algarismos de n é igual a: a) 3. b) 8. c) 9. d) Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 min e 1,6 min para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, o atleta mais veloz estará completando a) 12 voltas. b) 15 voltas. c) 18 voltas. d) 10 voltas. 25. Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi a) quinta-feira. b) terça-feira. c) quarta-feira. d) sexta-feira. Assim sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada um? a) 4 b) 6 c) 7 d) Para os festejos natalinos, uma fábrica de doces lançará uma caixa de chocolates. O número de chocolates poderá ser dividido igualmente (sem fracioná-los) entre 2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, não havendo sobra. O menor número de chocolates que essa caixa deverá conter será: a) 180. b) 120. c) 60. d) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é: a) 144. b) 240. c) 360. d) 480. e) Uma faixa retangular de tecido deverá ser totalmente recortada em quadrados, todos de mesmo tamanho e sem deixar sobras. Esses quadrados deverão ter o maior tamanho (área) possível. Se as dimensões da faixa são 105 cm de largura por 700 cm de comprimento, o perímetro de cada quadrado, em centímetros, será: a) 28. b) 60. c) 100. d) 140. e) Entre os primeiros mil números inteiros positivos, quantos são divisíveis pelos números 2, 3, 4 e 5? a) 60 b) 30 c) 20 d) 16 e) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas.

4 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] x x 2 x O número de divisores positivos será dado por: (x 3 1) (2 1) (1 1) 96 (x 4) 6 96 x 4 16 x 12 Resposta da questão 2: [C] O ferreiro possui barras de ferro de comprimentos 120 cm e 180 cm. Para que estas sejam serradas em comprimentos iguais de maior medida possível, é preciso identificar o maior divisor comum entre 120 e 180, que será igual a 60. Dividindo cada uma das barras em barras menores de 60 cm, teremos um total de 5 barras. Resposta da questão 3: [E] Sejam x, y e z números naturais, com x y z. Tem-se que x y z 54 x y 32. x y z 10 z 22 Além disso, vem x 5q r, y 7q r e z 9q r, sendo q, r e r 5. Ora, mas z 22 implica em q 2 e r 4. Portanto, segue que a resposta é x Resposta da questão 4: [E] Podemos considerar 3 sequências para as 6 faces do dado. Sequência 1: (18, 21, 24, 27, 30, 33) Não poderá ser, pois neste caso 24 e 27 devem ser faces opostas. Sequência 2: (15, 18, 21, 24, 27, 30) Não poderá ser, pois neste caso 18 e 27 devem ser faces opostas. Portanto, a única sequência possível é: Sequência 3: (12, 15, 18, 21, 24, 27) Logo, a soma das três faces ocultas será Resposta da questão 5: [E] MMC(12, 22, 39) minutos, ou seja, 1 dia 4 horas 36 minutos. Mais precisamente, às 19horas e 36 minutos do dia seguinte. Resposta da questão 6: [D] Para visitar o menor número de hospitais, devemos ter o máximo de pessoas em cada grupo. O máximo divisor comum entre 216 e 180 é 36. Logo, serão formados 6 grupos de mulheres ( ), e 5 grupos de homens ( ). Se cada grupo visitará um hospital distinto, serão visitados 11 hospitais (6 5). Resposta da questão 7: [C] Entre a terceira e a sexta árvores há 3 espaços. Logo, a distância entre duas arvores 750 consecutivas é de 250 m. 3 Em consequência, a distância entre a primeira e a última árvores é igual a metros. Resposta da questão 8: [D] Calculando o mínimo múltiplo comum entre 20 e 35, temos: 20, , , , 7 7 1, 1 2 MMC(20,35) A próxima passagem na terra ocorrerá no ano de Resposta da questão 9: [A] a Seja b o quociente da divisão de a por b, a com a, b e. b Nos dois primeiros meses, o investidor comprou ações, ao custo total de R$ 394,00. Portanto, vendendo essas ações ao preço unitário de R$ 8,00, segue-se que o investidor teve um lucro de R$ 6,00. Observação: Note que é indiferente o fato do investidor comprar ou não ações no terceiro mês.

5 Resposta da questão 10: [B] Estendendo o primeiro lençol, serão utilizados 4 pegadores. Para cada lençol a mais, serão necessários 3 pegadores. Logo, em cada varal com 9 lençóis são utilizados pegadores. Em consequência, como , segue-se que o resultado pedido é Resposta da questão 11: [E] Do dia 4 de julho ao dia 6 de fevereiro do ano seguinte há 217 dias. Por conseguinte, sendo , segue que 6 de fevereiro do ano seguinte foi sexta-feira. Sejam x e y, com x, y, respectivamente, o número de canetas e o número de cadernos que serão comprados. Temos que 0,5x 0,7 7,40 5x 74 7y. O número máximo de canetas que Júnior poderá comprar é obtido para y mínimo, de tal modo que 74 7y seja um múltiplo de 5. Desse modo, y 2 e, portanto, x 12. Resposta da questão 17: [C] Resposta da questão 12: [B] Basta calcular o MMC (30, 45, 60) = 180, ou seja, seis meses. Após o início das competições, o primeiro mês em que os jogos das três modalidades voltarão a coincidir é setembro. Resposta da questão 13: [E] Para que um armário fique com a porta aberta deverá ser alterado um número ímpar de vezes. O número de divisores de um quadrado perfeito é sempre ímpar, ao passo que o número de divisores de um número, não quadrado perfeito, é sempre par. Portanto, os quartos que ficarão abertos terão quadrados perfeitos como números. São eles: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. Portanto, 10 quartos ficarão com as portas abertas. Resposta da questão 18: [A] Como a parede mede 880cm por 550cm, e queremos saber qual o número mínimo de quadrados que se pode colocar na parede, devemos encontrar a medida do quadrado de maior lado que cumpre as condições do enunciado. Tal medida é dada por mdc(880, 550) 110cm. Portanto, o resultado pedido é Resposta da questão 19: [C] Basta calcular o M.M.C.(12,16,20) = 240. Resposta da questão 14: [C] Desde que , podemos concluir que o milésimo cliente receberá de brinde um refrigerante. Resposta da questão 15: [C] A área de um ladrilho retangular de 30cm por 2 40cm é cm, enquanto a área e um ladrilho quadrado de 50cm de lado é cm. Portanto, a menor área que pode ter essa parede, sem que haja espaço ou superposição entre os ladrilhos, é dada por 2 2 mmc(1200, 2500) cm 3,0 m. Resposta da questão 16: [E] Resposta da questão 20: [B] Como a sirene e o sino tocam juntos de em 5 horas, segue que: mmc(60, x) 300 minutos. Queremos calcular o menor valor de x tal que x 60 e mmc(60, x) 300. Como os divisores de 300 maiores do que 60 são 75,150 e 300, temos que x 75.

6 Resposta da questão 21: [B] Resposta da questão 22: [B] Resposta da questão 23: [C] Resposta da questão 24: [B] Resposta da questão 25: [D] Resposta da questão 26: [D] Resposta da questão 27: [C] Resposta da questão 28: [E] Resposta da questão 29: [D] Resposta da questão 30: [D]